Этот дикий на сегодняшний взгляд вопрос недаром волновал знаменитого литературного персонажа, а вместе с ним изрядную часть интеллигентной публики на исходе бодрого, рационального и самоуверенного девятнадцатого столетия. Ведь тупой, занудный рационализм вкупе с непробиваемой самоуверенностью, как хорошо известно врачам-психиатрам, служит верным признаком душевной болезни. И наоборот, разумному человеку, сегодня, как и в далеком прошлом, свойственно скептическое отношение к своим способностям. «Я знаю лишь то, что ничего не знаю », – говорит Сократ, а преп. Иоанн Лествичник рекомендует «посмеиваться над собственной премудростью ».
Сегодня, почти полтора века спустя, разсуждения Раскольникова в самом деле звучат стопроцетнтным бредом: «Я просто-запросто намекнул, что "необыкновенный" человек имеет право... то есть не официальное право, а сам имеет право разрешить своей совести перешагнуть... через иные препятствия…» Очевидно, однако, что современники воспринимали его по-другому: иначе автор «Преступления и наказания» на заслужил бы своей славы. И спор Порфирия Петровича с Раскольниковым в контексте романа выглядит скорее не как разговор здорового с умалишенным, а как диспут на равных. Достоевский вынужден даже вернуться к этому спору и привлечь к нему других участников, другие художественные средства: «Мне надо было узнать тогда, и поскорей узнать, вошь ли я, как все, или человек? Смогу ли я переступить или не смогу! Осмелюсь ли нагнуться и взять или нет? Тварь ли я дрожащая или право имею... – Убивать? Убивать-то право имеете? – всплеснула руками Соня».
Неудивительно, что Раскольникову нечего ей ответить. Безумие девятнадцатого века, словно в хрестоматийной истории болезни, развивалось от симптома к симптому при всеобщем благосклонном попустительстве, пока не вылилось в яростный взрыв в двадцатом. И лишь сегодня, несколько присмирев от крови, пролитой в поисках и утверждении «прав человека», люди понемногу стали приходить в себя, разбираться в том наследии, которое оставили им «прогрессисты», «либералы» и «просветители»…
Под «правами человека» понимают по меньшей мере два различных направления этической, юридической и политической мысли. Первое направление формулирует главным образом отрицательные тезисы: свобода от принуждения или преследования того или иного рода, невмешательство государства в те или иные сферы человеческой жизни. Второе выдвигает положительные требования, как, например, право на труд, на социальное обезпечение, на образование, медицинское обслуживание и пр., декларируя, напротив, активное государственное участие в повседневной жизни людей. Иногда их называют первым и вторым поколением прав человека. Первое, соответственно более раннее, базируется на политической философии индивидуализма ХVII – XVIII веков; второе – на более поздних социалистических теориях.
На первый взгляд права человека в такой формулировке, будь то первого или второго поколения, выглядят вполне разумно и привлекательно: с кровавыми фантазиями раскольниковых у них как будто нет решительно ничего общего. Но это только на первый взгляд. Еще Американская Декларация независимости была основана на положении, мягко говоря, весьма сомнительном с точки зрения здравого смысла и христианского мировоззрения: «Мы считаем самоочевидным, что все люди созданы равными и в равной мере наделены Создателем неотъемлемыми правами… » Не слишком ли много берет на себя человек, объявляя Создателя своим контрагентом в юридической процедуре? А если все же такое случилось бы, то по какой причине Создатель, наделивший свое создание некими правами, не может с той же легкостью отъять их?...
Однако основателей Американской Республики, при всем нашем к ним критическом отношении, нельзя всё же обвинять в идиотизме. Они исходили из популярной некогда концепции так называемого «естественного права», распространившейся на Западе вместе со средневековой схоластикой и впоследствии дискредитированной, как в практической жизни, так и в теории. Условие равенства людей недаром легло в ооснову Декларации Независимости, а несколькими годами позже, наряду с довольно конкретной свободой и вполне фантастическим братством, оказалось в числе базовых принципов Французской Революции. Однако скажите, часто ли вам приходилось видеть, помимо однояйцовых близнецов, двух равных людей??
Вас, конечно, поспешат убедить, что речь идет лишь о равенстве людей перед законом , в противоположность, дескать, старинным феодальным порядкам, когда за одно и то же нарушение с аристократа приходилось столько-то, а с простолюдина столько-то. Но не спешите поддаваться на убеждения. Лучше обратите внимание на явный порочный круг: «права человека» формулируются на основе того самого равенства людей, которое затем выводится из них как юридическая норма…
Так или иначе, ко времени Раскольникова права человека привлекают устойчивый интерес, причем привлекательность их, разумеется, стоит в обратной пропорции к достижимости. В особенности это касается прав второго поколения. А поскольку равенство людей – фактическое, а не юридическое – давно оказалось самоочевидным вздором, естественно возникает мысль о дифференциации: разным человекам, так сказать, разные права.
Так что не стоит удивляться, что долгая сага о правах человека сегодня, в ХХI столетии, вывела нас по диалектической кривой к третьему поколению этих самых прав – к «групповым правам» всевозможных меньшинств, национальных, сексуальных и прочих. В СССР времен застоя практиковались ограничения и предпочтения некоторым нациям при приеме на работу, в вузы и т.д., и все скрежетали зубами по поводу такой несправедливости, с тоской и надеждой глядя в сторону прогрессивного Запада. Но на прогрессивном Западе, особенно в американской колыбели демократии, те же самые (и гораздо худшие) ограничения и предпочтения давно не вызывают почти никаких эмоций. Помню, в 85-м году, когда в США мне все было внове, я стал слушать радиопередачу Брюса Уильямса – консультации в открытом эфире по трудовым и коммерческим делам – и в студию позвонил некий незадачливый бизнесмен англосаксонского происхождения с жалобой на городскую управу, где он никак не мог получить контракт. Бизнесмен спрашивал, не нужно ли ему в этой связи сменить фамилию на Гонзалес или Суарес… Воистину, анекдоты не знают границ.
Так что же права человека? Как говорят дети: «хорошие» они или «плохие»? Ведут ли они к благополучию и справедливости, или же к злоупотреблениям, к топору и динамиту? За ответом можно обратиться к другому русскому автору, герой которого участвовал в дискуссии об «уважении к мужику»:
…Есть мужик и мужик –
Если он не пропьет урожаю,
Я тогда мужика уважаю!
Так же в точности следует ответить и нам: есть права и права. Если они действуют в качестве рабочего инструмента общественных и экономических отношений, если – как отмечает Маргарет Тэтчер в своей новой книге – не пытаться развивать их в вакууме, в отрыве от живой традиции данного общества, и подрывать тем самым национальные интересы и суверенитет страны, – тогда мы уважаем эти права, охраняем и заботимся о них.
Но такие права не нужны нашим «правозащитникам». Их уместно уподобить бородачу с автоматом, который вышел из лесу невстречу перепуганной старушке:
– Бабка, где немцы?
– Немцы?? Немцев, касатик, уже двадцать лет как прогнали.
– Да ну? А я-то всё поезда под откос пускаю...
Бородач, по крайней мере, сумел переосмыслить свою миссию. Куда там «правозащитникам»! При этом, несмотря на все свое безумие, они вполне разумно ведут свою борьбу на внутреннем фронте: «человек имеет право... то есть не официальное право, а сам имеет право разрешить своей совести перешагнуть... » Иначе говоря, у раскольниковых прошлого и настоящего право работает как ингибитор совести. А может быть и как убийца.
Если «права человека» становятся наднациональной силой, неким идолом или демиургом, который бросает вызов Творцу и заменяет собою трезвый христианский взгляд на человека и общество – тогда простите, таким правам у нас нет места. И не будет.
«И неужель ты думаешь, что я не знал, например, хоть того, что если уж начал я себя спрашивать и допрашивать: имею ль я право власть иметь? - то, стало быть, не имею права власть иметь. Или что если задаю вопрос: вошь ли человек? - то, стало быть, уж не вошь человек для меня, а вошь для того, кому этого и в голову не заходит и кто прямо без вопросов идет... Я просто убил; для себя убил, для себя одного: а там стал ли бы я чьим-нибудь благодетелем или всю жизнь, как паук, ловил бы всех в паутину и из всех живые соки высасывал, мне, в ту минуту, всё равно должно было быть!.. И не деньги, главное, нужны мне были, Соня, когда я убил; не столько деньги нужны были, как другое... Мне другое надо было узнать, другое толкало меня под руки: мне надо было узнать тогда, и поскорей узнать, вошь ли я, как все, или человек? Смогу ли я переступить или не смогу! Осмелюсь ли нагнуться и взять или нет? Тварь ли я дрожащая или право имею...».
Раскольников, «Преступление и наказание».
Эти строки взяты из бессмертного произведения величайшего русского писателя, автора 8 романов, 22 повестей и рассказов, 6 очерков, а также 9 стихотворений, известных на сегодняшний день, и оставившего огромный след в истории культуры России и всего мира – Фёдора Михайловича Достоевского.
Его по праву считают непревзойденным художником-реалистом, анатомом человеческой души, страстным поборником идей гуманизма и справедливости. Его романы отличаются пристальным интересом к интеллектуальной жизни героев, раскрытием сложного и противоречивого сознания человека.
Несмотря на известность, которую Достоевский обрёл в конце своей жизни, поистине непреходящая, всемирная слава пришла к нему после смерти. В частности, Фридрих Ницше признавал, что Достоевский был единственным психологом, у которого он мог кое-чему поучиться.
Творчество Достоевского оказало большое влияние на русскую и мировую культуру. Литературное наследие писателя по-разному оценивается как на Родине, так и за рубежом. В русской критике наиболее положительную оценку Достоевскому дали религиозные философы. К примеру, русский религиозный мыслитель Владимир Сергеевич Соловьёв (16 января 1853 - 31 июля 1900) отозвался о Фёдоре Михайловиче так: «А любил он, прежде всего живую человеческую душу во всем и везде, и верил он, что мы все род Божий, верил в бесконечную силу человеческой души, торжествующую над всяким внешним насилием и над всяким внутренним падением. Приняв в свою душу всю жизненную злобу, всю тяготу и черноту жизни и преодолев все это бесконечной силой любви, Достоевский во всех своих творениях возвещал эту победу. Изведав божественную силу в душе, пробивающуюся через всякую человеческую немощь, Достоевский пришел к познанию Бога и Богочеловека. Действительность Бога и Христа открылась ему во внутренней силе любви и всепрощения, и эту же всепрощающую благодатную силу проповедовал он как основание и для внешнего осуществления на земле того царства правды, которого он жаждал и к которому стремился всю свою жизнь».
В то же время на Западе, где романы Достоевского пользуются популярностью с начала ХХ века, его творчество оказало значительное влияние на такие в целом либерально настроенные движения, как экзистенциализм, экспрессионизм и сюрреализм. Предтечей экзистенциализма видят его многие литературные критики. Впрочем, за рубежом Достоевский обычно оценивается, прежде всего, как выдающийся литератор и психолог, в то время как его идеология игнорируется, или почти полностью отвергается.
Основные произведения Достоевского появились в печати в последней трети XIX века, когда обозначился кризис старых морально-этических принципов и стал очевидным разрыв между стремительно изменяющейся жизнью и традиционными нормами жизни. Именно в последней трети XIX века в обществе заговорили о "переоценке всех ценностей", об изменении норм традиционной христианской морали и нравственности. А в начале двадцатого века это стало практически основным вопросом в среде творческой интеллигенции. Достоевский одним из первых увидел опасность грядущей переоценки и сопутствующего ей "расчеловечивания человека". Он первым показал ту "бесовщину", которая изначально крылась в подобных попытках. Именно этому посвящены все его основные произведения и, конечно же, один из центральных романов - "Преступление и наказание".
Этот роман Ф. М. Достоевский опубликовал в 1866 году. Произведение посвящено истории того, как долго и трудно шла через страдания и ошибки мечущаяся человеческая душа к постижению истины.
Раскольников - духовный и композиционный центр романа. Внешнее действие лишь обнаруживает его внутреннюю борьбу. Он должен пройти через мучительнее раздвоение, чтобы понять себя и нравственный закон, нерасторжимо связанный с человеческой сущностью. Герой разгадывает загадку собственной личности и вместе с тем загадку человеческой природы.
Достоевский является самым ярким представителем «онтологической», «рефлексивной» поэтики, которая в отличие от традиционной, описательной поэтики, оставляет персонажа в некотором смысле свободным в своих отношениях с текстом, который его описывает (то есть для него миром), что проявляется в том, что он осознает своё с ним отношение и действует, исходя из него. Отсюда вся парадоксальность, противоречивость и непоследовательность персонажей Достоевского. Если в традиционной поэтике персонаж остаётся всегда во власти автора, всегда захвачен происходящими с ним событиями (захвачен текстом), то есть остаётся всецело описательным, всецело включённым в текст, всецело понятным, подчинённым причинам и следствиям, движению повествования, то в онтологической поэтике мы впервые сталкиваемся с персонажем, который пытается сопротивляться текстуальным стихиям, своей подвластности тексту, пытаясь его «переписать». При таком подходе писательство есть не описание персонажа в многообразных ситуациях и положениях его в мире, а сопереживание его трагедии - его своевольному нежеланию принять текст (мир), который неизбывно избыточен по отношению к нему, потенциально бесконечен.
Писатель принял участие в осмыслении многих философских и социальных идей и учений своего времени – от возникновения первых социалистических идей на русской почве до философии всеединства В. С. Соловьева.
Главной философской проблемой для Достоевского была проблема человека, над разрешением которой он бился всю свою жизнь: «Человек есть тайна. Ее надо разгадать…». Сложность, двойственность, антиномизм человека, отмечал писатель, сильно затрудняют выяснение действительных мотивов его поведения. Причины действий человека обычно гораздо сложнее и разнообразнее, чем мы их потом объясняем. Зачастую человек проявляет своеволие из-за своего бессилия изменить что-либо, из-за одного несогласия с «неумолимыми законами», подобно герою «Записок из подполья» (1864) Достоевского.
Познание нравственной сути человека, с его точки зрения, задача чрезвычайно сложная и многообразная. Сложность ее заключается в том, что человек обладает свободой и волен сам делать выбор между добром и злом. Причем свобода, свободный ум, «бесчинство свободного ума» могут стать орудиями человеческого несчастья, взаимного истребления, способны «завести в такие дебри», из которых нет выхода.
По Достоевскому, никакая высокая цель не может оправдать негодных средств, ведущих к ее достижению. Индивидуалистический бунт против порядков окружающей жизни обречен на поражение. Только сострадание, христианское сочувствие и единение с другими людьми могут сделать жизнь лучше и счастливее.
То есть, идеи Фёдора Достоевского показывают человека как уникальное существо, сумевшее в себе объединить животное начало и начало человеческое, мысленное, разумное. Можно сказать, что индивидуум сам по себе является своим же собственным антагонистом. Именно этот парадокс дуализма личности самого человека и порождает загадку его познания. Так что же есть человек – животное или нечто высшее, некая сущность, приближённая к Богу?
Как такового ответа на данный вопрос нет. Точнее сказать, ответов слишком много, и выбрать верный не представляется возможным, так как в каждом из них имеется доля правды. Самым рациональным решением этого парадокса, а, точнее, разделения человека от животного есть наличие в самой натуре такого качества, как «достоинство».
А что вообще есть «достоинство»? В толковом словаре сказано: «Достоинство - совокупность высоких моральных качеств, а также уважение этих качеств в самом себе.».
В целом, можно сказать, что достоинство является сборным понятием, характеризующим все положительные моральные качества человека. Но также в суть дефиниции «Достоинство» входит и объективная оценка самого индивидуума насчёт собственных позитивных моральных особенностей. Если у индивидуума будут иметься некоторые положительные черты характера, но при этом он будет их переоценивать, то его достоинство может плавно превратиться в непомерную гордость – «гордыню». Но, с другой стороны, если у личности происходит недооценивание своих собственных качеств, то достоинство переходит в некоторую закомплексованность, зажатость.
Рассмотрим же поведение человека при переоценке и недооценке собственных моральных качеств.
При переоценке индивидуумом самого себя происходит процесс потери ориентиров дальнейшего развития и прогресса личности, ведь индивидуум считает, что нет необходимости в дальнейшем развиваться, так как всё в нём уже идеально, он совершенен. После этого следует процесс стагнации личности, а затем происходит регрессия личностных качеств. Человек становится подобным животному, следующему только за своими жизненными потребностями и инстинктами.
При недооценке личностью самой себя также происходит стагнация, ведь особь считает, что нет абсолютно никакого смысла продолжать своё собственное развитие. В итоге следует спад личности, и человек просто теряет себя в попытке заполнить внутреннюю «пустоту». Он целиком растворяется в толпе, следуя большинству, заменяя собственные мысли и потребности на идеи и нужды, превалирующие в его окружении. Его жизнь теряет все краски. Абсолютно всё в его жизни становится тяжёлой обязанностью. Она превращается в банальное существование. Да, он не так активно следует за животными инстинктами – он ведёт жизнь овоща без собственных интересов и мыслей.
Именно умение держаться на этой тонкой грани объективной оценки самого себя и воспитание в себе добросовестных качеств можно назвать «достоинством».
Но людская натура дуалистична и противоречива по своей природе, ведь она сочетает в себе духовное начало и начало животное, моральное и материальное, идеи и нужды. Именно та личность, которая сможет гармонизировать в себе вот эти единоначала, может быть приравнена к чему-то высшему. Обратимся же к Священному Писанию:
«19 Ибо тварь с надеждою ожидает откровения сынов Божиих,
20 потому что тварь покорилась суете не добровольно, но по воле покорившего ее, в надежде,
21 что и сама тварь освобождена будет от рабства тлению в свободу славы детей Божиих.
22 Ибо знаем, что вся тварь совокупно стенает и мучится доныне;
23 и не только [она] , но и мы сами, имея начаток Духа, и мы в себе стенаем, ожидая усыновления, искупления тела нашего.
(Рим. 8:19-23)».
Исходя из Библии, можно сказать, что животное, осознавшее и принявшее какую-то высшую идею, становится более приближенным к Эйдосу - Идеальному Миру (прообразу вещей в мышлении Божьем). А, как известно из биологии, человек считается животным, если быть точнее: вид - Человек Разумный, род – Люди, отряд – Приматы. То есть, можно сказать, что человек, принявший какую-то высшую идею, объективно её оценивающий и воспитавший её основные принципы в себе, которые впоследствии станут достоинством, может быть сравним с некой Высшей Силой. К примеру, в религиозной системе взглядов – с Богом.
Итак, выше было доказано, что человек является натурой двойственной, совмещающей в себе высшую идею, представленную достоинством, и нечто низшее, подсознательное, оставшееся нам от природы – животные инстинкты. Как раз умение находить золотую середину между этими сторонами человеческой души и постоянно удерживать этот хрупкий баланс делает из представителя ряда приматов нечто более возвышенное, сравнимое с некоторой Божественной сущностью. В мышлении представителей православия этой сущностью является триединый Бог.
Вопрос об удержании эквилибра сущности индивидуума сегодня является как никогда актуальным. В наше время, когда общество стало постиндустриальным, и экономические вопросы стали приоритетнее вопросов культуры, человечество оказалось «на распутье». Моральные законы и религиозные догмы, оставшиеся в наследие после индустриального общества, утратили свою актуальность в современном мире. Но никакой новой системы норм и правил морали разработано не было. Из-за этого возникает некоторая путаница – с одной стороны, мы придерживаемся морали, как и прошлые поколения. А с другой стороны – мы их придерживаемся чисто для вида, «потому что так принято». При этом больше внимания обращается на повседневные проблемы – запастись продовольствием, жить в комфорте, размножиться и заботиться о потомстве – можно сказать, на животные инстинкты. В этой суете быта мы совершенно забываем о том, что человека от обезьяны отличает достоинство бытия и совмещение в себе сознательного – достоинства, и бессознательного – животного желания. Из-за этой неопределённости в нашем разуме возникает вопрос: «Тварь ли я дрожащая или право имею...». Ответ на него будет у каждого человека свой…
Стоп! Давай всетаки попытаемся разобраться в этой громоздкой формуле.
На первом месте должна идти первая переменная в степени с некоторым коэффициентом. В нашем случае это
В нашем случае это. Как мы выяснили, значит здесь степень при первой переменной - сходится. И вторая переменная в первой степени - на месте. Коэффициент.
У нас это.
Первая переменная в степени, и вторая переменная в квадрате, с коэффициентом. Это последний член уравнения.
Как видишь, наше уравнение подходит под определение в виде формулы.
Давай рассмотрим вторую (словесную) часть определения.
У нас две неизвестные и. Здесь сходится.
Рассмотрим все слагаемые. В них сумма степеней неизвестных должна быть одинакова.
Сумма степеней равна.
Сумма степеней равна (при и при).
Сумма степеней равна.
Как видишь, все сходится!!!
Теперь давай потренируемся в определении однородных уравнений.
Определи, какие из уравнений - однородные:
Однородные уравнения - уравнения под номерами:
Рассмотрим отдельно уравнение.
Если мы разделим каждое слагаемое на разложим каждое слагаемое, то получим
А это уравнение полностью попадает под определение однородных уравнений.
Как решать однородные уравнения?
Пример 2.
Разделим уравнение на.
У нас по условию y не может быть равен. Поэтому мы можем смело делить на
Произведя замену, мы получим простое квадратное уравнение:
Так как это приведенное квадратное уравнение, воспользуемся теоремой Виета:
Произведя обратную замену, получаем ответ
Ответ:
Пример 3.
Разделим уравнение на (по условию).
Ответ:
Пример 4.
Найдите, если.
Здесь нужно не делить, а умножать. Умножим все уравнение на:
Произведем замену и решим квадратное уравнение:
Произведя обратную замену, получим ответ:
Ответ:
Решение однородных тригонометрических уравнений.
Решение однородных тригонометрических уравнений ничем не отличается от способов решения, описанных выше. Только здесь, помимо прочего, нужно немного знать тригонометрию. И уметь решать тригонометрические уравнения (для этого можешь прочитать раздел ).
Рассмотрим такие уравнения на примерах.
Пример 5.
Решите уравнение.
Мы видим типичное однородное уравнение: и - это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна.
Подобные однородные уравнения решаются не сложно, но перед тем, как разделить уравнения на, рассмотрим случай, когда
В этом случае уравнение примет вид: , значит. Но синус и косинус не могут одновременно быть равны, ведь по основному тригонометрическому тождеству. Поэтому, и на него можно смело делить:
Так как уравнение приведенное, то по теореме Виета:
Ответ:
Пример 6.
Решите уравнение.
Как и в примере, нужно разделить уравнение на. Рассмотрим случай, когда:
Но синус и косинус не могут одновременно быть равны, ведь по основному тригонометрическому тождеству. Поэтому.
Сделаем замену и решим квадратное уравнение:
Сделаем обратную замену и найдем и:
Ответ:
Решение однородных показательных уравнений.
Однородные уравнения решаются так же, как рассмотренных выше. Если ты забыл, как решать показательные уравнения - посмотри соответствующий раздел ()!
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 7.
Решите уравнение
Представим как:
Мы видим типичное однородное уравнение, с двумя переменными и суммой степеней. Разделим уравнение на:
Как можно заметить, произведя замену, мы получим приведенное квадратное уравнение (при этом не нужно опасаться деления на ноль - всегда строго больше нуля):
По теореме Виета:
Ответ: .
Пример 8.
Решите уравнение
Представим как:
Разделим уравнение на:
Произведем замену и решим квадратное уравнение:
Корень не удовлетворяет условию. Произведем обратную замену и найдем:
Ответ:
ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
Сначала на примере одной задачки напомню что такое однородные уравнения и что из себя представляет решение однородных уравнений.
Решите задачу:
Найдите, если.
Здесь можно заметить любопытную вещь: если поделить каждое слагаемое на, получим:
То есть, теперь нет отдельных и, - теперь переменной в уравнении является искомая величина. И это обычное квадратное уравнение, которое легко решить с помощью теоремы Виета: произведение корней равно, а сумма - это числа и.
Ответ:
Уравнения вида
называется однородным. То есть, это уравнение с двумя неизвестными, в каждом слагаемом которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных. Например, в примере выше эта сумма равна. Решение однородных уравнений осуществляется делением на одну из неизвестных в этой степени:
И последующей заменой переменных: . Таким образом получаем уравнение степени с одной неизвестной:
Чаще всего нам будут встречаться уравнения второй степени (то есть квадратные), а их решать мы умеем:
Отметим, что делить (и умножать) все уравнение на переменную можно только если мы убеждены, что эта переменная не может быть равна нулю! Например, если нас просят найти, сразу понимаем, что, поскольку на делить нельзя. В случаях, когда это не так очевидно, необходимо отдельно проверять случай когда эта переменная равна нулю. Например:
Решите уравнение.
Решение:
Видим здесь типичное однородное уравнение: и - это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна.
Но, прежде чем разделить на и получить квадратное уравнение относительно, мы должны рассмотреть случай, когда. В этом случае уравнение примет вид: , значит, . Но синус и косинус не могут быть одновременно равны нулю, ведь по основному тригонометрическому тождеству: . Поэтому, и на него можно смело делить:
Надеюсь, это решение полностью понятно? Если нет, прочитай раздел . Если же непонятно, откуда взялось, тебе нужно вернуться еще раньше - к разделу .
Реши сам:
- Найдите, если.
- Найдите, если.
- Решите уравнение.
Здесь я кратко напишу непосредственно решение однородных уравнений:
Решения:
Ответ: .
А здесь надо не делить, а умножать:
Ответ:
Если тригонометрические уравнения ты еще не проходил, этот пример можно пропустить.
Так как здесь нам нужно делить на, убедимся сперва, сто он не равен нулю:
А это невозможно.
Ответ: .
ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Решение всех однородных уравнений сводится к делению на одну из неизвестных в степени и дальнейшей заменой переменных.
Алгоритм:
Думаю, нам стоит начать с истории такого славного математического инструмента как дифференциальные уравнения. Как и все дифференциальные и интегральные исчисления, эти уравнения были изобретены Ньютоном в конце 17-го века. Он считал именно это своё открытие настолько важным, что даже зашифровал послание, которое сегодня можно перевести примерно так: "Все законы природы описываются дифференциальными уравнениями". Это может показаться преувеличением, но всё так и есть. Любой закон физики, химии, биологии можно описать этими уравнениями.
Огромный вклад в развитие и создание теории дифференциальных уравнений внесли математики Эйлер и Лагранж. Уже в 18-м веке они открыли и развили то, что сейчас изучают на старших курсах университетов.
Новая веха в изучении дифференциальных уравнений началась благодаря Анри Пуанкаре. Он создал «качественную теорию дифференциальных уравнений», которая в сочетании с теорией функций комплексного переменного внесла значительный вклад в основание топологии - науки о пространстве и его свойствах.
Что такое дифференциальные уравнения?
Многие боятся одного словосочетания Однако в этой статье мы подробно изложим всю суть этого очень полезного математического аппарата, который на самом деле не так сложен, как кажется из названия. Для того чтобы начать рассказывать про дифференциальные уравнения первого порядка, следует сначала познакомиться с основными понятиями, которые неотъемлемо связаны с этим определением. И начнём мы с дифференциала.
Дифференциал
Многие знают это понятие ещё со школы. Однако всё же остановимся на нём поподробнее. Представьте себе график функции. Мы можем увеличить его до такой степени, что любой его отрезок примет вид прямой линии. На ней возьмём две точки, находящиеся бесконечно близко друг к другу. Разность их координат (x или y) будет бесконечно малой величиной. Ее и называют дифференциалом и обозначают знаками dy (дифференциал от y) и dx (дифференциал от x). Очень важно понимать, что дифференциал не является конечной величиной, и в этом заключается его смысл и основная функция.
А теперь необходимо рассмотреть следующий элемент, который нам пригодится при объяснении понятия дифференциального уравнения. Это - производная.
Производная
Все мы наверняка слышали в школе и это понятие. Говорят, что производная - это скорость роста или убывания функции. Однако из этого определения многое становится непонятным. Попробуем объяснить производную через дифференциалы. Давайте вернёмся к бесконечно малому отрезку функции с двумя точками, которые находятся на минимальном расстоянии друг от друга. Но даже за это расстояние функция успевает измениться на какую-то величину. И чтобы описать это изменение и придумали производную, которую иначе можно записать как отношение дифференциалов: f(x)"=df/dx.
Теперь стоит рассмотреть основные свойства производной. Их всего три:
- Производную суммы или разности можно представить как сумму или разность производных: (a+b)"=a"+b" и (a-b)"=a"-b".
- Второе свойство связано с умножением. Производная произведения - это сумма произведений одной функции на производную другой: (a*b)"=a"*b+a*b".
- Производную разности записать можно в виде следующего равенства: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .
Все эти свойства нам пригодятся для нахождения решений дифференциальных уравнений первого порядка.
Также бывают частные производные. Допустим, у нас есть функция z, которая зависит от переменных x и y. Чтобы вычислить частную производную этой функции, скажем, по x, нам необходимо принять переменную y за постоянную и просто продифференцировать.
Интеграл
Другое важное понятие - интеграл. По сути это прямая противоположность производной. Интегралы бывают нескольких видов, но для решения простейших дифференциальных уравнений нам понадобятся самые тривиальные
Итак, Допустим, у нас есть некоторая зависимость f от x. Мы возьмём от неё интеграл и получим функцию F(x) (часто её называют первообразной), производная от которой равна первоначальной функции. Таким образом F(x)"=f(x). Отсюда следует также, что интеграл от производной равен первоначальной функции.
При решении дифференциальных уравнений очень важно понимать смысл и функцию интеграла, так как придётся очень часто их брать для нахождения решения.
Уравнения бывают разными в зависимости от своей природы. В следующем разделе мы рассмотрим виды дифференциальных уравнений первого порядка, а потом и научимся их решать.
Классы дифференциальных уравнений
"Диффуры" делятся по порядку производных, участвующих в них. Таким образом бывает первый, второй, третий и более порядок. Их также можно поделить на несколько классов: обыкновенные и в частных производных.
В этой статье мы рассмотрим обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры и способы их решения мы также обсудим в следующих разделах. Будем рассматривать только ОДУ, потому что это самые распространённые виды уравнений. Обыкновенные делятся на подвиды: с разделяющимися переменными, однородные и неоднородные. Далее вы узнаете, чем они отличаются друг от друга, и научитесь их решать.
Кроме того, эти уравнения можно объединять, чтобы после у нас получилась система дифференциальных уравнений первого порядка. Такие системы мы тоже рассмотрим и научимся решать.
Почему мы рассматриваем только первый порядок? Потому что нужно начинать с простого, а описать всё, связанное с дифференциальными уравнениями, в одной статье просто невозможно.
Уравнения с разделяющимися переменными
Это, пожалуй, самые простые дифференциальные уравнения первого порядка. К ним относятся примеры, которые можно записать так: y"=f(x)*f(y). Для решения этого уравнения нам понадобится формула представления производной как отношения дифференциалов: y"=dy/dx. С помощью неё получаем такое уравнение: dy/dx=f(x)*f(y). Теперь мы можем обратиться к методу решения стандартных примеров: разделим переменные по частям, т. е. перенесём всё с переменной y в часть, где находится dy, и так же сделаем с переменной x. Получим уравнение вида: dy/f(y)=f(x)dx, которое решается взятием интегралов от обеих частей. Не стоит забывать и о константе, которую нужно ставить после взятия интеграла.
Решение любого "диффура" - это функция зависимости x от y (в нашем случае) или, если присутствует численное условие, то ответ в виде числа. Разберём на конкретном примере весь ход решения:
Переносим переменные в разные стороны:
Теперь берём интегралы. Все их можно найти в специальной таблице интегралов. И получаем:
ln(y) = -2*cos(x) + C
Если требуется, мы можем выразить "игрек" как функцию от "икс". Теперь можно сказать, что наше дифференциальное уравнение решено, если не задано условие. Может быть задано условие, например, y(п/2)=e. Тогда мы просто подставляем значение этих переменных в решение и находим значение постоянной. В нашем примере оно равно 1.
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Теперь переходим к более сложной части. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка можно записать в общем виде так: y"=z(x,y). Следует заметить, что правая функция от двух переменных однородна, и её нельзя разделить на две зависимости: z от x и z от y. Проверить, является ли уравнение однородным или нет, достаточно просто: мы делаем замену x=k*x и y=k*y. Теперь сокращаем все k. Если все эти буквы сократились, значит уравнение однородное и можно смело приступать к его решению. Забегая вперёд, скажем: принцип решения этих примеров тоже очень прост.
Нам нужно сделать замену: y=t(x)*x, где t - некая функция, которая тоже зависит от x. Тогда мы можем выразить производную: y"=t"(x)*x+t. Подставляя всё это в наше исходное уравнение и упрощая его, мы получаем пример с разделяющимися переменными t и x. Решаем его и получаем зависимость t(x). Когда мы ее получили, то просто подставляем в нашу предыдущую замену y=t(x)*x. Тогда получаем зависимость y от x.
Чтобы было понятнее, разберём пример: x*y"=y-x*e y/x .
При проверке с заменой всё сокращается. Значит, уравнение действительно однородное. Теперь делаем другую замену, о которой мы говорили: y=t(x)*x и y"=t"(x)*x+t(x). После упрощения получаем следующее уравнение: t"(x)*x=-e t . Решаем получившийся пример с разделёнными переменными и получаем: e -t =ln(C*x). Нам осталось только заменить t на y/x (ведь если y=t*x, то t=y/x), и мы получаем ответ: e -y/x =ln(x*С).
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Пришло время рассмотреть ещё одну обширную тему. Мы разберём неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. Чем они отличаются от предыдущих двух? Давайте разберёмся. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка в общем виде можно записать таким равенством: y" + g(x)*y=z(x). Стоит уточнить, что z(x) и g(x) могут являться постоянными величинами.
А теперь пример: y" - y*x=x 2 .
Существует два способа решения, и мы по порядку разберём оба. Первый - метод вариации произвольных констант.
Для того чтобы решить уравнение этим способом, необходимо сначала приравнять правую часть к нулю и решить получившееся уравнение, которое после переноса частей примет вид:
ln|y|=x 2 /2 + C;
y=e x2/2 *у С =C 1 *e x2/2 .
Теперь надо заменить константу C 1 на функцию v(x), которую нам предстоит найти.
Проведём замену производной:
y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .
И подставим эти выражения в исходное уравнение:
v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .
Можно видеть, что в левой части сокращаются два слагаемых. Если в каком-то примере этого не произошло, значит вы что-то сделали не так. Продолжим:
v"*e x2/2 = x 2 .
Теперь решаем обычное уравнение, в котором нужно разделить переменные:
dv/dx=x 2 /e x2/2 ;
dv = x 2 *e - x2/2 dx.
Чтобы извлечь интеграл, нам придётся применить здесь интегрирование по частям. Однако это не тема нашей статьи. Если вам интересно, вы можете самостоятельно научиться выполнять такие действия. Это не сложно, и при достаточном навыке и внимательности не отнимает много времени.
Обратимся ко второму способу решения неоднородных уравнений: методу Бернулли. Какой подход быстрее и проще - решать только вам.
Итак, при решении уравнения этим методом нам необходимо сделать замену: y=k*n. Здесь k и n - некоторые зависящие от x функции. Тогда производная будет выглядеть так: y"=k"*n+k*n". Подставляем обе замены в уравнение:
k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .
Группируем:
k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .
Теперь надо приравнять к нулю то, что находится в скобках. Теперь, если объединить два получившихся уравнения, получается система дифференциальных уравнений первого порядка, которую нужно решить:
Первое равенство решаем, как обычное уравнение. Для этого нужно разделить переменные:
Берём интеграл и получаем: ln(n)=x 2 /2. Тогда, если выразить n:
Теперь подставляем получившееся равенство во второе уравнение системы:
k"*e x2/2 =x 2 .
И преобразовывая, получаем то же самое равенство, что и в первом методе:
dk=x 2 /e x2/2 .
Мы также не будем разбирать дальнейшие действия. Стоит сказать, что поначалу решение дифференциальных уравнений первого порядка вызывает существенные трудности. Однако при более глубоком погружении в тему это начинает получаться всё лучше и лучше.
Где используются дифференциальные уравнения?
Очень активно дифференциальные уравнения применяются в физике, так как почти все основные законы записываются в дифференциальной форме, а те формулы, которые мы видим - решение этих уравнений. В химии они используются по той же причине: основные законы выводятся с их помощью. В биологии дифференциальные уравнения используются для моделирования поведения систем, например хищник - жертва. Они также могут использоваться для создания моделей размножения, скажем, колонии микроорганизмов.
Как дифференциальные уравнения помогут в жизни?
Ответ на этот вопрос прост: никак. Если вы не учёный или инженер, то вряд ли они вам пригодятся. Однако для общего развития не помешает знать, что такое дифференциальное уравнение и как оно решается. И тогда вопрос сына или дочки "что такое дифференциальное уравнение?" не поставит вас в тупик. Ну а если вы учёный или инженер, то и сами понимаете важность этой темы в любой науке. Но самое главное, что теперь на вопрос "как решить дифференциальное уравнение первого порядка?" вы всегда сможете дать ответ. Согласитесь, всегда приятно, когда понимаешь то, в чём люди даже боятся разобраться.
Основные проблемы при изучении
Основной проблемой в понимании этой темы является плохой навык интегрирования и дифференцирования функций. Если вы плохо берёте производные и интегралы, то, наверное, стоит ещё поучиться, освоить разные методы интегрирования и дифференцирования, и только потом приступать к изучению того материала, что был описан в статье.
Некоторые люди удивляются, когда узнают, что dx можно переносить, ведь ранее (в школе) утверждалось, что дробь dy/dx неделима. Тут нужно почитать литературу по производной и понять, что она является отношением бесконечно малых величин, которыми можно манипулировать при решении уравнений.
Многие не сразу осознают, что решение дифференциальных уравнений первого порядка - это зачастую функция или неберущийся интеграл, и это заблуждение доставляет им немало хлопот.
Что ещё можно изучить для лучшего понимания?
Лучше всего начать дальнейшее погружение в мир дифференциального исчисления со специализированных учебников, например, по математическому анализу для студентов нематематических специальностей. Затем можно переходить и к более специализированной литературе.
Стоит сказать, что, кроме дифференциальных, есть ещё интегральные уравнения, так что вам всегда будет к чему стремиться и что изучать.
Заключение
Надеемся, что после прочтения этой статьи у вас появилось представление о том, что такое дифференциальные уравнения и как их правильно решать.
В любом случае математика каким-либо образом пригодится нам в жизни. Она развивает логику и внимание, без которых каждый человек как без рук.
В настоящее время по базовому уровню изучения математики на изучение математики в старших классах предусмотрено всего 4 часа (2 часа алгебры, 2 часа геометрии). В сельских малокомплектных школах стараются увеличить количество часов за счет школьного компонента. Но если класс гуманитарный, то школьный компонент добавляется на изучение предметов гуманитарного направления. В маленьком селе зачастую школьнику выбирать не приходится, он учится в том классе; какой имеется в школе. Становиться же юристом, историком или журналистом (бывают такие случаи) не собирается, а хочет стать инженером или экономистом, поэтому ЕГЭ по математике должен сдать на высокие балы. При таких обстоятельствах, учителю математики приходится находить свой выход из создавшейся ситуации, к тому же по учебнику Колмогорова изучение темы «однородные уравнения» не предусмотрено. В прошлые годы для введения данной темы и закрепления мне требовалось два сдвоенных урока. К сожалению, проверка образовательного надзора у нас запретила сдвоенные уроки в школе, поэтому количество упражнений пришлось сократить до 45 минут, и соответственно уровень сложности упражнений понизить до среднего. Предлагаю вашему вниманию план-конспект урока по данной теме в 10 классе с базовым уровнем изучения математики в сельской мало комплектной школе.
Тип урока : традиционный.
Цель : научиться решать типичные однородные уравнения.
Задачи :
Познавательные :
Развивающие :
Воспитательные :
- Воспитание трудолюбия через терпеливое выполнение заданий, чувства товарищества через работу в парах и группах.
Ход урока
I. Организационный этап (3 мин.)
II. Проверка знаний, необходимых для усвоения нового материала (10 мин.)
Выявить основные затруднения с дальнейшим разбором выполненных заданий. Ребята выполняют по выбору 3 варианта. Задания, дифференцированные по степени сложности и по уровню подготовленности ребят, с последующим объяснением у доски.
1 уровень . Решите уравнения:
- 3(х+4)=12,
- 2(х-15)=2х-30
- 5(2-х)=-3х-2(х+5)
- x 2 -10х+21=0 Ответы: 7;3
2 уровень
. Решите простейшие тригонометрические уравнения и биквадратное уравнение: 
ответы: 
б) x 4 -13x 3 +36=0 Ответы: -2; 2; -3; 3
3 уровень. Решение уравнений методом замены переменных:
б) x 6 -9x 3 +8=0 Ответы:
III. Сообщение темы, установка целей и задач.
Тема: Однородные уравнения
Цель : научиться решать типичные однородные уравнения
Задачи :
Познавательные :
- познакомиться с однородными уравнениями, научиться решать наиболее часто встречаемые виды таких уравнений.
Развивающие :
- Развитие аналитического мышления.
- Развитие математических навыков: научиться выделять основные признаки, по которым однородные уравнения отличаются от других уравнений, уметь устанавливать сходство однородных уравнений в их различных проявлениях.
IV. Усвоение новых знаний (15 мин.)
1. Лекционный момент.
Определение 1 (Записываем в тетрадь). Уравнение вида P(x;y)=0 называется однородным, если P(x;y) однородный многочлен.
Многочлен от двух переменных х и у называют однородным, если степень каждого его члена равна одному и тому же числу к.
Определение 2 (Просто ознакомление). Уравнения вида
называют однородным уравнением степени n относительно u(x) и v(x). Поделив обе части уравнения на (v(x))n, можно с помощью замены получить уравнение
Что позволяет упростить исходное уравнение. Случай v(x)=0 необходимо рассмотреть отдельно, так как на 0 делить нельзя.
2. Примеры однородных уравнений:
Поясните: почему они однородные, приведите свои примеры таких уравнений.
3. Задание на определение однородных уравнений:
Среди заданных уравнений определить однородные уравнения и объяснить свой выбор:
После того как объяснили свой выбор на одном из примеров показать способ решения однородного уравнения:
4. Решить самостоятельно:
Ответ: 
б) 2sin x – 3 cos x =0
Разделим обе части уравнения на cos x, получим 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ +
5. Показать решение примера из брошюры «П.В. Чулков. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики. Москва Педагогический университет «Первое сентября» 2006 стр.22». Как один из возможных примеров ЕГЭ уровня С.
V . Решить для закрепления по учебнику Башмакова
стр 183 № 59 (1,5) или по учебнику под редакцией Колмогорова: стр81 №169 (а, в)
ответы: 
VI . Проверочная, самостоятельная работа (7 мин.)
| 1 вариант | 2 вариант |
| Решить уравнения: | |
| а) sin 2 x-5sinxcosx+6cos 2 x=0 | а) 3sin 2 x+2sin x cos x-2cos 2 x=0 |
б) cos 2 -3sin 2 =0 |
б) |
Ответы к заданиям:
1 вариант а) Ответ: arctg2+πn,n € Z; б) Ответ: ±π/2+ 3πn,n € Z; в) 
2 вариант а) Ответ: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; б) Ответ: -arctg3+πn, 0,25π+πk, ; в) (-5;-2); (5;2)
VII . Домашнее задание
№169 по Колмогорову, №59 по Башмакову.
2) 3sin 2 x+2sin x cos x =2 Указание: в правой части использовать основное тригонометрическое тождество 2(sin 2 x + cos 2 x)
Ответ: arctg(-1±√3) +πn ,
Использованная литература:
- П.В. Чулков. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006. стр. 22
- А. Мерзляк, В. Полонский, Е. Рабинович, М. Якир. Тригонометрия. – М.: «АСТ-ПРЕСС», 1998, стр. 389
- Алгебра для 8 класса под редакцией Н.Я. Виленкина. – М.: «Просвещение», 1997.
- Алгебра для 9 класса под редакцией Н.Я. Виленкина. Москва «Просвещение», 2001.
- М.И. Башмаков. Алгебра и начала анализа. Для 10-11 классов – М.: «Просвещение» 1993
- Колмогоров, Абрамов, Дудницын. Алгебра и начала анализа. Для 10-11 классов. – М.: «Просвещение», 1990.
- А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. Часть 1 Учебник 10-11 классы. – М.: «Мнемозина», 2004.
