Какое действие разность. Формулы сокращённого умножения. Как научить ребенка вычитанию и сложению

РАЗНОСТЬ, разности, жен. 1. Число, составляющее остаток в вычитании (мат.). Уменьшаемое равно вычитаемому плюс разность. 2. только ед. отвлеч. сущ. к разный в 1 знач.; различие несходство (книжн.). Разность взглядов. Разность характеров. ❖ Разные … Толковый словарь Ушакова

разность - См. разница... Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские словари, 1999. разность избыток, разница; отличие, различие, разрыв, несходство; разнокалиберность, перепад, сальдо, марджин, натяг,… … Словарь синонимов

РАЗНОСТЬ - (difference) Изменение значения какой либо переменной между фиксированными моментами времени. Если xt – значение переменной х во время t, то первая разность определяется как Δxt=xt–xt–1. Вторая разность равна первой разнице Δxt, минус первая… … Экономический словарь

РАЗНОСТЬ - (1) потенциалов (напряжение (см. (2))) количественная характеристика электрического поля неподвижных электрических зарядов () между двумя его точками, равная работе электрического поля по перемещению единичного положительного заряда из одной… … Большая политехническая энциклопедия

РАЗНОСТЬ - РАЗНОСТЬ, разнота и пр. см. разный. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля

РАЗНОСТЬ - результат вычитания … Большой Энциклопедический словарь

РАЗНОСТЬ - РАЗНОСТЬ, и, жен. 1. см. разный. 2. Результат, итог вычитания. | прил. разностный, ая, ое. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

разность - — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN differential … Справочник технического переводчика

Разность - Разность многозначный термин: результат вычитания. Разность (минералогия) (например, «среднезернистые разности» или «мелоподобные разности») Разность потенциалов … Википедия

разность - и; ж. 1. к Разный (1 зн.); различие. Р. убеждений, взглядов. Обнаружить р. в подходах к историческим фактам. // Различие между двумя сравниваемыми величинами в числовом выражении. Р. высот над уровнем моря. Р. температур. Р. уровней воды. Р. в… … Энциклопедический словарь

Книги

Комплект таблиц. Алгебра. 7 класс. 15 таблиц + методика , . Таблицы отпечатаны на плотном полиграфическом картоне размером 680 х 980 мм. В комплект входит брошюра с методическими рекомендациями для учителя. Учебный альбом из 15 листов. Выражения.… Купить за 3480 руб
Распределенная во времени «разность разностей» на примере оценки отдачи от дополнительного профессионального обучения , А. В. Аистов. В работе представлена эконометрическая модель, описывающая распределение во времени эффекта воздействия, построенная на основе методологии «разность разностей». Модель позволила…

Сумма - это результат сложения, причем слово может относиться не только к цифрам.

Разность - это то, что получается после вычитания чисел.

Произведение - то что получается после умножения, слово имеет и другое значение.

Частное - это то, что получается после деления.

I . Математические понятия СУММА, РАЗНОСТЬ, ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ЧАСТНОЕ взаимосвязаны с математическими терминами СЛОЖЕНИЕ, ВЫЧИТАНИЕ, УМНОЖЕНИЕ, ДЕЛЕНИЕ .

Все определения даются здесь на множестве натуральных чисел.

Каждой паре чисел ставится в соответствие число, называемое их СУММОЙ .

Сумма состоит из стольких единиц, сколько их содержится в числах (слагаемых) из данной пары.

СУММА есть результат сложения чисел-слагаемых.

Вычитание - это операция, обратная сложению. Она состоит в нахождении одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому. Данная сумма называется уменьшаемым, данное слагаемое - вычитаемым, а искомое слагаемое - РАЗНОСТЬЮ .

РАЗНОСТЬ - это число, являющееся результатом вычитания, остаток вычитания.

Каждой паре чисел можно поставить в соответствие число, которое состоит из стольких единиц, сколько их содержится в первом числе из пары, взятых столько раз, сколько единиц содержится во втором числе из пары. Это соответствующее таким образом паре чисел (они называются сомножителями) число называется ПРОИЗВЕДЕНИЕМ .

ПРОИЗВЕДЕНИЕ - это результат умножения.

Деление есть операция, обратная умножению.

Деление - это нахождение одного из сомножителей по произведению и другому сомножителю. Данное произведение называется делимым, данный сомножитель - делителем, а искомый сомножитель - это ЧАСТНОЕ , то есть число, полученное от деления одного числа на другое.

II . ДРУГИЕ ЗНАЧЕНИЯ СЛОВ СУММА, РАЗНОСТЬ, ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ЧАСТНОЕ .

Все используемые в качестве математических понятий слова могут иметь и другие лексические значения.

СУММА в переносном значении означает совокупность, общее количество чего-либо.

Например. Профессионализм педагога заключается в сумме знаний, умений и навыков, передаваемых им своим ученикам. Отсутствие нужной суммы денег заставило отказаться от покупки.

РАЗНОСТЬ имеет значения разницы, несходства, отличия в чем-либо.

Например. Разность интересов намного хуже разницы в возрасте. Дружба может начаться с представления об общности взглядов, а вражда - с разности взглядов.

ПРОИЗВЕДЕНИЕ означает что-либо произведенное в процессе труда, создание чего-нибудь, продукт труда, творчества, искусства и т.п.

Например. Высокое художественное произведение заставляет человека думать над своей жизнью. На конкурсе юных пианистов мальчик играл произведение П.И. Чайковского. Эта шкатулка - настоящее произведение искусства.

ЧАСТНОЕ - это что-то личное, персональное, принадлежащее только одному человеку, это его собственность, его и только его достояние. И будь то самоличные мысли, будь то имущество или что-нибудь другое, но оно принадлежит только ему, частному лицу.

Например. Подруга подарила мне записную книжку с надписью Частное. Хорошо ли противопоставлять частное общественному?

По сути, все четыре слова в вопросе, а именно сумма, разность, произведение и частное, отражаю четыре основные математические действия, которые являются азами. Именно с обучения данным действиям начинается увлекательный путь в мир математики. Таким образом,

Сумма, разность, произведение, частное - это результат математических дейтсвий, с которых мы все начинали свое знакомства с математикой. В жизни эти слова мы тоже используем, но значение вкладываем в них больше математическое, хоть складывать можем и не числа. Произведение еще может быть и художественным. Это совсем другое значение слова, которое мы применяем в жизни.

Все эти четыре термина употребляются преимущественно в математике.

Сумма - это когда происходит складывание двух чисел;

Разность- это вычитание одного числа из другого;

Частное - это деление одного числа на другое;

Произведение - это умножение одного числа на другое.

Частное - результат деления чисел, произведение - результат умножения чисел, сумма - результат сложения чисел, разность - результат вычетания. Это элементарные математические действия, которые можно проводить с числами.

Это такие математические понятия.

Сумма - это результат сложения. Числа, которые складывают, называют первое слагаемое и второе слагаемое. Обозначается таким знаком: +.

Разность - это результат вычитания. Числа, которые вычитают, называют уменьшаемое (то, которое больше) и вычитаемое (то, которое меньше). Обозначается таким знаком: -.

Произведение - это результат умножения. Числа, которые умножают, называются первым множителем и вторым множителем. Обозначается таким знаком: *.

Частное - это результат деления. Числа, которые делят, называются делимое (то, которое больше), делитель (то, которое меньше). Обозначается таим знаком: :.

Эти все понятия проходят в начальной школе.

В математике есть четыре простые операции, которые можно применить к двум числам и получить такие результаты:

сумма - это результат сложения чисел,

разность - это результат вычетания от одного числа другого,

произведение - это результат умножения чисел,

частное - это уже результат деления чисел.

Суммой в математике назовем число, которое получим в результате прибавления одного числа к другом. Разность это число противоположное сложению, это когда отнимают от большего числа меньшее. Произведением назовем число, которое получится в результате умножения одного числа на другое. Разность это противомоложное произведению число. Получаем разность так: делим одно число на другое.

Я математик по образованию, специальность: учитель математики. Проработала всю жизнь преподавателем математики в педвузе.

Необходимо оговориться. Речь в дальнейшем пойдет о сумме, разности, произведении, частном чисел.

Ответы на данные вопросы хотя и простые, но вызывают затруднения у учащихся. Чтобы можно было более подробно рассмотреть эту обобщающую тему, предлагаю вашему вниманию полезный материал по ней. Заметка называется Математика для блондинок.

Мне понравилась методика изучения.

Задается провокационный вопрос:

Разность - это поделить или умножить?

Пытаются заинтересовать (ни одна предложенная версия не является верной!)))

Затем отвечают:

Разность - это отнять. Результат вычитания называется разность.

Аналогично получают:

Сумма - это сложить. Результат сложения называется сумма.

Произведение - это умножить. Результат умножения называется произведение.

Частное - это деление. Результат деления называется частное.

Таким простым языком объясняются верные понятия суммы, разности, произедения и частного в математике. Немного упрощенно записаны лишь словосочетания: разность - это отнять, сумма - прибавить, произведение - умножить, частное - разделить. Если быть точными, так не утверждают.

Итак, результат сложения чисел (слагаемых) - это их сумма , результат вычитания чисел (уменьшаемого и вычитаемого) - это разность , результат умножения чисел (сомножителей) - это произведение , а результат деления чисел (делимого на делитель), причем делитель не должен быть равен нулю, иначе деление нельзя выполнить, есть частное этих чисел.

О других значениях данных слов не задумываюсь, математика затмевает все.)))

Слова Сумма, Разность, Произведение и Частное очень знакомо ученикам школ и других учебных заведений веди с этими определениям им приходиться на каждом уроке математики.

1) Сумма

Суммой является результат, полученный после сложения (+) двух или более чисел.

Суммой так же является итоговая стоимость товара (сумма к оплате), общая совокупность знаний, впечатлений и много чего.

2) Разность

В математике означает результат вычитания числе (-).

Слово разность так же может употребляться в качестве слова разницы чего-либо. Например, разность мнений, разность взглядов, разность показателей и т.д.

3) Произведение

Произведением является результат, полученный после умножения чисел (*).

Кроме математики это слово еще употребляется в качестве обозначения результата творческого процесса (произведение искусства), в качестве глагола от производить.

4) Честное

Этим словом обозначают результат деления двух чисел (:).

Слово частное мы так же можем услышать при обозначении принадлежности чего либо одному собственнику (частное лицо, частная собственность, частное дело).

Определение суммы чисел

Суммой (лат. summa — итог, общее количество) чисел называется результат суммирования этих чисел: . В частности, если складывается два числа и , то

Задание. Найти сумму чисел:

Ответ.

Свойства суммы чисел

Ассоциативность:

На основании этих свойств можем заключить, что от перестановки мест слагаемых сумма не изменяется.

Дистрибутивность по отношению к умножению

Задание. Найти сумму чисел удобным способом:

Решение. По свойствам сложения имеем

Ответ. 1)

При сложении больших чисел или десятичных дробей используется сложение в столбик.

Решение. Складываем эти числа в столбик, для этого запишем их друг под другом, разряд под разрядом. В случае десятичных дробей ориентируемся на то, чтобы запятая первого числа стояла под запятой второго. Далее складываем числа стоящие друг под другом, двигаясь справа на лево и записывая результата под чертой дроби. Если сумма чисел в одном столбце превышает десять, то количество десятков прибавляем к числам стоящим в следующем столбце слева от этого столбца:

Ответ. 1)

Сложение рациональных дробей производится по правилу

Решение. Вычислим первую сумму используя правило сложения рациональных чисел

Числитель и знаменатель полученной дроби можно сократить на 2, тогда в ответе получим

Для вычисления второй суммы, преобразуем сначала второе слагаемое в неправильную дробь, для этого умножим целую часть на знаменатель и прибавим полученное число к числителю. Далее применим правило сложение рациональных дробей

Выделим в полученной дроби целую часть, для этого разделим числитель на знаменатель с остатком. Полученное частное запишем в целую часть, а остаток от деления в числитель.

Ответ. 1) ; 2)

Как найти разность чисел в математике

Арифметические действия с числами

частное - результат деления.

сумма - прибавить;

произведение - умножить;

Разность чисел означает, насколько одно из них больше другого.

Это цифра, составляющая остаток при минусовании двух величин.

Это результат одного из четырёх арифметических действий, которым является вычитание.

Это то, что получится, если из уменьшаемого отнять вычитаемое.

Как найти разницу величин

Разностью называется результат вычитания одного числа из другого. Первое из этих чисел, из которого осуществляется вычитание, называется уменьшаемым, а второе, которое вычитают из первого, называется вычитаемым.

Ещё раз прибегнув к школьной программе, мы находим правило, как найти разность:

Теперь понятно, что разность состоит из двух чисел, которые для её вычисления должны быть известны. А как их найти тоже воспользуемся определениями:

Пример 3. Найти вычитаемое значение.

Решение: 17 - 7 = 10

Даны целые значения: 56, 12, 4.

12 и 4 - вычитаемые значения.

1 способ (последовательное отнимание вычитаемых значений):

2 способ (отнимание из уменьшаемого суммы двух вычитаемых, которые в таком случае называются слагаемыми):

Ответ: 40 - разница трёх значений.

Пример 5. Найти разницу рациональных дробных чисел.

Даны дроби с одинаковыми знаменателями, где

4/5 - уменьшаемая дробь,

Чтобы выполнить решение, нужно повторить действия с дробями. То есть, надо знать как отнимать дроби с одинаковым знаменателем. Как обращаться с дробями, имеющими разные знаменатели. Их надо уметь привести к общему знаменателю.

Решение: 4/5 - 3/5 = (4 - 3)/5 = 1/5

А как выполнить такой пример, когда требуется удвоить или утроить разницу?

Удвоенное число - это величина, умноженная на два.
Утроенное число - это величина, умноженная на три.
Удвоенная разность - это разница величин, умноженная на два.
Утроенная разность - это разница величин, умноженная на три.

2) 2 * 3 = 6. Ответ: 6 - разница чисел 7 и 5.

7 - уменьшаемая величина;

Если вычитаемое больше уменьшаемого, разница окажется отрицательной.

И пусть в начале пути вычисления сводятся к примитивным примерам, всё у вас впереди. А освоить придётся немало. Мы видим, что действий с разными величинами в математике множество. Поэтому кроме разницы необходимо изучить, как вычислить и остальные результаты арифметических действий:

произведение - умножением множителей;
частное - делением делимого на делитель.

Основными арифметическими действиями в математике являются:

Каждый результат этих действий также имеет своё название:

сумма - результат, получившийся при сложении чисел;
произведение - результат умножения чисел;

Это интересно: что такое модуль числа?

разность - отнять;
частное - разделить.

Рассматривая определения , что же такое разность чисел в математике, можно обозначить это понятие несколькими способами:

Это вычитание одного числа из другого.

Возьмём за основу то обозначение разности, которое нам предлагает школьная программа:

Уменьшаемое - это математическое число, от которого отнимают и оно уменьшается (становится меньше).
Вычитаемое - это математическое число, которое вычитают из уменьшаемого.
Чтобы найти уменьшаемое, надо к вычитаемому прибавить разность.
Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность .

Математические действия с разностью чисел

Решение: 20 - 15 = 5

Решение: 32 + 48 = 80

Ответ: вычитаемое значение 10.

Более сложные примеры

Решение можно выполнить двумя способами .

1) 56 - 12 = 44 (здесь 44 - получившаяся разница двух первых величин, которая во втором действии будет уменьшаемым);

1) 12 + 4 = 16 (где 16 - сумма двух слагаемых, которая в следующем действии будет вычитаемым);

Вроде всё понятно. Стоп! Вычитаемое больше уменьшаемого?

Математика для блондинок

В школе подобные действия с математическими величинами нас учили вычислять в столбик, а позднее - на калькуляторе. Калькулятор - это также удобное подспорье. Но, для развития мышления, интеллекта, кругозора и других жизненных качеств, советуем производить арифметические действия на бумаге или даже в уме. Красота человеческого тела - это великое достижение современного фитнес-плана. Но мозг - это тоже мышца, которая требует иногда её качать. А значит, не откладывая, начинайте думать.

Слово «разность» может употребляться во многих значениях. Это может означать и разницу чего-либо, например, мнений, взглядов, интересов. В некоторых научных, медицинских и других профессиональных сферах этим термином обозначают разные показатели, к примеру, уровня сахара в крови, атмосферного давления, погодных условий. Понятие «разность», как математический термин тоже существует.

разность - результат, получившийся при вычитании чисел;

Более простым языком объясняя понятия суммы, разности, произведения и частного в математике, можно упрощённо записать их лишь как словосочетания:

Разность в математике

Разностью в математике называется итог, получившийся при отнимании друг от друга двух и более чисел.
Это величина, являющаяся результатом вычитания двух значений.
Разность показывает количественное различие между двумя цифрами.

И все эти определения являются верными .

Чтобы найти разность, надо от уменьшаемого отнять вычитаемое.

Всё понятно. Но при этом мы получили ещё несколько математических терминов. Что они значат?

Опираясь на выведенные правила, можно рассмотреть наглядные примеры. Математика, интереснейшая наука. Мы здесь возьмём для решения лишь самые простые цифры. Научившись вычитать их, вы научитесь решать и более сложные значения, трёхзначные, четырёхзначные, целые, дробные, в степенях, корнях, другие.

Простые примеры

Пример 1. Найти разницу двух величин.

20 - уменьшаемое значение,

Ответ: 5 - разница величин.

Пример 2. Найти уменьшаемое.

32 - вычитаемое значение.

17 - уменьшаемая величина.

На примерах 1-3 рассмотрены действия с простыми целыми числами. Но в математике разницу вычисляют с применением не только двух, но и нескольких чисел, а также целых, дробных, рациональных, иррациональных, др.

Пример 4. Найти разницу трёх значений.

56 - уменьшаемое значение,

Пример 6. Утроить разницу чисел.

Вновь прибегнем к правилам:

7 - уменьшаемая величина,

5 - вычитаемая величина.

Пример 7. Найти разницу величин 7 и 18.

И опять есть применяемое для конкретного случая правило:

Ответ: - 11. Это отрицательное значение и есть разница двух величин, при условии, что вычитаемая величина больше уменьшаемой.

Во Всемирной паутине можно найти массу тематических сайтов, которые ответят на любой вопрос. Точно так же в любых математических расчётах вам помогут онлайн-калькуляторы на любой вкус. Все расчёты, производимые на них, прекрасное подспорье для торопливых, нелюбознательных, ленивых. Математика для блондинок - один из таких ресурсов. Причём прибегаем к нему мы все, независимо от цвета волос, пола и возраста.

сумму - сложением слагаемых;

Вот такая интересная арифметика.

1-й класс Математика. «Сумма и значение суммы»

Цели:

Познакомить и формировать умение пользоваться математическими терминами » сумма», » значение суммы». Совершенствовать вычислительные навыки.

Развивать умения сравнивать, анализировать, обобщать. Развивать математическую речь, интерес к математике.

Воспитывать самостоятельность, дисциплинированность, умение работать в коллективе.

Оборудование: Мел, доска, карточки, мультимедийная установка, презентация.

1. Организация класса на урок.

2. Сообщение темы и целей урока:

Сегодня на уроке мы будем открывать и раскрывать тайны математики. Итак, в путь!

3. Знакомство с новым материалом.

Ребята, а вы любите сказки? А сказки Уолта Диснея? Сейчас я зачитаю отрывок из сказки, а вы попробуйте догадаться о ком идет речь.

Просыпайся, друг Филин!- весело крикнул зайчонок Толстячок.- Новый принц родился!

Радостная весть мгновенно облетела лес, и все лесные жители спешили посмотреть на новорожденного олененка. Они умилялись, глядя на то, как он пытается встать. Его ножки были еще слишком слабыми, и он все время падал.

Кто его узнал? Это, действительно, олененок по имени Бемби. И вот однажды наступило время познакомить его с лесом Из сказки мы с вами знаем, что Бемби любознательный, поэтому он приходил в восторг от всего, что видел вокруг.

Давайте мы с вами отправимся с олененком в необычный «лес-математики».

Олененок попадает на полянку и видит множество цветов. Но присмотревшись поближе, он замечает, что цветы хранят в себе какую-то тайну.

Помогите ему разгадать эту тайну.

Посмотрите и скажите, что вы видите? Какие всевозможные математические записи мы можем составить?

Формулы сокращённого умножения

При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения . Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Следует также помнить, что вместо « a » и « b » в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

Разность квадратов

Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.

a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)

15 2 − 2 2 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
9a 2 − 4b 2 с 2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

Квадрат суммы

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел , не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.
112 = 100 + 1
Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
112 2 = (100 + 12) 2
Воспользуемся формулой квадрата суммы:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 · 100 · 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

(8a + с) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Квадрат разности

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Как запомнить куб суммы

Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.

Выучите, что в начале идёт « a 3 ».
Два многочлена посередине имеют коэффициенты 3 .
Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1 . (a 0 = 1, b 0 = 1) . Легко заметить, что в формуле идёт понижение степени « a » и увеличение степени « b ». В этом можно убедиться:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Предостережение!

Куб разности

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.

(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков « + » и « − ». Перед первым членом « a 3 » стоит « + » (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять « − », затем опять « + » и т.д.

(a − b) 3 = + a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Сумма кубов

Не путать с кубом суммы!

Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2)

Сумма кубов - это произведение двух скобок.

Первая скобка - сумма двух чисел.
Вторая скобка - неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:
(a 2 − ab + b 2)
Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.

Разность кубов

Не путать с кубом разности!

Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Будьте внимательны при записи знаков.

Применение формул сокращенного умножения

Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.

a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
(aс − 4b)(ac + 4b) = a 2 c 2 − 16b 2

Таблицу со всеми формулами сокращённого умножения вы можете скачать в разделе «Шпаргалки».

21. Куб суммы и куб разности. Правила

При любых значениях a и b верно равенство

(a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 . (1)

(a + b) 3 = (a + b) (a 2 + 2 a b + b 2) =

A 3 + 2 a 2 b + a b 2 + a 2 b + 2 a b 2 + b 3 =

A 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

Так как равенство (1) верно при любых значениях a и b,
формулой куба суммы. Если в эту формулу вместо a и b
то опять получится тождество.

(5 y 3 + 2 z) 3 = 125 y 9 + 150 y 6 z + 60 y 3 z 2 + 8 z 3 . (2)

Поэтому формула куба суммы читается так:

куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения
плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго,
плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго,
плюс куб второго выражения.

(a − b) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 . (3)

(a − b) 3 = (a − b) (a 2 − 2 a b + b 2) =

A 3 − 2 a 2 b + a b 2 − a 2 b + 2 a b 2 − b 3 =

A 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3

Так как равенство (3) верно при любых значениях a и b,
то оно является тождеством. Это тождество называется
формулой куба разности. Если в эту формулу вместо a и b
подставить какие-нибудь выражения, например 5 y 3 и 2 z ,
то опять получится тождество.

(5 y 3 − 2 z) 3 = 125 y 9 − 150 y 6 z + 60 y 3 z 2 − 8 z 3 . (4)

Поэтому формула куба разности читается так:

куб разности двух выражений равен кубу первого выражения
минус утроенное произведение квадрата первого выражения и второго,
плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго,
минус куб второго выражения.

Задачи на тему «Куб суммы и куб разности»

Используя формулу куба суммы или куба разности, преобразуйте выражение
в многочлен стандартного вида и выберите правильный ответ.

1) = a 3 − 3 a 2 c + 3 a c 2 − c 3

2) = a 3 − 3 a 2 c + 3 a c 2 + c 3

3) = a 3 − 3 a c 2 + 3 a c 2 − c 3 Неверно. Не кликай на пустое поле. (x + 2 y) 3 =

1) = x 3 + 6 x 2 y + 6 x y 2 + 4 y 3

2) = x 3 + 6 x 2 y + 12 x y 2 + 8 y 3

3) = x 3 + 6 x 2 y + 6 x y 2 + 8 y 3 Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. (3 a − 2 b) 3 =

1) = 27 a 3 − 27 a 2 b + 12 a b 2 − 8 b 3

2) = 27 a 3 − 54 a 2 b + 36 a b 2 − 8 b 3

3) = 27 a 3 − 18 a 2 b + 18 a b 2 − 8 b 3 Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. (

Особенности уплаты налога на прибыль Уплата налога на прибыль имеет некоторые особенности, с которыми мы постараемся разобраться в статье ниже. Каков срок уплаты налога на прибыль? Что такое авансовые платежи и как их […]
Мент в законе 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 сезон смотреть онлайн Сериал «Мент в законе» о настоящих ценностях в отделе расследований. О настоящих мужчинах, которые готовы грызть глотки любому, кто решит нарушить покой в их городе. Честь и […]
До какого года будут давать материнский капитал? Программа «Материнский капитал» внедренная еще в далеком 2007 году все еще продолжает существовать. Программа была запущена с целью оказания финансовой помощи семьям, в которых больше […]
Как провести возврат товара поставщику в 1с Вопрос: Как произвести возврат товара поставщику в "1С:Бухгалтерии 8" (ред. 3.0)? Дата публикации 11.05.2016 Использован релиз 3.0.43 Возврат не принятого на учет товара Возврат принятого на […]
Сроки рассмотрения гражданских дел в суде первой инстанции Московские суды общей юрисдикции очень загружены и, как правило, гражданские дела рассматриваются достаточно долго. Вообще уложиться в нормативный 2-х месячный срок судье […]
Пени: платежное поручение (образец) Актуально на: 30 мая 2017 г. Пени по НДФЛ (образец платежного поручения) При несвоевременном перечислении налогов и взносов, плательщик должен уплатить пени (ст. 75 НК РФ, ст. 26.11 Федерального закона […]
Декретные выплаты и пособия по уходу за ребенком женщинам ИП в 2018 году Трудоустроенные роженицы защищены нормами российского законодательства. Они получают полагающиеся выплаты по месту службы за счет средств Фонда социального […]
Налоги с дивидендов в 2018 году Успех деятельности любого предприятия, в котором фигурирует несколько акционеров, исчисляется суммой дивидендов, положенных каждому участнику. Отображение данных показателей перед налоговиками […]

РАЗНОСТЬ

1. Число, составляющее остаток в вычитании (мат.). Уменьшаемое равно вычитаемому плюс разность.

Толковый словарь Ушакова . Д.Н. Ушаков. 1935-1940 .

Синонимы :

Смотреть что такое "РАЗНОСТЬ" в других словарях:

См. разница... Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские словари, 1999. разность избыток, разница; отличие, различие, разрыв, несходство; разнокалиберность, перепад, сальдо, марджин, натяг,… … Словарь синонимов

- (difference) Изменение значения какой либо переменной между фиксированными моментами времени. Если xt – значение переменной х во время t, то первая разность определяется как Δxt=xt–xt–1. Вторая разность равна первой разнице Δxt, минус первая… … Экономический словарь

РАЗНОСТЬ, разнота и пр. см. разный. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля

Результат вычитания … Большой Энциклопедический словарь

РАЗНОСТЬ, и, жен. 1. см. разный. 2. Результат, итог вычитания. | прил. разностный, ая, ое. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

Разность многозначный термин: результат вычитания. Разность (минералогия) (например, «среднезернистые разности» или «мелоподобные разности») Разность потенциалов … Википедия

И; ж. 1. к Разный (1 зн.); различие. Р. убеждений, взглядов. Обнаружить р. в подходах к историческим фактам. // Различие между двумя сравниваемыми величинами в числовом выражении. Р. высот над уровнем моря. Р. температур. Р. уровней воды. Р. в… … Энциклопедический словарь

разность - ▲ величина различие разность величина различия; результат вычитания; количественное различие. разница. перепад (# давлений). приращение. ▼ ни на сколько, угол ↓ вычита … Идеографический словарь русского языка

Книги

Комплект таблиц. Алгебра. 7 класс. 15 таблиц + методика , . Таблицы отпечатаны на плотном полиграфическом картоне размером 680 х 980 мм. В комплект входит брошюра с методическими рекомендациями для учителя. Учебный альбом из 15 листов. Выражения.…
Распределенная во времени «разность разностей» на примере оценки отдачи от дополнительного профессионального обучения , А. В. Аистов. В работе представлена эконометрическая модель, описывающая распределение во времени эффекта воздействия, построенная на основе методологии «разность разностей». Модель позволила…

Определение: Вычитание - это действие, с помощью которого по сумме и одному из слагаемых находится второе слагаемое.

Например:
если 55 + 35 = 90,
то 90 - 35 = 55.

В общем виде:
если а + Ь = с,
то с - Ь = а.

Действие вычитания проверяется действием сложения. Число, из которого вычитаем, называется уменьшаемым, а число, которое вычитаем, - вычитаемым. Результат действия вычитания - это разность.

Вычитаемое может быть не одним числом, а суммой нескольких чисел, тогда разность может быть определена еще и по нижеследующему правилу, которое чаще всего применяется при вычислении.
Вычислить удобным способом - это применить законы сложения к конкретным числам так, чтобы сам процесс вычисления неизвестного упростить (например, использовать таблицу дополнения до десятка по разрядам, избежать при вычислении перехода через десяток и т. д.).

Правило 1. Чтобы вычесть сумму из числа, можно из него вычесть одно слагаемое, а из полученного результата (разности) вычесть второе слагаемое.

Например:
126 - (56 + 30) = (126 - 56) - 30 = 40.

В общем виде:
а - (Ь + с) = (а - Ь) - с.

Правило 2. Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного из слагаемых и к результату прибавить второе слагаемое.

Правило 2 можно использовать при вычислении натуральных чисел только в случае, если одно из слагаемых больше вычитаемого числа.

Например:
(71 + 7) - 51 = (71 - 51) + 7 = 20 + 7 = 27, но нельзя (71 + 7) - 51 = (7 - 51) + 71,так как разность (7 - 51) - ненатуральное число.

В общем виде: (а + Ь) - с = (а - с) + Ь.

Эти свойства разности используются для проверки правильности вычислений при вычитании.

Например: 136 - 82 = 54.

Проверка вычислений:
1) 54 + 82 = 136;

Что такое разность чисел в математике и как найти разность чисел

В этой статье мы рассмотрим, что такое разность чисел в математике, и как человеку, интересующемуся этой наукой, найти разность чисел.

Что такое разность чисел в математике

Вычитание является одной из 4 арифметических операций. Для его обозначения служит математический знак «−» (минус). Вычитание противоположно по смыслу операции сложения.

Операция вычитания в общем случае записывается следующим образом:

Здесь разностью чисел будет являться число 4. Следовательно, разность между любыми числами A и B это такое число C, которое при прибавлении к B даст в сумме A (4 при прибавлении к 2 дает 6 - значит, 4 это разность 6 и 2).

Как найти разность чисел

Уже из самого определения следует, как вычислить разность между двумя числами. При небольших числах можно делать это в уме. Детей в начальной школе учат следующим образом. Представьте, что у Вас есть 5 яблок, и 3 из них забрали. Сколько у Вас осталось? Правильно - 2 яблока. Постепенно Вы доведете вычисления до автоматизма и будете сразу выдавать ответ.

Однако для чисел выше 50 такое наглядное представление перестает работать. Большое количество предметов тяжело представить в уме, поэтому здесь на помощь приходит другой способ:

Вычисление разности в столбик

Школьники изучают этот способ в рамках курса математики, обычно во втором или третьем классе. Взрослые люди, пользующиеся калькулятором, зачастую забывают, как считать в столбик. Однако калькулятор не всегда бывает под рукой. Освежите в памяти школьные знания, посмотрев это видео.

Вычисление разности в столбик – видео

Этот способ применим и тогда, когда Вам нужно вычесть большее число из меньшего. В реальной жизни такое обычно не требуется, но может пригодиться при решении математических задач.

Допустим, в примере «A − B = C» B больше, чем A. Тогда C будет отрицательным. Чтобы вычислить разность, «разверните» пример: посчитайте значение B − A. Когда Вы закончите считать эту разность, у вас получится число C, только с противоположным знаком: оно будет больше нуля. Чтобы завершить вычисления, припишите к нему спереди знак минус. Полученный результат — отрицательное число C, и будет искомым значением разности A − B.

www.chto-kak-skolko.ru

Что такое разность чисел

Здравствуйте!
Помогите ответить на вопрос: «Что такое произведение чисел?»
Помощь нужна для получения зачета! Очень нужна.
Спасибо огромное!

Разностью некоторых чисел называется результат вычитания одного числа из другого. При этом компонент вычитания, из которого вычитают, называется уменьшаемым, а число, которое вычитают - вычитаемым.
Например, 29-13=16. Здесь 29 - уменьшаемое, 13 - вычитаемое, а 16 - разность.
Рассмотрим простейший пример.

Пример.
Найдем разность чисел:
47-19=28.

Ответ. 47-19=28.

Можно находить разность не только натуральных чисел, но и целых, дробных, рациональных, иррациональных и т.д.
Для нахождения разности чисел довольно часто используется вычитание в столбик.
Для вычитания в столбик необходимо записывать числа так, чтобы единицы были под единицами, десятки под десятками и т.д. Вычитание выполняют справа налево и из верхнего числа меньшее.

Правило нахождения разности рациональных дробей:
Предварительно рациональные дроби сводят к одному знаменателю, записывают под знаком одной дроби и вычитают числители.

Пример.
Найдем разность рациональных дробей .

Решение.
Воспользуемся правилом вычитания рациональных дробей и сведем дроби к одному знаменателю:

Для вычитания смешанных чисел их нужно сначала преобразовать к виду неправильной дроби, а затем вычесть как рациональные дроби.

Пример.
Найдем разность чисел .

Решение.

Ответ . .

ru.solverbook.com

Как найти разность чисел в математике

Основными арифметическими действиями в математике являются:

Каждый результат этих действий также имеет своё название:

разность - результат, получившийся при вычитании чисел;

разность - отнять;

Разность чисел означает, насколько одно из них больше другого.

Разностью в математике называется итог, получившийся при отнимании друг от друга двух и более чисел.

Это вычитание одного числа из другого.