В статье рассматривается вопрос о перпендикулярных прямых на плоскости и трехмерном пространстве. Определение перпендикулярных прямых и их обозначения с приведенными примерами подробно разберем. Рассмотрим условия применения необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух прямых и подробно рассмотрим на примере.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Угол между пересекающимися прямыми в пространстве может быть прямым. Тогда говорят, что данные прямые перпендикулярные. Когда угол между скрещивающимися прямыми прямой, тогда прямые также являются перпендикулярными. Отсюда следует, что перпендикулярные прямые на плоскости пересекающиеся, а перпендикулярные прямые пространства могут быть пересекающимися и скрещивающимися.

То есть понятия «прямые a и b перпендикулярны» и «прямые b и a перпендикулярны» считаются равноправными. Отсюда и взялось понятие взаимно перпендикулярные прямые. Обобщив вышесказанное, рассмотрим определение.

Определение 1

Две прямые называют перпендикулярными, если угол при их пересечении дает 90 градусов.

Перпендикулярность обозначается « ⊥ », а запись принимает вид a ⊥ b , что значит, прямая a перпендикулярна прямой b .

Например, перпендикулярными прямыми на плоскости могут быть стороны квадрата с общей вершиной. В трехмерном пространстве прямые O x , O z , O y перпендикулярны попарно: O x и O z , O x и O y , O y и O z .

Перпендикулярность прямых – условия перпендикулярности

Свойства перпендикулярности необходимо знать, так как большинство задач сводится к его проверке для последующего решения. Бывают случаи, когда о перпендикулярности идет речь еще в условии задания или когда необходимо пользоваться доказательством. Для того, чтобы доказать перпендикулярность достаточно, чтобы угол между прямыми был прямым.

Для того, чтобы определить их перпендикулярность при известных уравнениях прямоугольной системы координат, необходимо применить необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых. Рассмотрим формулировку.

Теорема 1

Для того, чтобы прямые a и b были перпендикулярными, необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой обладал перпендикулярностью относительно направляющего вектора заданной прямой b .

Само доказательство основывается на определении направляющего вектора прямой и на определении перпендикулярности прямых.

Доказательство 1

Пусть введена прямоугольная декартова система координат О х у с заданными уравнениями прямой на плоскости, которые определяют прямые a и b . Направляющие векторы прямых a и b обозначим a → и b → . Из уравнения прямых a и b необходимым и достаточным условием является перпендикулярность векторов a → и b → . Это возможно только при скалярном произведении векторов a → = (a x , a y) и b → = (b x , b y) равном нулю, а запись имеет вид a → , b → = a x · b x + a y · b y = 0 . Получим, что необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых a и b , находящихся в прямоугольной системе координат О х у на плоскости, является a → , b → = a x · b x + a y · b y = 0 , где a → = (a x , a y) и b → = b x , b y - это направляющие векторы прямых a и b .

Условие применимо, когда необходимо найти координаты направляющих векторов или при наличии канонических или параметрических уравнений прямых на плоскости заданных прямых a и b .

Пример 1

Заданы три точки A (8 , 6) , B (6 , 3) , C (2 , 10) в прямоугольной системе координат О х у. Определить, прямые А В и А С перпендикулярны или нет.

Решение

Прямые А В и А С имеют направляющие векторы A B → и A C → соответственно. Для начала вычислим A B → = (- 2 , - 3) , A C → = (- 6 , 4) . Получим, что векторы A B → и A C → перпендикулярны из свойства о скалярном произведении векторов, равном нулю.

A B → , A C → = (- 2) · (- 6) + (- 3) · 4 = 0

Очевидно, что необходимое и достаточное условие выполнимо, значит, А В и А С перпендикулярны.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Пример 2

Определить, заданные прямые x - 1 2 = y - 7 3 и x = 1 + λ y = 2 - 2 · λ перпендикулярны или нет.

Решение

a → = (2 , 3) является направляющим вектором заданной прямой x - 1 2 = y - 7 3 ,

b → = (1 , - 2) является направляющим вектором прямой x = 1 + λ y = 2 - 2 · λ .

Перейдем к вычислению скалярного произведения векторов a → и b → . Выражение будет записано:

a → , b → = 2 · 1 + 3 · - 2 = 2 - 6 ≠ 0

Результат произведения не равен нулю, можно сделать вывод, что векторы не перпендикулярны, значит и прямые также не перпендикулярны.

Ответ: прямые не перпендикулярны.

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых a и b применяется для трехмерного пространства, записывается в виде a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 , где a → = (a x , a y , a z) и b → = (b x , b y , b z) являются направляющими векторами прямых a и b .

Пример 3

Проверить перпендикулярность прямых в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, заданные уравнениями x 2 = y - 1 = z + 1 0 и x = λ y = 1 + 2 · λ z = 4 · λ

Решение

Знаменатели из канонических уравнений прямых считаются координатами направляющего вектора прямой. Координаты направляющего вектора из параметрического уравнения – коэффициенты. Отсюда следует, что a → = (2 , - 1 , 0) и b → = (1 , 2 , 4) являются направляющими векторами заданных прямых. Для выявления их перпендикулярности найдем скалярное произведение векторов.

Выражение примет вид a → , b → = 2 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 4 = 0 .

Векторы перпендикулярны, так как произведение равно нулю. Необходимое и достаточное условие выполнено, значит прямые также перпендикулярны.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Проверка перпендикулярности может проводится, исходя из других необходимых и достаточных условий перпендикулярности.

Теорема 2

Прямые a и b на плоскости считаются перпендикулярными при перпендикулярности нормального вектора прямой a с вектором b , это и есть необходимое и достаточное условие.

Доказательство 2

Данное условие применимо, когда уравнения прямых дают быстрое нахождение координат нормальных векторов заданных прямых. То есть при наличии общего уравнения прямой вида A x + B y + C = 0 , уравнения прямой в отрезках вида x a + y b = 1 , уравнения прямой с угловым коэффициентом вида y = k x + b координаты векторов возможно найти.

Пример 4

Выяснить, перпендикулярны ли прямые 3 x - y + 2 = 0 и x 3 2 + y 1 2 = 1 .

Решение

Исходя их уравнений, необходимо найти координаты нормальных векторов прямых. Получим, что n α → = (3 , - 1) - это нормальный вектор для прямой 3 x - y + 2 = 0 .

Упростим уравнение x 3 2 + y 1 2 = 1 до вида 2 3 x + 2 y - 1 = 0 . Теперь четко видны координаты нормального вектора, которые запишем в такой форме n b → = 2 3 , 2 .

Векторы n a → = (3 , - 1) и n b → = 2 3 , 2 будут перпендикулярными, так как их скалярное произведение даст в итоге значение равное 0 . Получим n a → , n b → = 3 · 2 3 + (- 1) · 2 = 0 .

Необходимое и достаточное условие было выполнено.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Когда прямая a на плоскости определена при помощи уравнения с угловым коэффициентом y = k 1 x + b 1 , а прямая b - y = k 2 x + b 2 , отсюда следует, что нормальные векторы будут иметь координаты (k 1 , - 1) и (k 2 , - 1) . Само условие перпендикулярности сводится к k 1 · k 2 + (- 1) · (- 1) = 0 ⇔ k 1 · k 2 = - 1 .

Пример 5

Выяснить, перпендикулярны ли прямые y = - 3 7 x и y = 7 3 x - 1 2 .

Решение

Прямая y = - 3 7 x имеет угловой коэффициент, равный - 3 7 , а прямая y = 7 3 x - 1 2 - 7 3 .

Произведение угловых коэффициентов дает значение - 1 , - 3 7 · 7 3 = - 1 , то есть прямые являются перпендикулярными.

Ответ: заданные прямые перпендикулярны.

Имеется еще одно условие, используемое для определения перпендикулярности прямых на плоскости.

Теорема 3

Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимым и достаточным условием является коллинеарность направляющего вектора одной из прямых с нормальным вектором второй прямой.

Доказательство 3

Условие применимо, когда есть возможность нахождения направляющего вектора одной прямой и координат нормального вектора другой. Иначе говоря, одна прямая задается каноническим или параметрическим уравнением, а другая общим уравнением прямой, уравнением в отрезках или уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Пример 6

Определить, являются ли заданные прямые x - y - 1 = 0 и x 0 = y - 4 2 перпендикулярными.

Решение

Получаем, что нормальный вектор прямой x - y - 1 = 0 имеет координаты n a → = (1 , - 1) , а b → = (0 , 2) - направляющий вектор прямой x 0 = y - 4 2 .

Отсюда видно, что векторы n a → = (1 , - 1) и b → = (0 , 2) не коллинеарны, потому что условие коллинеарности не выполняется. Не существует такого числа t , чтобы выполнялось равенство n a → = t · b → . Отсюда вывод, что прямые не являются перпендикулярными.

Ответ: прямые не перпендикулярны.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

«Геометрическое тело призма» - Прямоугольный параллелепипед. Прямоугольник. Диагональные сечения. Теорема Пифагора. Сумма площадей. Вершины. Основание призмы. Как называется призма изображённая на рисунке. Математический бой. Решение. Призма. Какая призма называется прямой. Полученные знания. Диагональ правильной треугольной призмы.

«Фигура призма» - Определение призмы. Наклонная и прямая призма. Докажем сначала теорему для треугольной призмы. Виды призм. Объем наклонной призмы. Призма. Площадь боковой поверхности призмы. Площадь полной поверхности призмы. Докажем теперь теорему для произвольной призмы. Правильная призма.

«Объём призмы» - Площадь S основания исходной призмы. Решение задачи. Цели урока. Объем исходной призмы равен произведению S · h. Объем прямой призмы. Призму можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h. Понятие призмы. Проведение высоты треугольника ABC. Вопросы. Изучение теоремы об объеме призмы. Основные шаги при доказательстве теоремы прямой призмы?

«Понятие призмы» - Площадь полной поверхности призмы. Прямая призма. Площадь боковой поверхности призмы. Многоугольник. Сечения призмы. Правильная призма. Призмы встречающиеся в жизни. Треугольные призмы. Доказательство. Объем наклонной призмы. Определение призмы. Наклонная и прямая призма. Виды призм. Призма.

«Свойства призмы» - Существую ли наклонные призмы, в которые можно вписать сферу. Свойства призмы. Условие, сформулированное для прямой призмы. Цилиндр. Призма. Сечение цилиндра. Формула трех косинусов. Основание. Треугольная призма. Теорема синусов для трехгранного угла. Ребро треугольной призмы. Вокруг каких из разновидностей призм всегда можно описать сферу.

«Понятие многогранника призмы» - В сечении образуется параллелограмм. Следствие. Свойства призмы. Термин “призма” греческого происхождения и буквально означает “отпиленное” (тело). Площадь поверхности призмы и площадь боковой поверхности призмы. Такое сечение называется диагональным сечением призмы. Дано: Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро - 6 см.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.