Когда снежный ком катится с горы, он постоянно увеличивается. Чем больше он становится, тем быстрее катится, чем быстрее катится, тем быстрее растет.

Математики и физики очень любят описывать мир при помощи чисел. А еще больше - при помощи функций. Функция - это правило, по которому одному числу (например, x ) ставится в соответствие другое (например y ). Функции бывают простые, вроде y=10x или y=x 2 , а бывают посложнее вроде y=10*sin(7x2+3x-9) . Если вместо x и y подставить определенные физические параметры и найти функцию, которая их связывает, то получится закон природы.

Еще у функций есть производная. Это - скорость изменения функции. То есть то, насколько изменится y при небольшом изменении x . Например, в случае функции y=10x производная всегда постоянная: y всегда будет расти в 10 раз быстрее, чем x . А в случае функции y=x 2 производная будет меняться. Если мы увеличим x c 0 до 1, то y тоже увеличится с 0 до 1. А если увеличим x с 1 до 2, то y увеличится с 1 до 4. То есть, производная с ростом x увеличилась.

Экспонентой называется функция y=e x , где e - хитрое математическое число, которое примерно равно 2,72. Она обладает замечательным свойством: ее производная равна ей самой. То есть, если расстояние, которое проходит снежный ком, зависит от времени как экспонента, то и его скорость выражается той же самой экспонентой. Это свойство очень помогает математикам решать разные дифференциальные уравнения. Они очень любят с ней работать и стараются разные другие функции путем сдвига, растяжения, или переворачивания графика превратить в экспоненту. Все такие функции можно назвать экспоненциальными. У экспоненциально протекающих процессов есть одно общее свойство: за одинаковый интервал времени их параметры меняются в одинаковое число раз. Банковский вклад каждый год увеличивается на 7%, снежный ком за минуту увеличивается в три раза, а количество урана-235 на атомных электростанциях уменьшается вдвое каждые 700 миллионов лет. Экспоненциальные функции окружают нас повсюду. Экспоненциально развиваются все явления, в которых присутствует обратная связь, когда результат влияет на скорость процесса. В случае со снежным комом обратная связь положительная: чем больше результат, тем быстрее протекает процесс. А масса и скорость снежного кома y экспоненциально возрастают со временем x . Аналогично ведут себя деньги в банке при фиксированной процентной ставке. Чем больше денег, тем больше ежегодный прирост - и тем быстрее денег хватит на домик на Мальдивах. Так же увеличивается численность животных при отсутствии внешних угроз: чем больше популяция, тем больше размножающихся особей, тем быстрее она увеличивается. А еще, когда микрофон подносишь близко к динамику, то самый тихий шорох через секунду превратится в звонкий гул.

Бывает, что обратная связь отрицательная: чем больше результат, тем медленнее идет процесс. Например, когда мы голодны, мы начинаем быстро поглощать еду, но как только чувство голода уменьшается, мы начинаем есть спокойно, потом лениво доедаем десерт. Чай остывает тоже по экспоненте: чем больше разность температур между чаем и воздухом, тем быстрее он остывает. Так что, если вам надо срочно отвлечься на 15 минут, а горячего чаю выпить хочется - налейте в него холодного молока или воды. Тогда разница температур уменьшится, и чай не остынет так быстро, как если бы он был горячим.

Чем быстрее движется струна гитары, тем быстрее она тормозится о воздух, поэтому громкость звука после дерганья за струну экспоненциально уменьшается. Еще один пример - ядерный распад. Каждое ядро может распасться в случайный момент времени, но чем ядер больше, тем больше распадов будет происходить за одну минуту. Чем быстрее ядра распадаются, тем меньше их становится, а значит и интенсивность радиации со временем падает.

Центральная предельная теорема представляет собой группу теорем, посвященных установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения, и нарушение которых ведет к распределению, отличному от нормального. Различные формы центральной предельной теоремы различаются между собой условиями, накладываемыми на распределения образующих сумму случайных слагаемых. Докажем одну из самых простых форм этой теоремы, а именно, центральную предельную теорему для независимых одинаково распределенных слагаемых.

Рассмотрим последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих математическое ожидание. Предположим также, что существует дисперсия. Введем обозначение. Закон больших чисел для этой последовательности можно представить в следующей форме:

где сходимость можно понимать, как в смысле сходимости по вероятности (слабый закон больших чисел), так и в смысле сходимости с вероятностью, равной единице (усиленный закон больших чисел).

Теорема (центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин). Пусть - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, . Тогда имеет место равномерная относительно () сходимость

где - функция стандартного нормального распределения (с параметрами):

При выполнении условия такой сходимости последовательность называется асимптотически нормальной.

Теоремы Ляпунова и Линдеберга

Рассмотрим случай когда случайные величины имеют разные распределения, - независимы с разными распределениями.

Теорема (Линдеберга). Пусть - последовательность независимых случайных величин с конечными дисперсиями. Если для этой последовательности выполняется условие Линдеберга:

где, то для нее выполнена центральная предельная теорема.

Поскольку непосредственно проверка условия Линдеберга затруднительна, то рассматривается некоторое другое условие при котором имеет место центральная предельная теорема, а именно условие теоремы Ляпунова.

Теорема (Ляпунова). Если для последовательности случайных величин выполняется условие Ляпунова:

то последовательность является асимптотически нормальной, т.е. имеет место центральная предельная теорема.

Из выполнения условия Ляпунова следует выполнение условия Линдеберга, а из него следует центральная предельная теорема.

«Наша цель - доказать, что если взять одинаково распределённые независимые случайные величины с конечной дисперсией, то зная только среднее и...»

Наша цель --- доказать, что если взять одинаково распределённые независимые случайные величины с конечной

дисперсией, то зная только среднее и дисперсию можно довольно точно оценивать вероятность принятия средним

из этих величин значений в заданном интервале.

Сначала определим распределение вероятностей на множестве исходов R так, чтобы разрешить себе более, чем

счётное, количество событий.

Рассмотрим распределение вероятностей, у которого исходы --- числа. Что мы тогда можем заметить про вероятности (не выделяя особо элементарные события)?

Перечислим базовые свойства вероятности, которые верны для нашего определения, и которые надо сохранить.

Определение 1. Вероятность любого события неотрицательна. Вероятность достоверного события равна 1. Если событие является объединением не более, чем счётного числа непересекающихся событий, вероятности которых известны, то его вероятность определена и равна сумме их вероятностей.

Мы можем полностью задать это распределение неубывающей функцией F (a) : F (a) = P ({x | x a}).

Теорема 1. При этом будет выполнено P ({x | x a}) = lim F (b).

ba+ Доказательство 1. Действительно, R \ {x | x a} = {x | x a} = {x | x a + 1} }