В этой статье я расскажу как решать задачи, в которых используются .
Сначала, как обычно, вспомним определения и теоремы, которые нужно знать, чтобы успешно решать задачи на .
1. Вписанный угол - это угол, вершина которого лежит на окружности, а его стороны пересекают окружность:
2. Центральный угол - это угол, вершина которого совпадает с центром окружности:
Градусная величина дуги окружности измеряется величиной центрального угла, который на нее опирается.
В данном случае градусная величина дуги АС равна величине угла АОС.
3. Если вписанный и центральный угол опираются на одну дугу, то величина вписанного угла в два раза меньше центрального :
4. Все вписанные углы, которые опираются на одну дугу, равны между собой:
5. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°:
Решим несколько задач.
1 . Задание B7 (№ 27887)
Найдем величину центрального угла, который опирается на ту же дугу:
Очевидно, что величина угла АОС равна 90°, следовательно, угол АВС равен 45°
Ответ: 45°
2 .Задание B7 (№ 27888)
Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.
Очевидно, что угол АОС равен 270°, тогда угол АВС равен 135°.
Ответ: 135°
3 . Задание B7 (№ 27890)
Найдите градусную величину дуги AC окружности, на которую опирается угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Найдем величину центрального угла, который опирается на дугу АС:
Величина угла АОС равна 45°, следовательно, градусная мера дуги АС равна 45°.
Ответ: 45°.
4 . Задание B7 (№ 27885)
Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно и . Ответ дайте в градусах.
Угол ADB опирается на дугу АВ, следовательно, величина центрального угла АОВ равна 118°, следовательно, угол BDA равен 59°, и смежный ему угол ADC равен 180°-59°=121°
Аналогично, угол DOE равен 38° и соответствующий вписанный угол DAE равен 19°.
Рассмотрим треугольник ADC:
Сумма углов треугольника равна 180°.
Величина угла АСВ равна 180°- (121°+19°)=40°
Ответ: 40°
5 . Задание B7 (№ 27872)
Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно , , и . Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Угол В опирается на дугу АDC, величина которой равна сумме величин дуг AD и CD, то есть 71°+145°=216°
Вписанный угол В равен половине величины дуги ADC, то есть 108°
Ответ: 108°
6 . Задание B7 (№ 27873)
Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4:2:3:6 . Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.
(см. чертеж предыдущей задачи)
Так как у нас дано отношение величин дуг, введем единичный элемент х. Тогда величины каждой дуги будут выражаться таким соотношением:
АВ=4х, ВС=2х, СD=3х, AD=6x. Все дуги образуют окружность, то есть их сумма равна 360°.
4х+2х+3х+6х=360°, отсюда х=24°.
Угол А опирается на дуги ВС и CD, которые в сумме имеют величину 5х=120°.
Следовательно, угол А равен 60°
Ответ: 60°
7 . Задание B7 (№ 27874)
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен , угол CAD
Вписанный угол, теория задачи. Друзья! В этой статье речь пойдёт о заданиях, для решения которых необходимо знать свойства вписанного угла. Это целая группа задач, они включены в ЕГЭ. Большинство из них решаются очень просто, в одно действие.
Есть задачи посложнее, но и они большой трудности для вас не представят, необходимо знать свойства вписанного угла. Постепенно мы разберём все прототипы задач, приглашаю вас на блог!
Теперь необходимая теория. Вспомним, что такое центральный и вписанный угол, хорда, дуга, на которые опираются эти углы:
Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре .
Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности.
Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.
Угол, называется вписанным в окружность, если вершина угла лежит на окружности, а стороны угла пересекают эту окружность.
Отрезок соединяющий две точки окружности называется хордой . Самая большая хорда проходит через центр окружности и называется диаметр.
Для решения задач на вписанные в окружность углы, вам необходимо знать следующие свойства:
1. Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу.
2. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
3. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по одну сторону от этой хорды, равны.
4. Любая пара углов, опирающихся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180°.
Следствие: противолежащие углы четырёхугольника вписанного в окружность в сумме составляют 180 градусов.
5. Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые.
Вообще, это свойство является следствием из свойства (1), это его частный случай. Посмотрите – центральный угол равен 180 градусам (и этот развёрнутый угол есть не что иное, как диаметр), значит по первому свойству вписанный угол С равен его половине, то есть 90 градусам.
Знание данного свойства помогает в решении многих задач и часто позволяет избежать лишних расчётов. Хорошо усвоив его — вы более половины задач такого типа сможете решать устно. Два следствие, которые можно сделать:
Следствие 1: если в окружность вписан треугольник и одна его сторона совпадает с диаметром этой окружности, то треугольник является прямоугольным (вершина прямого угла лежит на окружности).
Следствие 2: центр описанной около прямоугольного треугольника окружности совпадает с серединой его гипотенузы.
Многие прототипы стереометрических задач также решаются благодаря использованию этого свойства и данных следствий. Запомните сам факт: если диаметр окружности является стороной вписанного треугольника, то этот треугольник прямоугольный (угол лежащий против диаметра равен 90 градусов). Все остальные выводы и следствия вы сможете сделать сами, учить их не надо.
Как правило, половина задач на вписанный угол даётся с эскизом, но без обозначений. Для понимания процесса рассуждения при решении задач (ниже в статье) введены обозначения вершин (углов). На ЕГЭ вы можете этого не делать. Рассмотрим задачи:
Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.
Построим центральный угол для заданного вписанного угла, обозначим вершины:
По свойству вписанного в окружность угла:
Угол АОВ равен 60 0 , так как треугольник АОВ равносторонний, а в равностороннем треугольнике все углы равны по 60 0 . Стороны треугольника равны, так как в условии сказано, что хорда равна радиусу.
Таким образом, вписанный угол АСВ равен 30 0 .
Ответ: 30
Найдите хорду, на которую опирается угол 30 0 , вписанный в окружность радиуса 3.
Это по сути обратная задача (предыдущей). Построим центральный угол.
Он в два раза больше вписанного, то есть угол АОВ равен 60 0 . От сюда можно сделать вывод, что треугольник АОВ равносторонний. Таким образом, хорда равна радиусу, то есть трём.
Ответ: 3
Радиус окружности равен 1. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную корню из двух. Ответ дайте в градусах.
Построим центральный угол:
Зная радиус и хорду мы можем найти центральный угол АСВ. Это можно сделать по теореме косинусов. Зная центральный угол мы без труда найдём вписанный угол АСВ.
Теорема косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Следовательно, второй центральный угол равен 360 0 – 90 0 = 270 0 .
Угол АСВ по свойству вписанного угла равен его половине, то есть 135 градусам.
Ответ: 135
Найдите хорду, на которую опирается угол 120 градусов, вписанный в окружность радиуса корень из трёх.
Соединим точки А и В с центром окружности. Обозначим её как О:
Нам известен радиус и вписанный угол АСВ. Мы можем найти центральный угол АОВ (больший 180 градусов), затем найти угол АОВ в треугольнике АОВ. А далее по теореме косинусов вычислить АВ.
По свойству вписанного угла центральный угол АОВ (который больше 180 градусов) будет равен вдвое больше вписанного, то есть 240 градусам. Значит, угол АОВ в треугольнике АОВ равен 360 0 – 240 0 = 120 0 .
По теореме косинусов:
Ответ:3
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 20% окружности. Ответ дайте в градусах.
По свойству вписанного угла он вдвое меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу, в данном случае речь идёт о дуге АВ.
Сказано, дуга АВ составляет 20 процентов от окружности. Это означает, что центральный угол АОВ составляет так же 20 процентов от 360 0 . *Окружность это угол в 360 градусов. Значит,
Таким образом, вписанный угол АСВ равен 36 градусам.
Ответ: 36
Дуга окружности AC , не содержащая точки B , составляет 200 градусов. А дуга окружности BC, не содержащая точки A , составляет 80 градусов. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Обозначим для наглядности дуги, угловые меры которых даны. Дуга соответствующая 200 градусам – синий цвет, дуга соответствующая 80 градусам – красный цвет, оставшаяся часть окружности – жёлтый цвет.
Таким образом, градусная мера дуги АВ (жёлтый цвет), а значит и центральный угол АОВ составляет: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .
Вписанный угол АСВ вдвое меньше центрального угла АОВ,то есть равен 40 градусам.
Ответ: 40
Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.
Необходимо знать свойство вписанного угла; понимать, когда и как необходимо использовать теорему косинусов, подробнее о ней .
На этом всё! Успехов Вам!
С уважением, Александр Крутицких
Учительница математики в школе в третьем классе:
— Дети, а скажите мне, сколько будет 6*6?
Дети дружно хором отвечают:
— Семьдесят шесть!
— Ну, что вы, такое говорите детки! Шесть на шесть будет тридцать шесть… ну может быть еще 37, 38, 39… ну максимум 40… но никак не семьдесят шесть!
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
В задаче возможны 2 варианта: когда вершина угла лежит на меньшей дугеи когда вершина угла лежит на большей дуге. В первом случае треугольник ОАВ будет равносторонним (все стороны равны по а), поэтому центральный угол равен 60°, а поскольку вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу, то он равен 30°. Во втором случае центральный угол будет равен 360 - 60 = 300°, поэтому вписанный угол будет равен 300 / 2 = 150°.Похожие задачи:
1. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса AD. Найти углы этого треугольника, если угол ADB равен 110 град.
2. В равнобедренном треугольнике DEK с основанием DK отрезок EF - биссектриса, DK = 16см, угол DEF равен 43 град. Найти углы DEK, EFD, KF.
3. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С, внешний угол при вершине A равен 120 град., AC+AB=18см. Найти AC и AB.
1. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла разделила катет на отрезки 15 и 12. Найдите площадь треугольника.
2. Точка M лежит внутри равностороннего треугольника на расстоянии 3√3 от двух его сторон и на расстоянии 4√3 от третьей стороны. Найдите длину сторон треугольника.
3. Стороны треугольника относятся как 13:14:15, а высота, проведенная к большей стороне равна 33,6. Найдите большую сторону.
4. В треугольнике ABC сторона AC равна 21, высота BH равна 12, синус угла A равен 0,6. Найдите длину отрезка CH.
5. Площадь остроугольного треугольника равна 10√3 , а две его стороны равны 5 и 8. Найдите третью сторону.
