Рас-смот-рим гра-фик функ-ции (Рис. 1).
Рис. 1. Гра-фик функ-ции
Функ-ция опи-сы-ва-ет некий ре-аль-ный про-цесс, на-при-мер поход на про-гул-ку, - это рас-сто-я-ние от дома, - фик-си-ро-ван-ный мо-мент вре-ме-ни. В этот мо-мент вре-ме-ни рас-сто-я-ние от дома было (Рис. 2).
Рис. 2. Зна-че-ние
По про-ше-ствии вре-ме-ни - при-ра-ще-ние ар-гу-мен-та. По-лу-чил-ся мо-мент вре-ме-ни . В этот мо-мент вре-ме-ни рас-сто-я-ние от дома рав-ня-лось (Рис. 3):
Рис. 3. При-ра-ще-ние ар-гу-мен-та , зна-че-ние
Имеем зна-ме-ни-тый тре-уголь-ник (Рис. 4). Здесь - при-ра-ще-ние ар-гу-мен-та, - при-ра-ще-ние функ-ции, а тан-генс это от-но-ше-ние , то есть за время прой-де-но рас-сто-я-ние . - это сред-няя ско-рость, но если , то и чис-ли-тель и зна-ме-на-тель стре-мят-ся к нулю. И если эта дробь стре-мит-ся к неко-то-ро-му числу, то это число и на-зы-ва-ет-ся про-из-вод-ной дан-ной функ-ции в дан-ной точке. Она обо-зна-ча-ет-ся так:
Это опре-де-ле-ние про-из-вод-ной (Рис. 4). Те-перь нужно по-нять, каков смысл про-из-вод-ной.
- это мгно-вен-ная ско-рость в дан-ной точке.
Если в этой точке про-ве-сти ка-са-тель-ную, ко-то-рая имеет угол на-кло-на , то про-из-вод-ная в этой точке есть тан-генс угла на-кло-на ка-са-тель-ной. .
Рис. 4. Опре-де-ле-ние про-из-вод-ной
Итак, нам надо ис-сле-до-вать функ-цию, рас-смот-рим ин-стру-мен-ты, име-ю-щи-е-ся у нас.
Из со-от-но-ше-ния имеем:
-
это фи-зи-че-ский и гео-мет-ри-че-ский смысл про-из-вод-ной.
Определение «Монотонные функции»
Мо-но-тон-но воз-рас-та-ю-щая функ-ция - это функ-ция, у ко-то-рой боль-ше-му зна-че-нию ар-гу-мен-та со-от-вет-ству-ет боль-шее зна-че-ние функ-ции.
Мо-но-тон-но убы-ва-ю-щая функ-ция - это функ-ция, у ко-то-рой боль-ше-му зна-че-нию ар-гу-мен-та со-от-вет-ству-ет мень-шее зна-че-ние функ-ции.
Связь производной и промежутков монотонности функции
Если , то знак при-ра-ще-ния и знак про-из-вод-ной в точке сов-па-да-ет со зна-ком . То есть если про-из-вод-ная в этой точке боль-ше нуля, то и по-нят-но, что функ-ция в окрест-но-сти этой точки будет воз-рас-тать. А если про-из-вод-ная мень-ше нуля, зна-чит, и по-нят-но, что в окрест-но-сти этой точки функ-ция будет убы-вать.
Далее, про-из-вод-ная в точке есть тан-генс угла на-кло-на ка-са-тель-ной (Рис. 5). Ка-са-тель-ная опи-сы-ва-ет-ся ли-ней-ной функ-ци-ей. В окрест-но-сти точки кри-вая и ли-ней-ная функ-ция почти сов-па-да-ют. Если угол на-кло-на ост-рый, тан-генс будет по-ло-жи-тель-ным, уг-ло-вой ко-эф-фи-ци-ент - ве-ли-чи-на по-ло-жи-тель-ная, и ли-ней-ная функ-ция воз-рас-та-ет, а зна-чит, в окрест-но-сти этой точки и сама функ-ция воз-рас-та-ет:
И на-о-бо-рот, если ли-ней-ная функ-ция убы-ва-ет, угол тупой, тан-генс - ве-ли-чи-на от-ри-ца-тель-ная, зна-чит, ли-ней-ная функ-ция убы-ва-ет, а с ней убы-ва-ет функ-ция .
Рис. 5. Угол на-кло-на ка-са-тель-ной в точке
Так со-бы-тия раз-ви-ва-ют-ся в окрест-но-стях точки . Эти со-бы-тия под-чи-ня-ют-ся гео-мет-ри-че-ско-му смыс-лу про-из-вод-ной (ее фи-зи-че-ско-му смыс-лу, со-от-но-ше-нию ).
Исследование промежутков монотонности функции с помощью производной
Рас-смот-рим функ-цию и ее по-ве-де-ние на всей ОДЗ (Рис. 6). Пред-по-ло-жим, что это гра-фик ис-сле-ду-е-мой функ-ции.
Рис. 6. Гра-фик функ-ции
Есть точка . Ка-са-тель-ная на-кло-не-на под ост-рым углом (Рис. 7). Зна-чит, в точке функ-ция воз-рас-та-ет.
Рис. 7. Угол на-кло-на ка-са-тель-ной в точке
В точке ка-са-тель-ная па-рал-лель-на оси , зна-чит точка - точка экс-тре-му-ма. Об этом мы по-го-во-рим от-дель-но.
Рис. 8. - точка экс-тре-му-ма
В точке угол на-кло-на ка-са-тель-ной будет тупым, тан-генс будет ве-ли-чи-ной от-ри-ца-тель-ной, зна-чит, про-из-вод-ная от-ри-ца-тель-ная и функ-ция здесь убы-ва-ет (Рис. 9).
Рис. 9. Угол на-кло-на ка-са-тель-ной в точке
И, на-ко-нец, в точке про-из-вод-ная равно нулю и даль-ше функ-ция воз-рас-та-ет (Рис. 10).
Рис. 10. Угол на-кло-на ка-са-тель-ной в точке - точке экс-тре-му-ма
Вы-яс-ня-ет-ся, что функ-ция воз-рас-та-ет на ин-тер-ва-лах, где про-из-вод-ная боль-ше нуля:
Если же зна-че-ние про-из-вод-ной от-ри-ца-тель-ное, то функ-ция убы-ва-ет:
Вся ОДЗ со-сто-ит из от-дель-ных точек, зна-чит, надо вы-де-лить те ин-тер-ва-лы, на ко-то-рых про-из-вод-ная мень-ше нуля, на ко-то-рых про-из-вод-ная боль-ше нуля, и они опре-де-лят те участ-ки ОДЗ, на ко-то-рых функ-ция либо воз-рас-та-ет, либо убы-ва-ет. Этот же вывод мы по-лу-чим, рас-смат-ри-вая со-от-но-ше-ние . На тех об-ла-стях, на ко-то-рых про-из-вод-ная мень-ше нуля, функ-ция убы-ва-ет. Со-от-вет-ствен-но, на тех об-ла-стях ОДЗ, где про-из-вод-ная боль-ше нуля, функ-ция воз-рас-та-ет.
Те-перь мы го-то-вы на-пи-сать, где убы-ва-ет, а где воз-рас-та-ет (Рис. 11) дан-ная нам функ-ция:
Рис. 11. Про-ме-жут-ки воз-рас-та-ния функ-ции
Те-перь вы-яс-ним, где дан-ная функ-ция убы-ва-ет (Рис. 12):
Рис. 12. Про-ме-жут-ки убы-ва-ния функ-ции
Тон-кий мо-мент: вклю-чать ли зна-че-ния в точ-ках ?
Не вклю-ча-ем, по-то-му что в них про-из-вод-ная равна нулю, а мы рас-смат-ри-ва-ем тот слу-чай, когда про-из-вод-ная мень-ше нуля. Но функ-ция убы-ва-ет, когда при-над-ле-жит от-рез-ку .
При этом эти точки вклю-че-ны также в ин-тер-ва-лы, когда функ-ция воз-рас-та-ет.
При-хо-дим к важ-но-му вы-во-ду: ин-тер-ва-лы зна-ко-по-сто-ян-ства яв-ля-ют-ся ин-тер-ва-ла-ми мо-но-тон-но-сти .
Цель урока: на-учить-ся на-хо-дить про-ме-жут-ки воз-рас-та-ния и убы-ва-ния функ-ции с по-мо-щью про-из-вод-ной. Вы-яс-ня-ет-ся, что надо найти про-из-вод-ную, вы-де-лить ее ин-тер-ва-лы зна-ко-по-сто-ян-ства и тем самым мы узна-ем, где эта функ-ция мо-но-тон-но убы-ва-ет и где она мо-но-тон-но воз-рас-та-ет.
Вспом-ним, что такое точка мак-си-му-ма и точка ми-ни-му-ма функ-ции.
Рис. 13. Точки экс-тре-му-мов функ-ции
Рас-смот-рим ри-су-нок (Рис 13). Точка - точка мак-си-му-ма функ-ции (max), если су-ще-ству-ет окрест-ность точки , для ко-то-рой , то есть если зна-че-ние функ-ции в этой точке боль-ше, чем зна-че-ние функ-ции в любой точке ее окрест-но-сти.
Ана-ло-гич-ное опре-де-ле-ние для точки ми-ни-му-ма. Точка - точка ми-ни-му-ма функ-ции (min), если су-ще-ству-ет окрест-ность точки , для ко-то-рой , то есть если зна-че-ние функ-ции в этой точке мень-ше, чем зна-че-ние функ-ции в любой точке ее окрест-но-сти.
При по-ис-ке наи-боль-ше-го и наи-мень-ше-го зна-че-ния функ-ции на всей ОДЗ, то есть ее гло-баль-ных экс-тре-му-мов, сле-ду-ет по-ни-мать, что они могут не сов-па-дать с ее ло-каль-ны-ми экс-тре-му-ма-ми, точ-ка-ми, где про-из-вод-ная ме-ня-ет знак.
Пример локального и глобального экстремума
Рас-смот-рим функ-цию (Рис. 14).
Здесь точка - точка ло-каль-но-го мак-си-му-ма. Функ-ция здесь равна нулю.
Точка - точка гло-баль-но-го мак-си-му-ма, в них функ-ция рав-ня-ет-ся 24.
Рис. 14. Гра-фик функ-ции
На дан-ном уроке, когда го-во-рит-ся об экс-тре-му-мах, под-ра-зу-ме-ва-ют-ся ло-каль-ные экс-тре-му-мы.
Как узнать, где точка мак-си-му-ма, а где точка ми-ни-му-ма, под-ска-жет про-из-вод-ная. Вер-нем-ся к точке . На ри-сун-ке на-гляд-но по-ка-за-но, что до этой точки функ-ция воз-рас-та-ет, про-из-вод-ная , а после этой точки функ-ция убы-ва-ет, про-из-вод-ная . А зна-че-ние про-из-вод-ной в точке : . Мы по-лу-чи-ли до-ста-точ-ный при-знак мак-си-му-ма: про-из-вод-ная равна нулю и при этом знак про-из-вод-ной ме-ня-ет-ся с плюса на минус при пе-ре-хо-де ар-гу-мен-та через точку .
Рас-смот-рим точку . Про-из-вод-ная в этой точке . Но яв-ля-ет-ся ли дан-ная точка точ-кой экс-тре-му-ма? Про-из-вод-ная слева от этой точки от-ри-ца-тель-на, ка-са-тель-ная на-кло-не-на под тупым углом. Про-из-вод-ная спра-ва по-ло-жи-тель-ная, зна-чит, про-из-вод-ная ме-ня-ет знак с ми-ну-са на плюс при пе-ре-хо-де через точку , зна-чит, точка - точка ми-ни-му-ма.
Итак, мы рас-смот-ре-ли точку ми-ни-му-ма и точку мак-си-му-ма и до-ста-точ-ный при-знак точки ми-ни-му-ма и точки мак-си-му-ма.
Как узнать, яв-ля-ет-ся ли точка точ-кой ми-ни-му-ма или точ-кой мак-си-му-ма? Нужно взять про-из-вод-ную и при-рав-нять ее к нулю. Тогда мы най-дем точки , и т. д. Это внут-рен-ние точки об-ла-сти опре-де-ле-ния, в ко-то-рых про-из-вод-ная равна нулю.
Кри-ти-че-ская точка функ-ции - это внут-рен-няя точка об-ла-сти опре-де-ле-ния, в ко-то-рой про-из-вод-ная равна нулю или не су-ще-ству-ет. То есть точки и - кри-ти-че-ские точки.
Но так про-ис-хо-дит не все-гда.
Точка перегиба
Рас-смот-рим сле-ду-ю-щую функ-цию (Рис. 15):
Рис. 15. Ил-лю-стра-ция точки пе-ре-ги-ба
Про-из-вод-ная в точке равна нулю: , ка-са-тель-ная па-рал-лель-на оси . Яв-ля-ет-ся ли она точ-кой экс-тре-му-ма? Нет. По-че-му? По-то-му что до точки про-из-вод-ная по-ло-жи-тель-на, функ-ция воз-рас-та-ет (Рис. 16):
Рис. 16. Воз-рас-та-ние функ-ции до точки пе-ре-ги-ба
После этой точки про-из-вод-ная также по-ло-жи-тель-на (Рис. 17):
Рис. 17. Воз-рас-та-ние функ-ции после точки пе-ре-ги-ба
Функ-ция воз-рас-та-ет и слева, и спра-ва от точки, зна-чит, не яв-ля-ет-ся точ-кой экс-тре-му-ма.
Лемма Ферма
Если функ-ция имеет про-из-вод-ную и в точке имеет экс-тре-мум, то зна-че-ние про-из-вод-ной в этой точке равно 0.
Это необ-хо-ди-мый мощ-ный при-знак, из него мы вы-яс-ня-ем, какие точки нам нужны для ис-сле-до-ва-ния. Все осталь-ные от-ме-та-ем.
Еще раз под-черк-нем, что нам ил-лю-стри-ру-ет дан-ный ри-су-нок: ра-вен-ство нулю - это лишь необ-хо-ди-мый при-знак экс-тре-му-ма, но не до-ста-точ-ный.
Точка перегиба, локальный характер точек экстремума
Рас-смот-рим в ка-че-стве при-ме-ра функ-цию, гра-фик ко-то-рой изоб-ра-жен на ри-сун-ке (Рис. 18).
Рис. 18. Гра-фик функ-ции с несколь-ки-ми ло-каль-ны-ми экс-тре-му-ма-ми
- точ-ка-ми-ни-му-ма, - точ-ка-мак-си-му-ма, - та-к-же-точ-ка-ми-ни-му-ма.
Монотонность функции. Экстремумы
Теорема 5.5.(необходимое условие монотонности функции)
Если функция f (x а ; b ), то f ¢(x )³ 0 "х Î(а ; b ). Если функция f (x ) дифференцируема и не возрастает на (а ; b ), то f ¢(x ) £ 0 "х Î(а ; b )
Доказательство : Пусть f (x ) дифференцируема и не убывает на (а ; b ), т.е. "х 1 , х 2 Î(а ; b ): х 1 < х 2 выполняется f (x 1) £ f (x 2). Возьмем любую точку х 0 Î(а ; b ). В силу дифференцируемости функции f (x ) существует
Если Dх > 0, то х 0 +Dх > х 0 и f (x 0 + Dх ) ³ f (x 0), откуда Dу ³ 0, значит, ³ 0.
Если Dх
< 0, то х
0 +Dх
< х
0 и f
(x
0 + Dх
) £ f
(x
0), откуда Dу
£0, но тогда ³ 0. Таким образом, 
(согласно одной из теорем о предельном переходе в неравенстве).
Аналогично доказывается второе утверждение теоремы. Проведите это доказательство самостоятельно.
Теорема 5.6.(достаточное условие монотонности)
Если f ¢(x ) > 0 на (а , b ), то f (x ) строго возрастает на этом интервале. Если f ¢(x ) < 0 на (а , b ) то f (x ) строго убывает на этом интервале.
Доказательство : 1) Пусть f ¢(x ) > 0 на (а , b ). Возьмем "х 1 , х 2 Î(а ; b ): х 1 < х 2 . По теореме Лагранжа имеем
),
где х 0 Î(х 1 , х 2). Т.к. f ¢(x 0) > 0, а х 1 < х 2 , т.е. х 2 – х 1 > 0, то f (x 2) – f (x 1) > 0, откуда f (x 2) > f (x 1) – функция возрастает. ЧТД
2) Случай убывания функции доказать самостоятельно.
Теоремы 5.5 и 5.6. нельзя объединить в одно необходимое и достаточное условие. Действительно, условие f ¢(x ) > 0 на (а , b ) не является необходимым условием возрастания функции f (x ), т.к., например, для строго возрастающей функции f (x ) = х 3 выполняется условие f ¢(x ) = 3х 2 ³ 0.
С геометрической точки зрения теорема 5.6 утверждает, что если касательные к графику функции во всех точках интервала образуют острый угол с осью ОХ, то функции возрастающая. Убыванию функции соответствует тупой угол наклона касательной к оси ОХ (рис. 3).
Определение 5.1.
Точка х 0 ÎD(f ) называется точкой минимума функции f (x f (x ) ³ f (x 0). Значение f (x 0) называется минимумом функции.
Точка х 0 ÎD(f ) называется точкой максимума функции f (x ), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство f (x ) £ f (x 0). Значение f (x 0) называетсямаксимумом функции.
Точки минимума и максимума называются точками экстремума функции. Значения функции в этих точках называются экстремумами функции.
Если при х
¹ х
0 из окрестности точки х
0 выполняется строгое неравенство f
(x
) > f
(x
0) или f
(x
) < f
(x
0), то в этом случае говорят о строгом
экстремуме в точке х
0 , в противном случае – о нестрогом.
На рисунке в точках А и D строгий максимум, в точках В и С нестрогий минимум.
Может так случиться, что некоторый максимум функции f (x ) окажется меньше ее минимума. Это не противоречит определению, т.к. в нем говорится об окрестности точки экстремума, т.е. о близлежащих к точке экстремума точках области определения функции. Поэтому для точек максимума и минимума используется термин «локальный» экстремум, т.е. связанный с определенным местом.
Теорема 5.7. (необходимое условие экстремума )
Если в точке х 0 функция имеет экстремум, то первая производная функции в этой точке либо равна нулю, либо не существует.
Доказательство : Пусть, для определенности, х 0 – точка максимума. Тогда для всех х из некоторой окрестности точки х 0 выполняется неравенство
Dу = f (x ) – f (x 0) < 0
Рассмотрим односторонние производные функции в точке х
0 . В силу условия Dу
< 0 
может быть либо конечным, отрицательным числом, либо равен -¥, либо равен 0. Аналогично, 
либо конечное положительное число, либо +¥, либо 0. Т.е.
, 
Отсюда следует, что f ¢(x 0) либо не существует (т.к. f ¢(x 0 +0) ¹ f ¢(x 0 – 0) или бесконечные), либо f ¢(x 0) = 0.
Геометрически теорема 5.7 утверждает, что в точке экстремума касательная к графику функции либо параллельна оси ОХ, либо параллельна ОУ, либо ее вообще нельзя провести (рис. 4).
 |
Таким образом, из теоремы следует, что точки экстремума следует искать среди точек, в которых производная функции либо равна нулю, либо не существует.
Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками (первого рода). Точка экстремума обязательно является критической точкой, но не всякая критическая точка может быть точкой экстремума. Например, для функции у = х 3 точка х = 0 – критическая, т.к.
у ¢ (0) = 0,
но точкой экстремума она не является (вспомните график этой функции).
Теорема 5.8 . (достаточное условие экстремума)
Пусть х
0 – критическая точка непрерывной и дифференцируемой в окрестности точки х 0 функции f
(x
) . Если при х
Доказательство :
Пусть при х
Аналогично доказывается второе утверждение, касающееся точки минимума.
Найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции y= f (x ) можно, придерживаясь следующего алгоритма:
1) Найти область определения функции.
2) Найти производную f¢ (x ) заданной функции.
3) Найти критические точки первого рода (точки возможного экстремума) из условия f¢ (x ) = 0 или f¢ (x ) не существует, х ÎD (f ).
4) Разбить область определения D (f ) функции критическими точками на интервалы (внутри этих интервалов производная функции сохраняет знак).
5) Определить знак производной на каждом из полученных интервалов. На тех интервалах, где f¢ (x ) > 0, функция возрастает, а там, где f¢ (x )< 0 – функция убывает.
6) Если при переходе через критическую точку слева направо:
· f¢ (x ) меняет знак с « + » на «–» , то эта точка есть точка максимума функции;
· f¢ (x ) меняет знак с « – » на « + » , то эта точка есть точка минимума функции;
· f¢ (x ) не меняет знак, то в этой точке экстремума функции нет.
I. Цели и задачи занятия
1. Выработать навыки исследования функций на монотонность и экстремумы с помощью первой производной.
2. Показать обучающимся важность данной темы в курсе изучаемой дисциплины.
3. Воспитывать у обучающихся настойчивость в достижении поставленной цели.
II. План проведения и расчет учебного времени
III. Учебно-материальное обеспечение
Классная доска, раздаточный материал, планшет, видеопроектор, экран.
IV. Методические материалы
К проведению практического занятия
Во вводной части занятия (5 мин.) после объявления темы и целей практического занятия целесообразно изложить последовательность обсуждения учебных вопросов.
Первый учебный вопрос (10 мин).
Монотонность и экстремумы.
При изложении первого учебного вопроса следует напомнить обучающимся понятие монотонной функции, необходимое и достаточное условия существования экстремума в точке.
Функция называется возрастающей в некотором интервале, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. если => (если => – неубывающая).
Функция называется убывающей в некотором интервале, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. если => (если => – невозрастающая).
Возрастающие и убывающие функции называются монотонными (строго монотонными). Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности.
Признаки монотонности: Если дифференцируемая на интервале функция возрастает (убывает), то () для .
Геометрическое утверждение означает, что касательные к графику возрастающей функции образуют острые углы с (т.к. => – острый).
Точками экстремума функции являются точки максимума и минимума.
Необходимое условие экстремума: Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю: .
Достаточные условия возрастания и убывания функции: Если функция дифференцируема на интервале и () для , то эта функция возрастает (убывает) на интервале .
Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками (т.е. подозрительными на экстремум, в них возможен экстремум, но может и не быть).
Первое достаточное условие существование экстремума: Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки и при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с «+» на «–», то – точка максимума, с «–» на «+», то – точка минимума (если знак не меняется – экстремума нет).
Схема исследования функции на монотонность и экстремумы:
1. Найти производную функции .
2. Найти все критические точки из области определения функции, для этого:
а) – найти корни, которые являются внутренними точками области определения;
б) найти значения аргумента, при которых производная не существует.
3. Установить знаки производной функции при переходе через критические точки и выписать точки экстремума.
4. Вычислить значения функции в точках экстремума.
Второе достаточное условие существование экстремума: Если в точке первая производная функции равна нулю (), а вторая производная в точке существует и отлична от нуля (), то при в точке функция имеет максимум и минимум – при .
