Папка содержит опорные конспекты к уроку, лист самоконтроля, технологическую карту урока, самоанализ урока, презентацию к уроку. Урок был показан на районном семинаре учителей математики и получил высокую оценку.
«1. Опорный конспект - Виды неравенств и их решение»
Опорный конспект №1 «Виды неравенств и их решение»
| Вид неравенства | Решение |
| Линейные |
|
| Квадратичные
| Графический метод: 1.Находим корни уравнения 2.Строим на координатной прямой модель параболы (a 0, ветви вверх; а 3.Записываем промежутки в ответ. |
| Рациональные f(x) 0, f(x) где f(x) – рациональное выражение. Частные случаи:
{n – чётное, знаки не меняются} | Метод интервалов: 1) Представить левую часть неравенства в виде функции у = f(x). 2) Найти область определения функции (при которой эта функция имеет смысл). 3) Найти корни функции (нули функции). 4) Определить интервалы знакопостоянства. 5) Определить знак функции на каждом интервале. 6) Выписать значения х, при которых неравенство верно. |
| 1)
| 
|
|
|
|
| Иррациональные с чётной степенью
|
|
| Иррациональные с нечётной степенью
|
|
| Показательные
  |
|
| Логарифмические
|  |
| Тригонометрические
:
| При решении используют тригонометрическую окружность или график соответствующей функции |
| С модулем: 1) |x | a 2) |x |a | 1) -a 2) |
{
в знаменателе – выколотые точки}
Просмотр содержимого документа
«4. Опорный конспект -Логарифмы »
Опорный конспект №4
Определение:
Логарифмом положительного числа b по положительному и не равному единице основанию а называется показатель степени, в который нужно возвести число а , чтобы получить b .
О
сновные логарифмические тождества:
Логарифмическая функция: , где
Просмотр содержимого документа
«Технологическая карта»
Технологическая карта урока
| Мелехина Галина Васильевна , учитель математики МАОУ «Платошинская средняя школа». |
||
| Предмет | Математика |
|
| Класс | 11 (профильная группа) |
|
| Тип урока | Урок повторения, систематизации и дополнения знаний. |
|
| Форма урока | Урок-практикум с элементами исследования. |
|
| Формы организации учебной деятельности | Фронтальная, коллективная, парная. |
|
| Техническое обеспечение | Компьютер, проектор, презентация. |
|
| Методы обучения | Частично-поисковый, рефлексивный. |
|
| Тема | Решение логарифмических неравенств. Метод рационализации. |
|
| Цели | Образовательные : закрепление и систематизация знаний о логарифмических неравенствах. Развивающие: формирование у учащихся навыков решения логарифмических неравенств различными методами, применение знаний при решении заданий С3 ЕГЭ, развитие умений нахождения рационального способа решения, формирование УУД. Воспитательные: воспитание уверенности, культуры устной и письменной речи, ответственности, интереса к предмету. |
|
| Литература | Алгебра и начала математического анализа. 11класс. В 2 ч. Ч.1.Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ А.Г. Мордкович, П.В. Семёнов – М. : Мнемозина, 2008.-287с. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Математика. ЕГЭ 2011(типовые задания С3).Методы решения неравенств с одной переменной. Лысенко Ф.Ф., Кулобухова С.Ю. Математика. Неравенства (профильный уровень), тренажёр. – Ростов-на-Дону: Легион, 2015г. Мастер-класс по теме «Неравенства», ЕГЭ-студия Анны Малковой (г.Москва). |
|
| Планируемые результаты |
||
| Предметные умения : 1.Знание различных методов решения логарифмических неравенств: Сведение неравенств к равносильной системе или совокупности систем; Расщепление неравенств; Метод интервалов; Введение новой переменной; Метод рационализации. | Личностные УУД: Самоопределение; определять правила работы в парах; Применять волевую саморегуляцию (мобилизация на решение проблемы); - Регулятивные УУД: Определять и формулировать цель деятельности на уроке; Проговаривать последовательность действий на уроке; работать по плану, инструкции; Высказывать свое предположение на основе учебного материала; Осуществлять самоконтроль и взаимоконтроль; Уметь самостоятельно контролировать своё время и управлять им. Познавательные УУД: Находить ответы на вопросы поставленные учителем; Проводить анализ учебного материала; Проводить, сравнение, классификацию, указывая на основания классификации; Создавать и преобразовывать модели и схемы для решения неравенств; Находить рациональные методы решения. Коммуникативные УУД: Слушать и понимать речь других; - умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли; Владеть монологической и диалогической формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка. |
|
Дидактические задачи этапов урока
| Этапы урока | Время | Дидактические задачи |
| Организационный момент | Обеспечение комфортных условий для работы на уроке: создание благоприятной психологической атмосферы, настрой на совместную работу. |
|
| Постановка учебных целей, формулировка темы урока | Обеспечение мотивации для принятия обучающимися цели учебно-познавательной деятельности. Создание условий для формулировки цели урока и постановки учебных задач. |
|
| Повторение теоретической базы | Обеспечение восприятия, осмысления и запоминания знаний, связей и отношений в объекте изучения. |
|
| Актуализация опорных знаний | Активизация соответствующих мыслительных операций и познавательных процессов. |
|
| Практикум по решению неравенств | Систематизация умений применять различные методы решения неравенства, построение алгоритма решения. |
|
| Исследование | Постановка проблемы, осмысление, вывод нового знания. |
|
| Первичное закрепление | Первичный контроль усвоения нового знания, коррекция усвоения. |
|
| Рефлексия учебной деятельности | Анализ и оценка успешности достижения цели; выявление качества и уровня овладения знаниями. |
|
| Итог урока | Постановка учебной задачи для домашнего задания. |
Технология изучения
| Этапы урока | Формируемые умения | Деятельность учителя | Деятельность учащихся |
| Организационный момент | Личностные УУД: самоопределение | Девиз: «Секрет успеха - в мелочах» Вопрос: Какого успеха хотели бы вы добиться и от каких мелочей он будет зависеть? (сл. №1) | Учащиеся отвечают на вопрос. |
| Постановка учебных целей, формулировка темы урока | Регулятивные УУД: уметь определять и формулировать цель деятельности на уроке. Коммуникативные УУД: четко и ясно излагать свои мысли. | Анализ домашнего задания. Какие виды неравенств вызвали наибольшие затруднения? Назовите причины. Как справиться с проблемой? Остановимся сегодня на неравенствах, содержащих логарифмические выражения. Опираясь на наш девиз, сформулируйте тему и цель урока. Учитель, если нужно, корректирует ответы учащихся. Запишите число и тему урока в тетради. | Учащиеся отвечают на вопросы. Учащиеся предлагают свои варианты и проговаривают тему и цели урока. Тема: «Решение логарифмических неравенств». Цели: распределять время; правильно оформлять работу; выработать волевую саморегуляцию (умение мобилизировать себя на решение проблемы) |
| Повторение теоретической базы | Регулятивные УУД: адекватно самостоятельно оценивать правильность выполнения действий; уметь самостоятельно контролировать своё время и управлять им. | Учитель предлагает вспомнить: основные виды неравенств и способы их решения (опорный конспект №1); равносильные преобразования при решении неравенств (ОК №2); методы решения неравенств (ОК №3); понятие логарифма, логарифмическую функцию (ОК №4). | Учащиеся индивидуально работают с опорными конспектами: Заполняют лист самоконтроля (блок «Теоретическая база»). Время выполнения – 4 мин. |
| Актуализация опорных знаний | Регулятивные УУД: Контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона; Коррекция - внесение необходимых дополнений и корректив в план и способ действия в случае расхождения эталона, реального действия и его результата. | (сл. №4 - 6) Учитель предлагает выполнить задания для закрепления теоретического материала: Преобразуйте выражения, используя свойства логарифмов:
Представьте число в виде логарифма с основанием 2: а) 4 б) 0 в) - 5 Вычислите выражения:
Х существует логарифм:
| Учащиеся индивидуально выполняют задания в тетради с последующей самопроверкой (сл. №4-6). Заполняют лист самоконтроля (блок «Повторение»). Время выполнения – 8 мин. |
| Практикум по решению неравенств | Познавательные УУД: создавать и преобразовывать модели и схемы для решения задач; строить логическое рассуждение. осуществлять выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий. Коммуникативные УУД: аргументировать свою точку зрения; использовать адекватные языковые средства для отображения своих чувств, мыслей, мотивов и потребностей; умение выражать мысли, в письменной и устной форме. работать в парах - устанавливать рабочие отношения, эффективно сотрудничать и способствовать формированиювыраженной устойчивой учебно-познавательной мотивации и интереса к учению. Предметные результаты: Решение логарифмических неравенств методом равносильного перехода, расщепления неравенств, методом интервалов, введения новой переменно. | Вторая цель урока: вспомнить методы решения логарифмических неравенств. З - Запишите модель решения простого логарифмического неравенства: Р Задание: Вам предстоит решить 5 неравенств разными методами. От чего зависит успех решения неравенства? Успех решения зависит от того, видим ли мы план решения. Я предлагаю каждой паре выбрать одно неравенство и составить (устно) план решения этого неравенства, а потом озвучить его так, чтобы остальные справились с этим неравенством самостоятельно. На слайде есть подсказки. Время составления плана – 1 минута. Решите неравенства самостоятельно.
Время выполнения – 10 мин. П
| Устно отвечают на вопрос. Записывают в тетрадь модель. Работа в парах Отвечают на вопрос. Учащиеся в группах обсуждают и составляют план решения одного неравенства. Рассказывают план решения. Решают неравенства самостоятельно предложенным способом. Задают вопросы учителю (если возникли). Самопроверка (сравнение с образцом на слайде). Заполняют лист самоконтроля (блок «Практикум по решению неравенств»). |
| Исследование | Логические универсальные действия : Анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, и несущественных); Синтез - составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание с восполнением недостающих компонентов; Выбор оснований и критериев для сравнения, классификации объектов; Подведение под понятие, выведение следствий; Установление причинно-следственных связей; Построение логической цепи рассуждений; Доказательство; Выдвижение гипотез и их обоснование. | Вернёмся к домашнему заданию, неравенство №14 у вас вызвало затруднение? Давайте попробуем вместе составить план решения этого неравенства. (сл. № 14) Есть другой способ, который позволяет освободиться от логарифма в неравенстве. Он называется – метод рационализации. Этот метод основан на серии теорем, сегодня мы познакомимся с одной из них. Теорема на слайде. Докажем теорему. (сл №15) - | Учащиеся вместе с учителем обговаривают план решения неравенства. Учащиеся записывают теорему в тетрадь. Вместе с учителем обсуждают доказательство теоремы, делают записи в тетради. Учащиеся формулируют вывод:
|
| Первичное закрепление | Предметные результаты: Решение логарифмических неравенств методом рационализации; анализ и сравнение методов решения; закрепление знаний во внешней речи и знаковой форме. | Задания для закрепления: Решите неравенства новым рациональным методом.
Время выполнения 8 мин. | Учащиеся решают уравнения методом рационализации и проверяют решения по образцу, корректируют решения. З |
| Рефлексия учебной деятельности | Коммуникативные УУД: уметь устно выражать свои мысли. ЛичностныеУУД: устанавливать связь между целью деятельности и ее результатом. Регулятивные УУД: выделять и осознавать то, что уже усвоено и что нужно еще усвоить. | Учитель предлагает учащимся оценить свою работу на уроке: Подсчитайте количество + на листе самоконтроля. | Учащиеся отвечают на вопросы и задают интересующие вопросы по данному уроку учителю. Учащиеся выставляют отметки в дневники. |
| Итог урока | Какие цели урока выполнили? Какие дальнейшие планы? -
| Учащиеся анализируют цели урока. Проговаривают план дальнейших действий. Записывают домашнее задание. |
адание:
дополните предложение:
абота в парах
роверка:
сл. № 9 – 13.
сделайте вывод,
для чего мы доказали эту теорему?
аполняют лист самоконтроля (блок «Первичное закрепление метода рационализации»).
Запишите домашнее задание: решите неравенства новым методом.
Просмотр содержимого документа
«2. Опорный конспект - Равносильные преобразования»
Определение: два неравенства с одной переменной называются равносильными, если их решения совпадают.
Равносильные преобразования:
f (x ) g (x ), если а 1;
f (x ) g (x ), если 0 а
f (x ) g (x ), если а 1;
f (x ) g (x ), если 0 а
положительное при всех Х из ОДЗ неравенства, сохранив при этом знак неравенства, то получится неравенство f (x )h (x ) g (x )h (x ), равносильное данному;
если обе части неравенства f (x ) g (x ) умножить на выражение h (x ), отрицательное при всех Х из ОДЗ неравенства, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство f (x )h (x ) g (x )h (x ), равносильное данному;
если обе части неравенства f (x ) g (x ) возвести в одну и ту же нечётную степень
если обе части неравенства f (x ) g (x ) неотрицательны на ОДХ, то после возведения обеих частей в одну и ту же чётную степень n , сохранив при этом знак неравенства, то получится неравенство f n (x ) g n (x ), равносильное данному;
показательное неравенство a f (x ) a g (x ) равносильно неравенству:
логарифмическое неравенство log a f (x ) log a g (x ), где f (x ) 0 и g (x ) 0, равносильно неравенству:
Совокупность неравенств
Решение совокупности: объединение решений всех неравенств в совокупности.
Система неравенств
Решение системы: пересечение решений всех неравенств в системе.
Просмотр содержимого документа
«3. Опорный конспект - Методы решения неравенств»
Опорный конспект №3
«Методы решения неравенств»
Сведение неравенства к равносильной системе или совокупности систем
Неравенства, содержащие Неравенства, содержащие
иррациональные выражения выражения с модулем
Неравенства, содержащие показательные выражения (потенцирование)
Неравенства, содержащие логарифмические выражения (логарифмирование)
Метод расщепление неравенств
Метод замены
Обобщённый метод интервалов
Будем рассматривать неравенства вида f
(x
) 0, где f
(x
) - логарифмическая, показательная, иррациональная или тригонометрическая функция. Наши действия будут такими:
1) Находим область определения f
(x
) 2) Находим нули f(x)
3) Определяем знаки на ОДЗ (которая разделена на промежутки нулями функции), подставляя удобные значения, принадлежащие каждому промежутку. 4) Записываем ответ, указывая объединение промежутков (из ОДЗ), на которых f
(x
) имеет соответствующий знак.
Просмотр содержимого документа
«Лист самоконтроля»
Лист самоконтроля
Ф.И. _________________________________________
| Задание | Отметка (+) |
| Теоретическая база |
|
| Опорный конспект №2 «Равносильность неравенств» | |
| Опорный конспект №3 «Методы решения неравенств» | |
| Опорный конспект №4 «Понятие логарифма. Логарифмическая функция» | |
| Повторение |
|
| Вычисление логарифмов. | |
|
|
|
| Неравенство №1 | |
| Неравенство №2 | |
| Неравенство №3 | |
| Неравенство №4 | |
| Неравенство №5 | Самоанализ урока |
1 функция __________, знак неравенства _______ при 0 монотонность логарифмической функции возрастает не меняем убывает меняем" width="640"
0 метод интервалов расщепление неравенства другой способ метод интервалов расщепление неравенства другой способ к основанию 5 в левую часть разность квадратов другой способ – метод интервалов расщепление неравенства другой способ – метод рационализации метод рационализации Теорема: выражения log а b и (b – 1)(а – 1) имеют одинаковые знаки на ОДЗ логарифма" width="640"
Мишенькина Татьяна Ивановна
учитель математики
I квалификационной категории
МБОУ «Лицей №9 имени АС Пушкина
ЗМР РТ»
Урок в 10 классе по теме «Логарифмические неравенства»
Цели: а) образовательные: ▪ актуализация опорных знаний при решении логарифмических неравенств;
▪обобщение знаний и способов решения;▪ контроль и самоконтроль знаний. б) развивающие: ▪ развитие умений в применении знаний в конкретной ситуации;▪ развитие навыков реализации теоретических навыков в практической деятельности;▪ развитие умения сравнивать, обобщать, правильно формулировать и излагать мысли;▪ развитие интереса к предмету через содержание учебного материала.в) воспитательные:▪ воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля;▪ воспитание культуры общения, умения работать в коллективе, взаимопомощи;▪ воспитание качеств характера таких как, настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.
Технологии, используемые на уроке: технология дифференцированного и разно-уровневого обучения; технология обучения в сотрудничестве, индивидуально-групповая технология.
Оборудование: проектор, доска, карточки с заданиями, оценочные листы.
Задачи: - закрепить умения решать логарифмические неравенства
- рассмотреть типичные трудности, встречающиеся при решении логарифмических неравенств
- познакомиться с методом «рационализации» при решении логарифмических неравенств
Ход урока
У каждого ученика на столе имеется оценочный лист (см. приложение №1).
Актуализация знаний (0-5б)
(самооценка) Деловая игра
(0-5б)
(оценивает учитель) Работа по карточкам
(0-4б)
(оценивает партнер по плечу) Работа с формулами
(0-3б)
(самооценка) После каждого этапа лист заполняется, что даст возможность оценить работу на уроке, определить задачи на устранение пробелов в знаниях. За правильный ответ ученик вписывает в оценочный лист баллы.
I. Какие ассоциации можно составить с понятием логарифма?Предполагаемые ответы учеников:
(логарифмические уравнения, логарифмические неравенства, логарифмическая функция и т.д.)
Действительно, мы уже много знаем о логарифмах: умеем сравнивать логарифмы, решать простейшие логарифмические уравнения и неравенства, строить графики логарифмической функции.
Решение логарифмических неравенств имеет много общего с решением показательных неравенств
а) при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, мы также сравниваем основание логарифма с единицей
б) если решаем логарифмическое неравенство с помощью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства
Однако, есть очень важное отличие: поскольку логарифмическая функция имеет ограниченную область определения, при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифмов, необходимо учитывать область допустимых значений.
II.Актуализация опорных знаний:
1)Вспомним свойства логарифмической функции (слайд 3)
2)Выполним задания, используя свойства логарифмической функции
Задание 1.Найти область определения функции (слайд 4)
а) у =log191х2 б) у =log2,13-x в) у =log5I7x-1I
Задание 2. Сравнить с нулем значения логарифма (слайд 5)
а) lg 7 б) log0,43 в) ln0,7
Задание 3. Решить неравенство: (слайд 6)
а) log0,3 x>log0,3 5 б)log2х< log28 в)log0,5x<0
С помощью логарифмов можно сравнивать числа (слайд 7)
3) Логарифмическая комедия.
Сейчас я докажу вам, что 2>3.
Начнем с неравенства 14>18 , бесспорно верного. Затем следует преобразование lg122>lg123, тоже не вызывающее сомнений, значит2>3 , т.е. . Разделим обе части неравенства на, имеем 2>3.
Попробуйте разгадать софизм. (Математическим софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного).
4) Продолжим разгадывать софизмы. Найдите ошибку в решении следующих неравенств.
Деловая игра: ученики выступают в роли экспертов(за правильные ответы награждаются баллами)
Задание 4. Найдите ошибку в решении неравенства: (слайд 8)
1. а)log8 (5х-10) < log8(14-х),
5x-10 < 14-x,
6x < 24,
x < 4.
Ответ: (-∞; 4).
Ошибка: не учтена область определения неравенства.
Верное решение:
log8 (5х-10)< log8 (14-х) (слайд 9)
5x-10>0,14-x>0,5x-10<14-x; x>2,x<14,x<4; 2
xx+2>0,xx+2≤3 xx+2>0x2+ 2x-3≤0 х<-2,х>0;-3≤х≤1 -3≤x<-20
Ответ: (0:1.3. log0,5 (3х+1)< log0,5(2-х) (слайд11)
3x+1>0,2-x>0,3x+1<2-x; x> -13,x<2,x<14; -13
ВНИМАНИЕ! (слайд 12)
1. ОДЗ исходного неравенства. 2.Основание логарифма.
В завершении работы ученики заполняют оценочный лист.
III.Работа по карточкам (см. приложение 2)
Решить неравенство в тетради, записать ответ в таблицу (столбик 2),записать формулу, которую использовали при решении неравенства (столбик 3).
Решить неравенство ответ Какие формулы использовали
1.lg(x-2) + lg (27 – x) < 2
2.log3 (x+2)(x+4) + log1/3 (x+2) < 0,5 log√3 7
3.log4 x2 < log2 (4 – x) + log2 (3 - x)
x+3
4.logx ------ > 1
x-1 Проверить с партнером по плечу, затем правильные ответы выписать на доске, обсудить формулы
loga(xy) = logaIxI + logaIyIloga(x/y) = logaIxI - logaIyIlogax2 = 2logaIxI
IV.При решении неравенства №4 возникает вопрос: как решить? Учитывая свойства логарифмической функции, нужно рассмотреть 2 случая:
1) основание логарифма 0 < а < 1 2) основание логарифма а> 1.
Есть метод, который облегчает решение неравенства. Назовем его метод «рационализации».
Он основан на следующем факте: знак разности loga f(x) – loga g(x) совпадает со знаком произведения(а – 1)(f (x) –g(x)) на ОДЗ, т.е.
loga f(x) > loga g(x) <=> f(x) >0 ,g(x)>0 , (а – 1)(f (x) –g(x))>0.
(это утверждение легко доказывается, попробуйте самостоятельно).
Решить неравенство №5 этим методом
№5.log1/4(3x+8)
Рассмотрим теперь неравенство logh(x) f(x)> logh(x) g(x)>0, a> 0,a ≠1 и найдем соответствующие ему условия равносильности. ОДЗ этого неравенства: f (x) > 0, g(x)>0, имеем (h(x) – 1)(f(x) - g(x)) > 0
Далее неравенство №4(из карточки) – ученики решают самостоятельно, командиры групп оценивают.
№6. (lg(3x2-3x+7) – lg(6+x-x2))/(10x-7)(10x-3) ≥ 0
(задание разбирается на доске учителем)
Итак, при решении логарифмических неравенств можно использовать равносильные переходы на области допустимых значений переменных.
V. Практикум по решению неравенств.(предлагается задание для работы в группах с обсуждением, проверкой на доске)
№7.(log0,5(x+1))/(x-4)<0
№8.(log2(x-3))/(x2-25)>0
№9.log2x(x2-5x+6)<1
№10.log3x+5(9x2+8x+8)>2
№11.logx-3(2(x2-10x+24))≥logx-3(x2-9)
VI. Домашнее задание: подобрать и решить 5 неравенств на применение нового метода
VII. Рефлексия.
- что нового узнали на уроке
- где будем применять
- какие трудности испытывали
VIII. Подведение итога урока. Подсчет баллов, сдать оценочные листы.
МБОУ Старогородковская СОШ
План конспект урока по теме:
Логарифмические неравенства
Ерашкова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ Старогородковская СОШ
2015 год
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Введение стр. 3-5
2. Основная часть стр. 6-20
3. Заключение стр. 21-22
4. Приложения стр. 23-24
5. Список литературы стр. 25
ВВЕДЕНИЕ
Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем как поддержать у школьников интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. В связи с этим ведутся поиски новых эффективных методов обучения и таких методических приемов, которые активизировали бы мысль школьников, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний.
Возникновение интереса к математике у значительного числа школьников зависит в большей степени от методики ее преподавания, от того, на сколько умело будет построена учебная работа. Вовремя обращая внимание школьников на то, что математика изучает общие свойства объектов и явлений окружающего мира, имеет дело не с предметами, а с отвлеченными абстрактными понятиями, можно добиться понимания того, что математика не нарушает связи с действительностью, а, напротив, дает возможность изучить ее глубже, сделать обобщенные теоретические выводы, которые широко применяются в практике.
Логарифм – это греческое слово, которое состоит из 2-х слов: “логос”- отношение, “аритмос”- число. Значит, логарифм есть число, измеряющее отношение.
Этот термин был введен в 1594 году шотландским математиком Джоном Непером, который не был математиком по профессии, имел имение, занимался земледелием и изобретением приборов.
Выбор такого названия объясняется тем, что, действительно, логарифмы возникли при сопоставлении 2-х чисел, одно из которых является членом арифметической прогрессии, а второе — членом геометрической прогрессии.
Введение логарифмов позволяло производить быстро сложные вычисления. Были созданы первые таблицы логарифмов. Сначала они были 14-тизначные, постепенно усовершенствовались, сейчас есть 6-тизначные таблицы логарифмов.
Необходимо было упростить вычисления. Как вам известно, существуют действия трех ступеней:
1.сложение и вычитание.
2.умножение и деление.
3.возведение в степень.
Так вот логарифмы позволили перейти от сложных действий третьей ступени к действиям второй, а затем первой ступени. Т.е. от возведения в степень к умножению, от умножения к сложению, от деления к вычитанию. Таким образом, логарифмы чрезвычайно облегчают вычисления. Дают возможность находить сразу произведение любого числа множителей, возвышать в любую степень и извлекать корни с любым показателем.
Тема “Логарифмы” является традиционной в курсе алгебры и начал анализа средней школы, но очень трудно дается учащимся из-за сложности материала, концентрированности изложения. По действующим в настоящее время программам по математике средней школы изучение показательной и логарифмической функций планируется в конце курса алгебры и начал анализа 11-го класса, поэтому очень мало времени отводится на изучение данного материала.
На ЕГЭ по математике от 6 до 7 заданий на использование логарифмов и их свойств. Соответственно знания учащихся логарифмической функции намного ниже знаний свойств линейной, квадратичной и других функций, изучаемых ими на протяжении нескольких лет, следовательно, знания свойств данных функций у учащихся формальны, а все это проявляется при решении соответствующих уравнений, неравенств, систем уравнений. Учащиеся, которые захотят продолжить свое обучение в ВУЗах и колледжах, должны иметь полные и глубокие знания по данной теме.
В связи с этим и возникла необходимость в написании данной работы. Цель которой состояла в разработке методики изучения логарифмических неравенств.
Попытаться научить ребят за короткий промежуток времени мыслить, критически осмысливать окружающий мир (от критического анализа текста учебника, решения задачи до выработки собственного мнения по любой обсуждаемой проблеме). Не просто дать новый материал, “навязывая” его ученикам, а обеспечить необходимую мотивацию, используя проблемные ситуации, привлечение жизненного опыта учащихся, исторические сведения.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
Неравенства, содержащие переменную под знаком логарифма, называют логарифмическими.
Например:
При решении логарифмических неравенств важно помнить:
1) общие свойства неравенств;
2) свойство монотонности логарифмической функции;
3) область определения логарифмической функции.
Основные методы решения логарифмических неравенств
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Методы решения логарифмических неравенств.
Пример 1. Решите неравенство
< 1.Решение. Пусть = . Далее решим неравенство < 1.
Получим:
( – 1)( + 1) < 0 -1< < 1.
Осталось решить двойное неравенство:
— 1 < < 1 < 2 > x > 0,5.
Ответ: .
Пример 2. Решите неравенство > 2 x .
Решение. Перепишем неравенство в виде:
> > 8 8 .
Пусть , получим:
Осталось решить неравенство 9.
Ответ: (2; +∞).
Пример 3. Решите неравенство 2 ≥ 1.
Решение. Перепишем неравенство виде:
—
≥ 1
—
≥ 1.
Пусть a = , тогда
– a ≥ 1 ≥ 0 ≥ 0 ≤ 0.
Осталось решить совокупность неравенств:
Ответ : ; .
Пример 4.
Решите неравенство
Решение. Последовательно воспользуемся утверждениями:
Двойное неравенство равносильно системе:
Ответ: (7; + ∞).
Пример 5. Решите неравенство
Решение. Рассмотрим случаи:
2
Но при x неравенство 35 – x неверно. Решений нет.
Ответ : (2; 3).
Метод замены множителей
При решении показательных и логарифмических неравенств можно воспользоваться и методом замены множителей.
Утверждение 1. Знак разности ( a – 1) ( f ( x ) – g ( x )) при x ОДЗ.
Или в виде схем:
(1)
Утверждение 2. Знак разности совпадает со знаком произведения ( h ( x ) – 1)( f ( x ) – g ( x )) при x ОДЗ.
(2)
Пример 1.
Решите неравенство
Решение : Воспользуемся утверждением (1). Получим, что знак разности
совпадает со знаком разности (3 при условии, что x ОДЗ. Следовательно, данное неравенство равносильно системе:
Ответ
:
;
.
Тема урока: Логарифмические неравенства.
Цель урока:
1.Отработка умений систематизировать, обобщать свойства логарифмов, логарифмических функций; применять их при решении логарифмических неравенств; уметь применять различные методы решения логарифмических неравенств.
2. Развитие сознательного восприятия учебного материала, развитие зрительной памяти, развитие математической речи учащихся, формировать навыки самообучения, самоорганизации и самооценки. Способствовать развитию творческой деятельности учащихся.
3. Воспитание познавательной активности, воспитать у учащихся любовь и уважение к предмету, научить видеть в ней не только строгость, сложность, но и логичность, простоту и красоту.
Задачи урока:
1. Повышение интереса к предмету математика.
2. Закрепление новых знаний и умений по теме «Логарифмические неравенства»
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Ход урока:
1. Организационный момент.
Приветствие, подготовка учащихся к уроку. Постановка целей урока. (Слайд № 2).
2. Актуализация субъективного опыта учащихся.
(Слайд № 3).
— Преподаватель: Символом сегодняшнего урока я взяла ракушку, а эпиграфом – слова:
«Мир так огромен,
Не хватит жизни, чтобы всё познать.
Но много есть похожего,
Ты можешь отыскать его во всём…»
— Преподаватель: Как вы считаете, о чём эти слова? И почему символ урока – ракушка — спираль?
— Учащиеся: В мире много разных вещей, явлений, но всегда можно найти что-то похожее, схожее друг с другом. Эта «схожесть» помогает лучше понять какое-либо явление или какой-нибудь новый факт.
— Преподаватель: Слова эпиграфа должны быть связаны с нашим сегодняшним уроком. На ваш взгляд, какая связь между эпиграфом и уроком?
Учащиеся: Видимо, мы сегодня будем изучать новую тему, материал которой похож на ранее изученный материал. Но, поскольку символ урока – спираль, то материал урока будет сложнее, чем то, что изучали ранее.
3. Мотивация. Организация восприятия.
— Преподаватель: Откройте, пожалуйста, тетради и запишите тему урока «Свойства логарифмических неравенств».
(Учащиеся записывают тему в тетрадях).
— Преподаватель: При изучении логарифмов, на самом первом уроке, мы с вами говорили о том, что с появлением компьютеров, логарифмы стали не так актуальны, как раньше. А зачем тогда мы их изучаем?
Учащиеся: Эта тема есть в программе, логарифмы будут на экзаменах, на ЕГЭ.
Сегодня на уроке мы будем использовать приёмы сравнения, анализа, обобщения. И хотя логарифмы могут и не понадобиться вам в жизни, но умения сравнивать, анализировать что-либо, обобщать, необходимы любому современному человеку, который хочет успешно построить свою профессиональную карьеру. И есть ещё один важный момент, объясняющий значение логарифмов для человечества. О нём я расскажу в конце урока.
— Преподаватель: Рассмотрим различные логарифмические неравенства, но для этого повторим свойства логарифмической функции. (Слайд № 4).
— Преподаватель: Соотнести графики функций. (Слайд № 5).
Учащиеся: 1) 2) 3)
— Преподаватель: Решение простейших логарифмических неравенств.
, .
a , b – действительные числа, a . (Слайды №№ 6, 7, 10).
Учащиеся: решают в тетрадях, затем проверяют с решением на доске. (Слайд № 8). y = – возрастает x Ответ: (8; + (Слайд № 9). — убывает x Ответ: ( (Слайд № 11). |
— возрастает
Ответ: ;
— Преподаватель: Решим логарифмические неравенства заменой множителей (Слайд № 12).
Повторим формулы: (Слайд № 13).
(Слайд № 14).
(Слайд № 17).
(Слайд № 19).
4.Обобщение урока
— Преподаватель: А теперь я расскажу вам о том, какое значение имеет логарифмическая функция для всего человечества. Испокон веков целью математики было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны. Математики научились создавать математические модели различных явлений природы. Изучение таких моделей позволяет больше узнать о природных явлениях. Ряд явлений природы может описать логарифмическая зависимость. Иначе говоря, математики, пытаясь составить математическую модель того или иного явления, достаточно часто обращаются именно к логарифмической функции. (Слайд № 21). Одним из наглядных примеров такого обращения является логарифмическая спираль, уравнение которой имеет вид: = loqa . А сама спираль (ракушка)– это символ нашего сегодняшнего урока.
— Преподаватель: Так почему же в качестве примера логарифмической зависимости в природе выбрали именно логарифмическую спираль? Известно, что живые существа обычно растут, сохраняя общее начертание своей формы. При этом чаще всего они растут во всех направлениях – взрослое существо и выше и толще детёныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причём рост совершается так, что сохраняется подобие раковины с её первоначальной формой. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали. (Слайд № 22). Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, рога таких млекопитающих, как архары (горные козлы), закручены по логарифмической спирали. Великий немецкий поэт Иоганн-Вольфганг Гёте считал её даже математическим символом жизни и духовного развития.
По логарифмической спирали очерчены не только раковины. Например, паук Эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмическим спиралям. В подсолнухе семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали; орешки в кедровой шишке располагаются тоже по логарифмической спирали; по логарифмическим спиралям закручены многие галактики, в частности, Галактика, которой принадлежит Солнечная система.
— Учащиеся: Рассказывает о логарифмической спирали.
Логарифмическая спираль.
Логарифмическая спираль или изогональная спираль - особый вид спирали, часто встречающийся в природе. Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом и позже интенсивно исследована Бернулли, который называл её Spira mirabilis – «удивительная спираль».
|
|
— Преподаватель: Самостоятельная работа в тетради. Учащиеся сдают тетради. Домашнее задание: Решить два неравенства (Слайд № 24). 5.Рефлексия. Преподаватель: А сейчас я передаю на каждый ряд листок с изображениями логарифмической спирали. Исходной точкой начала урока будем считать начало спирали. Поставьте, пожалуйста, точку (каждый на одной из спиралей), которая отражает ваши знания в конце сегодняшнего урока. Определите, насколько вы продвинулись в своём развитии за 45 минут. (Учащиеся выполняют предложенную работу). Преподаватель: Посмотрите на эти рисунки. Вы все узнали сегодня что-то новое на уроке. И эта информация, пути её познания способствовали вашему развитию. Глядя на эти изображения, вы можете увидеть, как каждый из вас продвинулся в своём развитии за этот урок, сравнить себя с другими учащимися. А я вижу, что урок прошёл не зря, что я помогла вам идти по дороге знаний, а вы мне, поскольку, я видела ваш интерес к уроку. Спасибо вам, ребята, за это! (Слайд № 25). ЗАКЛЮЧЕНИЕ Данный урок – это четвёртый урок в теме «Логарифмические неравенства». Урок изучения и первичного закрепления новых знаний и способов деятельности. Урок проводился в группе учащихся с уровнем развития средний и выше. Поэтому вся структура урока, изложение нового материала были разработаны с учётом возможностей и способностей учащихся. Исходя из того, что для подготовки к уроку я использовала дополнительную информацию, связанную с понятием логарифмической спирали (понятием, которого нет в школьном курсе математики), то приоритетной задачей на данном уроке, является развивающая задача. Не умаляю также и роли образовательной задачи. На первом этапе урока я, используя эпиграф и символ «ракушка», способствовала развитию мыслительной деятельности учащихся, направленной на формулировку темы урока. При повторении материала «Свойства логарифмической функции» учащиеся самостоятельно вспомнили материал, свойства логарифмических неравенств. Развитие речи учащихся способствовало формулировка вслух правил. Следующий этап урока: организация восприятия. Используя приёмы аналогии, сравнения, я предложила учащимся решить логарифмические неравенства различными способами. Формулировка вслух свойств логарифмов способствовало развитию речи учащихся. Для того чтобы у учащихся не было затруднений с решением неравенств, на этом этапе включена работа на повторение материала прошлых уроков (непосредственно по теме «Логарифмы»). Учащиеся знают критерий оценивания. К тому же, они знают, что очень сложных заданий здесь нет. Используя малый объём заданий, нарастание по степени сложности, я создала на этом этапе для каждого учащегося ситуацию успеха. Самопроверка с использованием слайдов. Мотивация: использование темы для решения логарифмических уравнений, для сдачи экзамена, развития мышления. На этапе обобщения я использовала дополнительную информацию по данной теме, что способствовало развитию познавательного интереса учащихся, расширению их кругозора. На этапе рефлексии учащиеся с помощью рисунка логарифмической спирали сами смогли определить уровень своих знаний в начале урока и в конце, увидеть своё развитие по отношению к другим учащимся. Вывод: в целом, урок поставленных целей достиг. ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение 1 Логарифмическая спираль
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Колесникова С.И. Математика. Интенсивный курс подготовки к единому экзамену. – М.: Айрис пресс, 2006. 2. Локоть В.В. Задачи с параметрами. Показательные и логарифмические уравнения, неравенства, системы. – М.: Аркти, 2004. |
МБОУ СОШ № 1 село Новобелокатай
Тема работы:
« Мой лучший урок»
Учитель математики:
Мухаметова Фаузия Караматовна
Преподаваемый предмет математика
2014
Тема урока:
« Нестандартный способ решения логарифмических неравенств»
Класс 11( профильный уровень)
Форма урока комбинированный
Цели урока:
Освоение нового способа решения логарифмических неравенств, и умение применять данный способ при решении заданий С3 (17) ЕГЭ 2015 по математике.
Задачи урока:
- Образовательные: систематизировать, обобщить, расширить умения и знания, связанные с применением методов решения логарифмических неравенств; Умение применять знания при решении заданий ЕГЭ 2015 по математике.
Развивающие : формировать навыки самообразования, самоорганизации, умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы; Развитие логического мышления, внимания,памяти.кругозора.
Воспитательные: воспитывать самостоятельность, умение выслушивать других, умение общаться в группе. Повышение интереса к решению задач, формирование самоконтроля и активация мыслительной деятельности в процессе выполнения заданий.
Методологическая база:
Здоровьесберегающая технология по системе В.Ф. Базарного;
Технология разноуровнего обучения;
Технология группового обучения;
Информационные технологии (сопровождение урока презентацией),
Формы организации учебной деятельности : фронтальная, групповая, индивидуальная, самостоятельная.
Оборудование: у учащихся на рабочем месте оценочные листы, карточки с самостоятельной работой, презентация урока , компьютер, мультимедийный проектор.
Этапы урока:
1. Организационный момент
Учитель Здравствуйте ребята!
Я рада видеть вас всех на уроке и надеюсь на совместную плодотворную работу.
2. Мотивационный момент: написано в презентации ИКТ технология
Пусть эпиграфом нашего урока будут слова:
« Учиться можно только весело…
Чтобы переваривать знания надо их поглощать с аппетитом» Анатоль Франц.
Так давайте же будем активны и внимательны так как нам пригодятся знания при сдаче ЕГЭ.
3. Этап постановки и цели урока:
Сегодня мы на уроке изучим решение логарифмических неравенств нестандартным методом. Так как решения всего варианта отводится 235 минут, то задания С3 нужно где-то 30 минут, вот и нужно найти такой вариант решения, чтобы можно было затратить меньше времени. Задания взяты из пособий ЕГЭ 2015 года по математике.
4. Этап актуализации знаний.
Технология оценивания учебных успехов.
На партах у вас лежат оценочные листы, которые обучающиеся заполняют по ходу урока, в конце сдают учителю. Учитель объясняет как заполнить оценочный лист.
Успешность выполнения задания отмечать символом:
«!»-владею свободно
«+»- могу решать, иногда ошибаюсь
«-«- надо еще поработать
Определение логарифмических неравенств | Умение решать простейшие логарифмические неравенства | Умение пользоваться свойствами логарифмов | Умение пользоваться методом декомпозиции | Работа в парах | Ямогу сам | итог |
4. Фронтальная работа
Повторяется определение логарифмических неравенств. Известные методы решения и их алгоритм на конкретных примерах.
Учитель.
Ребята посмотрим на экран.Давайте решим устно.
1)Решите уравнение
2) Вычислите
а) б) в)
Впишите в приведенную в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру.
Ответ:
5 этап Изучение нового материала
Технология проблемного обучения
Учитель
Давайте посмотрим на слайд. Нужно решить данное неравенство. Как можно решить данное неравенство? Теория для учителя:
Метод декомпозиции
Метод декомпозиции заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x), при которой неравенство G(x)^0 равносильно неравенству F(x)^0 в области определения F(x).
Существует несколько выражений F и соответствующие им декомпозиционные G, где k, g, h, p, q – выражения с переменной х (h>0; h≠1; f>0, k>0), a – фиксированное число (а>0, a≠1).
Выражение F | Выражение G |
|
(a-1)(f-k) (a-1)(f-a) (a-1)(f-1) |
||
(h-1)(f-k) (h-1)(f-h) (h-1)(f-1) |
||
(k≠1, f≠1) | (f-1)(k-1)(h-1)(k-f) |
|
(h-1)(f-k) (h-1)f |
||
(f>0; k>0) | (f-k)h |
|
|f| - |k| | (f-k)(f+k) |
Из данных выражений можно вывести некоторые следствия (с учетом области определения):
0 ⬄ 0
В указанных равносильных переходах символ ^ заменяет один из знаков неравенств: >,
На слайде задание, которое разбирается учителем.
Рассмотрим пример решения логарифмического неравенства двумя методами
1. Метод интервалов
О.Д.З.
a) б)
Ответ: (;
Учитель
Можно решить данное неравенство еще другим способом.
2. Метод декомпозиции
Ответ
На примере решения данного неравенства мы убедились, что целесообразнее использовать метод декомпозиции.
Рассмотрим применение этого метода на нескольких неравенствах
Задание1
Ответ: (-1,5; -1) U (-1; 0) U (0;3)
Задание2
