Теорема – это утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждения. Само рассуждение называется доказательством теоремы.
Теорема обратная данной – это теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – ее условие. Например: Теорема : В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обратная теорема : Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным.
Следствие – это утверждение, которое выводится непосредственно из теоремы. Например: следствием из теоремы о высоте равнобедренного треугольника является: Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
Доказательство методом от противного заключается в следующем:
1) Делается предположение противоположное тому, что надо доказать.
2) Затем, исходя из предположения, путем рассуждений приходят к противоречию либо с условием, либо с известным фактом.
3) На основании полученного противоречия делается вывод о том, что предположение неверно, а значит верно то, что требовалось доказать.
Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны .
Дано :
DАВС – пр/уг
ВС=В 1 С 1
Доказать :
DАВС = DА 1 В 1 С 1
Доказательство :
1. Приложим к DАВС к DА 1 В 1 С 1 , так чтобы вершина А совместилась с вершиной А 1 , вершина В с вершиной В 1 , а вершины С и С 1 оказались по разные стороны от прямой АВ.
2. Так как АВ= А 1 В 1 Þ они совпадут.
3. ÐСА 1 С 1 = 90 0 + 90 0 = 180 0 ÞÐСА 1 С 1 – развернутый и Þточки С, А 1 и С 1 – лежат на одной прямой.
4. Рассмотрим DСВС 1 – р/б (ВС= В 1 С 1 по условию)Þ ÐС = ÐС 1 (по свойству)
5. Таким образом, DАВС = DА 1 В 1 С 1 – по гипотенузе и острому углу. (ч.т.д.)
Билет №9.
Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр к прямой.
Перпендикулярные прямые – это две прямые, которые при пересечении образуют четыре прямых угла.(показать на рисунке)
Перпендикуляр к прямой – это отрезок, опущенный из точки на прямую под прямым углом. Точка пересечения отрезка и прямой называется основанием перпендикуляра (показать на рисунке)
Теоремы :
1)Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой и притом только один.
2)Две прямые перпендикулярные к одной и той же прямой не пересекаются.
Признак равнобедренного треугольника.
Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным.
Дано :
ÐА = ∠С
Доказать :
DАВС – р/б
Доказательство:
1. Мысленно скопируем DАВС и перевернем копию – получим DСВА.
2. Наложим DСВА на DАВС, так чтобы вершина С копии совместилась с вершиной А DАВС.
3. Так как ÐА = ÐС (по условию) Þ ÐА копии и ÐС треугольника при наложении совпадут, так же ÐС копии и ÐА треугольника при наложении совпадут.
4. Отрезок СВ копии наложится на луч АВ треугольника и отрезок АВ копии наложится на луч СВ треугольника.
5. Так как две прямые могут иметь только одну общую точку пересечения ⇒
т. В 1 совпадет с точкой В и ⇒ АВ совместится с СВ ⇒ АВ=СВ
6. Из того, что АВ=СВ ⇒ по определению ΔАВС - равнобедренный(ч.т.д.)
Билет №10.
Равнобедренный треугольник.
Треугольник , у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Равные стороны называются боковыми сторонами , а третья сторона – основанием . (показать на рисунке)
Свойство равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.(показать на рисунке)
Признак равнобедренного треугольника : Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. (показать на рисунке)
Теорема о высоте равнобедренного треугольника : Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. (показать на рисунке)
Следствия из теоремы о высоте равнобедренного треугольника :
1) Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой. (показать на рисунке)
2) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и медианой. (показать на рисунке)
Доказательство «от противного» (по-латински "reductio ad absurdum") характеризуется тем, что сам процесс доказательства какого-либо мнения осуществляется путем опровержения противоположного суждения. Ложность антитезиса можно доказать, установив тот факт, что он несовместим с истинным суждением.
Обычно такой метод наглядно демонстрируется с помощью формулы, где А – антитезис, а В – истина. Если при решении получается, что наличие переменной А приводит к результатам отличным от В, то доказывается ложность А.
Доказательство «от противного» без использования истины
Существует и более легкая доказательства ложности «противного» - антитезиса. Такая формула-правило гласит: «Если при решении с переменной А в формуле возникло противоречие, А – ложно». При этом не имеет значения, является ли антитезис отрицательным или утвердительным суждением. К тому же более простой способ доказательства от противного содержит в себе только два факта: тезис и антитезис, истина В не используется. В это значительно упрощает процесс доказательства.
Апагогия
В процессе доказательства от противного (которое еще называется «приведением к нелепости») часто используется апагогия. Это логический прием, цель которого доказать неверность какого-либо суждения так, чтобы непосредственно в нем или в вытекающих из него следствиях было выявлено противоречие. Противоречие может выражаться в тождестве заведомо различных предметов или в качестве выводов: конъюнкция или пары В и не В (истина и не истина).
Прием доказательства «от противного» часто используется . Во многих случаях доказать неверность суждения другим способом не представляется возможным. Кроме апагогии существует и парадоксальная форма доказательства от противного. Такая форма применялась еще в «Началах» Евклида и представляет собой следующее правило: А считается доказанным, если получается продемонстрировать и «истинность ложности» А.
Таким образом, процесс доказательства от противного (оно же зовется косвенным и апогогическим доказательством) выглядит следующим образом. Выдвигается мнение, противоположное , из этого антитезиса выводятся следствия, среди которых ищется ложное. Находят доказательства того, что среди следствий действительно имеется ложное. Из этого делается вывод, что антитезис неверен, а раз неверен антитезис, следует логичный вывод, что истина содержится именно в тезисе.
Что такое метод доказательства «от противного»?
Суть метода доказательства от противного заключается в два этапах. Первое в доказательстве СУЩЕСТВОВАНИЯ самого доказательства и второе в доказательстве ЕДИНСТВЕННОСТИ доказания. Коряво описал, но хотел сказать следующее. При доказательстве теорем таким методом нужно показать, что существует решение данной задачи или теоремы, а затем доказать, что это решение будет единственное. Это не единственный метод применяемый в доказательстве теорем, но как математический и логический инструмент небезынтересный.
Метод доказательства от противного используется не только в математике, хотя там и получил довольно широкое распространение в качестве инструмента доказательства отдельных задач и теорем.
На самом деле это логический метод доказательства любых утверждений, который может быть применен в любой области знаний. Даже в гуманитарных и социальных науках. Просто, в технических науках мы имеем дело с цифрами, а многих людей убеждает как раз наличие этих значков, а в мире логики мы оперируем умозаключениями, которые никогда не могут считаться абсолютной истиной.
Этот метод доказательства мы изучали в школе в средних классах, когда берется за основу какое-то утверждение, которое никак не доказать, вместо этого берут прямо противоположное ему утверждение, доказывают, что оно неверно-следовательно, то, что нам не доказать, верно, и это единственное верное решение данного вопроса.
В жизни мы говорим о чем-то, доказать не можем, но приводим пример противоположный и доказываем, что он неверен: из тайника украли деньги, знали о нем Вася и Петя, но у Пети алиби-он уехал на дачу на всю неделю, значит, деньги украл Вася.
Методом доказательства от противного называется способ при котором недоказуемая истина, становится истиной, только лишь потому что иное всегда не правильно - а это как раз то и доказуемо. Соответственно, в результате этого метода, пусть и косвенно, но мы доказали недоказуемую истину
Данный закон основывается на законе двойного отрицания если не верно А, то А верно.
К примеру у вас как вы думаете язва. Ваш врач для того что бы опровергнуть это суждение, доказывает вам опровергая то в чем вы уверенны, то есть ваше утверждение и говорит, что у вас нет язвы так как гастроскопия показало что в полости желудка нет повреждений, вы не теряете вес и можете есть все что захотите.
Стандартный прием, например, в математике. Нужно доказать утверждение А. А это трудно. Тогда берут прямо противоположное утверждение В, и доказывают, что оно неверно. Отсюда следует, что А - истинно. То же и в жизни. Простой пример: некто говорит: Мистер Х - вор. Его оппонент: Но как это доказать? Первый: Предположим, что он - честный человек. Второй: Да это же курам насмех!. Первый: Вот мы и доказали, что Х - вор :)))
МЕТОД ОТ ПРОТИВНОГО (далее МОП) - научно-прикладной метод, названный по имени выдающегося украинского просветителя, основателя целого ряда научных школ и направлений Василия Козьмича Противного. В.К.Противный родился 29 февраля 1513 г по старому стилю в селе Нижние Лопухи близ Чернигова. Вася с детства был слабым и хлипким мальчиком и постоянно, начиная с детского сада, подвергался насмешкам сверстников, что в дальнейшем предопределило его скверный характер.
В дальнейшем слова "делать все назло окружающим" фактически стали девизом жизни В.К.Противного. Так, назло всем он покинул родные Холмогоры и поступил в МГУ им. Ломоносова (а не в суворовское училище, как хотел его отец), назло всем никогда ни на ком не женился (хотя его бабушка Василиса Противная нашла ему за всю жизнь как минимум 14 невест), назло всем, сославшись на грибной сезон, не стал получать медаль Филдса - высшую награду в области математики.
Суть метода от Противного можно передать следующими пунктами:
1. Делается неверное предположение.
2. Выясняется, что следует из этого предположения на основании известных знаний.
3. Осуществляется заход в тупик.
4. Делается верный вывод о том, что неверное предположение неверно.
Многие ученые, философы, исследователи и даже деятели искусств стали ярыми приверженцами идей украинского просветителя. Например, так впервые в медицинской практике была использована лоботомия, когда была сделана попытка разрешить извечный философский спор о первичности материи или сознания с помощью медицинского эксперимента. Так ученик В.К.Противного Лобачевский создал неевклидову геометрию, так его почитатель Чайковский написал гимн альтернативной любви - вальс "Голубой Дунай", и так далее.
Метод от Противного часто применяется в настоящее время в самых разных областях человеческой жизни. Например, для воспитания художественного вкуса москвичей им с успехом пользуется московский мэр Лужков, устанавливая в городе скульптуры Церетели. Руководство ГУВД, пользуясь этим методом, решило найти убийц известной журналистки Политковской, так как другие методы в виду особой сложности дела результатов не дают. Вооруженные МОП московские милиционеры знают - последовательно выявив всех непричастных, они автоматически выйдут на след убийц.
Вся жизнь и даже смерть В.К.Противного явилась яркой иллюстрацией его метода. Ученый трагически ушел из жизни 29 февраля 1613 г в возрасте 112 лет, повесившись назло своей бабушке Василисе Противной, не давшей Василию Козьмичу попробовать варенье из холодильника. Несмотря на двоякое отношение к В.К.Противному из-за его скверного характера, большинство ученых и исследователей все-таки считают МОП одним из наиболее мощных орудий современной науки в целом и математики в частности.
____________________________________
Василий Козьмич Противный, выдающийся украинский просветитель (1513 - 1613)
Выражаю благодарность
