Эта теорема сформулирована и доказана в учебнике Атанасяна Л.С. , в учебнике Погорелова А.В. такой теоремы нет. Видимо, связанно это с тем, что неравенство треугольника у Атанасяна Л.С. доказывается с использованием выше указанной теоремы. У Погорелова А.В. же неравенство треугольника доказывается с использованием понятия проекции наклонной.
Приведем доказательство теоремы о соотношении между сторонами и углами треугольника дословно.
Теорема: В треугольнике:
1) против большей стороны лежит больший угол;
2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.
Доказательство. 1) Пусть в треугольнике АВС сторона АВ больше стороны АС. Докажем, что угол С >угла В. Отложим на стороне АВ отрезок АD, равный стороне АС (рис.1). Так как АD<АВ, то тока D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, угол С >угла 1. Угол 2 - внешний угол треугольника ВDС, поэтому угол 2>угла В. Углы 1 и 2 равны, как углы при основании равнобедренного треугольника АDС. Таким образом, угол С >угла 1, угол 1 = углу 2, угол 2>угла В. Отсюда следует, что угол С >угла В.
2) Пусть в треугольнике АВС угол С >угла В. Докажем, что АВ>АС. Предположим, что это не так. Тогда либо АВ=АС, либо АВ<АС. В первом случае треугольник АВС - равнобедренный и, значит, Угол С= углу В. Во втором случае угол В> угла С (против большей стороны лежит больший угол). И то и другое противоречит условию: угол С >угла В. Поэтому наше предположение неверно, и, следовательно, АВ>АС. Теорема доказана.
Из приведенного доказательства видно, что его идея заключается в проведении дополнительного построения, разбивающего рассматриваемый треугольник на два треугольника, один из которых равнобедренный. Реконструируем идею такого дополнительного построения, доказав эту теорему с использованием понятия о мысленном эксперименте.
Доказательство теоремы с использованием мысленного эксперимента.
Итак, предмет мысли нашего мысленного эксперимента - углы и стороны треугольника. Поместим его мысленно в такие условия (рис.2), в которых его сущность может раскрыться с особой определенностью(1этап).
Такими условиями являются:
Равенство всех углов и сторон треугольника (условия равностороннего треугольника);
Способность сторон треугольника «сжиматься» и «растягиваться» сохраняя при этом прямизну линии;
Вершины треугольника могут «скользить» по линиям, содержащим стороны треугольника;
Такие сконструированные условия позволяют нам раскрыть сущность соотношения сторон и углов треугольника с особой определенностью (1 этап) - зависимость величины противолежащего угла от величины противолежащей стороны и обратно.
В самом деле, проводя последующие мысленные трансформации (2 этап) путем «растяжения» одной из сторон треугольника (рис.3) мы сможем наблюдать соответственно и увеличение противолежащего угла.
Производя обозначение углов и вершин треугольников (рис.4), получаемых при «растяжении» сторон равностороннего треугольника, мы тем самым мысленно формируем ту среду, ту систему связей, в которую помещаем наш предмет мысли (3 этап).
Увеличивая сторону АС путем «растяжения» до стороны АС1, мы тем самым будем наблюдать увеличение угла 1 и соответственное уменьшение угла 2. Но мы также будем наблюдать увеличение и стороны ВС до стороны ВС1. Если сторона ВС увеличилась больше, чем сторона АС (ВС1>АС1), то теорема не верна. Покажем что это не так.
Может быть два случая: ВС1=АС1 и ВС1 ВС1>АС1АС1. В первом случаи треугольник АВС1 был бы равнобедренным, а угол 1 был бы равен углу 3. Но это не так: угол 3 не изменялся и равен 60°, а угол 1 увеличился и стал > 60° - значит стороны ВС1 и АС1 не равны (рис.5). Во втором случае сторону АС1 можно увеличить до стороны ВС1 путем «растяжения» до стороны А1С1 (т.е. А1С1=ВС1) (рис.5). Полученный треугольник А1ВС1 - равнобедренный, а следовательно углы при основании должны быть равны. Но угол 3 уменьшился (т.е. стал < 60°), а угол 1 снова увеличился - значит стороны А1С1 и ВС1 не равны.
Если увеличивать не сторону а угол, мы снова будем решать вопрос о том, какая из двух сторон (АС или ВС) увеличилась больше.
Исходя из проведенного мысленного эксперимента, мы можем заключить истинность утверждения о том, что против большей стороны лежит больший угол и обратно.
Цели урока:
Образовательные:
- Совершенствовать навыки решения задач по теме “Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника”.
- Обобщить и систематизировать теоретический материал:
– виды треугольников;
– сумма углов треугольника;
– соотношения между сторонами и углами треугольника;
– признак равнобедренного треугольника.
Развивающие:
- Развивать навыки устного счета.
- Развивать логическое мышление обучающихся.
- Формировать умения четко и ясно излагать свои мысли.
- Развивать математическую речь учащихся в процессе выполнения устной работы по воспроизведению теоретического материала.
Воспитательные:
- Воспитывать умение работать с имеющейся информацией.
- Воспитывать уважение к предмету, умение видеть математические задачи в окружающем нас мире.
- Воспитывать умение слушать своего товарища, чувство взаимопомощи и взаимоподдержки.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний с применением компьютерных технологий.
Оборудование и наглядность: Компьютер, проектор, презентация к уроку, цветные мелки.
Оформление доски: на закрытой части доски выполнен чертеж к № 246.
Структура урока.
Вид деятельности. | № слайдов. | мин. |
1. Организационный момент. | 1 | |
2. Сообщение темы и целей урока. | 2 | |
3. Актуализация опорных знаний. | 6 | |
4. Практическая работа. | 2–4 | 8 |
5. Физкультминутка. | 2 | |
6. Закрепление изученного материала: № 241, 239, 246 – в тетради. Письменно. | 23 | |
7. Подведение итогов урока. Выставление оценок. | 2 | |
8. Задание на дом: повторить п.30 – п. 32 учебника, № 337, 338. | 1 |
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Сообщение темы и целей урока.
Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение учащимся целей и плана урока.
Целью сегодняшнего урока является обобщение и систематизация теоретического материала, совершенствование навыков решения задач по теме “Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника”.
Сегодня главной фигурой на нашем уроке будет – Треугольник.
III. Актуализация опорных знаний.
Фронтальная работа.
- Что такое треугольник?
- Какие бывают треугольники?
- Какой треугольник называется остроугольным?
- Какой треугольник называется прямоугольным? Как называются его стороны?
- Какой треугольник называется тупоугольным?
- Сформулируйте теорему о сумме углов треугольника.
- Какой угол называется внешним углом треугольника? Чему равен внешний угол треугольника?
- Какой треугольник называется равнобедренным? Перечислите его свойства.
- Сформулируйте признак равнобедренного треугольника.
- Сформулируйте теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника.
- Какие следствия вытекают из теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника?
IV. Практическая работа. Устная работа на готовых чертежах. <Презентация> .
В треугольнике АВС найдем меньший угол.
Меньшая сторона АС, значит меньший угол В.
В треугольнике NRQ найдем меньшую сторону.
1) Меньший угол Q, т.к. 180 0 – (74 0 + 64 0) = 42 0
2) Меньшая сторона NR.
V. Физкультминутка.
VI. Закрепление учебного материала
Решение задачи № 241.
Учащиеся записывают в тетрадях число, тему урока. Учитель вызывает к доске учащегося для решения задачи № 241.
Решение: ∆АВС – равнобедренный, значит <В = <С. MN||BC, откуда Получили, что Учитель вызывает к доске учащегося для решения задачи № 239. Решение: 1. Рассмотрим ∆BMH – прямоугольный, т.к. BH – высота. По следствию 1
BM>BH. 2. BM=BH в случае если ∆АВС является равнобедренным (АВ = ВС) или
равносторонним. Учитель вызывает к доске учащегося для решения задачи № 246 (чертеж начерчен
на доске). Решение: Так как ВО – биссектриса, то OE||AB, следовательно, OD||AC, следовательно, P∆EDO = OE + ED + DO, но OE = BE, OD = DC, тогда P∆EDO = BE + ED + DC = BC. VII. Подведение итогов урока. Выставление оценок. VIII. Задание на дом: повторить п.30 – п. 32 учебника, № 337, 338. Литература.