24. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках К и М соответственно. Найдите АС, если ВК : КА=3: 4, КМ=18.

Решение . ∆АВС∾∆КВМ по равным углам, образованным соответственно параллельными сторонами. Так как отношения соответственных сторон подобных треугольников равны, то отсюда следует:

По условию ВК составляет 3 части, а КА — 4 части, следовательно, АВ составит 7 частей. Получаем:

25 . В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.

Решение. S ∆ ABD = S ∆ ACD = AD ∙ h, где h – высота треугольника и трапеции. Если из обеих этих равных площадей вычесть площадь треугольника AOD, то и останутся равные площади: S ∆ A О B = S ∆ C О D . Доказано!

26. Медиана ВМ и биссектриса АР треугольника АВС пересекаются в точке К, длина стороны АС относится к длине стороны АВ как 5 : 7. Найдите отношение площади четырехугольника КРСМ к площади треугольника АВС.

Решение . По свойству биссектрисы АР в треугольнике АВС имеем:

По свойству биссектрисы АК в треугольнике АВМ имеем:

Так как у ∆ АМК и ∆ АВК одна и та же высота h 1 , а площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту , то отношение площадей ∆ АМК и ∆ АВК равно отношению МК к ВК, т.е. равно 5/14. Заметим, что сумма площадей ∆ АМК и ∆ АВК – это площадь треугольника АВМ. А площадь треугольника АВМ – это половина площади данного треугольника АВС (медиана треугольника делит его площадь пополам ), т.е. S ∆ ABM = ½ S ∆ ABC .

Отсюда следует, что

Так как у ∆ АРС и ∆ АВР одна и та же высота h 2 , то отношение площадей ∆ АРС и ∆ АВР равно отношению СР к ВР, т.е. равно 5/7 .

Это означает, что S ∆ A РС = (5/12) S ∆ ABC . Площадь треугольника АРС состоит из суммы площадей треугольника АМК и четырехугольника КРСМ. Отсюда

Так как площадь четырехугольника КРСМ составляет 65/228 от площади треугольника АВС, то искомое отношение 65 : 228. Ответ : 65: 228.

Пояснительная записка

    При изучении курса математики на базовом уровне обучения продолжается и получает развитие содержательная линия «математика». Курс математики 5 классов – важное звено математического образования и развития школьников на второй ступени обучения.

    В детстве ребенок открыт и восприимчив к чудесам познания, к богатству и красоте окружающего мира. У каждого способности и таланты, которые необходимо развивать на всех этапах жизни ребенка. Применительно к ситуации школьного обучения творческие способности проявляются при решении задач не эпизодически, а планомерно и систематически.

    Процесс обучения в школе предполагает, в частности, решение таких важных задач как обучение детей способам усвоения системы знаний, с одной стороны, а с другой – активизацию их интеллектуальной деятельности. Это обуславливает выделение проблемы управления интеллектуальной деятельностью школьников в число наиболее важных задач педагогики. Создание условий для максимальной реализации познавательных возможностей ребенка способствует тому, что обучение ведет за собой развитие.

    Структура программы концентрическая, т.е. одна и та же тема может изучаться как в 5, так и в 6, 7 классах. Это связано с тем, что на разных ступенях обучения дети могут усваивать один и тот же материал, но уже разной степени сложности с учетом приобретенных ранее знаний.

Включенные в программу вопросы дают возможность учащимся готовиться к олимпиадам и различным математическим конкурсам. Занятия могут проходить в форме бесед, лекций, экскурсий, игр. Особое внимание уделяется решению задач повышенной сложности

Задания

    На заводе ювелирных изделий сплавили 2 слитка платину и золото. Масса первого ювелирного изделия 4 кг, количество платины и золота в нем находится в отношении 3:5. Масса второго изделия 6 кг, в нем отношение платины к золоту равно 1:3. Найдите процентное содержание платины в новом ювелирном изделии.

    Коле и Мише вместе 86 лет, Свете и Мише вместе - 92 года, а всем вместе 120 лет. На сколько Миша старше Коли?

3. Сумма корней уравнения равна

4. У Пети прохожий спросил который час, Петя ответил, что прошло от суток. Который сейчас час?

а) 6 часов 30 минут

б) 6 часов 20 минут

в) 6 часов

г) 5 часов 55 минут

5. Два менеджера в банке выполнили работу за 12 дней. Первому менеджеру для выполнения этого же плана работы потребеуется на 10 дней больше, чем другому. Определите за сколько дней выполнит эту работу каждый менеджер.

а) 10 и 20 дней

б) 5 и 15 дней

в) 25 и 35 дней

г) 20 и 30 дней

6. Найдите разность между десятым и восьмым членом последовательности, если последовательность задается следующей формулой:

7. В треугольник со стороной а вписан новый треугольник. В этот треугольник вписан другой новый треугольник и так далее до бесконечности. Найдите сумму периметров этих треугольников, если начальный треугольник является равносторонним.

8. Дана прогрессия: 3; 2,9; 2,8; 2,7.... Найдите номер первого отрицательного члена этой прогрессии.

9. Найдите корень уравнения

    Найдите площадь фигуры, которая изображена на рисунке

Считается, что задача по стереометрии на Профильном ЕГЭ по математике - только для отличников. Что для ее решения необходимы особые таланты и загадочное «пространственное мышление», которым обладают с рождения лишь редкие счастливчики.

Так ли это?

К счастью, всё значительно проще. То, что так красиво называют «пространственным мышлением», чаще всего означает знание основ стереометрии и умение строить чертежи.

Во-первых, необходимо знание формул стереометрии. В наших таблицах «Многогранники » и «Тела вращения » приведены все формулы, по которым вычисляются объемы и площади поверхности трехмерных тел.

Во-вторых - уверенное решение задач по геометрии, представленных в части 1 (первые 12 задач ЕГЭ). Это и планиметрические задачи, и стереометрические .

И главное - для решения задачи 14 вам понадобятся основные аксиомы и теоремы стереометрии. Лучше всего, если вы приобретете учебник по геометрии для 10-11 класса (автор - А. В. Погорелов или Л. С. Атанасян), и ответите на вопросы, список которых приведен ниже. Выпишите в тетрадь определения и формулировки теорем. Сделайте чертежи. Доказывать теоремы старайтесь самостоятельно.

Работая над этим заданием, сформулируйте для себя - чем отличаются определение и признак . Есть, например, определение параллельности прямой и плоскости - и признак параллельности прямой и плоскости. В чем разница между ними?

Очень хорошо, если вы сделаете задание самостоятельно, а затем сверите с ответами. Все ответы можно найти на нашем сайте, в этом разделе.

Программа по стереометрии .

  1. Плоскость в пространстве .Закончите фразу: Плоскость можно провести через...

    (Дайте четыре варианта ответа).

  2. Расположение плоскостей в пространстве.Закончите фразу: Если две плоскости имеют общую точку, то они...
  3. Параллельность прямой и плоскости. Определение и признак .
  4. Что такое наклонная и проекция наклонной . Рисунок.
  5. Угол между прямой и плоскостью.
  6. Перпендикулярность прямой и плоскости. Определение и признак.
  7. Скрещивающиеся прямые. Угол между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми .
  8. Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости.
  9. Параллельность плоскостей. Определение и признак.
  10. Перпендикулярность плоскостей. Определение и признак.
  11. Закончите фразу:а) Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью...

    б) Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями...

Приведем несколько простых правил для решения задач по стереометрии:

Есть два основных способа решения задач по стереометрии на ЕГЭ по математике. Первый - классический: применение на практике определений, теорем и признаков, список которых приведен выше. Второй -

В этой статье мы поговорим о сложных заданиях ЕГЭ, о заданиях, представленных во второй части экзамена. О том, как научиться их решать и, по возможности, избежать распространенных ошибок.

Первое задание второй части ЕГЭ по математике (профиль)

Первое из самых сложных заданий ЕГЭ — это уравнение или система уравнений. Они могут быть разных типов:

  • Логарифмические или показательные
  • Тригонометрические
  • Тригонометрические на исследование ОДЗ
  • Уравнения смешанного типа

Самые частые ошибки — потеря знака, или ошибка в формуле для приведения уравнения к определенному виду. Это, в свою очередь, говорит нам о том, что во-первых нужно быть ОЧЕНЬ внимательным, во-вторых, нужно учить теорию. Если потеря знака приведет к неправильному ответу — баллы все равно будут добавлены, т.к. ход решения был верный. Если же ученик ошибся в формуле, маловероятно, что экзаменатор сжалится — такие ошибки они не любят.

Более подробно о том, как подготовиться к первому заданию, можно .

Второе задание второй части ЕГЭ по математике (профиль)

Это задание на стереометрию. Иногда, считается одним из самых сложных. Чаще всего во варианте нет даже пояснительного рисунка, который бы сэкономил массу времени — приходится чертить самостоятельно. Будьте внимательны при переносе рисунка в чистовик — не перепутайте буквы и обозначайте пунктирами невидимые линии — это могут засчитать как ошибку и снизить баллы.

Чаще всего учащихся подводит незнание какой-либо теории . Им или приходится выводить какую-то необходимую закономерность из более простых тождеств, или расписываться в собственном бессилии.

Более подробно о подготовке ко второму заданию второй части экзамена написано .

Третье задание второй части ЕГЭ по математике (профиль)

В третьем задании второй части учащимся предлагается решить неравенство. Оно может быть одного из следующих типов:

  • Рациональные неравенства
  • Иррациональные неравенства
  • Показательные неравенства
  • Логарифмические неравенства
  • Неравенства с ло­га­риф­ма­ми по пе­ре­мен­но­му основанию
  • Неравенства с модулем
  • Смешанные неравенства

Здесь важно понять какой вид неравенства вызывает у вас наибольшие сложности. По опыту специалистов нашего учебного центра, учащиеся допускают наибольшее количество ошибок в неравенствах с модулями. Для того, чтобы подготовиться к третьему заданию второй части ЕГЭ по математике вам необходимо во-первых, выявить ту тему, которая для вас наиболее сложна и отработать ее на более простых неравенствах, во-вторых, научиться решать уравнения под первым номером второй части.

Более подробно о подготовке к третьему заданию .

Четвертое задание второй части ЕГЭ по математике (профиль)

Здесь учащимся предлагается решить планиметрическую задачу. Существенно сложнее той, что дается в шестом задании первой части. Ко всему прочему, иногда в этом задании попадаются задачи на доказательство, что, конечно, знакомо ученикам еще с ОГЭ, но гораздо сложнее. Для более эффективной подготовки нужно, во-первых, выучить теорию, а во-вторых, хорошо и быстро решать задачи под номером шесть в первой части вариантов ЕГЭ.

Более подробно о подготовке к 4 (16) заданию второй части ЕГЭ по математике можно почитать

Пятое задание второй части ЕГЭ по математике (профиль)

Практическая задача. Чаще всего с участием процентов. Для того, чтобы решать такие задачи нужно не только хорошо развитое абстрактное мышление, но и относительно высокий уровень эрудиции, так как при формулировке заданий авторы часто используют весьма специфические экономические термины. Как учиться решать такие задачи? Решать как можно больше. Кстати, вы можете сходить в банк и пообщаться с оператором о вкладе — системы начисления процентов на ваш гипотетический вклад будут не менее сложны, чем те, что описываются в пятом задании второй части ЕГЭ по математике. Вот вам в своем роде бесплатный репетитор по пятому заданию!) Ну и конечно же, наши помогут вам разобраться в тонкостях математики.

Шестое задание второй части ЕГЭ по математике (профиль)

Задача с параметром. Тут может очень повезти, а может не повезти совсем. К сожалению (или к счастью..) «натаскать» на задачу с параметром нельзя, или почти нельзя. Во всяком случае не за год до экзамена. Случаи, конечно, бывают разные, но тем не менее. Как подготовиться — решайте больше. Не знаете как решать — читайте условие, а затем решение. При том, решение вы должны понять, и суметь воспроизвести через, скажем, неделю. Устройте себе подобное испытание, и есть вероятность, что вам на экзамене попадется примерно такая же задача.

Седьмое задание второй части ЕГЭ по математике (профиль)

Задачи на свойства чисел. Для их решения нужно хорошо развитое абстрактное мышление и математическое чутье. Чаще всего для хорошего результата по этому заданию необходима помощь репетитора. Наши дистанционные специалисты занимаются подготовкой ко второй части ЕГЭ по математике и будут рады помочь вам. Первое мини-занятие у нас бесплатно, отправить заявку можно в этой форме:

МОУ «Школа с. Лох Новобурасского района Саратовской области

имени Героя Советского Союза В.И. Загороднева»

Учитель математики

Будникова Таисия Александровна

Методические аспекты решения заданий 2 части ОГЭ по математике

(Модуль «Алгебра»)

Мои ученики, решая задания

    в печатных изданиях (Сборники типовых тестовых заданий для подготовки к ОГЭ),

    на сайте ФИПИ ,

    на сайте (Генератор вариантов ОГЭ (ГИА) - 2015) и др.,

приносят задания, которые их заинтересовали, но вызвали трудности при попытке самостоятельно решить.

Простые задачи на проценты встречаются почти в каждом варианте ОГЭ (№ 16. Модуль «Реальная математика»). И выпускник основной школы должен показать, что умеет применять математические знания в простейших практических ситуациях . Готовясь к экзамену, большинство учащихся легко справляются с такими заданиями на ОГЭ.

Задания части 2 модуля «Алгебра» направлены на проверку владения материалом на повышенном уровне и содержат задания из различных разделов курса математики . Задания расположены по нарастанию трудности – от относительно более простых до сложных, предполагающих свободное владение материалом курса и хороший уровень математической культуры. Все задания требуют записи решений и ответа.

Задания второй части модуля «Алгебра» направлены на проверку владения таких качеств математической подготовки выпускников, как:

    формально-оперативным алгебраическим аппаратом;

    умения решить комплексную задачу, включающую в себя знания из разных тем курса алгебры;

    умения математически грамотно и ясно записать решение, приводя при этом необходимые пояснения и обоснования;

    владения широким спектром приёмов и способов рассуждений.

Задание № 22 из части 2 модуля «Алгебра» имеет повышенный уровень сложности (Спецификация КИМ, www . fipi . ru ).

Планируемый процент выполнения Задания 22 - 15-30%. Это задание не по силам всем ученикам.

Чтобы выпускник смог решитьзадачу на проценты повышенной сложности

(№ 22 из части 2 модуля «Алгебра») , его подготовка предполагает:

за

да

ния

Основные проверяемые требова-ния к математической подготовке

Разделы элементов содержания

Разделы элементов требований

Максималь-ный балл за выполнение задания

Уметь выполнять преобразования алге-браических выраже-ний, решать уравне-ния, исследовать простейшие матема-тические модели

2.Алгебраи-ческие выра-жения; 3.Уравнения…

3.Уметь решать уравнения…;

7.Уметь использовать приобре-тенные знания и умения в прак-тической деятельности и повсед-невной жизни, уметь строить и исследовать простейшие математические модели

Так, в одном из сборников для подготовки к ОГЭ, учащимся предлагают решить следующие задачи на проценты повышенного уровня сложности.

№ 22. Вариант 13.

Свежие фрукты содержат 93% воды, а высушенные 16%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 21 кг высушенных фруктов?

№ 22. Вариант 14.

Свежие фрукты содержат 88% воды, а высушенные 30%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?

№ 22. Вариант 17.

Свежие фрукты содержат 78% воды, а высушенные 22%. Сколько сухих фруктов получится из 78 кг свежих фруктов?

№ 22. Вариант 18.

Свежие фрукты содержат 79% воды, а высушенные 16%. Сколько сухих фруктов получится из 288 кг свежих фруктов?

Если учащиеся знают и понимают понятия процента, владеют основными алгоритмами решения задач на проценты, умеют составлять пропорции и решать их, то учитель может разобрать с учащимися решение одной задачи и показать, как его математически грамотно записать. Например, так.

Решение № 22. Вариант 13.

В задачах такого типа будем считать, что и свежие фрукты и высушенные фрукты состоят из воды и сухого вещества .

Можно составить краткое условие задачи:

Масса

фруктов, кг

Вода,

%

Сухое вещество,

%

Масса

сухого вещества, кг

Свежие

фрукты

х кг

93%

100% - 93% = 7%

равны

? кг

Высушенные

фрукты

21 кг

16%

100% - 16% = 84%

? кг

Решение:

х кг 100%,

Составляем пропорцию и находим х:

х = требуется свежих фруктов.

Ответ: 252 кг.

Остальные задачи (Варианты 14, 17, 18) учащиеся могут решить аналогично или

предложить более сокращенный вариант. Учителю нужно обязательно проверить ясность и четкость действий и пояснений, наличие ответа.

Следующий тип задач на проценты (№ 22, часть 2, модуль «Алгебра») целесообразно разобрать на консультации после решения более простых задач на %:

ФИПИ 9 класс Открытый банк данных Раздел: Числа и вычисления

Товар на распродаже уценили на 20%, при этом он стал стоить 940 р. Сколько рублей стоил товар до распродажи?

Товар на распродаже уценили на 50%, при этом он стал стоить 820 р. Сколько рублей стоил товар до распродажи?

(Генератор вариантов ОГЭ (ГИА) - 2015)

Теперь учащимся проще разобраться в решении следующих задач на проценты

повышенного уровня сложности:

А) № 22. В понедельник акции подорожали на некоторое число процентов, а во

вторник подешевели на вдвое большее число процентов. В результате они

стали стоить на 12% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На

сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Б) № 22. В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов,

а во вторник подешевели на то самое число процентов. В результате они

стали стоить на 1% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник.

На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Решение № 22 (задача А).

Пусть акции стоили Р руб. и подорожали в понедельник на х %, (по условию х 0).

Всего Р руб. 100%

Понедельник? руб. (100+х)%,

Понедельник 100%

Вторник? руб. (100 - 2х)%

2) (руб.) стоимость акций во вторник.

Всего Р руб. 100%

Вторник руб. (100 - 12)% = 88%

3) Составляем пропорцию, по основному свойству пропорции получаем:

, (по условию Р стоимость, значит Р 0),

| (-1),

| 5000,

х 2 +50х 5000 + 4400 =0,

х 2 +50х 600 =0,

D = 100 0, по теореме Виета х 1 = 10 0, х 2 = - 60 0 (посторонний корень).

Значит, акции подорожали в понедельник на 10 %,

Ответ: 10 %.

Для закрепления решения и оформления, решаем № 22 (задачу Б, где уравнение решается проще). Далее желающим учащимся предлагается подобрать другие задачи

на проценты повышенной сложности и попробовать решить их самостоятельно.

В заключение коротко: Подготовкой учащихся к ОГЭ я занимаюсь с пятого класса. 5-й класс: Выполнение тестовых заданий с выбором ответа (на карточках 5-6 заданий);

6-й класс: Выполнение тестовых заданий с выбором ответа, на соответствие:

    на карточках;

    в печатных изданиях: Тульчинская, Е. Е. Математика. Тесты. 6 класс / Е. Е. Тульчинская. – М. : Мнемозина, 2014.

Для развития логического мышления веду в 5-6 классах математический кружок, элективный предмет «Наглядная геометрия».

7-й класс:

    Выполнение тестовых заданий с выбором ответа, на соответствие, с кратким ответом:

    На карточках;

    В печатных изданиях:

Мордкович, А. Г. Алгебра. 7–9 классы: тесты / А. Г. Мордкович, Е. Е. Тульчинская. – М. : Мнемозина, 2015.

Тематические тесты по геометрии. 7 класс. Т.М. Мищенко.

На сайтах:

    Составление тестовых заданий и тестов из 3-4 заданий по темам:

    «Равнобедренный треугольник и его свойства»,

    «Признаки равенства треугольников»,

    «Виды углов. Теоремы об углах»,

    «Степень и ее свойства»,

    «Формулы сокращенного умножения».

В 7 классе для учащихся провожу занятия элективного предмета «Применение теоретических знаний на практике», где использую задания ОГЭ из модуля Реальная математика» и часто даю им задание: Найти в вариантах ОГЭ в интернете задачи по изучаемой теме.

8-й класс:

    Выполнение тестовых заданий с выбором ответа, на соответствие, с кратким ответом, полным решением:

    На карточках;

    В печатных изданиях для ОГЭ.

    Составление тестовых заданий и тестов из 3-4-5 заданий по темам:

    «Функции и их графики»,

    «Квадратные корни»,

    «Степень и ее свойства»,

    «Четырехугольники и их свойства»,

    «Теорема Пифагора и ее практическое применение»,

    «Площади фигур».

9-й класс:

    Выполнение тестовых заданий:

Из сборников для подготовки к ОГЭ;

Тесты по алгебре для 9 класса на печатной основе. 2015г.;

На сайте ФИПИ

2015);

В системе Статград.

    Занятия элективного предмета «Математика: как лучше подготовиться к ОГЭ».

    Еженедельные консультации для всего класса.

    Индивидуальные консультации по мере необходимости.

На мой взгляд, очень действенными оказались такие формы работы в 7-8 классах как самостоятельное составление тестовых заданий и тестов по темам, особенно при итоговом повторении, как алгебры, так и геометрии; в 7-9 классах поиск заданий из вариантов ОГЭ в сборниках или на сайтах ФИПИ и других в интернете.

~ 7 ~