Рассчитаем, применяя теорему о циркуляции, индукцию магнитного поля внутри соленоида. Рассмотрим соленоид длиной l , имеющий N витков, по которому течет ток (рис. 175). Длину соленоида считаем во много раз больше, чем диаметр его витков, т. е. рассматриваемый соленоид бесконечно длинный. Экспериментальное изучение магнитного поля соленоида (см. рис. 162, б) показывает, что внутри соленоида поле является однородным, вне соленоида - неоднородным и очень слабым.

На рис. 175 представлены линии магнитной индукции внутри и вне соленоида. Чем соленоид длиннее,тем меньше магнитная индукция вне его. Поэтому приближенно можно считать, что поле бесконечно длинного соленоида сосредоточено целиком внутри него, а полем вне соленоида можно пренебречь.

Для нахождения магнитной индукции В выберем замкнутый прямоугольный кон­тур ABCDA , как показано на рис. 175. Циркуляция вектора В по замкнутому контуру ABCDA , охватывающему все N витков, согласно (118.1), равна

Интеграл по ABCDA можно представить в виде четырех интегралов: по АВ, ВС, CD и DA . На участках АВ и CD контур перпендикулярен линиям магнитной индукции и B l = 0. На участке вне соленоида B =0. На участке DA циркуляция вектора В равна Вl (контур совпадает с линией магнитной индукции); следовательно,

(119.1)

Из (119.1) приходим к выражению для магнитной индукции поля внутри соленоида (в вакууме):

Получили, что поле внутри соленоида однородно (краевыми эффектами в областях, прилегающих к торцам соленоида, при расчетах пренебрегают). Однако отметим, что вывод этой формулы не совсем корректен (линии магнитной индукции замкнуты, и интеграл по внешнему участку магнитного поля строго нулю не равен). Корректно рассчитать поле внутри соленоида можно, применяя закон Био - Савара - Лапласа; в результате получается та же формула (119.2).

Важное значение для практики имеет также магнитное поле тороида - кольцевой катушки, витки которой намотаны на сердечник, имеющий форму тора (рис. 176). Магнитное поле, как показывает опыт, сосредоточено внутри тороида, вне его поле отсутствует.

Линии магнитной индукции в данном случае, как следует из соображений симмет­рии, есть окружности, центры которых расположены по оси тороида. В качестве контура выберем одну такую окружность радиуса r . Тогда, по теореме о циркуляции (118.1), B × 2p r =m 0 NI , откуда следует, что магнитная индукция внутри тороида (в вакууме)

где N - число витков тороида.

Если контур проходит вне тороида, то токов он не охватывает и B × 2p r = 0. Это означает, что поле вне тороида отсутствует (что показывает и опыт).

Без сомнения, всем в детстве нравилось играться с магнитом. Раздобыть постоянный магнит было очень просто: для этого нужно было найти старую колонку, извлечь из нее звуковоспроизводящий динамик и, после несложных «вандальных действий», достать из нее кольцевой магнит. Неудивительно, что многие проводили опыт с металлическим опилками и листом бумаги. Опилки располагались полосами - вдоль линий напряженности поля.

В электротехнике намного большее распространение получили не постоянные, а электромагниты. Из курса физики известно, что при протекании электрического тока по проводнику, вокруг последнего создается магнитное поле, величина которого непосредственно связана с действующим значением тока.

Сомневающиеся могут повторить простейший опыт Эрстеда, когда рядом с прямолинейным проводником с током размещается компас. При этом стрелка будет отклоняться от географического северного полюса планеты (перпендикулярно проводу). Направление отклонения можно определить при помощи правила правой руки: размещаем правую руку параллельно проводнику ладонью вниз. 4 пальца должны указывать Тогда отогнутый на 90 градусов большой палец укажет сторону отклонения стрелки. Вокруг прямого провода магнитное поле имеет вид цилиндра с проводом посередине. А вот линии напряженности образуют кольца.

В электротехнике указанные используются, прежде всего, в катушках. Часто можно услышать выражение «магнитное поле соленоида». Представим себе обыкновенный гвоздь и тонкий провод в изоляции. Равномерно наматывая провод на гвоздь, получаем соленоид. В данном случае гвоздь влияет на магнитное поле соленоида, но это тема совершенно другой статьи. Важно понять, что именно понимают под термином. Если теперь подключить катушку к то вокруг нее возникнет магнитное поле.

Поля соленоида прямопропорциональна значению индуктивности и квадрату проходящего по виткам тока. В свою очередь, индуктивность зависит от квадрата числа витков. При этом нужно учитывать конструкцию обмотки: это может быть простой случай с одним слоем витков, а также многослойная структура, где направление тока в витках оказывает корректирующее действие на суммарную энергию. Соленоиды используются в схемах трамваев, режущих механизмов, контакторов и пр.

Магнитное поле соленоида представляет собой кольца, выходящие из одного конца обмотки и входящие в другой. Внутри катушки силовые линии не прерываются, а распространяются в диэлектрической среде или по проводящему сердечнику. Следствие: поле соленоида полярно. Линии выходят из магнитного северного полюса, а возвращаются в южный. Нетрудно догадаться, что магнитное поле соленоида зависит от полярности источника тока, подключенного к концам провода. Магнитные свойства соленоида практически совпадают с Это позволяет использовать соленоид в качестве электромагнита. На производстве можно увидеть краны, у которых вместо крюка размещен диск электромагнита. Это «большой брат» соленоида - обмотка на сердечнике. Особенность всех электромагнитов в том, что магнитные свойства существуют лишь при протекании тока по виткам.

Кроме соленоидов часто используются тороиды. Это те же самые витки провода, но намотанные на магнитопроводе круглой формы. Соответственно, магнитное поле соленоида и тороида различны. Главная особенность в том, что силовые линии распространяются по основе-магнитопроводу внутри самой катушки, а не вне ее, как в случае соленоида. Все это свидетельствует о более высоком КПД катушек на кольцевом магнитопроводящем материале. Следствие: надежны и обладают меньшими потерями, чем их привычные собратья.

Магнитное поле соленоида.

В уточнённой модели соленоида конечной длины учтём более реальный вид навивки тонкого провода на каркас соленоида. Основным токонесущим элементом конструкции будем считать винтовую линию. Рассмотрим соленоид с каркасом в форме цилиндрической поверхности, поперечное сечение которой является окружностью радиуса . Пусть продольная ось соленоида, как в предыдущем примере, совпадает с осью аппликат, координаты конечных сечений соленоида на оси аппликат имеют значения и , тонкий проводник намотан на каркас равномерно с шагом , то есть число витков на единицу длины соленоида составляет величину , по проводнику течёт ток .

Радиус-вектор точки наблюдения М по условию определен координатами:

Радиус-вектор расположения элемента контура с током опишем с помощью параметрического представления:

Легко видеть, что при возрастании величины параметра на величину радиус-вектор совершит полный оборот вокруг продольной оси соленоида и сместится на шаг навивки относительно исходного положения в пространстве. Будем считать, что электрический ток течет по проводнику в направлении, определяемом увеличением параметра . Проекции вектора на оси декартовой системы координат имеют вид:

(3)

В соответствии с дифференциальной формой закона Био-Савара-Лапласа (1) раздела 6.2 получаем проекции вектора магнитной индукции на оси декартовых координат для произвольной точки наблюдения:

(3)

, (4) . (5)

Как это ни удивительно, но уточнённая модель приводит к более простым зависимостям для проекций дифференциала вектора магнитной индукции: для расчёта величин проекций искомого вектора понадобится только однократное интегрирование по параметру . Пределы интегрирования определяются при этом условием, что тонкий проводник достиг крайнего сечения соленоида:

Выпишем квадратуры для проекций вектора магнитной индукции на оси декартовой системы координат для произвольной точки наблюдения:

, (7)

, (8)

. (9)

Численные значения проекций вектора магнитной индукции на оси декартовой системы координат легко вычисляются с помощью пакета символьных вычислений Maple, если заданы характеристики системы токов и координаты точки наблюдения. Ниже для определенности положим Проведем вычисления осевой составляющей индукции магнитного поля в сечении z=0 в зависимости от координаты x (радиальное направление!). Результаты расчета представлены на рис. 2. Здесь имеет смысл обратить внимание на небольшую неоднородность магнитного поля внутри соленоида (|x|<1) и наличие осевой составляющей магнитного поля вне соленоида (последнее характерно для соленоида конечных размеров).

В качестве второго примера вычислим распределение осевой составляющей магнитной индукции вдоль оси соленоида при сохранении параметров системы токов (рис. 3). Здесь можно отметить качественное совпадение результатов расчета с подобными результатами упрощенной модели соленоида (рис.2 предыдущего раздела).

На практике чаще всего параметр навивки - отношение шага навивки к радиусу поперечного сечения соленоида - не играет существенной роли, но в отдельных случаях подробный расчет может оказаться полезным.

6.2.6. Поверхностная модель земного магнетизма .

У.Гильберт 400 лет тому назад установил, что Земля является «большим магнитом»: поведение стрелки компаса на земной поверхности похоже на поведение намагниченной стрелки в окрестности экспериментального магнитного шара. Во времена У.Гильберта ещё не было ни теории электричества, ни теории магнитного поля. В современных условиях интересно попробовать смоделировать образование магнитного поля Земли, играющего такую важную роль как обеспечении радиационной безопасности жизни на Земле, так и в практической навигации.

Допустим, что по поверхности сферы радиуса течёт ток постоянной по величине погонной плотности в азимутальном направлении. Величина погонной плотности тока определяется выражением

Здесь - дифференциал сила тока, - элемент дуги на поверхности сферы, перпендикулярный направлению тока, - дифференциал угловой координаты сферической системы координат.

Элемент длины «контура», связанного с описанным дифференциалом силы тока определяется выражением

, (2)

координаты точки расположения элемента имеют вид

, (3)

а его проекции на координатные направления декартовой системы координат

Если координаты точки наблюдения М определены проекциями радиус-вектора {x,y,z}, то не представляет труда выписать последовательно выражения для разности радиус-векторов точки наблюдения и точки расположения элемента контура с током, для модуля этой разности, для векторного произведения и получить зависимости для дифференциалов проекций вектора магнитной индукции в точке наблюдения:

(5)

Для реализации практических вычислений в приведенные соотношения вместо «штрихованных» величин необходимо подставить их выражения с использованием координат сферической системы координат (4).

В соответствии с принципом суперпозиции необходимо просуммировать вклад всех элементов «контуров» с током в величину каждой из проекций вектора магнитной индукции в точке наблюдения. Если декартовы координаты точки наблюдения записать с помощью сферических координат, то проекции вектора магнитной индукции на оси декартовой системы координат в точке наблюдения описываются следующими квадратурами:

Здесь , и - угловые координаты точки наблюдения в сферической системе координат.

Располагая полученными соотношениями, можно вычислить направляющие косинусы вектора магнитной индукции относительно исходной декартовой системы координат

, (7)

и записать уравнения для расчёта координат силовой линии в дифференциальной форме:

( для фиксированной точки силовой линии).

Интересно проанализировать зависимости «горизонтальной» и «вертикальной» составляющих вектора магнитной индукции над поверхностью несущей ток сферы от «северной широты» точки наблюдения. Численные результаты при этом таковы. На экваторе () горизонтальная составляющая поля направлена по меридиану в сторону «южного полюса», вертикальная составляющая равна нулю. На широте 45 0 () имеют место и горизонтальная, и вертикальная составляющие магнитного поля, причем абсолютная величина горизонтальной составляющей меньше, чем аналогичная величина на экваторе, а направленность в сторону южного полюса сохранилась. На «северном полюсе» () горизонтальная составляющая магнитного поля обращается в нуль, а вертикальная достигает максимального значения. Полученный результат объясняет причину трудностей определения местоположения в окрестности «северного полюса» сферы: компас теряет способность указывать направление на полюс.

6.2.7. Объёмная модель земного магнетизма .

Рассмотрим более сложную модель распределения электрического тока в земном шаре. Теперь нам предстоит рассчитать магнитное поле, образованное электрическим током, текущим в объёме сферы в азимутальном направлении с известной объёмной плотностью тока.

Допустим, что по объёму сферического тела радиуса течёт ток с постоянной по величине объёмно плотностью в азимутальном направлении. Элемент сила тока с учётом его направления в пространстве при этом можно описать с помощью выражения

В этом выражении - элемент объёма, в котором течёт ток, - координаты этого элемента объёма в сферической системе координат. Допустим, что координаты точки наблюдения имеют вид: { }. В соответствующей декартовой системе координат имеем

Приборы и принадлежности: лабораторная установка с соленоидом, источник питания, милливольтметр, амперметр.

Краткая теория

Соленоидом называется цилиндрическая катушка, содержащая большое, число витков провода, по которому идет ток. Если шаг вин­товой линии проводника, образующего катушку, мал, то каждый ви­ток с током можно рассматривать как отдельный круговой ток, а соленоид - как систему последовательно соединенных круговых токов одинакового радиуса, имеющих общую ось.

Магнитное поле внутри соленоида можно представить как сумму магнитных полей, создаваемых каждым витком. Вектор индукции маг­нитного поля внутри соленоида перпендикулярен плоскости витков, т.е. направлен по оси соленоида и образует с направлением кольце­вых токов витков правовинтовую систему. Примерная картина силовых линий магнитного поля соленоида показана на рис. 1. Силовые линии магнитного поля замкнуты.

На рис, 2 показано сечение соленоида длиной L и с числом витков N и радиусом поперечного сечения R. Кружки с точками обозначают сечения витков катушки, по которым идет ток I , на­правленный от чертежа на нас, а кружки с крестиками - сечения вит­ков, в которых ток направлен за чертеж. Число витков на единицу длины соленоида обозначим .

Индукция магнитного поля в точке А, расположенной на оси соленоида, определяется путем интегрирования магнитных полей, со­здаваемых каждым витком, и равна

, (1)

где и - углы, образуемые с осью соленоида радиус-векто­рами и , проведенными из точки А к крайним виткам солено­ида, -магнитная проницаемость среды, магнитная постоянная.

Таким образом, магнитная индукция В прямо пропорциональна си­ле тока, магнитной проницаемости среды, заполняющей соленоид, и числу витков на единицу длины. Магнитная индукция также зависит от положения точки А относительно концов соленоида. Рассмотрим нес­колько частных случаев:

1. Пусть точка А находится в центре соленоида, тогда , и . Если соленоид достаточно длинный, то и (2)

2. Пусть точка A находится в центре крайнего витка, тогда , и . Если солено­ид достаточно длинный, то , и (3)

Из формул (2) и (3) видно, что магнитная индукция соленоида на его краю вдвое меньше по сравнению с ее величиной в центре.

3. Если длина соленоида во много раз больше радиуса его витков
("бесконечно" длинный соленоид), то для всех точек, лежащих внутри
соленоида на его оси, можно положить . Тогда
поле можно считать в центральной части соленоида однородным и рассчитывать его по формуле

Однородность магнитного поля нарушается вблизи краев соленоида. В этом случае индукцию можно определять по формуле

где k - коэффициент, учитывающий неоднородность поля.

Экспериментальное изучение магнитного поля соленоида в данной работе осуществляется с помощью специального зонда - маленькой катушки, укрепленной внутри штока с масштабной линейкой. Ось катуш­ки совпадает с осью соленоида, катушка подключается к милливольт­метру переменного тока, входное сопротивление которого много боль­ше сопротивления катушки-зонда. Если через соленоид идет перемен­ный ток стандартной частоты ( =50 Гц), то внутри соленоида и на его краях индукция переменного магнитного поля изменяется по закону (см. (5)):

Амплитуда магнитной индукции в этой формуле зависит от положения точки внутри соленоида. Если поместить в соленоид катуш­ку-зонд, то в соответствии с законом электромагнитной индукции, в ней возникает ЭДС индукции:

, (6)

где N 1 - число витков в катушке, S - площадь поперечного сече­ния катушки, Ф - магнитный поток ( , т.к. ось катушки совпадает с осью соленоида и, следовательно, вектор магнитной ин­дукции перпендикулярен плоскости поперечного сечения катушки.).

Так как величина индукции B изменяется по закону , , то из (6) получается формула для расчета ЭДС:

Из выражения (7) видно, что амплитуда ЭДС зависит от . Таким образом, измеряя амплитуду ЭДС, можно определить :

Коэффициент k учитывающий неоднородность магнитного поля соленоида на краях, можно о определить., по формуле. (5), зная и :

(9)

где - амплитуда переменного тока, идущего через соленоид.

Из формул (7) и (9) следует, что амплитуда ЭДС индукции прямо пропорциональна амплитуде переменного тока :

Включенные в цепь переменного тока амперметр и милливольт­метр измеряют действующие значения тока и ЭДС , которые связаны с амплитудами и соотношениями:

Для действующих значений тока и ЭДС формула (10) имеет вид

(11)

Из формулы (11) следует, что отношение пропорциональ­но коэффициенту K неоднородности индукции магнитного поля в точке соленоида, где проводятся измерения

(12)

где А - коэффициент пропорциональности.

В данной работе требуется выполнить два задания: 1) опреде­лить распределение индукции вдоль оси соленоида при некотором постоянном значении тока; 2) определить значение коэффициента к.

Техника безопасности:

1. Не подключают/ самостоятельно источник питания и милливольтметр к сети 220 В.

2. Не производить переключения цепей, находящихся под напряжением.

Не прикасаться к неизолированным частям цепей.

3. Не оставлять без присмотра включенную схему.

Порядок выполнения работы

Задание № 1. Исследование распределения индукции магнитного поля вдоль оси соленоида.

1. Собрать измерительную цепь по схеме, приведенной на рис. 3. Для этого в цепь соленоида включить источник питания и амперметр, а к выводам катушки - зонда - милливольтметр (для измерения ) В данной установке катушка-зонд имеет следующие параметры: =200 витков, S=2*10 -4 м 2 , частота переменного тока = 50 Гц, Число витков на единицу длины соленоида n = 2400 1/м

1- лабораторный стенд Z - шток «

2- катушка-зонд

3- соленоид
5- амперметр

6- источник питания с регулятором выход­ного напряжения (тока), 7- милливольтметр.

2. Установить шток с масштабной линейкой так, чтобы катушка-зонд оказалась примерно в середине соленоида.

3.Включить источник питания соленоида и установить ток соленоида (по амперметру), равный =25мА. Включить милливольтметр и после прогрева (5 мин) снять показания .

4.Перемещая шток с масштабной линейной, измерить при помощи
милливольтметра действующее значение ЭДС индукции через каждый
сантиметр положения линейки. По формуле (8) вычислить .
Результаты измерений и расчетов занести в таблицу 1 (учтите, что ).

Соленоид – катушка, длина которой значительно превышает толщину (проводник, навитый на цилиндр). Опыт и расчет показывает, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция МП снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида МП снаружи отсутствует вообще.

1 этап . Из соображений симметрии ясно, что линии вектора направлены вдоль его оси, причем составляет с направлением тока в соленоиде правовинтовую систему.

2 этап. Выбираем контур L в виде прямоугольника 1-2-3-4-1, как показано на рис. 6 (одна из сторон которого параллельна оси соленоида и располагается внутри него).

Рис. 6

Рассчитаем циркуляцию по данному контуру:

где - длина стороны 1-2 контура. На сторонах 2-3, 3-4 и 4-1 интеграл обращается в ноль, т.к. внутри соленоида , а за его пределами .

3 этап. Рассчитаем суму токов, охватываемых контуром , где – число витков на стороне контура 1-2. Выбираем знак «+», т.к. направление тока и обхода контура связано правилом правого винта.

4 этап. Использую т о циркуляции, находим модуль вектора : , откуда

, (1.20)

где – число витков на единицу длины соленоида.

Магнитное поле тороида Тороид – кольцевая катушка с витками, намотанными на сердечник, имеющий форму тора.

здесь N - число витков в тороидальной катушке, – радиус осевой линии тороида (т.е. окружности, проходящей через центры витков).

Вне тороида МП отсутствует.

§ 5. Сила Ампера

Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Действие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате магнитное поле (МП) действует с определенной силой на сам проводник с током. Силы, действующие на токи в МП, называют силами Ампера.

Закон Ампера определяет силу , с которой магнитное поле действует на элемент проводника с током :

Интегрируя это выражение по элементам тока, можно найти силу Ампера, действующую на тот или иной участок проводника.

Направление силы удобно определять по правилу левой руки (рис.).

Рис. Правило левой руки.

Сила взаимодействия параллельных токов. 2 параллельных бесконечно длинных проводника с токами и находятся на расстоянии . На единицу длины проводника с током действует сила .

Нетрудно убедиться, что токи, одинаково направленные, притягиваются, а противоположно направленные –отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе! Нельзя забывать, что кроме магнитной имеется еще и электрическая сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности проводников. Поэтому если говорить о полной силе взаимодействия проводников, то она может быть как отталкивающей, так и притягивающей в зависимости от соотношения магнитной и электрической составляющих.

§ 6. Момент сил, действующих на контур с током