Доверительные интервалы.

Вычисление доверительного интервала базируется на средней ошибке соответствующего параметра. Доверительный интервал показывает, в каких пределах с вероятностью (1-a) находится истинное значение оцениваемого параметра. Здесь a – уровень значимости, (1-a) называют также доверительной вероятностью.

В первой главе мы показали, что, например, для среднего арифметического, истинное среднее по сово­купности примерно в 95% случаев лежит в пределах 2 средних ошибок среднего. Таким образом, границы 95% доверительного интервала для среднего будет отстоять от выборочного среднего на удвоенную среднюю ошибку среднего, т.е. мы умножаем среднюю ошибку среднего на некий коэффициент, зависящий от доверительной вероятности. Для среднего и разности средних берётся коэффициент Стьюдента (критическое значение критерия Стьюдента), для доли и разности долей критическое значение критерия z. Произведение коэффициента на среднюю ошибку можно назвать предельной ошибкой данного параметра, т.е. максимальную, которую мы можем получить при его оценке.

Доверительный интервал для среднего арифметического : .

Здесь - выборочное среднее;

Средняя ошибка среднего арифметического;

s – выборочное среднее квадратическое отклонение;

n

f = n -1 (коэффициент Стьюдента).

Доверительный интервал для разности средних арифметических :

Здесь - разность выборочных средних;

- средняя ошибка разности средних арифметических;

s 1 ,s 2 – выборочные средние квадратические отклонения;

n 1 ,n 2

Критическое значение критерия Стьюдента при заданных уровне значимости a и числе степеней свободы f=n 1 +n 2 -2 (коэффициент Стьюдента).

Доверительный интервал для доли :

.

Здесь d – выборочная доля;

– средняя ошибка доли;

n – объём выборки (численность группы);

Доверительный интервал для разности долей :

Здесь - разность выборочных долей;

– средняя ошибка разности средних арифметических;

n 1 ,n 2 – объёмы выборок (численности групп);

Критическое значение критерия z при заданном уровне значимости a ( , , ).

Вычисляя доверительные интервалы для разности показателей, мы, во-первых, непосредственно видим возможные значения эффекта, а не только его точечную оценку. Во-вторых, можем сделать вывод о принятии или опровержении нулевой гипотезы и, в-третьих, можем сделать вывод о мощности критерия.

При проверке гипотез с помощью доверительных интервалов надо придерживаться следующего правила:

Если 100(1-a)-процентный доверительный интервал разности средних не содержит нуля, то различия статистически значимы на уровне значимости a; напротив, если этот интервал содержит ноль, то различия статистически не значимы.

Действительно, если этот интервал содержит ноль, то, значит, сравниваемый показатель может оказаться как больше, так и меньше в одной из групп, по сравнению с другой, т.е. наблюдаемые различия случайны.

По месту, где находится ноль внутри доверительного интервала, можно судить о мощности критерия. Если ноль близок к нижней или верхней границе интервала, то возможно при большей численности сравниваемых групп, различия достигли бы статистической значимости. Если ноль близок к середине интервала, то, значит, равновероятно и увеличение и уменьшение показателя в экспериментальной группе, и, вероятно, различий действительно нет.

Примеры:

Сравнить операционную летальность при применении двух разных видов анестезии: с применением первого вида анестезии оперировалось 61 человек, умерло 8, с применением второго – 67 человек, умерло 10.

d 1 = 8/61 = 0,131; d 2 = 10/67 = 0,149; d1-d2 = - 0,018.

Разность летальностей сравниваемых методов будет находиться в интервале (-0,018 - 0,122; -0,018 + 0,122) или (-0,14 ; 0,104) с вероятностью 100(1-a) = 95%. Интервал содержит ноль, т.е. гипотезу об одинаковой летальности при двух разных видах анестезии отвергнуть нельзя.

Таким образом, летальность может и уменьшится до 14% и увеличиться до 10,4% с вероятностью 95%, т.е. ноль находится примерно по середине интервала, поэтому можно утверждать, что, скорее всего, действительно не отличаются по летальности эти два метода.

В рассмотренном ранее примере сравнивалось среднее время нажатия при теппинг-тесте в четырёх группах студентов, отличающихся по экзаменационной оценке. Вычислим доверительные интервалы среднего времени нажатия для студентов, сдавших экзамен на 2 и на 5 и доверительный интервал для разности этих средних.

Коэффициенты Стьюдента находим по таблицам распределения Стьюдента (см. приложение): для первой группы: = t(0,05;48) = 2,011; для второй группы: = t(0,05;61) = 2,000. Таким образом, доверительные интервалы для первой группы: = (162,19-2,011*2,18 ; 162,19+2,011*2,18) = (157,8 ; 166,6) , для второй группы (156,55-2,000*1,88 ; 156,55+2,000*1,88) = (152,8 ; 160,3). Итак, для сдавших экзамен на 2, среднее время нажатия лежит в пределах от 157,8 мс до 166,6 мс с вероятностью 95%, для сдавших экзамен на 5 – от 152,8 мс до 160,3 мс с вероятностью 95%.

Проверять нулевую гипотезу можно и по доверительным интервалам для средних, а не только для разности средних. Например, как в нашем случае, если доверительные интервалы для средних перекрываются, то нулевую гипотезу отвергнуть нельзя. Для того чтобы отвергнуть гипотезу на выбранном уровне значимости, соответствующие доверительные интервалы не должны перекрываться.

Найдём доверительный интервал для разности среднего времени нажатия в группах сдавших экзамен на 2 и на 5. Разность средних: 162,19 – 156,55 = 5,64. Коэффициент Стьюдента: = t(0,05;49+62-2) = t(0,05;109) = 1,982. Групповые средние квадратические отклонения будут равны: ; . Вычисляем среднюю ошибку разности средних: . Доверительный интервал: =(5,64-1,982*2,87 ; 5,64+1,982*2,87) = (-0,044 ; 11,33).

Итак, разница среднего времени нажатия в группах, сдавших экзамен на 2 и на 5, будет находиться в интервале от -0,044 мс до 11,33 мс. В этот интервал входит ноль, т.е. среднее время нажатия у отлично сдавших экзамен, может и увеличиться и уменьшится по сравнению с неудовлетворительно сдавшими, т.е. нулевую гипотезу отвергнуть нельзя. Но ноль находится очень близко к нижней границе, время нажатия гораздо вероятнее всё-таки уменьшается у отлично сдавших. Таким образом, можно сделать вывод, что различия в среднем времени нажатия между сдавшими на 2 и на 5 всё-таки есть, просто мы не смогли их обнаружить при данном изменении среднего времени, разбросе среднего времени и объёмах выборок.

Мощность критерия – это вероятность отвергнуть неверную нулевую гипотезу, т.е. найти различия там, где они действительно есть.

Мощность критерия определяется исходя из уровня значимости, величины различий между группами, разброса значений в группах и объёма выборок.

Для критерия Стьюдента и дисперсионного анализа можно воспользоваться диаграммами чувствительности.

Мощность критерия можно использовать при предварительном определении необходимой численности групп.

Доверительный интервал показывает, в каких пределах с заданной вероятностью находится истинное значение оцениваемого параметра.

С помощью доверительных интервалов можно проверять статистические гипотезы и делать выводы о чувствительности критериев.

ЛИТЕРАТУРА.

Гланц С. – Глава 6,7.

Реброва О.Ю. – с.112-114, с.171-173, с.234-238.

Сидоренко Е. В. – с.32-33.

Вопросы для самопроверки студентов.

1. Что такое мощность критерия?

2. В каких случаях необходимо оценить мощность критериев?

3. Способы расчёта мощности.

6. Как проверить статистическую гипотезу с помощью доверительного интервала?

7. Что можно сказать о мощности критерия при расчёте доверительного интервала?

Задачи.

Условие (1) означает, что в большой серии независимых экспери­ментов, в каждом из которых получена выборка объема п, в среднем (1 - а) 100% из общего числа построенных доверительных интервалов содержат истинное значение параметра 0.

Длина доверительного интервала, характеризующая точность интер­вального оценивания, зависит от объема выборки n и доверительной ве­роятности 1 - α: при увеличении объема выборки длина доверительного интервала уменьшается, а с приближением доверительной вероятности к единице - увеличивается. Выбор доверительной вероятности опреде­ляется конкретными условиями. Обычно используются значения 1 - α, равные 0,90; 0,95; 0,99.

При решении некоторых задач применяются односторонние довери­тельные интервалы, границы которых определяются из условий

Ρ [θ < θ 2 ] = 1 - α или Ρ [θ 1 < θ] = 1 - α.

Эти интервалы называются соответственно левосторонними и право­сторонними доверительными интервалами.

Чтобы найти доверительный интервал для параметра θ, необходимо знать закон распределения статистики θ ’ = θ ’ (x 1 , ..., х п ), значение ко­торой является оценкой параметра θ. При этом для получения довери­тельного интервала наименьшей длины при данном объеме выборки n и заданной доверительной вероятности 1 - α в качестве оценки θ пара­метра θ следует брать эффективную либо асимптотически эффективную оценку.

2.1.5. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ ПИРСОНА.

Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Пусть по выборке объема n получено эмпирическое распределение:

С помощью критерия Пирсона можно проверить гипотезу о различных законах распределения генеральной совокупности (равномерном, нормальном, показательном и др.) Для этого в предположении о конкретном виде распределения вычисляются теоретические частоты n i ’ , и в качестве критерия выбирается случайная величина.

имеющая закон распределения χ2 с числом степеней свободы k = s – 1 – r, где s – число частичных интервалов выборки, r – число параметров предполагаемого распределения. Критическая область выбирается правосторонней, и граница ее при заданном уровне значимости α находится по таблице критических точек распределения χ2.

Теоретические частоты n i ’ вычисляются для заданного закона распределения

как количества элементов выборки, которые должны были попасть в каждый интервал, если бы случайная величина имела выбранный закон распределения, параметры которого совпадают с их точечными оценками по выборке, а именно:

а) для проверки гипотезы о нормальном законе распределения n i ’ = n · Р i , где

n – объем выборки, , x i и x i +1 левая и правая

границы i-го интервала, - выборочное среднее, s – исправленное среднее квадратическое отклонение. Поскольку нормальное распределение характеризуется двумя параметрами, число степеней свободы k = n – 3.

2.1.6. КВАНТИЛЬ

Квантиль - значение, которое заданная случайная величина не превышает с фиксированной вероятностью.

Квантилью уровня P, называется решение уравнения , где P и F заданы.

Квантиль P – значение случайной величины, при котором функция распределения равна P.

В Данной работе будут использованы квантили распределения Стьюдента и хи-квадрат Пирсона.

2.2 РАСЧЁТЫ

Данная выборка

объем выборки

2.3. ВЫВОДЫ

В ходе работы над первой частью курсовой работы был написан подробный

теоретический обзор. Также были решены данные задачи. Получен опыт нахождения статистического ряда, построения гистограммы и полигона частот. После проверки гипотезы было выяснено, что теоретическое меньше, чем практическое. Это означает, что нормальный закон распределения для данной совокупности не подходит.

3 ЧАСТЬ II. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

3.1. ТЕОРИТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНЬЯ

Часто у инженера возникает задача выделения сигнала из смеси «сигнал + шум».

Например, на промежутке от t 1 до t 2 функция f(t) имеет вид, но в силу патологического влияния шумов и помех эта кривая превратилась в смесь f(t) + f(n).

Реально мы владеем какой-то информацией и о сигнале и о шуме, но этого недостаточно.

Алгоритм восстановления сигнала из смеси «сигнал + шум»:

1. Задается функция f(t)

2. Генерируется шум с помощью датчика случайных чисел f(n)

3. Построим сумму f(t) + f(n)

4. Принимая модель f(t) в виде полинома третьей степени – кубической параболы. Находим методом МНК коэффициенты этой кубической параболы. Они будут являться функциями y(t)

3.1.1 МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ (МНК)

Метод наименьших квадратов (МНК) – это метод оценки неизвестных случайных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки. В нашем случае дана смесь – сигнал+шум. Наша задача состоит в извлечении истинного тренда.

При помощи метода наименьших квадратов вычисляются коэффициенты аппроксимирующего многочлена. Эта задача решается следующим образом.

Пусть на некотором отрезке в точках … нам известны значения … некоторой функции f(x).

Требуется определить параметры многочлена вида

Где k

такого, что сумма квадратов отклонений значений y от значений функции f(y) в заданных точках x была минимальной, то есть .

Геометрический смысл заключается в том, что график найденного многочлена y = f(x) будет проходить как можно ближе к каждой из заданных точек.

…………………………………………………………………………….

Запишем систему уравнений в матричном виде:

Решением является следующее выражение:

Несмещенная оценка для дисперсии ошибок наблюдений равна:

Чем величина S меньше, тем точнее описывается Y.

N – Объем выборки

k-Число параметров тренда –

Считается по формуле:

Доверительный интервал для коэффициентов тренда считается так:

– квантиль распределения Стьюдента

J-ый диагональный элемент матрицы

3.2 РАСЧЕТЫ

шаг

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполнения данной курсовой работы был получен опыт нахождения

точечной оценки и доверительного интервала для таких величин, как математическое

ожидание и дисперсия, закреплены навыки построения гистограммы и полигона частот

для некоторой выборки значений.

Так же был освоен метод наименьших квадратов (МНК), как один из способов

в регрессионном анализе для извлечения истинного тренда из смеси сигнал + шум.

Полученные в ходе работы навыки можно использовать не только в учебной

деятельности, но и в повседневной жизни.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Симонов А.А. Выск Н.Д. Проверка статистических гипотез:

Методические указания и варианты курсовых заданий. Москва, 2005, 46 с.

2. Ю. И. Галанов. Математическая статистика: учебное пособие.

Издательство ТПУ. Москва, 2010, 66 с.

3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для студ. вузов, 2005. – 576 с.

4. Э. А. Вуколов, А. В. Ефимов, В.Н. Земсков, А. С. Поспелов. Сборник задач по математике для ВТУЗОВ: Учебник для студентов вузов.

Москва, 2003, 433 с.

5. Чернова Н. И. Математическая статистика: Учеб. пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2007. 148 с.

1. Введение

2. Основная часть

2.1.1Понятие о доверительных интервалах

2.1.2 Доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины при известной дисперсии

2.1.3 Доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины при неизвестной дисперсии

2.1.4 Доверительный интервал для дисперсии нормальной случайной величины

2.2 Генеральная совокупность

2.2.1 Построение доверительного интервала для генеральной средней по малой выборке

2.2.2 Построение доверительного интервала для генеральной доли по малой выборке

2.2.3 Построение доверительного интервала для генеральной дисперсии

3. Заключение

Список литературы

1. В ве д е ние

На практике мы всегда имеем дело с ограниченным числом измерений, и задача, которая всегда стоит перед оператором, состоит в том, как оценить точность измерений, т.е. найти его меру приближения к истинному значению на основании группы результатов наблюдения.

В результате отдельных измерений мы получаем некоторые строго фиксированные результаты (точки) измеряемой величины. Их значения являются случайными с некоторым распределением. Случайная погрешность измерения образуется под влиянием большого числа факторов, сопутствующих процессу измерения. Важно зафиксировать отклонения и, при использовании полученных результатов, использовать подход, который будет учитывать такие флуктуации. Подходящим решением является введение понятий доверительного интервала и доверительной вероятности.

2. Основная часть

2.1. 1 Понятие о доверительных интервалах .

После получения точечной оценки и * желательно иметь данные о надежности такой оценки. Особенно важно иметь сведения о точности оценок для небольших выборок (поскольку с возрастанием объема п выборки несмещенность и состоятельность основных оценок гарантируется утверждениями математической статистики). Поэтому точечная оценка может быть дополнена интервальной оценкой -- интервалом (и 1 , и 2), внутри которого с наперед заданной вероятностью г находится точное значение оцениваемого параметра и. Задачу определения такого интервала называют интервальным оцениванием, а сам интервал -- доверительным интервалом. При этом г называют доверительной вероятностью или надежностью, с которой оцениваемый параметр и попадает в интервал (и 1, и 2).

Зачастую для определения доверительного интервала заранее выбирают число б = 1 -- г, 0< б < 1, называемое уровнем значимости, и находят два числа и 1 и и 2 , зависящих от точечной оценки и * , такие, что

Р (и 1 < и < и 2) = 1- б = г. (1)

В этом случае говорят, что интервал (и 1, и 2) накрывает неизвестный параметр и с вероятностью (1 - б), или в 100(1 - б)% случаев. Границы интервала и 1 и и 2 называются доверительными, и они обычно находятся из условия Р (и < и 1) = Р(и > и 2) = б/2 (рис. 1) .

Рисунок 1 - Распределение параметра и

Длина доверительного интервала, характеризующая точность интервальной оценки, зависит от объема выборки п и надежности г (уровня значимости г= 1 - б). При увеличении величины п длина доверительного интервала уменьшается, а с приближением надежности г к единице -- увеличивается. Выбор б (или г = 1 - б) определяется конкретными условиями. Обычно используется б=0,1; 0,05; 0,01, что соответствует 90, 95, 99%-м доверительным интервалам.

Общая схема построения доверительного интервала:

1. Из генеральной совокупности с известным распределением f (x , и) случайной величины X извлекается выборка объема п, по которой находится точечная оценка и * параметра и.

2. Строится случайная величина Y(и), связанная с параметром и и имеющая известную плотность вероятности f (у, и).

3. Задается уровень значимости б.

4. Используя плотность вероятности случайной величины Y, определяют два числа с 1 и с 2 такие, что

Значения с 1 и с 2 выбираются как правило, из условий

Неравенство с 1 < Y (и) < с 2 преобразуется в равносильное и*- д < и < и + д такое, что Р (и*- д < и < и*+ д) = 1 - б .

Полученный интервал (и *- д < и < и *+ д), накрывающий неизвестный параметр и с вероятностью 1 - б, и является интервальной оценкой параметра и.

Интервальная оценка также носит случайный характер, так как она напрямую связана с результатами выборки. Однако она позволяет сделать следующий вывод. Если построен доверительный интервал, который с надежностью г = 1 - б накрывает неизвестный параметр, и его границы рассчитываются по К выборкам одинакового объема п, то в (1- б)К случаях построенные интервалы накроют истинное значение исследуемого параметра.

Поскольку в эконометрических задачах часто приходится находить доверительные интервалы параметров случайных величин, имеющих нормальное распределение, приведем схемы их определения.

2. 1. 2

нормальной случайной величины при известной дисперсии .

Пусть количественный признак X генеральной совокупности имеет нормальное распределение с заданной дисперсией у 2 и неизвестным математическим ожиданием M(Х~N(т , у)). Построим доверительный интервал для т.

1. Пусть для оценки т извлечена выборка х 1 , х 2 , ..., х п объема n . Тогда

2. Составим случайную величину. Нетрудно показать, что случайная величина u имеет стандартизированное нормальное распределение, т.е. u ~ N (0, 1) ().

3. Зададим уровень значимости б.

4. Применяя формулу нахождения вероятности отклонения нормальной величины от математического ожидания, имеем:

Это означает, что доверительный интервал накрывает неизвестный параметр т с надежностью 1- б. Точность оценки определяется величиной .

Отметим, что число определяется по таблице значений функции Лапласа из равенства (рис.2) .

Рисунок 2 - Стандартизированное нормальное распределение случайной величины

Пример 1 . На основе продолжительных наблюдений за весом X пакетов орешков, заполняемых автоматически, установлено, что стандартное отклонение веса пакетов у = 10 г. Взвешено 25 пакетов, при этом их средний вес составил = 244 г. В каком интервале с надежностью 95 % лежит истинное значение среднего веса пакетов?

Логично считать, что случайная величина X имеет нормальный закон распределения: Х~N(m , 10). Для определения 95%-го доверительного интервала найдем критическую точку = u 0,025 из приложения 1 по соотношению

Тогда по формуле (3) построим доверительный интервал:

2.1.3 Доверительный интервал для математического ожидания

нормальной случайной величины при неизвестной дисперсии .

В реальности истинное значение дисперсии исследуемой случайной величины, скорее всего, известно не будет. Это приводит к необходимости использования другой формулы при определении доверительного интервала для математического ожидания случайной величины, имеющей нормальное распределение.

Пусть X ~ N(m , у 2), причем т и у 2 -- неизвестны. Необходимо построить доверительный интервал, накрывающий с надежностью г = 1 - б истинное значение параметра т.

Для этого из генеральной совокупности случайной величины X извлекается выборка объема п: х 1 , х 2 , ..., х п .

1. В качестве точечной оценки математического ожидания т используется выборочное среднее, а в качестве оценки, дисперсии у 2 -- исправленная выборочная дисперсия , которой соответствует стандартное отклонение.

2. Для нахождения доверительного интервала строится статистика , имеющая в этом случае распределение Стьюдента с числом степеней свободы v = п - 1 независимо от значений параметров т и у 2 .

4. Применяется следующая формула расчета вероятности

где -- критическая точка распределения Стьюдента, которая находится по соответствующей таблице . Тогда

Это означает, что интервал накрывает неизвестный параметр m с надежностью 1 - б.

Пример 2 . Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания нормально распределенного признака, если известны:у = 2; = 5,4; n = 10; г = 0,95.

Решение.

2Ф(t) = 0,95, Ф(t) = 0,5*0,95=0,475.

Найдя t = 1,96, получим.

Доверительный интервал

(- д; + д) = (5,4- 1,24; 5,4+1,24)=(4,16; 6,64).

Пример 3 . Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,95 точность оценки математического ожидания нормально распределенного признака по выборочной средней будет равна 0,2, если среднее квадратическое отклонение равно2.

Решение.

Дано: г = 0,95; д = 0,2; у = 2. Найти n.

Из формулы находим. Из условия2Ф(t) = 0,95 находим t = 1,96. Тогда.

Пример 4 . По заданным значениям характеристик нормально распределенного признака найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания:

г = 0,95, n =12, S = 1,5. = 16,8.

Решение.

По даннымг и n находим t = 2,20, тогда.

Доверительный интервал: (16,8 - 0,95; 16,8 + 0,95) = (15,85; 17,75).

2.1.4 Доверительный интервал для дисперсии нормальной

случайной величины .

Пусть X ~ N(т, у 2), причем т и у 2 -- неизвестны. Пусть для оценки у 2 извлечена выборка объема п: : х 1 , х 2 , ..., х п .

1. В качестве точечной оценки дисперсии D (X ) используется исправленная выборочная дисперсия которой соответствует стандартное отклонение.

2. При нахождении доверительного интервала для дисперсии в этом случае вводится статистика, имеющая -распределение с числом степеней свободы v = п - 1 независимо от значения параметра у 2 .

3. Задается требуемый уровень значимости б.

4. Тогда, используя таблицу критических точек распределения, нетрудно указать критические точки, для которых будет выполняться следующее равенство:

Подставив вместо соответствующее значение, получим

Неравенство может быть преобразовано в следующее:

Таким образом, доверительный интервал () накрывает неизвестный параметр с надежностью 1- б . А доверительный интервал () с надежностью 1 - б накрывает неизвестный параметр .

2.2 Генеральная совокупность .

Генеральной совокупностью называется множество всех возможных значений или реализаций исследуемой случайной величины при данном реальном комплексе условий.

Выборкой называют часть генеральной совокупности, отобранную для изучения.

Изучение всей генеральной совокупности во многих случаях либо невозможно, либо нецелесообразно в силу больших материальных затрат, поэтому на практике часто приходится иметь дело с выборками небольшого объема п <10- 20. В этом случае используемый обычно метод построения интервальной оценки для генеральной средней (среднего арифметического генеральной совокупности) и генеральной доли (доли элементов, обладающих необходимым признаком) неприменим в силу двух обстоятельств:

1) необоснованным становится вывод о нормальном законе распределения выборочных средней и доли w , так как он основан на центральной предельной теореме при больших п;

2) необоснованной становится замена неизвестных генеральной дисперсии у 2 и доли р их точечными оценками (или) или w , так как в силу закона больших чисел (состоятельности оценок) эта замена возможна лишь при больших п .

2.2.1

средней по малой выборке.

Задача построения доверительного интервала для генеральной средней может быть решена, если в генеральной совокупности рассматриваемый признак имеет нормальное распределение.

Теорема. Если признак (случайная величина) X имеет нормальный закон распределения с параметрами, x 2 = 2 , т.е. , то выборочная средняя при любом n имеет нормальный закон распределения

Если в случае больших выборок из любых генеральных совокупностей нормальность распределения обусловливалась суммированием большого числа одинаково распределенных случайных величин / n (теорема Ляпунова), то в случае малых выборок, полученных из нормальной генеральной совокупности, нормальность распределения вытекает из того, что распределение суммы (композиция) любого числа нормально распределенных случайных величин имеет нормальное распределение. Формулы числовых характеристик для получены ранее.

Таким образом, если бы была известна генеральная дисперсия, то доверительный интервал можно было бы построить аналогично изложенному выше и при малых n . Заметим, что в этом случае нормированное отклонение выборочной средней имеет стандартное нормальное распределение N(0; 1), т.е. нормальное распределение с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице.

Действительно, используя свойства математического ожидания и дисперсии, получим, что

Однако на практике почти всегда генеральная дисперсия (как и оцениваемая генеральная средняя) неизвестна. Если заменить ее «наилучшей» оценкой по выборке, а именно «исправленной» выборочной дисперсией, то большой интерес представляет распределение выборочной характеристики (статистики) или с учетом малой выборки, распределение статистики.

Представим статистику t в виде:

Числитель выражения (8) имеет стандартное нормальное распределение N (0; 1). Можно показать, что случайная величина имеет - распределение с н = n - 1 степенями свободы. Следовательно, статистика t имеет t- распределение Стьюдента с н =п - 1 степенями свободы. Указанное распределение не зависит от неизвестных параметров распределения случайной величины X, а зависит лишь от числа н, называемого числом степеней свободы.

Выше отмечено, что t - распределение Стьюдента напоминает нормальное распределение, и действительно при н >? как угодно близко приближается к нему.

Число степеней свободы к определяется как общее число n наблюдений (вариантов) случайной величины X минус число уравнений l, связывающих эти наблюдения, т.е. н = п - l.

Так, например, для распределения статистики число степеней свободы н = п - 1, ибо одна степень свободы «теряется» при определении выборочной средней (и наблюдений связаны одним уравнением).

3ная t - распределение Стьюдента, можно найти такое критическое значение что вероятность того, что статистика не превзойдет величину (по абсолютной величине), равна:

Функция, где - плотность вероятности t - распределения Стьюдента при числе степеней свободы н табулирована. Эта функция аналогична функции Лапласа Ф(t ), но в отличие от нее является функцией двух переменных -- t и н = п - 1. При н >? функция неограниченно приближается к функции Лапласа Ф(t) .

Формула доверительной вероятности для малой выборки может быть представлена в равносильном виде:

- предельная ошибка малой выборки. Доверительный интервал для генеральной средней, как и ранее, находится по формуле:

Пример 5 . Для контроля срока службы электроламп из большой партии было отобрано 17 электроламп. В результате испытаний оказалось, что средний срок службы отобранных ламп равен 980 ч, а среднее квадратическое отклонение их срока службы -- 18 ч. Необходимо определить: а) вероятность того, что средний срок службы ламп во всей партии отличается от среднего срока службы отобранных для испытаний ламп не более чем на 8 ч (по абсолютной величине); б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключен средний срок службы ламп во всей партии.

Решение.

Имеем по условию п = 20, = 980(ч), S = 18 ч.

а) Зная предельную ошибку малой выборки = 8 (ч), найдем из соотношения (9):

Теперь искомая доверительная вероятность

А находится по таблице значений при числе степеней свободы = 16.

Итак, вероятность того, что расхождение средних сроков службы электроламп в выборке и во всей партии не превысит 8 ч (по абсолютной величине), равна 0,906.

б) Учитывая, что = 0,95 и t 0,95;16 =2,12, по (11)найдем предельную ошибку малой выборки (ч). Теперь по (12)искомый доверительный интервал или (ч), т.е. с надежностью 0,95 средний срок службы электроламп в партии заключен от 970,5 до 989,5 ч.

2.2.2 Построение доверительного интервала для генеральной доли

по малой выборке.

Если доля признака в генеральной совокупности равна р то вероятность того, что в повторной выборке объема п т элементов обладают этим признаком, определяется по формуле Бернулли: , где q = 1 - р , т.е. распределение повторной выборки описывается биномиальным распределением. Так как при р? 0,5 биномиальное распределение несимметрично, то в качестве доверительного интервала для р берут такой интервал (p 1 , p 2 ), что вероятность попадания левее р 1 и правее p 2 одна и та же и равна (1 - г)/2:

где - фактическое число элементов выборки, обладающих признаком.

Рисунок 3 - Генеральная доля для г=0,9

Решение таких уравнений можно упростить, если использовать специальные графики, позволяющие при данном объеме выборки п и заданной доверительной вероятности г определить границы доверительного интервала для генеральной доли р. В качестве примера на рисунке 3 приведены такие графики для г = 0,9.

Пример 6 . Опрос случайно отобранных 15 жителей города показал, что 6 из них будут поддерживать действующего мэра на предстоящих выборах. Найти границы, в которых с надежностью 0,9 заключена доля граждан города, которые будут поддерживать на предстоящих выборах действующего мэра.

Решение.

Выборочная доля жителей, поддерживающих мэра, w = т/п = 6/15 = 0,4 . По рисунку 3 для г = 0,9 находим при w = 0,4 и для п = 15 по нижнему графику p 1 =0,23, а по верхнему -- р 2 = 0,60, т.е. доля жителей города, поддерживающих мэра, с надежностью 0,9 заключена в границах от 0,23 до 0,60. Очевидно, что более точный ответ на вопрос задачи может быть получен при увеличении объема выборки п.

2.2.3 Построение доверительного интервала для генеральной

дисперсии.

Пусть распределение признака (случайной величины) X в генеральной совокупности является нормальным N (, 2). Предположим, что математическое ожидание М(Х) = (генеральная средняя) известно. Тогда выборочная дисперсия повторной выборки X 1 , X 2 , …, X n :

ее неследует путать с выборочной дисперсией

и «исправленной» выборочной дисперсией

если S характеризует вариацию значений признака относительно генеральной средней, то и -- относительно выборочной средней .

Рассмотрим статистику

Учитывая, M (X i ) = , D (X i )= у 2 , (i = 1, 2, …, n ) нетрудно показать, что М (t ) = 0 и.

Выше отмечено, что распределение суммы квадратов п независимых случайных величин, каждая из которых имеет стандартное нормальное распределение N (0;l), представляет распределение 2 с н = п степенями свободы.

Таким образом, статистика имеет распределение 2 с н = п степенями свободы.

Распределение 2 не зависит от неизвестных параметров случайной величины X , а зависит лишь от числа степеней свободы н .

Плотность вероятности распределения имеет сложный вид и интегрирование ее является весьма трудоемким процессом. Составлены таблицы для вычисления вероятности того, что случайная величина, имеющая 2 - распределение с н степенями свободы, превысит некоторое критическое значение, т.е.

В практике выборочного наблюдения математическое ожидание, как правило, неизвестно, и приходится иметь дело не с, а с S 2 или. Если Х 1 , X 2 ,..., X n -- повторная выборка из нормально распределенной генеральной совокупности, то, как уже сказано выше, случайная величина (или) имеет распределение 2 с н = п --1 степенями свободы. Поэтому для заданной доверительной вероятности г можно записать:

(графически это площадьпод кривой распределения и рис. 4).

Рисунок 4 - Кривая распределения 2

Очевидно, что значения и определяются неоднозначно при одном и том же значении заштрихованной площади. Обычно и выбирают таким образом, чтобы вероятности событий < и > были одинаковы, т. е.

Преобразовавдвойное неравенство в равенстве (13)к равносильному виду, получим формулу доверительной вероятности для генеральной дисперсии:

а для среднеквадратического отклонения:

. (15)

При использовании таблиц вероятностей необходимо учесть, что поэтому условие

равносильно условию.

Таким образом, значения и находим из равенств:

Пример 7. На основании выборочных наблюдений производительности труда 20 работниц было установлено, что среднее квадратическое отклонение суточной выработки составляет 15 м ткани в час. Предполагая, что производительность труда работницы имеет нормальное распределение, найти границы, в которых с надежностью 0,9 заключены генеральные дисперсия и среднее квадратическое отклонение суточной выработки работниц.

Решение.

Имеем г = 0,9; (1 - г)/2 = 0,05; (1 +г)/2 = 0,95.

При числе степеней свободы н = n - 1=20 - 1=19 в соответствии с (16)и (17)определим и для вероятностей 0,95 и 0,05, т.е. = 10,1 и = 30,1. Тогда доверительный интервал для у 2 по (14)можно записать в виде:

или и для у по (15):

или 12,2 < у <21,1(м/ч).

Итак, с надежностью 0,9 дисперсия суточной выработки работниц заключена в границах от 149,5 до 445,6, а ее среднее квадратическое отклонение -- от 12,2 до 21,1 метров ткани в час.

Таблицы составлены при числе степеней свободы н от 1 до 30. При н > 30 можно считать, что случайная величина имеет стандартное нормальное распределение N (0; l). Поэтому для определения и следует записать, что

откуда и, после преобразований,

Таким образом, при расчете доверительного интервала надо полагать, .

Пример 8 . Решить задачу, приведенную в примере 7, при п = 100 работницам.

Решение.

При Ф(t ) = 0,9 t = 1,645, поэтому

3. Заключение

В данной курсовой работе рассмотрено понятие доверительного интервала и его разновидности в метрологии.

Провести бесконечное число измерений для получения верного результата в реальной жизни невозможно, поэтому важно дать объективное представление результатов ограниченного числа измерений, чему и призван помочь изучаемый подход.

Цель любого оценивания состоит в получении наиболее точного значения исследуемой характеристики. Доверительный интервал позволяет с определенной точностью получить распределение параметра, что дает хорошее представление об исследуемом объекте.

Список литературы

1. Беляев Ю.К., Носко В.П. Основные понятия и задачи математической статистики. - М.: Изд- во МГУ, ЧеРо, 1998. С. 114

2. Бородич С.А. Вводный курс эконометрики: Учебное пособие. - Мн.: БГУ, 2000. С. 46-48, 60-70

3. Крамер Г. Математические методы статистики.- М.: Госиноиздат, 1948. С. 118-130

4. Крамер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ- ДАНА, 2002. С. 140-144

5. Мешалкин Л.Д. Сборник задач по теории вероятностей. - М.: Изд- во МГУ, 1963. С. 30-33

6. Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов. Основы математического аппарата и прикладные аспекты. - М.: Изд- во МГУ, 1992.

7. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. - М.: Инфра- М Финансы и статистика, 1995.

11.1. Доверительные интервалы и доверительная вероятность.

Доверительные интервалы для параметров нормально распреде­ленной

генеральной совокупности.

При статистической обработке результатов наблюдений следует не только найти оценку неизвестного параметра θ , но и охарактеризовать точность этой оценки. С этой целью вводится понятие доверительного интервала.

Доверительным интервалом для параметра θ называется интервал (θ 1 , θ 2 ), содержащий (накрывающий) истинное значение θ с заданной вероятностью р = 1 - α , т.е. Р [θ 1 < θ < θ 2 ] = 1-α .

Число 1 - α называется доверительной вероятностью, а зна­чение α - уровнем значимости. Статистики θ 1 = θ 1 (x 1 ,...,x n ) и θ 2 = θ 2 (x 1 ,...,x n ), определяемые по выборке x 1 ,...,x n из генераль­ной совокупности с неизвестным параметром θ , называются со­ответственно нижней и верхней границами доверительного ин­тервала.

Условие Р [θ 1 < θ < θ 2 ] = 1-α означает, что в большой серии независимых экспериментов, в каждом из которых получена вы­борка объема n , в среднем (1 - α )·100% из общего числа построенных доверительных интервалов содержат истинное значение параметра θ .

Длина доверительного интервала, характеризующая точ­ность интервального оценивания, зависит от объема выборки n и доверительной вероятности 1 - α : при увеличении объема выборки длина доверительного интервала уменьшается, а с приближе­нием доверительной вероятности к единице - увеличивается. Вы­бор доверительной вероятности определяется конкретными усло­виями. Обычно используются значения 1 - α , равные 0,90; 0,95; 0,99.

При решении некоторых задач применяются односторонние доверительные интервалы, границы которых определяют из усло­вий: Р [θ < θ 2 ] = 1-α или Р [θ 1 < θ ] = 1-α .

В этом случае интервалы называются соответственно левосторонними и правосторонними доверительными интервалами.

Чтобы найти доверительный интервал для параметра θ , на­до знать закон распределения статистики = (х 1 ,...,х п) , значе­ние которой является оценкой параметра θ.

Для получения доверительного интервала наименьшей дли­ны при данном объеме выборки п и заданной доверительной веро­ятности 1-α в качестве оценки параметра θ следует брать эффективную либо асимптотически эффективную оценку.

Рассмотрим один из методов построения доверительных интервалов. Предположим, что существует статистика Y = Y( , θ) такая, что:

а) закон распределения Y известен и не зависит от θ ;

б) функция Y( , θ) непрерывна и строго монотонна по θ.
Пусть (1-α ) - заданная доверительная вероятность, а у а/2 и у 1- a /2 - квантили распределения статистики Y порядков α/2 и 1-α/ 2соответственно. Тогда с вероятностью 1-α выполняется неравенство у а/2 < Y( , θ) < у 1- a /2 .

Решая это неравенство относительно θ , найдем границы θ i и θ 2 доверительного интервала для θ. Если плотность распреде­ления статистики Y симметрична относительно оси Оу , то доверительный интервал имеет наименьшую длину, а если это распре­деление несимметрично, то длину, близкую к наименьшей.

Пример 46. Пусть х 1 ,х 2 ,...,х n - выборка из нормально рас­пределенной генеральной совокупности. Найти доверительный интервал для математического ожидания т при условии, что дис­персия генеральной совокупности известна и равна σ 2 , а довери­тельная вероятность равна 1-α.

Решение. В качестве оценки математического ожидания т возьмем выборочное среднее . Для нормально распределенной генеральной совокупности выборочное среднее является эффективной оценкой т. Выборочное среднее в данном случае имеет нормальное распределение .

Рассмотрим статистику , имеющую нормальное распределение N (0,1) независимо от значения параметра т. Кро­ме того, U как функция т непрерывна и строго монотонна. Тогда , где и а/2 и и 1- a /2 - квантили нормального распределения N (0,1).

Решая неравенство относительно т, по­лучим, что с вероятностью 1-α выполняется условие:

.

Так как квантили нормального распределения связаны со­отношением и а/2 =-u 1- a /2 , полученный доверительный интервал для т можно записать следующим образом:

11.2. Доверительные интервалы для вероятности успеха в схеме Бернулли

и параметра λ распределения Пуассона.

Если распределение генеральной совокупности не является нор­мальным, то в некоторых случаях по выборкам большого объема можно построить доверительные интервалы для неизвестных па­раметров приближенно, используя при этом предельные теоремы теории вероятности и вытекающие из них асимптотические рас­пределения и оценки.

Пример 47. Пусть в n независимых испытаниях успех на­ступил х раз. Найти доверительный интервал для вероятности р успеха в одном испытании.

Решение . Эффективной оценкой вероятности успеха р в од­ном испытании является относительная частота = h = x/h . По теореме Муавра-Лапласа относительная частота h имеет асимпто­тически нормальное распределение , где q = 1 - р.

Рассмотрим статистику , которая имеет асимптотически нормальное распределение N (0,1) независимо от значения р. При больших п тогда имеем

.

Отсюда получим, что с вероятностью ≈1-α выполняется неравенство

.

Заменяя значения р и q влевой и правой частях записанно­го выше неравенства их оценками = h и = 1-h, получим до­верительный интервал для вероятности успеха в схеме

Пример 48. При проверке 100 деталей из большой партии обнаружено 10 бракованных деталей.

а) Найти 95 % приближенный доверительный интервал для доли бракованных деталей во всей партии.

б) Какой минимальный объем выборки следует взять для того, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что до­ля бракованных деталей по всей партии отличается от частоты
появления бракованных деталей в выборке не более чем на 1 %?

Решение .а) Оценка доли бракованных деталей в партии по выборке равна = h = 10/100 = 0,1. По таблице приложений (П1) находим квантиль и 1- a /2 = и 0,975 = 1,96 . Тогда 95% доверительный

интервал для доли бракованных деталей в партии приближенно имеет вид 0,041 < р < 0,159.

б) Представим полученный доверительный интервал в виде неравенства

,

которое выполняется с вероятностью ≈1 - α = 0,95. Так как со­гласно условию задачи , то для определения n полу­чим неравенство

.

Отсюда следует, что и n ≥(0,3·196) 2 =3457,44 . Итак, минимальный объем выборки n = 3458.

11.3. Доверительные интервалы для коэффициента корреляции ρ.

Пусть выборка (х i ,у i), i = 1,2,...,п, получена из генеральной совокупности, имеющей двумерное нормальное распределение, и r - выборочный коэффициент корреляции. При достаточно больших n статистика имеет приближенно нормальное распределение .

Доверительный интервал для Arth ρ имеет вид

Доверительный интервал для ρ вычисляется с помощью таблиц гиперболического тангенса ρ= thz .(смотри таблицу при­ложение П8).

Пример 49. Выборочный коэффициент корреляции, вычис­ленный по выборке объема 10, r = -0,64. Найти 90 % доверительный интервал для коэффициента корреляции р.

Решение. По таблице приложений (П8) находим Arth(-0,64)= -Arth0,64 = -0,76.

Так как и 0, 95 = 1,645, то доверительный интервал для Arthρ имеет вид , т.е. -1,38

Обращаясь к таблице П8, получим 90 % доверительный ин­тервал для коэффициента корреляции: - 0,881 < ρ < -0,139.

11.4. Примеры доверительных интервалов.

1. Доверительный интервал для математического ожидания а нормальной случайной величины при известной дисперсии σ 2 имеет вид .

Здесь величина определяется по заданной доверительной вероятности γ по таблице значений , в которой .