» Урок 15. Решение СЛУ методом Крамера и методом Гаусса.
Урок 15. Решение СЛУ методом Крамера и методом Гаусса.
Метод Крамера
(СЛУ)
- определитель системы
Если определитель СЛУ отличен от нуля, тогда решение системы определяется однозначно по формулам Крамера:
, , ()
где:
Для этого в столбец, где стоит переменная х, а значит в первый столбец, вместо коэффициентов при х, ставим свободные коэффициенты, которые в системе уравнений стоят в правых частях уравнений | |
Для этого в столбец, где стоит переменная y (2 столбец), вместо коэффициентов при y, ставим свободные коэффициенты, которые в системе уравнений стоят в правых частях уравнений | |
Для этого в столбец, где стоит переменная z, а значит втретий столбец, вместо коэффициентов при z, ставим свободные коэффициенты, которые в системе уравнений стоят в правых частях уравнений |
Задание 1.
Решить СЛУ с помощью формул Крамера в Excel
Ход решения
1. Запишем уравнение в матричном виде:
2. Введите матрицу А и В в Excel.
3. Найдите определитель матрицы А. Он должен получится равным 30.
4. Определитель системы отличен от нуля, следовательно - решение однозначно определяется по формулам Крамера.
5. Заполните значения dX, dY, dZ на листе Excel (см.рис.ниже).
6. Для вычисления значений dX, dY, dZ в ячейки F8, F12, F16 необходимо ввести функцию, вычисляющую определитель dX, dY, dZ соответственно.
7. Для вычисления значения X в ячейку I8 необходимо ввести формулу =F8/B5 (по формуле Крамера dX/|A|).
8. Самостоятельно введите формулы для вычисления Y и Z.
Задание 2
: самостоятельно найти решение СЛУ методом Крамера:
Формулы Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений не имеют серьезного практического применения, так как связаны с громоздкими выкладками. Практически для решения систем линейных уравнений чаще всего применяется метод Гаусса.
Метод Гаусса
Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов.
1. Прямой ход: система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.
Для того чтобы решить систему уравнений выписывают расширенную матрицу этой системы
и над строками этой матрицы производят элементарные преобразования, приводя ее к виду, когда ниже главной диагонали будут располагаться нули.
Разрешается выполнять элементарные преобразования над матрицами.
С помощью этих преобразований каждый раз получается расширенная матрица новой системы, равносильной исходной, т.е. такой системы, решение которой совпадает с решением исходной системы.
2. Обратный ход: идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.
Пример.
Установить совместность и решить систему
Решение.
Прямой ход:
Выпишем расширенную матрицу системы и поменяем местами первую и вторую строки для того, чтобы элемент равнялся единице (так удобнее производить преобразования матрицы).
.
Имеем Ранги матрицы системы и ее расширенной матрицы совпали с числом неизвестных. Согласно теореме Кронекера-Капелли система уравнений совместна и решение ее единственно.
Обратный ход:
Выпишем систему уравнений, расширенную матрицу которой мы получили в результате преобразований:
Итак, имеем .
Далее, подставляя в третье уравнение, найдем .
Подставляя и во второе уравнение, получим .
Подставляя в первое уравнение найденные получим .
Таким образом, имеем решение системы .
Решение СЛУ методом Гаусса в Excel:
В тексте будет предлагаться ввести в диапазон ячеек формулу вида: {=A1:B3+$C$2:$C$3} и т.п., это так-называемые «формулы массива». Microsoft Excel автоматически заключает ее в фигурные скобки ({ }). Для введения такого типа формул необходимо выделить весь диапазон, куда нужно вставить формулу, в первой ячейке ввести формулу без фигурных скобок (для примера выше – =A1:B3+$C$2:$C$3) и нажать Ctrl+Shift+Enter.
Пускай имеем систему линейных уравнений:
1.
Запишем коэффициенты системы уравнений в ячейки A1:D4 а столбец свободных членов в ячейки E1:E4. Если в ячейке
A1
находится 0, необходимо поменять строки местами так, чтоб в этой ячейке было отличное от ноля значение
. Для большей наглядности можно добавить заливку ячеек, в которых находятся свободные члены.
2. Необходимо коэффициент при x1 во всех уравнениях кроме первого привести к 0. Для начала сделаем это для второго уравнения. Скопируем первую строку в ячейки A6:E6 без изменений, в ячейки A7:E7 необходимо ввести формулу: {=A2:E2-$A$1:$E$1*(A2/$A$1)}. Таким образом мы от второй строки отнимаем первую, умноженную на A2/$A$1, т.е. отношение первых коэффициентов второго и первого уравнения. Для удобства заполнения строк 8 и 9 ссылки на ячейки первой строки необходимо использовать абсолютные (используем символ $).
3. Копируем введенную формулу формулу в строки 8 и 9, таким образом избавляемся от коэффициентов перед x1 во всех уравнениях кроме первого.
4. Теперь приведем коэффициенты перед x2 в третьем и четвертом уравнении к 0. Для этого скопируем полученные 6-ю и 7-ю строки (только значения) в строки 11 и 12, а в ячейки A13:E13 введем формулу {=A8:E8-$A$7:$E$7*(B8/$B$7)}, которую затем скопируем в ячейки A14:E14. Таким образом реализуется разность строк 8 и 7, умноженных на коэффициент B8/$B$7. .
5. Осталось привести коэффициент при x3 в четвертом уравнении к 0, для этого вновь проделаем аналогичные действия: скопируем полученные 11, 12 и 13-ю строки (только значения) в строки 16-18, а в ячейки A19:E19 введем формулу {=A14:E14-$A$13:$E$13*(C14/$C$13)}. Таким образом реализуется разность строк 14 и 13, умноженных на коэффициент C14/$C$13. Не забываем проводить перестановку строк, чтоб избавиться от 0 в знаменателе дроби .
6. Прямая прогонка методом Гаусса завершена. Обратную прогонку начнем с последней строки полученной матрицы. Необходимо все элементы последней строки разделить на коэффициент при x4. Для этого в строку 24 введем формулу {=A19:E19/D19}.
7.
Приведем все строки к подобному виду, для этого заполним строки 23, 22, 21 следующими формулами:
23: {=(A18:E18-A24:E24*D18)/C18} – отнимаем от третьей строки четвертую умноженную на коэффициент при x4 третьей строки.
22: {=(A17:E17-A23:E23*C17-A24:E24*D17)/B17} – от второй строки отнимаем третью и четвертую, умноженные на соответствующие коэффициенты.
21: {=(A16:E16-A22:E22*B16-A23:E23*C16-A24:E24*D16)/A16} – от первой строки отнимаем вторую, третью и четвертую, умноженные на соответствующие коэффициенты.
Результат (корни уравнения) вычислены в ячейках E21:E24.
Составитель: Салий Н.А.
Решение систем линейных алгебраических уравнений в Excel Методы решения систем линейных алгебраических уравнений хорошо описаны в учебнике "Основы вычислительной математики. Демидович Б.П., Марон И.А. 1966". Скачать - 11Мб
1. Метод обратной матрицы (решение в Excel)
Если дано уравнение:
A*X = B, где A - квадратная матрица, X,B - вектора;
причем B - известный вектор (т е столбец чисел), X - неизвестный вектор,
то решение X можно записать в виде:
X = A -1 *B, где A -1 - обратная от А матрица.
В MS Excel обратная матрица вычисляется функцией МОБР(), а перемножаются матрицы
(или матрица на вектор) - функцией МУМНОЖ().
Имеются "тонкости" использования этих матричных действий в Excel. Так, чтобы вычислить обратную матрицу от матрицы А, нужно:
1. Мышкой выделить квадратную область клеток, где будет размещена обратная матрица. 2. Начать вписывать формулу =МОБР(3. Выделить мышкой матрицу А. При этом правее скобки впишется соответствующий диапазон клеток. 4. Закрыть скобку, нажать комбинацию клавиш: Ctrl-Shift-Enter 5. Должна вычислиться обратная матрица и заполнить предназначенную для неё область Чтобы умножить матрицу на вектор: 1. Мышкой выделить область клеток, где будет размещён результат умножения 2. Начать вписывать формулу =МУМНОЖ(3. Выделить мышкой матрицу - первый сомножитель. При этом правее скобки впишется соответствующий диапазон клеток. 4. С клавиатуры ввести разделитель; (точка с запятой) 5. Выделить мышкой вектор- второй сомножитель. При этом правее скобки впишется соответствующий диапазон клеток. 6. Закрыть скобку, нажать комбинацию клавиш: Ctrl-Shift-Enter 7. Должно вычислиться произведение и заполнить предназначенную для него область Есть и другой спососб, при котором используется кнопка построителя функции Excel. Пример СЛАУ 4-го порядка
Скачать документ Excel, в котором этот пример решён различными методами.
2. Метод Гаусса
Метод Гаусса подробно (по шагам) выполняется только в учебных целях, когда нужно показать, что Вы это умеете. А чтобы решить реальную СЛАУ, лучше применить в Excel метод обратной матрицы или воспользоваться специальными программами, например, этойКраткое описание.
3. Метод Якоби (метод простых итераций)
Для применения метода Якоби (и метода Зейделя) необходимо, чтобы диагональные компоненты матрицы А были больше суммы остальных компонент той же строки. Заданная система не обладает таким свойством, поэтому выполняю предварительные преобразования.
(1)’ = (1) + 0,43*(2) - 0,18*(3) – 0,96*(4)
(2)’ = (2) + 0,28*(1) – 1,73*(3) + 0,12*(4)
(3)’ = (3) – 0,27*(1) - 0,75*(2) + 0,08*(4)
(4)’ = (4) + 0,04*(1) – 6,50*(2) + 8,04*(3)
Примечание: подбор коэффицентов выполнен на листе "Анализ".
Решаются системы уравнений, цель которых - обратить внедиагональные
элементы в нуль. Коэффиценты - это округлённые результаты решения
таких систем уравнений. Конечно, это не дело.
В результате получаю систему уравнений:
Для применения метода Якоби систему уравнений нужно преобразовать к виду:
X = B2 + A2*X Преобразую:
Далее делю каждую строку на множитель левого столбца, то есть на 16, 7, 3, 70 соответственно. Тогда матрица А2 имеет вид:
А вектор В2:
В программе Excel имеется обширный инструментарий для решения различных видов уравнений разными методами.
Рассмотрим на примерах некоторые варианты решений.
Решение уравнений методом подбора параметров Excel
Инструмент «Подбор параметра» применяется в ситуации, когда известен результат, но неизвестны аргументы. Excel подбирает значения до тех пор, пока вычисление не даст нужный итог.
Путь к команде: «Данные» - «Работа с данными» - «Анализ «что-если»» - «Подбор параметра».
Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения х 2 + 3х + 2 = 0. Порядок нахождения корня средствами Excel:
Для подбора параметра программа использует циклический процесс. Чтобы изменить число итераций и погрешность, нужно зайти в параметры Excel. На вкладке «Формулы» установить предельное количество итераций, относительную погрешность. Поставить галочку «включить итеративные вычисления».
Как решить систему уравнений матричным методом в Excel
Дана система уравнений:
Получены корни уравнений.
Решение системы уравнений методом Крамера в Excel
Возьмем систему уравнений из предыдущего примера:
Для их решения методом Крамера вычислим определители матриц, полученных заменой одного столбца в матрице А на столбец-матрицу В.
Для расчета определителей используем функцию МОПРЕД. Аргумент – диапазон с соответствующей матрицей.
Рассчитаем также определитель матрицы А (массив – диапазон матрицы А).
Определитель системы больше 0 – решение можно найти по формуле Крамера (D x / |A|).
Для расчета Х 1: =U2/$U$1, где U2 – D1. Для расчета Х 2: =U3/$U$1. И т.д. Получим корни уравнений:
Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel
Для примера возьмем простейшую систему уравнений:
3а + 2в – 5с = -1
2а – в – 3с = 13
а + 2в – с = 9
Коэффициенты запишем в матрицу А. Свободные члены – в матрицу В.
Для наглядности свободные члены выделим заливкой. Если в первой ячейке матрицы А оказался 0, нужно поменять местами строки, чтобы здесь оказалось отличное от 0 значение.
Примеры решения уравнений методом итераций в Excel
Вычисления в книге должны быть настроены следующим образом:
Делается это на вкладке «Формулы» в «Параметрах Excel». Найдем корень уравнения х – х 3 + 1 = 0 (а = 1, b = 2) методом итерации с применением циклических ссылок. Формула:
Х n+1 = X n – F (X n) / M, n = 0, 1, 2, … .
M – максимальное значение производной по модулю. Чтобы найти М, произведем вычисления:
f’ (1) = -2 * f’ (2) = -11.
Полученное значение меньше 0. Поэтому функция будет с противоположным знаком: f (х) = -х + х 3 – 1. М = 11.
В ячейку А3 введем значение: а = 1. Точность – три знака после запятой. Для расчета текущего значения х в соседнюю ячейку (В3) введем формулу: =ЕСЛИ(B3=0;A3;B3-(-B3+СТЕПЕНЬ(B3;3)-1/11)).
В ячейке С3 проконтролируем значение f (x): с помощью формулы =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1.
Корень уравнения – 1,179. Введем в ячейку А3 значение 2. Получим тот же результат:
Корень на заданном промежутке один.
Умение решать системы уравнений часто может принести пользу не только в учебе, но и на практике. В то же время, далеко не каждый пользователь ПК знает, что в Экселе существует собственные варианты решений линейных уравнений. Давайте узнаем, как с применением инструментария этого табличного процессора выполнить данную задачу различными способами.
Способ 1: матричный метод
Самый распространенный способ решения системы линейных уравнений инструментами Excel – это применение матричного метода. Он заключается в построении матрицы из коэффициентов выражений, а затем в создании обратной матрицы. Попробуем использовать данный метод для решения следующей системы уравнений:
14x1
+2x2
+8x4
=218
7x1
-3x2
+5x3
+12x4
=213
5x1
+x2
-2x3
+4x4
=83
6x1
+2x2
+x3
-3x4
=21
- Заполняем матрицу числами, которые являются коэффициентами уравнения. Данные числа должны располагаться последовательно по порядку с учетом расположения каждого корня, которому они соответствуют. Если в каком-то выражении один из корней отсутствует, то в этом случае коэффициент считается равным нулю. Если коэффициент не обозначен в уравнении, но соответствующий корень имеется, то считается, что коэффициент равен 1 . Обозначаем полученную таблицу, как вектор A .
- Отдельно записываем значения после знака «равно». Обозначаем их общим наименованием, как вектор B .
- Теперь для нахождения корней уравнения, прежде всего, нам нужно отыскать матрицу, обратную существующей. К счастью, в Эксель имеется специальный оператор, который предназначен для решения данной задачи. Называется он МОБР
. Он имеет довольно простой синтаксис:
МОБР(массив)
Аргумент «Массив» — это, собственно, адрес исходной таблицы.
Итак, выделяем на листе область пустых ячеек, которая по размеру равна диапазону исходной матрицы. Щелкаем по кнопке «Вставить функцию» , расположенную около строки формул.
- Выполняется запуск Мастера функций . Переходим в категорию «Математические» . В представившемся списке ищем наименование «МОБР» . После того, как оно отыскано, выделяем его и жмем на кнопку «OK» .
- МОБР . Оно по числу аргументов имеет всего одно поле – «Массив» . Тут нужно указать адрес нашей таблицы. Для этих целей устанавливаем курсор в это поле. Затем зажимаем левую кнопку мыши и выделяем область на листе, в которой находится матрица. Как видим, данные о координатах размещения автоматически заносятся в поле окна. После того, как эта задача выполнена, наиболее очевидным было бы нажать на кнопку «OK» , но не стоит торопиться. Дело в том, что нажатие на эту кнопку является равнозначным применению команды Enter . Но при работе с массивами после завершения ввода формулы следует не кликать по кнопке Enter , а произвести набор сочетания клавиш Ctrl+Shift+Enter . Выполняем эту операцию.
- Итак, после этого программа производит вычисления и на выходе в предварительно выделенной области мы имеем матрицу, обратную данной.
- Теперь нам нужно будет умножить обратную матрицу на матрицу B
, которая состоит из одного столбца значений, расположенных после знака «равно»
в выражениях. Для умножения таблиц в Экселе также имеется отдельная функция, которая называется МУМНОЖ
. Данный оператор имеет следующий синтаксис:
МУМНОЖ(Массив1;Массив2)
Выделяем диапазон, в нашем случае состоящий из четырех ячеек. Далее опять запускаем Мастер функций , нажав значок «Вставить функцию» .
- В категории «Математические» , запустившегося Мастера функций , выделяем наименование «МУМНОЖ» и жмем на кнопку «OK» .
- Активируется окно аргументов функции МУМНОЖ . В поле «Массив1» заносим координаты нашей обратной матрицы. Для этого, как и в прошлый раз, устанавливаем курсор в поле и с зажатой левой кнопкой мыши выделяем курсором соответствующую таблицу. Аналогичное действие проводим для внесения координат в поле «Массив2» , только на этот раз выделяем значения колонки B . После того, как вышеуказанные действия проведены, опять не спешим жать на кнопку «OK» или клавишу Enter , а набираем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter .
- После данного действия в предварительно выделенной ячейке отобразятся корни уравнения: X1 , X2 , X3 и X4 . Они будут расположены последовательно. Таким образом, можно сказать, что мы решили данную систему. Для того, чтобы проверить правильность решения достаточно подставить в исходную систему выражений данные ответы вместо соответствующих корней. Если равенство будет соблюдено, то это означает, что представленная система уравнений решена верно.
Способ 2: подбор параметров
Второй известный способ решения системы уравнений в Экселе – это применение метода подбора параметров. Суть данного метода заключается в поиске от обратного. То есть, основываясь на известном результате, мы производим поиск неизвестного аргумента. Давайте для примера используем квадратное уравнение
Этот результат также можно проверить, подставив данное значение в решаемое выражение вместо значения x .
Способ 3: метод Крамера
Теперь попробуем решить систему уравнений методом Крамера. Для примера возьмем все ту же систему, которую использовали в Способе 1 :
14x1
+2x2
+8x4
=218
7x1
-3x2
+5x3
+12x4
=213
5x1
+x2
-2x3
+4x4
=83
6x1
+2x2
+x3
-3x4
=21
- Как и в первом способе, составляем матрицу A из коэффициентов уравнений и таблицу B из значений, которые стоят после знака «равно» .
- Далее делаем ещё четыре таблицы. Каждая из них является копией матрицы A , только у этих копий поочередно один столбец заменен на таблицу B . У первой таблицы – это первый столбец, у второй таблицы – второй и т.д.
- Теперь нам нужно высчитать определители для всех этих таблиц. Система уравнений будет иметь решения только в том случае, если все определители будут иметь значение, отличное от нуля. Для расчета этого значения в Экселе опять имеется отдельная функция – МОПРЕД
. Синтаксис данного оператора следующий:
МОПРЕД(массив)
Таким образом, как и у функции МОБР , единственным аргументом выступает ссылка на обрабатываемую таблицу.
Итак, выделяем ячейку, в которой будет выводиться определитель первой матрицы. Затем жмем на знакомую по предыдущим способам кнопку «Вставить функцию» .
- Активируется окно Мастера функций . Переходим в категорию «Математические» и среди списка операторов выделяем там наименование «МОПРЕД» . После этого жмем на кнопку «OK» .
- Запускается окно аргументов функции МОПРЕД . Как видим, оно имеет только одно поле – «Массив» . В это поле вписываем адрес первой преобразованной матрицы. Для этого устанавливаем курсор в поле, а затем выделяем матричный диапазон. После этого жмем на кнопку «OK» . Данная функция выводит результат в одну ячейку, а не массивом, поэтому для получения расчета не нужно прибегать к нажатию комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter .
- Функция производит подсчет результата и выводит его в заранее выделенную ячейку. Как видим, в нашем случае определитель равен -740 , то есть, не является равным нулю, что нам подходит.
- Аналогичным образом производим подсчет определителей для остальных трех таблиц.
- На завершающем этапе производим подсчет определителя первичной матрицы. Процедура происходит все по тому же алгоритму. Как видим, определитель первичной таблицы тоже отличный от нуля, а значит, матрица считается невырожденной, то есть, система уравнений имеет решения.
- Теперь пора найти корни уравнения. Корень уравнения будет равен отношению определителя соответствующей преобразованной матрицы на определитель первичной таблицы. Таким образом, разделив поочередно все четыре определителя преобразованных матриц на число -148 , которое является определителем первоначальной таблицы, мы получим четыре корня. Как видим, они равны значениям 5 , 14 , 8 и 15 . Таким образом, они в точности совпадают с корнями, которые мы нашли, используя обратную матрицу в способе 1 , что подтверждает правильность решения системы уравнений.
Способ 4: метод Гаусса
Решить систему уравнений можно также, применив метод Гаусса. Для примера возьмем более простую систему уравнений из трех неизвестных:
14x1
+2x2
+8x3
=110
7x1
-3x2
+5x3
=32
5x1
+x2
-2x3
=17
- Опять последовательно записываем коэффициенты в таблицу A , а свободные члены, расположенные после знака «равно» — в таблицу B . Но на этот раз сблизим обе таблицы, так как это понадобится нам для работы в дальнейшем. Важным условием является то, чтобы в первой ячейке матрицы A значение было отличным от нуля. В обратном случае следует переставить строки местами.
- Копируем первую строку двух соединенных матриц в строчку ниже (для наглядности можно пропустить одну строку). В первую ячейку, которая расположена в строке ещё ниже предыдущей, вводим следующую формулу:
B8:E8-$B$7:$E$7*(B8/$B$7)
Если вы расположили матрицы по-другому, то и адреса ячеек формулы у вас будут иметь другое значение, но вы сможете высчитать их, сопоставив с теми формулами и изображениями, которые приводятся здесь.
После того, как формула введена, выделите весь ряд ячеек и нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter . К ряду будет применена формула массива и он будет заполнен значениями. Таким образом мы произвели вычитание из второй строки первой, умноженной на отношение первых коэффициентов двух первых выражений системы.
- После этого копируем полученную строку и вставляем её в строчку ниже.
- Выделяем две первые строки после пропущенной строчки. Жмем на кнопку «Копировать» , которая расположена на ленте во вкладке «Главная» .
- Пропускаем строку после последней записи на листе. Выделяем первую ячейку в следующей строке. Кликаем правой кнопкой мыши. В открывшемся контекстном меню наводим курсор на пункт «Специальная вставка» . В запустившемся дополнительном списке выбираем позицию «Значения» .
- В следующую строку вводим формулу массива. В ней производится вычитание из третьей строки предыдущей группы данных второй строки, умноженной на отношение второго коэффициента третьей и второй строки. В нашем случае формула будет иметь следующий вид:
B13:E13-$B$12:$E$12*(C13/$C$12)
После ввода формулы выделяем весь ряд и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter .
- Теперь следует выполнить обратную прогонку по методу Гаусса. Пропускаем три строки от последней записи. В четвертой строке вводим формулу массива:
Таким образом, мы делим последнюю рассчитанную нами строку на её же третий коэффициент. После того, как набрали формулу, выделяем всю строчку и жмем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter .
- Поднимаемся на строку вверх и вводим в неё следующую формулу массива:
=(B16:E16-B21:E21*D16)/C16
Жмем привычное уже нам сочетание клавиш для применения формулы массива.
- Поднимаемся ещё на одну строку выше. В неё вводим формулу массива следующего вида:
=(B15:E15-B20:E20*C15-B21:E21*D15)/B15
Опять выделяем всю строку и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter .
- Теперь смотрим на числа, которые получились в последнем столбце последнего блока строк, рассчитанного нами ранее. Именно эти числа (4 , 7 и 5 ) будут являться корнями данной системы уравнений. Проверить это можно, подставив их вместо значений X1 , X2 и X3 в выражения.
Как видим, в Экселе систему уравнений можно решить целым рядом способов, каждый из которых имеет собственные преимущества и недостатки. Но все эти методы можно условно разделить на две большие группы: матричные и с применением инструмента подбора параметров. В некоторых случаях не всегда матричные методы подходят для решения задачи. В частности тогда, когда определитель матрицы равен нулю. В остальных же случаях пользователь сам волен решать, какой вариант он считает более удобным для себя.
Вычислить значения корней сформированной системы уравнений двумя методами: обратной матрицы и методом Крамера.
Введем данные значения в ячейки А2:С4 – матрица А и ячейки D2:D4 – матрица В.
Решение системы уравнений методом обратной матрицы
Найдем матрицу, обратную матрице А. Для этого в ячейку А9 введем формулу =МОБР(A2:C4). После этого выделим диапазон А9:С11, начиная с ячейки, содержащей формулу. Нажмем клавишу F2, а затем нажмем клавиши CTRL+SHIFT+ENTER. Формула вставится как формула массива. =МОБР(A2:C4).
Найдем произведение матриц A-1 * b. В ячейки F9:F11 введем формулу: =МУМНОЖ(A9:C11;D2:D4) как формулу массива. Получим в ячейках F9:F11
корни уравнения:
Решение системы уравнений методом Крамера
Решим систему методом Крамера, для этого найдем определитель матрицы.
Найдем определители матриц, полученных заменой одного столбца на столбец b.
В ячейку В16 введем формулу =МОПРЕД(D15:F17),
В ячейку В17 введем формулу =МОПРЕД(D19:F21).
В ячейку В18 введем формулу =МОПРЕД(D23:F25).
Найдем корни уравнения, для этого в ячейку В21 введем: =B16/$B$15, в ячейку В22 введем: = =B17/$B$15, в ячейку В23 введем: ==B18/$B$15.
Получим корни уравнения: