| Y | X 1 | X 2 | X 3 | X 4 | X 5 | X 6 | |
| Y | |||||||
| X 1 | 0,519 | ||||||
| X 2 | -0,273 | 0,030 | |||||
| X 3 | 0,610 | 0,813 | -0,116 | ||||
| X 4 | -0,572 | -0,013 | -0,022 | -0,091 | |||
| X 5 | 0,297 | 0,043 | -0,461 | 0,120 | -0,359 | ||
| X 6 | 0,118 | -0,366 | -0,061 | -0,329 | -0,100 | -0,290 |
Анализ межфакторных (между «иксами»!) коэффициентов корреляции показывает, что значение 0,8 превышает по абсолютной величине только коэффициент корреляции между парой факторов Х 1 –Х 3 (выделен жирным шрифтом). Факторы Х 1 –Х 3 , таким образом, признаются коллинеарными.
2. Как было показано в пункте 1, факторы Х 1 –Х 3 являются коллинеарными, а это означает, что они фактически дублируют друг друга, и их одновременное включение в модель приведет к неправильной интерпретации соответствующих коэффициентов регрессии. Видно, что фактор Х 3 имеет больший по модулю коэффициент корреляции с результатом Y , чем фактор Х 1: r y , x 1 =0,519; r y , x 3 =0,610; (см. табл. 1 ). Это свидетельствует о более сильном влиянии фактора Х 3 на изменение Y . Фактор Х 1 , таким образом, исключается из рассмотрения.
Для построения уравнения регрессии значения используемых переменных (Y , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , X 6) скопируем на чистый рабочий лист (прил. 3) . Уравнение регрессии строим с помощью надстройки «Анализ данных… Регрессия » (меню «Сервис» ® «Анализ данных… » ® «Регрессия »). Панель регрессионного анализа с заполненными полями изображена на рис. 2 .
Результаты регрессионного анализа приведены в прил. 4 и перенесены в табл. 2 . Уравнение регрессии имеет вид (см. «Коэффициенты» втабл. 2 ):
Уравнение регрессии признается статистически значимым, так как вероятность его случайного формирования в том виде, в котором оно получено, составляет 8,80×10 -6 (см. «Значимость F» втабл. 2 ), что существенно ниже принятого уровня значимости a=0,05.
Х 3 , Х 4 , Х 6 ниже принятого уровня значимости a=0,05 (см. «P-Значение» втабл. 2 ), что свидетельствует о статистической значимости коэффициентов и существенном влиянии этих факторов на изменение годовой прибыли Y .
Вероятность случайного формирования коэффициентов при факторах Х 2 и Х 5 превышает принятый уровень значимости a=0,05 (см. «P-Значение» втабл. 2 ), и эти коэффициенты не признаются статистически значимыми.
рис. 2. Панель регрессионного анализа модели Y (X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , X 6)
Таблица 2
Y (X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , X 6)
| Регрессионная статистика | |||||||||
| Множественный R | 0,868 | ||||||||
| R-квадрат | 0,753 | ||||||||
| Нормированный R-квадрат | 0,694 | ||||||||
| Стандартная ошибка | 242,3 | ||||||||
| Наблюдения | |||||||||
| Дисперсионный анализ | |||||||||
| df | SS | MS | F | Значимость F | |||||
| Регрессия | 3749838,2 | 749967,6 | 12,78 | 8,80E-06 | |||||
| Остаток | 1232466,8 | 58688,9 | |||||||
| Итого | 4982305,0 | ||||||||
| Уравнение регрессии | |||||||||
| Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | P-Значение | ||||||
| Y-пересечение | 487,5 | 641,4 | 0,760 | 0,456 | |||||
| X2 | -0,0456 | 0,0373 | -1,224 | 0,235 | |||||
| X3 | 0,1043 | 0,0194 | 5,375 | 0,00002 | |||||
| X4 | -0,0965 | 0,0263 | -3,674 | 0,001 | |||||
| X5 | 2,528 | 6,323 | 0,400 | 0,693 | |||||
| X6 | 248,2 | 113,0 | 2,197 | 0,039 | |||||
3. По результатам проверки статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии, проведенной в предыдущем пункте, строим новую регрессионную модель, содержащую только информативные факторы, к которым относятся:
· факторы, коэффициенты при которых статистически значимы;
· факторы, у коэффициентов которых t ‑статистика превышает по модулю единицу (другими словами, абсолютная величина коэффициента больше его стандартной ошибки).
К первой группе относятся факторы Х 3 , Х 4 , Х 6 , ко второй - фактор X 2 . Фактор X 5 исключается из рассмотрения как неинформативный, и окончательно регрессионная модель будет содержать факторы X 2 , X 3 , X 4 , X 6 .
Для построения уравнения регрессии скопируем на чистый рабочий лист значения используемых переменных (прил. 5) и проведем регрессионный анализ (рис. 3 ). Его результаты приведены в прил. 6 и перенесены в табл. 3 . Уравнение регрессии имеет вид:
(см. «Коэффициенты» втабл. 3 ).
рис. 3. Панель регрессионного анализа модели Y (X 2 , X 3 , X 4 , X 6)
Таблица 3
Результаты регрессионного анализа модели Y (X 2 , X 3 , X 4 , X 6)
| Регрессионная статистика | |||||||||
| Множественный R | 0,866 | ||||||||
| R-квадрат | 0,751 | ||||||||
| Нормированный R-квадрат | 0,705 | ||||||||
| Стандартная ошибка | 237,6 | ||||||||
| Наблюдения | |||||||||
| Дисперсионный анализ | |||||||||
| df | SS | MS | F | Значимость F | |||||
| Регрессия | 3740456,2 | 935114,1 | 16,57 | 2,14E-06 | |||||
| Остаток | 1241848,7 | 56447,7 | |||||||
| Итого | 4982305,0 | ||||||||
| Уравнение регрессии | |||||||||
| Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | P-Значение | ||||||
| Y-пересечение | 712,2 | 303,0 | 2,351 | 0,028 | |||||
| X2 | -0,0541 | 0,0300 | -1,806 | 0,085 | |||||
| X3 | 0,1032 | 0,0188 | 5,476 | 0,00002 | |||||
| X4 | -0,1017 | 0,0223 | -4,560 | 0,00015 | |||||
| X6 | 227,5 | 98,5 | 2,310 | 0,031 | |||||
Уравнение регрессии статистически значимо: вероятность его случайного формирования ниже допустимого уровня значимости a=0,05 (см. «Значимость F» втабл. 3 ).
Статистически значимыми признаются и коэффициенты при факторах Х 3 , Х 4 , Х 6: вероятность их случайного формирования ниже допустимого уровня значимости a=0,05 (см. «P-Значение» втабл. 3 ). Это свидетельствует о существенном влиянии годового размера страховых сборов X 3 , годового размера страховых выплат X 4 и формы собственности X 6 на изменение годовой прибыли Y .
Коэффициент при факторе Х 2 (годовой размер страховых резервов) не является статистически значимым. Однако этот фактор все же можно считать информативным, так как t ‑статистика его коэффициента превышает по модулю единицу, хотя к дальнейшим выводам относительно фактора Х 2 следует относиться с некоторой долей осторожности.
4. Оценим качество и точность последнего уравнения регрессии, используя некоторые статистические характеристики, полученные в ходе регрессионного анализа (см. «Регрессионную статистику » в табл. 3 ):
· множественный коэффициент детерминации
показывает, что регрессионная модель объясняет 75,1 % вариации годовой прибыли Y , причем эта вариация обусловлена изменением включенных в модель регрессии факторов X 2 , X 3 , X 4 и X 6 ;
· стандартная ошибка регрессии
тыс. руб.
показывает, что предсказанные уравнением регрессии значения годовой прибыли Y отличаются от фактических значений в среднем на 237,6 тыс. руб.
Средняя относительная ошибка аппроксимации определяется по приближенной формуле:
где 
тыс. руб. - среднее значение годовой прибыли (определено с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ
»; прил. 1
).
Е
отн показывает, что предсказанные уравнением регрессии значения годовой прибыли Y
отличаются от фактических значений в среднем на 26,7 %. Модель имеет неудовлетворительную точность (при - точность модели высокая, при 
- хорошая, при 
- удовлетворительная, при - неудовлетворительная).
5. Для экономической интерпретации коэффициентов уравнения регрессии сведем в таблицу средние значения и стандартные отклонения переменных в исходных данных (табл. 4 ) . Средние значения были определены с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ », стандартные отклонения - с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН » (см. прил. 1 ).
Матрица парных коэффициентов корреляции
| Y | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | |
| Y | ||||||
| X1 | 0,732705 | |||||
| X2 | 0,785156 | 0,706287 | ||||
| X3 | 0,179211 | -0,29849 | 0,208514 | |||
| X4 | 0,667343 | 0,924333 | 0,70069 | 0,299583 | ||
| X5 | 0,709204 | 0,940488 | 0,691809 | 0,326602 | 0,992945 |
В узлах матрицы находятся парные коэффициенты корреляции, характеризующие тесноту взаимосвязи между факторными признаками. Анализируя эти коэффициенты, отметим, что чем больше их абсолютная величина, тем большее влияние оказывает соответствующий факторный признак на результативный. Анализ полученной матрицы осуществляется в два этапа:
1. Если в первом столбце матрицы есть коэффициенты корреляции, для которых /r / < 0,5, то соответствующие признаки из модели исключаются. В данном случае в первом столбце матрицы коэффициентов корреляции исключается фактор или коэффициент роста уровня инфляции. Данный фактор оказывает меньшее влияние на результативный признак, нежели оставшиеся четыре признака.
2. Анализируя парные коэффициенты корреляции факторных признаков друг с другом, (r XiXj), характеризующие тесноту их взаимосвязи, необходимо оценить их независимость друг от друга, поскольку это необходимое условие для дальнейшего проведения регрессионного анализа. В виду того, что в экономике абсолютно независимых признаков нет, необходимо выделить, по возможности, максимально независимые. Факторные признаки, находящиеся в тесной корреляционной зависимости друг с другом, называются мультиколлинеарными. Включение в модель мультиколлинеарных признаков делает невозможным экономическую интерпретацию регрессионной модели, так как изменение одного фактора влечет за собой изменение факторов с ним связанных, что может привести к «поломке» модели в целом.
Критерий мультиколлениарности факторов выглядит следующим образом:
/r XiXj / > 0,8
В полученной матрице парных коэффициентов корреляции этому критерию отвечают два показателя, находящиеся на пересечении строк 
и . Из каждой пары этих признаков в модели необходимо оставить один, он должен оказывать большее влияние на результативный признак. В итоге из модели исключаются факторы и , т.е. коэффициент роста себестоимости реализованной продукции и коэффициент роста объёма её реализации.
Итак, в регрессионную модель вводим факторы Х1 и Х2.
Далее осуществляется регрессионный анализ (сервис, анализ данных, регрессия). Вновь составляет таблица исходных данных с факторами Х1 и Х2. Регрессия в целом используется для анализа воздействия на отдельную зависимую переменную значений независимых переменных (факторов) и позволяет корреляционную связь между признаками представить в виде некоторой функциональной зависимости называемой уравнением регрессии или корреляционно-регрессионной моделью.
В результате регрессионного анализа получаем результаты расчета многомерной регрессии. Проанализируем полученные результаты.
Все коэффициенты регрессии значимы по критерию Стьюдента. Коэффициент множественной корреляции R составил 0,925, квадрат этой величины (коэффициент детерминации) означает, что вариация результативного признака в среднем на 85,5% объясняется за счет вариации факторных признаков, включенных в модель. Коэффициент детерминированности характеризует тесноту взаимосвязи между совокупностью факторных признаков и результативным показателем. Чем ближе значение R-квадрат к 1, тем теснее взаимосвязь. В нашем случае показатель, равный 0,855, указывает на правильный подбор факторов и на наличие взаимосвязи факторов с результативным показателем.
Рассматриваемая модель адекватна, поскольку расчетное значение F-критерия Фишера существенно превышает его табличное значение (F набл =52,401; F табл =1,53).
В качестве общего результата проведенного корреляционно-регрессионного анализа выступает множественное уравнение регрессии, которое имеет вид:
Полученное уравнение регрессии отвечает цели корреляционно-регрессионного анализа и является линейной моделью зависимости балансовой прибыли предприятия от двух факторов: коэффициента роста производительности труда и коэффициента имущества производственного назначения.
На основании полученной модели можно сделать вывод о том, что при увеличении уровня производительности труда на 1% к уровню предыдущего периода величина балансовой прибыли возрастет на 0,95 п.п.; увеличение же коэффициента имущества производственного назначения на 1% приведет к росту результативного показателя на 27,9 п.п. Слелдовательно, доминирующее влияние на рост балансовой прибыли оказывает увеличение стоимости имущества производственного назначения (обновление и рост основных средств предприятия).
По множественной регрессионной модели выполняется многофакторный прогноз результативного признака. Пусть известно, что Х1 = 3,0, а Х3 = 0,7. Подставим значения факторных признаков в модель, получим Упр = 0,95*3,0 + 27,9*0,7 – 19,4 = 2,98. Таким образом, при увеличении производительности труда и модернизации основных средств на предприятии балансовая прибыль в 1 квартале 2005 г. по отношению к предыдущему периоду (IV квартал 2004 г.) возрастет на 2,98%.
Коллинеарными являются факторы …
Решение:
Считается, что две переменные явно коллинеарны, т.е. находятся между собой в линейной зависимости, если . В нашей модели только коэффициент парной линейной регрессии между факторами и больше 0,7. 
, значит, факторы и коллинеарны.
4. В модели множественной регрессии определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами , и близок к нулю. Это означает, что факторы , и …
мультиколлинеарны
независимы
количественно измеримы
Решение:
Для оценки мультиколлинеарности факторов может использоваться определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами. Если факторы не коррелированы между собой, то матрица парных коэффициентов корреляции между факторами была бы единичной. Поскольку все недиагональные элементы 
были бы равны нулю.
, поскольку = = и = = =0.
Если между факторами существует полная линейная зависимость и все коэффициенты парной корреляции равны единице, то определитель такой матрицы равен нулю.
Чем ближе к нулю определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии. И, наоборот, чем ближе к единице определитель матрицы межфакторной корреляции, тем меньше мультиколлинеарность факторов.
5. Для эконометрической модели линейного уравнения множественной регрессии вида построена матрица парных коэффициентов линейной корреляции (y – зависимая переменная; х (1) , х (2) , х (3) , x (4) – независимые переменные):
Коллинеарными (тесно связанными) независимыми (объясняющими) переменными не являются
…
x (2) и x (3)
x (1) и x (3)
x (1) и x (4)
x (2) и x (4)
Решение:
При построении модели множественной регрессии необходимо исключить возможность существования тесной линейной зависимости между независимыми (объясняющими) переменными, которая ведет к проблеме мультиколлинеарности. При этом осуществляют проверку коэффициентов линейной корреляции для каждой пары независимых (объясняющих) переменных. Эти значения отражены в матрице парных коэффициентов линейной корреляции. Считается, что наличие значений коэффициентов парной корреляции между объясняющими переменными, превышающих по абсолютной величине 0,7, отражает тесную связь между этими переменными (теснота связи с переменной y в данном случае не рассматривается). Такие независимые переменные называются коллинеарными. Если значение коэффициента парной корреляции между объясняющими переменными не превышает по абсолютной величине 0,7, то такие объясняющие переменные не являются коллинеарными. Рассмотрим значения парных коэффициентов межфакторной корреляции: между x (1) и x (2) значение равно 0,45; между x (1) и x (3) – равно 0,82; между x (1) и x (4) – равно 0,94; между x (2) и x (3) – равно 0,3; между x (2) и x (4) – равно 0,7; между x (3) и x (4) – равно 0,12. Таким образом, не превышают 0,7 значения , , . Следовательно, коллинеарными не являются факторы x (1) и x (2) , x (2) и x (3) , x (3) и x (4) . Из последних перечисленных пар в вариантах ответов присутствует пара x (2) и x (3) – это верный вариант ответа. Для остальных пар: x (1 и x (3) , x (1) и x (4) , x (2) и x (4) – значения парных коэффициентов межфакторной корреляции превышают 0,7, и эти факторы являются коллинеарными.
Тема 3: Фиктивные переменные
1. Дана таблица исходных данных для построения эконометрической регрессионной модели:
Фиктивными переменными не являются
…
стаж работы
производительность труда
уровень образования
уровень квалификации работника
Решение:
При построении регрессионной модели может возникнуть ситуация, когда необходимо включить в уравнение помимо количественных переменных переменные, отражающие некоторые атрибутивные признаки (пол, образование, регион и т.п.). Такого рода качественные переменные называются «фиктивными» (dummy) переменными. Для построения указанной в постановке задания модели используются фиктивные переменные: уровень образования и уровень квалификации работника. Остальные переменные не являются фиктивными, из предложенных вариантов это стаж работы и производительность труда.
2. При исследовании зависимости потребления мяса от уровня дохода и пола потребителя можно рекомендовать …
использовать фиктивную переменную – пол потребителя
разделить совокупность на две: для потребителей женского пола и для потребителей мужского пола
использовать фиктивную переменную – уровень дохода
исключить из рассмотрения пол потребителя, так как данный фактор нельзя измерить количественным образом
Решение:
При построении регрессионной модели может возникнуть ситуация, когда необходимо включить в уравнение помимо количественных переменных переменные, отражающие некоторые атрибутивные признаки (пол, образование, регион и т.п.). Такого рода качественные переменные называются «фиктивными» (dummy) переменными. Они отражают неоднородность исследуемой статистической совокупности и используются для более качественного моделирования зависимостей в таких неоднородных объектах наблюдения. При моделировании отдельных зависимостей по неоднородным данным можно также воспользоваться способом разделения всей совокупности неоднородных данных на несколько отдельных совокупностей, количество которых равно количеству состояний dummy-переменной. Таким образом правильными вариантами ответов являются: «использовать фиктивную переменную – пол потребителя» и «разделить совокупность на две: для потребителей женского пола и для потребителей мужского пола».
3. Изучается зависимость цены квартиры (у
) от ее жилой площади (х
) и типа дома. В модель включены фиктивные переменные, отражающие рассматриваемые типы домов: монолитный, панельный, кирпичный. Получено уравнение регрессии: ,
где 
, 
Частными уравнениями регрессии для кирпичного и монолитного являются …
для типа дома кирпичный 
для типа дома монолитный 
для типа дома кирпичный 
для типа дома монолитный 
Решение:
Требуется узнать частное уравнение регрессии для кирпичного и монолитного домов. Для кирпичного дома значения фиктивных переменных следующие , . Уравнение примет вид: или для типа дома кирпичный.
Для монолитного дома значения фиктивных переменных следующие , . Уравнение примет вид
или для типа дома монолитный.
1. ПОСТРОИМ МАТРИЦУ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПАРНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ.
Для этого рассчитаем коэффициенты парной корреляции по формуле:
Необходимые расчеты представлены в таблице 9.
-
связь между выручкой предприятия Y и объемом капиталовложений Х 1 слабая и прямая;
-
связи между выручкой предприятия Y и основными производственными фондами Х 2 практически нет;
-
связь между объемом капиталовложений Х 1 и основными производственными фондами Х 2 тесная и прямая;
Таблица 9
Вспомогательная таблица для расчета коэффициентов парных корреляций
| t | Y | X1 | X2 | (y-yср)* | (y-yср)* | (х1-х1ср)* |
|||
| 1998 | 3,0 | 1,1 | 0,4 | 0,0196 | 0,0484 | 0,0841 | 0,0308 | 0,0406 | 0,0638 |
| 1999 | 2,9 | 1,1 | 0,4 | 0,0576 | 0,0484 | 0,0841 | 0,0528 | 0,0696 | 0,0638 |
| 2000 | 3,0 | 1,2 | 0,7 | 0,0196 | 0,0144 | 1E-04 | 0,0168 | -0,0014 | -0,0012 |
| 2001 | 3,1 | 1,4 | 0,9 | 0,0016 | 0,0064 | 0,0441 | -0,0032 | -0,0084 | 0,0168 |
| 2002 | 3,2 | 1,4 | 0,9 | 0,0036 | 0,0064 | 0,0441 | 0,0048 | 0,0126 | 0,0168 |
| 2003 | 2,8 | 1,4 | 0,8 | 0,1156 | 0,0064 | 0,0121 | -0,0272 | -0,0374 | 0,0088 |
| 2004 | 2,9 | 1,3 | 0,8 | 0,0576 | 0,0004 | 0,0121 | 0,0048 | -0,0264 | -0,0022 |
| 2005 | 3,4 | 1,6 | 1,1 | 0,0676 | 0,0784 | 0,1681 | 0,0728 | 0,1066 | 0,1148 |
| 2006 | 3,5 | 1,3 | 0,4 | 0,1296 | 0,0004 | 0,0841 | -0,0072 | -0,1044 | 0,0058 |
| 2007 | 3,6 | 1,4 | 0,5 | 0,2116 | 0,0064 | 0,0361 | 0,0368 | -0,0874 | -0,0152 |
| Σ | 31,4 | 13,2 | 6,9 | 0,684 | 0,216 | 0,569 | 0,182 | -0,036 | 0,272 |
| Средн. | 3,14 | 1,32 | 0,69 |
Также матрицу коэффициентов парных корреляций можно найти в среде Excel с помощью надстройки АНАЛИЗ ДАННЫХ, инструмента КОРРЕЛЯЦИЯ.
Матрица коэффициентов парной корреляции имеет вид:
| Y | X1 | X2 | |
| Y | 1 | ||
| X1 | 0,4735 | 1 | |
| X2 | -0,0577 | 0,7759 | 1 |
Матрица парных коэффициентов корреляции показывает, что результативный признак у (выручка) имеет слабую связь с объемом капиталовложений х 1 , а с Размером ОПФ связи практически нет. Связь между факторами в модели оценивается как тесная, что говорит о их линейной зависимости, мультиколлинеарности.
2. ПОСТРОИТЬ ЛИНЕЙНУЮ МОДЕЛЬ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ 
Параметры модели найдем с помощью МНК. Для этого составим систему нормальных уравнений.
Расчеты представлены в таблице 10.
Решим систему уравнений, используя метод Крамера:
Таблица 10
Вспомогательные вычисления для нахождения параметров линейной модели множественной регрессии
| y | |||||||
| 3,0 | 1,1 | 0,4 | 1,21 | 0,44 | 0,16 | 3,3 | 1,2 |
| 2,9 | 1,1 | 0,4 | 1,21 | 0,44 | 0,16 | 3,19 | 1,16 |
| 3,0 | 1,2 | 0,7 | 1,44 | 0,84 | 0,49 | 3,6 | 2,1 |
| 3,1 | 1,4 | 0,9 | 1,96 | 1,26 | 0,81 | 4,34 | 2,79 |
| 3,2 | 1,4 | 0,9 | 1,96 | 1,26 | 0,81 | 4,48 | 2,88 |
| 2,8 | 1,4 | 0,8 | 1,96 | 1,12 | 0,64 | 3,92 | 2,24 |
| 2,9 | 1,3 | 0,8 | 1,69 | 1,04 | 0,64 | 3,77 | 2,32 |
| 3,4 | 1,6 | 1,1 | 2,56 | 1,76 | 1,21 | 5,44 | 3,74 |
| 3,5 | 1,3 | 0,4 | 1,69 | 0,52 | 0,16 | 4,55 | 1,4 |
| 3,6 | 1,4 | 0,5 | 1,96 | 0,7 | 0,25 | 5,04 | 1,8 |
| 31,4 | 13,2 | 6,9 | 17,64 | 9,38 | 5,33 | 41,63 | 21,63 |
Линейная модель множественной регрессии имеет вид:
Если объем капиталовложений увеличить на 1 млн. руб., то выручка предприятия увеличиться в среднем на 2,317 млн. руб. при неизменных размерах основных производственных фондов.
Если основные производственные фонды увеличить на 1 млн. руб., то выручка предприятия уменьшиться в среднем на 1,171 млн. руб. при неизменном объеме капиталовложений.
3. РАССЧИТАЕМ:
коэффициент детерминации:
67,82% изменения выручки предприятия обусловлено изменением объема капиталовложений и основных производственных фондов, на 32,18% - влиянием факторов, не включенных в модель.
F – критерий Фишера
Проверим значимость уравнения
Табличное значение F – критерия при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы d.f. 1 = k = 2 (количество факторов), числе степеней свободы d.f. 2 = (n – k – 1) = (10 – 2 – 1) = 7 составит 4,74.
Так как F расч. = 7,375 > F табл. = 4.74, то уравнение регрессии в целом можно считать статистически значимым.
Рассчитанные показатели можно найти в среде Excel с помощью надстройки АНАЛИЗА ДАННЫХ, инструмента РЕГРЕССИЯ.
Таблица 11
Вспомогательные вычисления для нахождения средней относительной ошибки аппроксимации
| y | А | ||||
| 3,0 | 1,1 | 0,4 | 2,97 | 0,03 | 0,010 |
| 2,9 | 1,1 | 0,4 | 2,97 | -0,07 | 0,024 |
| 3,0 | 1,2 | 0,7 | 2,85 | 0,15 | 0,050 |
| 3,1 | 1,4 | 0,9 | 3,08 | 0,02 | 0,007 |
| 3,2 | 1,4 | 0,9 | 3,08 | 0,12 | 0,038 |
| 2,8 | 1,4 | 0,8 | 3,20 | -0,40 | 0,142 |
| 2,9 | 1,3 | 0,8 | 2,96 | -0,06 | 0,022 |
| 3,4 | 1,6 | 1,1 | 3,31 | 0,09 | 0,027 |
| 3,5 | 1,3 | 0,4 | 3,43 | 0,07 | 0,019 |
| 3,6 | 1,4 | 0,5 | 3,55 | 0,05 | 0,014 |
| 0,353 |
среднюю относительную ошибку аппроксимации
В среднем расчетные значения отличаются от фактических на 3,53 %. Ошибка небольшая, модель можно считать точной.
4. Построить степенную модель множественной регрессии 
Для построения данной модели прологарифмируем обе части равенства
lg y = lg a + β 1 ∙ lg x 1 + β 2 ∙ lg x 2 .
Сделаем замену Y = lg y, A = lg a, X 1 = lg x 1 , X 2 = lg x 2 .
Тогда Y = A + β 1 ∙ X 1 + β 2 ∙ X 2 – линейная двухфакторная модель регрессии. Можно применить МНК.
Расчеты представлены в таблице 12.
Таблица 12
Вспомогательные вычисления для нахождения параметров степенной модели множественной регрессии
| y | lg y | |||||||||
| 3,0 | 1,1 | 0,4 | 0,041 | -0,398 | 0,477 | 0,002 | -0,016 | 0,020 | 0,158 | -0,190 |
| 2,9 | 1,1 | 0,4 | 0,041 | -0,398 | 0,462 | 0,002 | -0,016 | 0,019 | 0,158 | -0,184 |
| 3,0 | 1,2 | 0,7 | 0,079 | -0,155 | 0,477 | 0,006 | -0,012 | 0,038 | 0,024 | -0,074 |
| 3,1 | 1,4 | 0,9 | 0,146 | -0,046 | 0,491 | 0,021 | -0,007 | 0,072 | 0,002 | -0,022 |
| 3,2 | 1,4 | 0,9 | 0,146 | -0,046 | 0,505 | 0,021 | -0,007 | 0,074 | 0,002 | -0,023 |
| 2,8 | 1,4 | 0,8 | 0,146 | -0,097 | 0,447 | 0,021 | -0,014 | 0,065 | 0,009 | -0,043 |
| 2,9 | 1,3 | 0,8 | 0,114 | -0,097 | 0,462 | 0,013 | -0,011 | 0,053 | 0,009 | -0,045 |
| 3,4 | 1,6 | 1,1 | 0,204 | 0,041 | 0,531 | 0,042 | 0,008 | 0,108 | 0,002 | 0,022 |
| 3,5 | 1,3 | 0,4 | 0,114 | -0,398 | 0,544 | 0,013 | -0,045 | 0,062 | 0,158 | -0,217 |
| 3,6 | 1,4 | 0,5 | 0,146 | -0,301 | 0,556 | 0,021 | -0,044 | 0,081 | 0,091 | -0,167 |
| 31,4 | 13,2 | 6,9 | 1,178 | -1,894 | 4,955 | 0,163 | -0,165 | 0,592 | 0,614 | -0,943 |
Решаем систему уравнений применяя метод Крамера.
Степенная модель множественной регрессии имеет вид:
В степенной функции коэффициенты при факторах являются коэффициентами эластичности. Коэффициент эластичности показывает на сколько процентов измениться в среднем значение результативного признака у, если один из факторов увеличить на 1 % при неизменном значении других факторов.
Если объем капиталовложений увеличить на 1%, то выручка предприятия увеличиться в среднем на 0,897% при неизменных размерах основных производственных фондов.
Если основные производственные фонды увеличить на 1%, то выручка предприятия уменьшиться на 0,226% при неизменных капиталовложениях.
5. РАССЧИТАЕМ:
коэффициент множественной корреляции:
Связь выручки предприятия с объемом капиталовложений и основными производственными фондами тесная.
Таблица 13
Вспомогательные вычисления для нахождения коэффициента множественной корреляции, коэффициента детерминации, ср.относ.ошибки аппроксимации степенной модели множественной регрессии
| Y | (Y-Y расч.) 2 | A | ||||
| 3,0 | 1,1 | 0,4 | 2,978 | 0,000 | 0,020 | 0,007 |
| 2,9 | 1,1 | 0,4 | 2,978 | 0,006 | 0,058 | 0,027 |
| 3,0 | 1,2 | 0,7 | 2,838 | 0,026 | 0,020 | 0,054 |
| 3,1 | 1,4 | 0,9 | 3,079 | 0,000 | 0,002 | 0,007 |
| 3,2 | 1,4 | 0,9 | 3,079 | 0,015 | 0,004 | 0,038 |
| 2,8 | 1,4 | 0,8 | 3,162 | 0,131 | 0,116 | 0,129 |
| 2,9 | 1,3 | 0,8 | 2,959 | 0,003 | 0,058 | 0,020 |
| 3,4 | 1,6 | 1,1 | 3,317 | 0,007 | 0,068 | 0,024 |
| 3,5 | 1,3 | 0,4 | 3,460 | 0,002 | 0,130 | 0,012 |
| 3,6 | 1,4 | 0,5 | 3,516 | 0,007 | 0,212 | 0,023 |
| 31,4 | 13,2 | 6,9 | 0,198 | 0,684 | 0,342 |
коэффициент детерминации:
71,06% изменения выручки предприятия в степенной модели обусловлено изменением объема капиталовложений и основных производственных фондов, на 28,94 % - влиянием факторов, не включенных в модель.
F – критерий Фишера
Проверим значимость уравнения
Табличное значение F – критерия при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы d.f. 1 = k = 2, числе степеней свободы d.f. 2 = (n – k – 1) = (10 – 2 – 1) = 7 составит 4,74.
Так как F расч. = 8,592 > F табл. = 4.74, то уравнение степенной регрессии в целом можно считать статистически значимым.
Посадка невозможна, в каком из реализуемых случаев расход топлива меньше. Получить программу оптимального управления, когда до некоторого момента t1 управление отсутствует u*=0, а начиная с t=t1, управление равно своему максимальному значению u*=umax, что соответствует минимальному расходу топлива. 6.) Решить каноническую систему уравнений, рассматривая ее для случаев, когда и управление...
К составлению математических моделей. Если математическая модель - это диагноз заболевания, то алгоритм - это метод лечения. Можно выделить следующие основные этапы операционного исследования: наблюдение явления и сбор исходных данных; постановка задачи; построение математической модели; расчет модели; тестирование модели и анализ выходных данных. Если полученные результаты не удовлетворяют...
Математических построений по аналогии с выявляет в плоском приближении продольно-скалярную электромагнитную волну с электрической - (28) и магнитной (29) синфазными составляющими. Математическая модель безвихревой электродинамики характеризуется скалярно-векторной структурой своих уравнений. Основополагающие уравнения безвихревой электродинамики сведены в таблице 1. Таблица 1 , ...
|
Z 1 (t) |
Z 2 (t) |
t |
y(t) |
|
|
Z 1 (t) | ||||
|
Z 2 (t) | ||||
|
t | ||||
|
y(t) |
Основная задача, стоящая при выборе факторов включаемых в корреляционную модель, заключается в том, чтобы ввести в анализ все основные факторы, влияющие на уровень изучаемого явления. Однако, введение в модель большого числа факторов нецелесообразно, правильнее отобрать только сравнительно небольшое число основных факторов, находящихся предположительно в корреляционной зависимости с выбранным функциональным показателем.
Это можно сделать с помощью так называемого двух стадийного отбора. В соответствии с ним в модель включаются все предварительно отобранные факторы. Затем среди них на основе специальной количественной оценки и дополнительно качественного анализа выявляются несущественно влияющие факторы, которые постепенно отбрасываются пока не останутся те, относительно которых можно утверждать, что имеющийся статистический материал согласуется с гипотезой об их совместном существенном влиянии на зависимую переменную при выбранной форме связи.
Свое наиболее законченное выражение двух стадийный отбор получил в методике так называемого многошагового регрессионного анализа, при котором отсев несущественных факторов происходит на основе показателей их значимости, в частности на основе величины t ф - расчетном значении критерия Стьюдента.
Рассчитаем t ф по найденным коэффициентам парной корреляции и сравним их с t критическим для 5% уровня значимости (двустороннего) и 18 степенями свободы (ν = n-2).
где r – значение коэффициента парной корреляции;
n – число наблюдений (n=20)
При сравнении t ф для каждого коэффициента с t кр = 2,101 получаем, что найденные коэффициенты признаются значимыми, т.к. t ф > t кр.
t ф для r yx 1 = 2, 5599 ;
t ф для r yx 2 = 7,064206 ;
t ф для r yx 3 = 2,40218 ;
t ф для r х1 x 2 = 4,338906 ;
t ф для r х1 x 3 = 15,35065;
t ф для r х2 x 3 = 4,749981
При отборе факторов включаемых в анализ к ним предъявляются специфические требования. Прежде всего, показатели, выражающие эти факторы должны быть количественно измеримы.
Факторы, включаемые в модель, не должны находиться между собой в функциональной или близкой к ней связи. Наличие таких связей характеризуется мультиколлинеарностью.
Мультиколлинеарность свидетельствует о том, что некоторые факторы характеризуют одну и ту же сторону изучаемого явления. Поэтому их одновременное включение в модель нецелесообразно, так как они в определённой степени дублируют друг друга. Если нет особых предположений говорящих в пользу одного из этих факторов, следует отдавать предпочтение тому из них, который характеризуется большим коэффициентом парной (или частной) корреляции.
Считается, что предельным является значение коэффициента корреляции между двумя факторами, равное 0,8.
Мультиколлинеарность обычно приводит к вырождению матрицы переменных и, следовательно, к тому, что главный определитель уменьшает свое значение и в пределе становится близок к нулю. Оценки коэффициентов уравнения регрессии становятся сильно зависимыми от точности нахождения исходных данных и резко изменяют свои значения при изменении количества наблюдений.
