Необходимые условия оптимальности. Оптимальности достаточные условия. Смотреть что такое "оптимальности достаточные условия" в других словарях

Характеристические свойства, которыми обладает оптимальная точка (вектор) в задаче программирования математического. Форма О. н. у. определяется формой, в которой задается допустимое множество. Впервые общие О. н. у. для экстремальных задач при наличии ограничений в виде равенств сформулировал Лагранж (см. Лагранжа правило множителей). В 1951 амер. математики Г. Кун и А. Таккер сформулировали необходимые и достаточные условия оптимальности точки х в задаче программирования выпуклого, т. е. в задаче отыскания

где ф-ция вогнута, а все ф-ции - выпуклы. Для того, чтобы вектор х являлся решением задачи (1), когда допустимое мн-во содержит внутр. точки, т. е. , необходимо и достаточно, чтобы нашелся неотрицательный вектор и, который вместе с вектором х является седловой точкой ф-ции Лагранжа для всех Если к тому же ф-ции дифференцируемы, то для оптимальности вектора х необходимо и достаточно, чтобы нашелся неотрицательный вектор и, который вместе с вектором х удовлетворяет следующей системе ур-ний и неравенств

Если ф-ция и мн-во Q не являются выпуклыми, то условия (2) являются лишь необходимыми условиями оптимальности вектора х. Указанные О. н. у. являются непосредственным обобщением классического правила множителей Лагранжа на задачи отыскания экстремума функции при ограничениях в виде неравенств.

Осн. матем. аппаратом, используемым при построении О. н. у. для задач матем. программирования в конечномерном пространстве, являются теоремы отделимости выпуклых множеств и теория линейных неравенств. Исследование необходимых условий экстремума для задач матем. программирования в бесконечномерных простр. приобрело особое значение в связи с задачами оптим. управления. Впервые необходимые условия экстремума функционала на мн-ве банахова простр. сформулировал сов. математик Л. В. Канторович в 1940. В середине 50-х годов сов. математик Л. С. Понтрягин сформулировал в форме

принципа максимума необходимые условия экстремума для задач оптим. управления (см. Ионтрягина принцип максимума). В начале 60-х годов сов. ученые А. Я. Дубовицкий и А. А. Милютин построили общую теорию необходимых условий и развили технику построения таких условий для широкого класса задач матем. программирования. В частности, им удалось осуществить вложение оптимального управления теории в общую теорию

Сущность общей теории О. н. у. заключается в следующем. Пусть требуется отыскать

где - мн-во в банаховом простр. некоторое многообразие этого простр. Пусть для каждого существует выпуклый конус К. такой, что для каждого

для достаточно малых t и для которых Далее будем считать, что существует касательное к L подпростр. , т. е. для всякого найдется такой вектор что для достаточно, малых t, причем при Кроме того, пусть существует выпуклый конус Ко, для любого элемента которого выполняется условие (4) для Тогда выполняется следующее утверждение (теорема Дубовицкого - Милютина): для того, чтобы точка х являлась решением задачи (3), необходимо, чтобы

где В - простр., сопряженное банаховому простр. пустое мн-во. Чтобы конусы не пересекались, необходимо и достаточно существование функционалов , среди которых по крайней мере один отличен от 0 и таких, что теорема Дубовицкого-Милютина). На основе этой теоремы удается единообразно получать различные результаты, начиная от классических теорем двойственности в программировании линейном и кончая принципом максимума Понтрягина.

Помимо самостоятельного значения, О. н. у. играют важную роль при создании вычислительных алгоритмов для эффективного отыскания оптим. точки х. На основе теории О. н. у. удалось с новой точки зрения осмыслить некоторые классические результаты теории чебышевских приближений, проблемы моментов И др. Р. А. Поляк, М. Е. Примак.

Условия, обеспечивающие оптимальность данного решения задачи вариационного исчисления в выбранном классе кривых сравнения.
О. д. у. слабого минимума (см. ): для того чтобы кривая доставляла слабый минимум функционалу

(1) при граничных условиях. y. (x 0) = y 0 ,y(x 1) = y 1 , достаточно, чтобы выполнялись следующие условия.

1) Кривая должна быть экстремалью, т. е. удовлетворять Эйлера уравнению

2) Вдоль кривой , включая ее концы, должно выполняться усиленное Лежандра условие

Fy"y" ( х, у, y" ) > 0.

3) Кривая должна удовлетворять усиленному Якоби условию, требующему, чтобы решение уравнения Якоби

(2) с начальными условиями

h(x 0)=0, h"(x 0) = 1

не обращалось в нуль в точках замкнутого справа интервала

Коэффициенты уравнения Якоби (2), представляющего собой линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка, вычисляются вдоль экстремали и представляют известные функции от х.

Для сильного минимума достаточно, чтобы дополнительно, помимо перечисленных выше, выполнялось следующее условие.

4) Существует окрестность кривой , в каждой точке (x, у).к-рой при любом у" выполняется неравенство

Функция Вейерштрасса, а и( х, у ) - наклон поля. экстремалей, окружающего

На самой экстремали условие (3) принимает вид

Условие (4) является необходимым для сильного минимума; оно наз. необходимым условием Вейерштрасса. Таким образом, в отличие от достаточных условий слабого минимума, к-рые требуют выполнения нек-рых усиленных необходимых условий в точках самой экстремали, в достаточных условиях сильного минимума требуется выполнение необходимого условия Вейерштрасса в нек-рой окрестности экстремали. В общем случае нельзя ослабить формулировку достаточных условий сильного минимума, заменив требование выполнения условия Вейерштрасса в окрестности экстремали на усиленное условие Вейерштрасса (условие (4) со знаком строгого неравенства) в точках экстремали (см. ).

Для неклассических вариационных задач, рассматриваемых в оптимального управления математической теории, существует несколько подходов к установлению О. д. у. абсолютного экстремума.

Пусть поставлена задача оптимального управления, в к-рой требуется определить минимум функционала

при условиях

где U - заданное замкнутое множество р-мерного пространства.

При использовании метода динамического программирования О. д. у. формулируются следующим образом. Для того чтобы управление u(t).было оптимальным управлением в задаче (5)-(8), достаточно, чтобы:

1) существовала такая непрерывная функция S(x), к-рая имеет непрерывные частные производные при всех х, за исключением, быть может, нек-рого кусочно гладкого множества размерности меньше п, равна нулю в конечной точке х 1 , S (x 1 )=0, и удовлетворяет уравнению Беллмана

2) u(t)=v (x(t)), при , где v(х) - синтезирующая функция, определяемая из уравнения Беллмана:

В действительности при использовании метода динамич. программирования получается более сильный результат: О. д. у. для множества различных управлений, переводящих фазовую точку из произвольного начального состояния в заданное конечное состояние x 1 .

В более общем случае, когда рассматривается неавтономная система, т. е. подинтегральная функция и вектор-функция правых частей зависят еще и от времени t, функция Sдолжна зависеть от tи к левой части уравнения (9) следует добавить слагаемое . Имеется доказательство (см. ), в к-ром удалось снять весьма стеснительное и не выполняющееся в большинство задач, но обычно предполагаемое условие непрерывной дифференцируемости функции S(х).для всех х.

О. д. у. могут быть построены на основе принципа максимума Понтрягина. Если в нек-рой области Gфазового пространства осуществлен регулярный синтез, то все траектории, полученные с помощью принципа максимума при построении регулярного синтеза, являются оптимальными в области G.

Определение регулярного синтеза хотя и является довольно громоздким, но по существу не накладывает особых ограничений на задачу (5)-(8).

Существует другой подход к установлению О. д. у. (см. ). Пусть j(x) - функция, непрерывная вместе со своими частными производными при всех допустимых х, принадлежащих заданной области G, и

Для того чтобы пара , доставляла абсолютный минимум в задаче (5) - (8), достаточно существование такой функции j(x), что

Допускаются соответствующие изменения приведенной формулировки О. д. у. для более общих случаев неавтономной системы, задач с функционалами типа Майера и Больца (см. Больца задача ), а также для скользящих оптимальных режимов (см. ).

Исследовались вариационные задачи с функционалами в виде кратных интегралов и дифференциальными связями в форме уравнений с частными производными, в к-рых рассматриваются функции нескольких переменных (см. ).

Лит. : Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А., Курс вариационного исчисления, 2 изд., М.- Л., 1950; Блисс Г. А. Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950; Беллман Р., Динамическое программирование, пер. с англ., М., 1960; Болтянский В. Г., Математические методы оптимального управления, М., 1966; Кротов В. Ф., "Автоматика и телемеханика", 1962, т. 23, № 12, с. 1571-83; 1963, т. 24, № 5, с. 581-98; Бутковский А. Г., Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами, М., 1965. И. Б. Вапнярский.

• - условия правильности утверждения А, без выполнения к-рых утверждение Азаведомо не может быть верным, и, соответственно, при выполнении.к-рых утверждение Азаведомо верно...

  Математическая энциклопедия

• - формальные описания различных представлений об оптимальном. Обычно О. п. отражают те или иные черты интуитивного понимания устойчивости, выгодности и справедливости...

  Математическая энциклопедия

• - условия, устанавливающие зависимость истинностик...

  Словарь логики

• - См.: необходимые и достаточные условия...

  Экономический словарь

• - применения принципов поглощения наказаний и сложения наказаний регламентированы в ч. 2 и 3 ст. 69 УК РФ. Однако в законе не урегулирован вопрос назначения наказания по совокупности преступлений, в которую входят...

  Словарь-справочник уголовного права

• - в математике, см. Необходимые и достаточные условия...

• Естествознание. Энциклопедический словарь

• - наиболее существенный признак оценок, определяющих условия достижения цели какой-либо деятельности...

  Строительный словарь

• - English: Work conditions Совокупность значений параметров электрооборудования, характеризующих его работу в чанный момент и при заданных условиях эксплуатации Источник: Термины и определения в электроэнергетике...

  Строительный словарь

• - критерий, согласно которому функционирование системы признается наилучшим из всех возможных вариантов...

  Словарь бизнес терминов

• - признак, по которому функционирование системы признается наилучшим из возможных вариантов...

  Большой бухгалтерский словарь

• - см. Необходимые и достаточные условия...
• - признак, на основании которого производится сравнительная оценка возможных решений и выбор наилучшего. Содержание К. о. объективно обусловлено многими факторами: характером общественного строя,...

  Большая Советская энциклопедия

• - Необходимыми условиями правильности утверждения А называются такие условия, без соблюдения которых утверждение А заведомо не может быть верным, а достаточными условиями правильности утверждения А...

  Большая Советская энциклопедия

• - количественный или порядковый показатель, выражающий предельную меру экономического эффекта принимаемого решения для сравнительной оценки возможных решений и выбора наилучшего...

  Большой энциклопедический словарь

• - в математике...

  Большой энциклопедический словарь

"ОПТИМАЛЬНОСТИ ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ" в книгах

83. Классификация экономикоматематических методов по признакам оптимальности