Ответ - Множество (-∞;+∞) называется числовой прямой, а любое число - точкой этой прямой. Пусть a - произвольная точка числовой прямой и δ
Положительное число. Интервал (a-δ; a+δ) называется δ-окрестностью точки а.
Множество Х ограничено сверху (снизу), если существует такое число c, что для любого x ∈ X выполняется неравенство x≤с (x≥c). Число с в этом случае называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным. Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.
Числовым промежутком называется связанное множество действительных чисел, то есть такое, что если 2 числа принадлежат этому множеству, то все числа заключенные между ними также принадлежат этому множеству. Существует несколько в некотором смысле различных типов непустых числовых промежутков: Прямая, открытый луч, замкнутый луч, отрезок, полуинтервал, интервал
Числовая прямая
Множество всех действительных чиселназывают ещё числовой прямой. Пишут.
На практике нет необходимости различать понятие координатной или числовой прямойв геометрическом смысле и понятие числовой прямой, введённое настоящим определением. Поэтому эти разные понятия обозначаются одним и тем же термином.
Открытый луч
Множество чисел таких, чтоилиназывают открытым числовым лучом. Пишутили соответственно:.
Замкнутый луч
Множество чисел таких, чтоилиназывают замкнутым числовым лучом. Пишутили соответственно:.
Множество чисел таких, чтоназывают числовым отрезком.
Замечание. В определении не оговаривается, что . Предполагается, что случайвозможен. Тогда числовой промежуток превращается в точку.
Интервал
Множество чисел , таких чтоназывают числовым интервалом.
Замечание. Совпадение обозначений открытого луча, прямой и интервала не случайно. Открытый луч можно понимать как интервал, один из концов которого удалён в бесконечность, а числовую прямую - как интервал, оба конца которого удалены в бесконечность.
Полуинтервал
Множество чисел , таких чтоилиназывают числовым полуинтервалом.
Пишут или, соответственно,
3.Функция.График функции. Способы задания функции.
Ответ - Если даны две переменные х и y, то говорят, что переменная y является функцией от переменной х, если задана такая зависимость между этими переменными, которая позволяет для каждого значения ходнозначно определить значение у.
Запись F = у(х) означает, что рассматривается функция, позволяющая для любого значения независимой переменной х (из числа тех, которые аргумент х вообще может принимать) находить соответствующее значение зависимой переменной у.
Способы задания функции.
Функция может быть задана формулой, например:
у = 3х2 – 2.
Функция может быть задана графиком. С помощью графика можно установить, какое значение функции соответствует указанному значению аргумента. Обычно это приближённое значение функции.
4.Основные характеристики функции: монотонность, четность, периодичность.
Ответ -
Периодичность
Определение.
Функция f называется периодичной,
если существует такое число
,
что f(x+
)=f(x), для
всех xD(f).
Естественно,
что таких чисел существует бесчисленное
множество. Наименьшее положительное
число ^ Т называется периодом
функции.
Примеры.
А. у = соs х,
Т = 2.
В.
у = tg х, Т =.
С.
у = {х}, Т = 1.
D. у =, эта
функция не является
периодической.
Четность
Определение.
Функция f называется четной, если
для всех х из D(f) выполняется
свойство f(-х) = f(х).
Если f(-х)
= -f(х), то функция называется нечетной.
Если
ни одно из указанных соотношений не
выполняется, то функция называется
функцией общего вида.
Примеры.
А.
у = соs (х) - четная;
В. у = tg (х) -
нечетная;
С. у = {х}; y=sin(x+1) –
функции общего вида.
Монотонность
Определение.
Функция f: X -> R называется
возрастающей (убывающей), если для
любых
выполняется
условие:
Определение.
Функция Х ->R называется монотонной
на X, если она на X возрастающая
или убывающая.
Если f монотонна
на некоторых подмножествах из X, то
она называется кусочно-монотонной.
Пример. у
= cos х - кусочно-монотонная
функция.
Числовой интервал
Промежуток , открытый промежуток , интервал - множество точек числовой прямой, заключённых между двумя данными числами a и b , то есть множество чисел x , удовлетворяющих условию: a < x < b . Промежуток не включает концов и обозначается (a ,b ) (иногда ]a ,b [ ), в отличие от отрезка [a ,b ] (замкнутого промежутка), включающего концы, то есть состоящего из точек .
В записи (a ,b ) , числа a и b называют концами промежутка. Промежуток включает все вещественные числа , промежуток - все числа меньшие a и промежуток - все числа большие a .
Термин промежуток используется в составе сложных терминов:
- при интегрировании - промежуток интегрирования ,
- при уточнении корней уравнения - промежуток изоляции
- при определении сходимости степенных рядов - промежуток сходимости степенного ряда .
Кстати, в английском языке словом interval называется отрезок . А для обозначения понятия интервала используется термин open interval .
Литература
- Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: «Астрель», «АСТ», 2002
См. также
Ссылки
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Числовой интервал" в других словарях:
От лат. intervallum промежуток, расстояние: В музыке: Интервал отношение высот двух тонов; отношение звуковых частот этих тонов. В математике: Интервал (геометрия) множество точек прямой, заключённых между точками А и В,… … Википедия
< x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия
Промежуток, открытый промежуток, интервал множество точек числовой прямой, заключённых между двумя данными числами a и b, то есть множество чисел x, удовлетворяющих условию: a < x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия
Промежуток, или более точно, промежуток числовой прямой множество вещественных чисел, обладающее тем свойством, что вместе с любыми двумя числами содержит любое, лежащее между ними. С использованием логических символов, это определение… … Википедия
Напомним определения некоторых основных подмножеств действительных чисел. Если, то множество называется отрезком расширенной числовой прямой R и обозначается через, то есть В случае отрезок … Википедия
Последовательность Числовая последовательность это последовательность элементов числового пространства. Числовые пос … Википедия
МИКРОСКОП - (от греч. mikros малый и skopeo смотрю), оптический инструмент для изучения малых предметов, недоступных непосредственному рассмотрению невооруженным глазом. Различают простой М., или лупу, и сложный М., или микроскоп в собственном смысле. Лупа… … Большая медицинская энциклопедия
ГОСТ Р 53187-2008: Акустика. Шумовой мониторинг городских территорий - Терминология ГОСТ Р 53187 2008: Акустика. Шумовой мониторинг городских территорий оригинал документа: 1 Дневной оценочный уровень звука. 2 Вечерний оценочный максимальный уровень звука. 3 Ночной оценочный уровень звукового давления … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Отрезком может называться одно из двух близких понятий в геометрии и математическом анализе. Отрезок множество точек, к … Википедия
Коэффициент корреляции - (Correlation coefficient) Коэффициент корреляции это статистический показатель зависимости двух случайных величин Определение коэффициента корреляции, виды коэффициентов корреляции, свойства коэффициента корреляции, вычисление и применение… … Энциклопедия инвестора
В) Числовая прямая
Рассмотрим числовую прямую (рис. 6):
Рассмотрим множество рациональных чисел
Каждое рациональное число изображается некоторой точкой на числовой оси. Так, на рисунке отмечены числа .
Докажем, что .
Доказательство. Пусть существует дробь : . Мы вправе считать эту дробь несократимой. Так как , то - число четное: - нечетное. Подставляя вместо его выражение, найдем: , откуда следует, что - четное число. Получили противоречие, которое доказывает утверждение.
Итак, не все точки числовой оси изображают рациональные числа. Те точки, которые не изображают рациональные числа, изображают числа, называемые иррациональными .
Любое число вида , , является либо целым, либо иррациональным.
Числовые промежутки
Числовые отрезки, интервалы, полуинтервалы и лучи называют числовыми промежутками.
Неравенство, задающее числовой промежуток | Обозначение числового промежутка | Название числового промежутка | Читается так: |
a ≤ x ≤ b | [a; b ] | Числовой отрезок | Отрезок от a до b |
a < x < b | (a; b ) | Интервал | Интервал от a до b |
a ≤ x < b | [a; b ) | Полуинтервал | Полуинтервал от a до b , включая a . |
a < x ≤ b | (a; b ] | Полуинтервал | Полуинтервал от a до b , включая b . |
x ≥ a | [a; + ∞ ) | Числовой луч | Числовой луч от a до плюс бесконечности |
x > a | (a; + ∞ ) | Открытый числовой луч | Открытый числовой луч от a до плюс бесконечности |
x ≤ a | (- ∞; a ] | Числовой луч | Числовой луч от минус бесконечности до a |
x < a | (- ∞; a ) | Открытый числовой луч | Открытый числовой луч от минус бесконечности до a |
Представим на координатной прямой числа a и b , а также число x между ними.
Множество всех чисел, отвечающих условию a ≤ x ≤ b , называется числовым отрезком илипросто отрезком . Обозначается так: [a; b ]-Читается так: отрезок от a до b.
Множество чисел, отвечающих условию a < x < b , называется интервалом . Обозначается так: (a; b )
Читается так: интервал от a до b.
Множества чисел, отвечающих условиям a ≤ x < b или a < x ≤ b , называются полуинтервалами . Обозначения:
Множество a ≤ x < b обозначается так:[a; b ),-читается так: полуинтервал от a до b , включая a .
Множество a < x ≤ b обозначается так:(a; b ],-читается так: полуинтервал от a до b , включая b .
Теперь представим луч с точкой a , справа и слева от которой - множество чисел.
a , отвечающих условию x ≥ a , называется числовым лучом .
Обозначается так: [a; + ∞ )-Читается так: числовой луч от a до плюс бесконечности.
Множество чисел справа от точки a , отвечающих неравенству x > a , называется открытым числовым лучом .
Обозначается так: (a; + ∞ )-Читается так: открытый числовой луч от a до плюс бесконечности.
a , отвечающих условию x ≤ a , называется числовым лучом от минус бесконечности до a .
Обозначается так:(- ∞; a ]-Читается так: числовой луч от минус бесконечности до a .
Множество чисел слева от точки a , отвечающих неравенству x < a , называется открытым числовым лучом от минус бесконечности до a .
Обозначается так: (- ∞; a )-Читается так: открытый числовой луч от минус бесконечности до a .
Множество действительных чисел изображается всей координатной прямой. Его называют числовой прямой . Обозначается она так: (- ∞; + ∞ )
3)Линейные уравнения и неравенства с одной переменной,их решения:
Равенство, содержащее переменную, называют уравнением с одной переменной, или уравнением с одним неизвестным. Например, уравнением с одной переменной является равенство 3(2х+7)=4х-1.
Корнем или решением уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. Например, число 1 является решением уравнения 2х+5=8х-1. Уравнение х2+1=0 не имеет решения, т.к. левая часть уравнения всегда больше нуля. Уравнение (х+3)(х-4) =0 имеет два корня: х1= -3, х2=4.
Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Уравнения называются равносильными, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения и наоборот, все корни второго уравнения являются корнями первого уравнения или, если оба уравнения не имеют корней. Например, уравнения х-8=2 и х+10=20 равносильны, т.к. корень первого уравнения х=10 является корнем и второго уравнения, и оба уравнения имеют по одному корню.
При решении уравнений используются следующие свойства:
Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получите уравнение, равносильные данному.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Уравнение ах=b, где х – переменная, а и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.
Если а¹0, то уравнение имеет единственное решение .
Если а=0, b=0, то уравнению удовлетворяет любое значение х.
Если а=0, b¹0, то уравнение не имеет решений, т.к. 0х=b не выполняется ни при одном значении переменной.
Пример 1. Решить уравнение: -8(11-2х)+40=3(5х-4)
Раскроем скобки в обеих частях уравнения, перенесем все слагаемые с х в левую часть уравнения, а слагаемые, не содержащие х, в правую часть, получим:
16х-15х=88-40-12
Пример 2. Решить уравнения:
х3-2х2-98х+18=0;
Эти уравнения не являются линейными, но покажем, как можно решать такие уравнения.
3х2-5х=0; х(3х-5)=0. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, получаем х1=0; х2= .
Ответ: 0; .
Разложить на множители левую часть уравнения:
х2(х-2)-9(х-2)=(х-2)(х2-9)=(х-2)(х-3)(х-3), т.е. (х-2)(х-3)(х+3)=0. Отсюда видно, что решениями этого уравнения являются числа х1=2, х2=3, х3=-3.
с) Представим 7х, как 3х+4х, тогда имеем: х2+3х+4х+12=0, х(х+3)+4(х+3)=0, (х+3)(х+4)=0, отсюда х1=-3, х2=- 4.
Ответ: -3; - 4.
Пример 3. Решить уравнение: ½х+1ç+½х-1ç=3.
Напомним определение модуля числа:
Например: ½3½=3, ½0½=0, ½- 4½= 4.
В данном уравнении под знаком модуля стоят числа х-1 и х+1. Если х меньше, чем –1, то число х+1 отрицательное, тогда ½х+1½=-х-1. А если х>-1, то ½х+1½=х+1. При х=-1 ½х+1½=0.
Таким образом,
Аналогично
а) Рассмотрим данное уравнение½х+1½+½х-1½=3 при х£-1, оно равносильно уравнению -х-1-х+1=3, -2х=3, х= , это число принадлежит множеству х£-1.
b) Пусть -1 < х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.
с) Рассмотрим случай х>1.
х+1+х-1=3, 2х=3, х= . Это число принадлежит множеству х>1.
Ответ: х1=-1,5; х2=1,5.
Пример 4. Решить уравнение:½х+2½+3½х½=2½х-1½.
Покажем краткую запись решения уравнения, раскрывая знак модуля «по промежуткам».
х £-2, -(х+2)-3х=-2(х-1), - 4х=4, х=-2Î(-¥; -2]
–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]
0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]
х>1, х+2+3х=2(х-1), 2х=- 4, х=-2Ï(1; +¥)
Ответ: [-2; 0]
Пример 5. Решить уравнение: (а-1)(а+1)х=(а-1)(а+2), при всех значениях параметра а.
В этом уравнении на самом деле две переменных, но считают х–неизвестным, а а–параметром. Требуется решить уравнение относительно переменной х при любом значении параметра а.
Если а=1, то уравнение имеет вид 0×х=0, этому уравнению удовлетворяет любое число.
Если а=-1, то уравнение имеет вид 0×х=-2, этому уравнению не удовлетворяет ни одно число.
Если а¹1, а¹-1, тогда уравнение имеет единственное решение .
Ответ: если а=1, то х – любое число;
если а=-1, то нет решений;
если а¹±1, то .
Б)Линейные неравенства с одной переменной.
Если переменной х придать какое-либо числовое значение, то мы получим числовое неравенство, выражающее либо истинное, либо ложное высказывание. Пусть, например, дано неравенство 5х-1>3х+2. При х=2 получим 5·2-1>3·2+2 – истинное высказывание (верное числовое высказывание); при х=0 получаем 5·0-1>3·0+2 – ложное высказывание. Всякое значение переменной, при котором данное неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства. Решить неравенство с переменной – значит найти множество всех его решений.
Два неравенства с одной переменной х называются равносильными, если множества решений этих неравенств совпадают.
Основная идея решения неравенства состоит в следующем: мы заменяем данное неравенство другим, более простым, но равносильным данному; полученное неравенство снова заменяем более простым равносильным ему неравенством и т.д.
Такие замены осуществляются на основе следующих утверждений.
Теорема 1. Если какой-либо член неравенства с одной переменной перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив при этом без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема 2. Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, оставив при этом без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема 3. Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.
Линейным называется неравенство вида ax+b>0 (соответственно ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.
Пример 1. Решить неравенство: 2(х-3)+5(1-х)³3(2х-5).
Раскрыв скобки, получим 2х-6+5-5х³6х-15,
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Базовый учебник. Алгебра 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений./ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. – 15-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2007. ISBN 978-5-09-015964-7.
Дидактическая цель урока: создание условий для осознанного изучения нового материала и включение знаний учащихся в процесс познания.
Цели урока:
- Образовательные
:
- ввести понятие числового промежутка;
- формировать умения работать с числовыми промежутками;
- изображать на координатной прямой промежуток и множество чисел, удовлетворяющих неравенству;
- прививать навыки графической культуры.
- Воспитательные
:
- воспитание интереса к математике через использование и применение ИКТ;
- создание условий для формирования коммуникативных навыков.
- Развивающие
:
- совершенствование умственной деятельности: анализ, синтез, классификация;
- развитие способности самостоятельно решать учебные задачи, развитие любознательности учащихся, познавательного интереса к предмету;
Задачи урока:
- Знать:
- понятия: числовой промежуток, числовой луч, открытый числовой луч;
- обозначение числовых промежутков, их названия.
- Уметь:
- изображать числовые промежутки на координатной прямой;
- записывать числовые промежутки на математическом языке.
- Научиться делать самоанализ урока.
Приобретаемые навыки детей:
- умение анализировать, сравнивать, сопоставлять, делать соответствующие выводы;
- развитие логического мышления, памяти, речи, пространственного воображения;
- повышение уровеня восприятия, осмысления и запоминания;
- воспитание внимательного отношения к окружающим, друг к другу, учебной дисциплины;
- умение подводить итоги своей работы, анализировать свою деятельность;
Тип урока: урок изучения нового материала и первичного закрепления.
Формы организации работы детей: индивидуальная, фронтальная, парная.
Формы организации работы учителя:
- используется словесно-иллюстративный метод, репродуктивный метод, практический метод, проблемный метод, беседа-сообщение;
- проверка ранее изученного материала, организация восприятия новой информации;
- постановка цели занятия перед учащимися;
- обобщение изучаемого на уроке и введение его в систему ранее усвоенных знаний.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, ПК, линейка, карандаш, набор цветных карандашей, Презентация .
Структура и ход урока:
Этапы урока |
Деятельность учителя |
Деятельность ученика |
Организационный момент (1 мин.) | Учитель проверяет готовность к уроку | Учащиеся определяют готовность к уроку |
Проверка домашнего задания и актуализация знаний. (1 мин.) | Проверяем домашнее задание. Слово консультантам. (на каждом ряду есть ответственные учащиеся, которые перед началом урока проверяют наличие выполненного домашнего задания). |
Открывают тетради. Докладывают о выполнении домашнего задания учащимися. (В случае отсутствия домашнего задания, учащимся даётся консультация после уроков) |
Устный счёт (6 мин.) Слайды 2, 3, 4, 5. |
1. Сложите почленно неравенства:
2. Умножьте почленно:
3. Прочитайте неравенство и назовите несколько значений переменной, удовлетворяющее данному неравенству:
4. Между какими целыми числами заключено число? |
Ответы учащихся:
Учащиеся читают и называют значения переменной Х, удовлетворяющее данному неравенству. Называют целые числа между которыми заключено число. |
Целеполагание (2 мин.) Слайд 6. |
Сегодня на уроке мы должны научиться изображать неравенства в виде промежутков и записывать их обозначениями. Нам потребуется линейка, карандаш и цветные карандаши, если у кого они есть. | Готовят инструменты |
Изучение нового материала. (10 мин.) Слайд 7 Слайды 8, 9 Слайды 10, 11 |
Изучение нового материала
сопровождается показом презентации 1. Ввод
понятия числового промежутка. |
Слушают объяснение учителя и делают записи в рабочих тетрадях. |
Физминутка (1 мин.) | Самое время заняться гимнастикой, чтобы
голова и тело отдохнули от работы! 1. Вытяни руки перед собой и покрути кистями то в одну, то в другую сторону. Сделай 3 раза. 2. Надави пальцами рук друг на друга, отожми, а потом вновь надави и задержи пальцы в таком состоянии секунд 5-7. 3. Покрутите головой, 3 раза в одну сторону, три раза в другую. 4. Закрой рукой глаз, скрути корпус в одну сторону, а потом в другую. Сделай 3 раза. |
Выполняют указанные предписания на
месте. Дежурный по классу ведёт физминутку |
Освоение учащимися новой информации (5 мин.) | Работаем с информацией из учебника Стр. 173, таблица. |
Запоминают обозначение и название числовых промежутков. |
Первичное закрепление знаний (14 мин.) | 1. №812 (а, б, е, ж); 2. №815; 3. №816; 4. №825 (а, б); 5. №827 (а, б). |
У доски и в тетрадях. |
Контроль и проверка знаний (2 мин.) | №813 | Один ученик у доски, остальные проверяют правильность его ответа и запись числового промежутка. |
Рефлексия (1 мин.) | Ребята, ответьте, пожалуйста, на
следующие вопросы: – Что было самое интересное
на уроке? |
Ответы с места |
Подведение итогов урока (1 мин.) | Итак, подведём итоги урока. Ребята,
ответьте, пожалуйста, на вопрос: – Какие новые числовые промежутки вы сегодня узнали? |
Отвечают на вопрос: Открытый луч, Замкнутый луч, Отрезок, Интервал, Полуинтервал. |
Домашнее задание (2 мин.) | п.33, стр. 173, знать обозначение и название
числовых промежутков. №814, №816 (в, г), №825 (в). |
Знакомятся с домашним заданием, записывают в дневник |
Среди числовых множеств, то есть множеств , объектами которых являются числа, выделяют так называемые числовые промежутки . Их ценность в том, что очень легко вообразить множество, соответствующее указанному числовому промежутку, и наоборот. Поэтому с их помощью удобно записывать множество решений неравенства.
В этой статье мы разберем все виды числовых промежутков. Здесь мы дадим их названия, введем обозначения, изобразим числовые промежутки на координатной прямой, а также покажем, какие простейшие неравенства им соответствуют. В заключение наглядно представим всю информацию в виде таблицы числовых промежутков.
Навигация по странице.
Виды числовых промежутков
Каждому числовому промежутку присущи четыре неразрывно связанные между собой вещи:
- название числового промежутка,
- отвечающее ему неравенство или двойное неравенство,
- обозначение,
- и его геометрический образ в виде изображения на координатной прямой.
Любой числовой промежуток может быть задан любым из трех последних по списку способов: либо неравенством, либо обозначением, либо его изображением на координатной прямой. Причем по данному способу задания, например, по неравенству, с легкостью восстанавливаются и другие (в нашем случае обозначение и геометрический образ).
Переходим к конкретике. Опишем все числовые промежутки с указанных выше четырех сторон.
Начнем с описания числового промежутка, получившего название открытый числовой луч . Заметим, что часто прилагательное «открытый» опускают, оставляя название открытый луч.
Этому числовому промежутку соответствуют простейшие неравенства с одной переменной вида xa , где a – некоторое действительное число. То есть, согласно смыслу записанных неравенств, открытый числовой луч составляют все , которые меньше числа a (в случае неравенства xa ).
Множество чисел, удовлетворяющих неравенству xa , как (a, +∞) .
Осталось показать геометрическое изображение открытого луча, из него станет видно, что такое название рассматриваемый числовой промежуток получил не случайно. Обратимся к . Известно, что между ее точками и действительными числами имеет место взаимно однозначное соответствие, что позволяет координатную прямую называть числовой прямой. А при разговоре о сравнении чисел мы отметили, что большее число располагается на координатной прямой правее меньшего, а меньшее – левее большего. Исходя из этих соображений, неравенству xa – точки, лежащие правее точки a . Само число a не удовлетворяет этим неравенствам, чтобы подчеркнуть это на чертеже ее изображают точкой с пустым центром. Над точками, которым соответствуют числа, удовлетворяющие неравенству, изображают наклонную штриховку:
Из приведенных чертежей видно, что данным числовым промежуткам соответствуют части числовой прямой, представляющие собой лучи с началом в точке a , но исключая саму точку a . Другими словами, это лучи без начала. Отсюда и название – открытый числовой луч.
Приведем несколько конкретных примеров открытых числовых лучей. Так строгое неравенство x>−3
задает открытый числовой луч. Его же задает запись (−3, ∞)
. А на координатной прямой этот числовой промежуток представляет собой множество точек, лежащих правее точки с координатой −3
, не включая саму эту точку. Еще пример: неравенство x<2,3
, как и запись (−∞, 2,3)
, задает открытый числовой луч, который следующим образом изображается на координатной прямой
Переходим к числовым промежуткам следующего вида – числовым лучам . В геометрическом плане их отличие от открытых лучей заключается в том, что начало луча не отбрасывается. Другими словами, геометрический образ числовых промежутков этого вида есть полноценный луч.
Что касается задания числовых лучей с помощью неравенств, то им отвечают нестрогие неравенства x≤a
или x≥a
. Для них приняты обозначения (−∞, a]
и
. А геометрический образ числового отрезка представляет собой отрезок вместе с его концами:
Например, числовой отрезок, который задается двойным неравенством можно обозначить как , на координатной прямой ему отвечает отрезок с концами в точках, имеющих координаты корень из двух и корень из трех.
Осталось лишь сказать про числовые промежутки, называемые полуинтервалами
. Они представляют собой, если так можно выразиться, промежуточный вариант между интервалом и отрезком, так как включают в себя одну из граничных точек. Полуинтервалы задаются двойными неравенствами a
Таблица числовых промежутков
Итак, в предыдущем пункте мы определили и описали следующие числовые промежутки:
- открытый числовой луч;
- числовой луч;
- интервал;
- полуинтервал.
Для удобства сведем все данные о числовых промежутках в таблицу. Занесем в нее название числового промежутка, соответствующее ему неравенство, обозначение и изображение на координатной прямой. Получаем следующую таблицу числовых промежутков :
Список литературы.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.