УМК любой
Теория вероятностей
на ОГЭ и ЕГЭ
Алтайского края
Задачи
на вероятность
с игральным кубиком
(игральная кость)
1. Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (игральной кости) выпадет нечетное число очков.
Решение задачи:
Нечетное число – 3 (1; 3; 5)
Ответ: P=0,5
2. Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (игральной кости) выпадет менее 4 очков.
Решение задачи:
Всего событий – 6 (может выпасть 6 чисел от 1 до 6)
Менее 4–х очков – 3 (1; 2; 3)
Ответ: P=0,5
3 . Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (игральной кости) выпадет более 3 очков.
Решение задачи:
Всего событий – 6 (может выпасть 6 чисел от 1 до 6)
Более 3–х очков – 3 (4; 5; 6)
Ответ: P=0,5
4 . Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (игральной кости) выпадет более 2 очков. Ответ округлите до десятых.
Решение задачи:
Всего событий – 6 (может выпасть 6 чисел от 1 до 6)
Более 2–х очков – 2 (3; 4; 5; 6)
P = 4:6 = 0,66…
Ответ: P=0,7
5. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух выпавших чисел нечетна.
Решение задачи:
Сумма будет нечетна, когда: 1) в первый раз выпадет нечетное число, а во второй четное . 2) в первый раз - четное , а во второй раз нечетное .
1) 3: 6 = 0,5 - Вероятность выпадения нечетного числа в первое бросание.
3: 6 = 0,5 - Вероятность выпадения четного числа во второе бросание.
0,5 · 0,5 = 0,25 – т.к. эти два события должны произойти совместно. 2) 3: 6 = 0,5 - Вероятность выпадения четного числа в первое бросание.
3: 6 = 0,5 - Вероятность выпадения нечетного числа во второе бросание.
0,5 · 0,5 = 0,25 – т.к. эти два события должны произойти совместно,.
3) 0,25 + 0,25 = 0,5
Ответ: P=0,5
6. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что наибольшее из двух выпавших чисел равно 5. Ответ округлите до десятых.
Решение задачи:
1) При первом броске выпадет 1, или 2, или 3, или 4, или 5, а при втором броске выпадет 5 2) При первом броске выпадет 5, а при втором броске выпадет 1, или 2, или 3, или 4, или 5
- 5: 6 = 5/6 – вероятность того, что выпадут 1; 2; 3; 4; 5
5/6 · 1/6 = 5/36 - вероятность, что произойдут оба события
- 1: 6 = 1/6 - вероятность выпадения 5
5: 6 = 5/6 - вероятность выпадения 1; 2; 3; 4; 5
1/6 · 5/6 = 5/36 - вероятность, что произойдут оба события
- 5/36 + 5/36 = 10/36 = 5/18 = 0,277…
Ответ: 0,3
7. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало число, большее 3.
Решение задачи:
1) При первом броске выпадет 1, или 2, или 3, а при втором броске выпадет 4; или 5 или 6 2) При первом броске выпадет 4; или 5 или 6, а при втором броске выпадет 1, или 2, или 3. 3) При первом броске выпадет 4; или 5 или 6, а при втором броске выпадет 4, или 5, или 6.
2) 3: 6 = 0,5 - вероятность выпадения 4; 5; 6
3: 6 = 0,5 - вероятность выпадения 1; 2; 3
0,5 · 0,5 = 0,25 - вероятность, что произойдут оба события
3) 3: 6 = 0,5 - вероятность выпадения 4; 5; 6
3: 6 = 0,5 - вероятность выпадения 4; 5; 6
0,5 · 0,5 = 0,25 - вероятность, что произойдут оба события
4) 0,25+ 0,25 + 0,25 = 0,75 Ответ: 0,75
Задачи
на вероятность
с монетами
8. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 1 раз .
Решение задачи: Найдём число возможных исходов, переберём все варианты бросков. Составим таблицу и покажем все варианты:
2: 4 = 0,5 - вероятность того, что выпадет орел при броске.
2) Ответ: 0,5
9. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 3 раза .
Решение задачи:
1 бросок
2 бросок
3 бросок
1: 8 = 0,125 – вероятность того, что выпадет орел при броске.
Ответ: 0,125
10. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 2 раза .
Решение задачи:
1 бросок
2 бросок
3 бросок
3: 8 = 0,375 – вероятность того, что выпадет орел при броске.
Ответ: 0,375
11 . В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.
Решение задачи:
1 бросок
2 бросок
3 бросок
1: 8 = 0,125 - вероятность того, что выпадет орел при броске.
Ответ: 0,125
Задачи
на вероятность
(разные)
12. Известно, что в некотором регионе вероятность того, что родившийся младенец окажется мальчиком, равна 0,512. В 2010 г. в этом регионе на 1000 родившихся младенцев в среднем пришлось 477 девочек. Насколько частота рождения девочки в 2010 г. в этом регионе отличается от вероятности этого события?
Решение задачи:
- 1 - 0,512 = 0,488 –
2) 477: 1000 = 0,477 – вероятность рождения девочек в 2010 г
3) 0,488 - 0,477=0,011
Ответ: 0,011
13. Известно, что в некотором регионе вероятность того, что родившийся младенец окажется мальчиком, равна 0,486. В 2011 г. в этом регионе на 1000 родившихся младенцев в среднем приходилось 522 девочки. На сколько частота рождения девочки в 2011 г. в этом регионе отличается от вероятности этого события?
Решение задачи:
- 1 - 0,486 = 0,514 – вероятность рождения девочек в регионе
2) 522: 1000 = 0,522 – вероятность рождения девочек в 2011 г
3) 0,522 - 0,514 = 0,008
Ответ: 0,008
14. Стас выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 48.
Решение задачи:
- 999 - 99 = 900 – всего трехзначных чисел
2) 999: 48 = 20,8125 - т.е. всего 20 чисел делятся на 48
- Из них два числа двузначные - это 48 и 96, то 20 – 2 = 18
4) 18: 900 = 0,02
Ответ: 0,02
15 . Андрей выбирает случайное трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 33.
Решение задачи:
- 999 - 99 = 900 – всего трехзначных чисел
2) 999: 33 = 30,29… - т.е. всего 30 чисел делятся на 33
- Из них три числа двузначные - это 33, 66, 99 то 30 – 3 = 27
4) 27: 900 = 0,03
Ответ: 0,03
16 . В каждой четвёртой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Аля покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Аля не найдёт приз в своей банке.
Решение задачи:
1) 1: 4 = 0,25 - вероятность выпадения приза.
2) 1 – 0,25 = 0,75 – вероятность не выпадения приза
Ответ: 0,75
17. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение:
Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий: 0,35 + 0,2 = 0,52
Ответ: 0,52
18. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.
Решение:
вероятность попадания - 0,8
вероятность промаха – 0,2
События промаха и попадания независимы, значит
19. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,12 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Решение:
Найдем вероятность, что неисправны оба автомата.
Эти события независимы, т.е. 0,12² = 0,0144
Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один
автомат – противоположное, значит 1 – 0,0144 = 0,9856
Ответ: 0,9856
20. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Решение:
Рассмотрим события:
А – кофе закончится в первом автомате
В – кофе закончится во втором автомате
А·В – кофе закончится в обоих автоматах
А+В - кофе закончится хотя бы в одном автомате
Значит, вероятность противоположного события (кофе останется в обоих автоматах) равна
Ответ: 0,56
21. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая – 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Решение:
Вероятность того, что стекло, купленное на первой фабрике и оно бракованное: 0,45 · 0,03 = 0,0135
Вероятность того, что стекло, купленное на второй фабрике и оно бракованное: 0,55 · 0,01 = 0,0055
Значит, полная вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным: 0,0135 + 0,0055 = 0,019
Ответ: 0,019
Источники
Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2014-2015 http://www.fipi.ru/
Монета - https :// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e8/Russia-1998-Coin-5.jpg
Игральный кубик - http ://clipstock.ucoz.ru/_ ph/21/365284339.jpg
http ://cs.ankaraschool.ru/DwABAIQAzQISAc0BSv_D-w8/6yi0I7wdPdUVWti_caKcxg/sv/image/bc/d7/32/186172/228/% D0%95%D0%93%D0%AD.jpg?1445859675
ОГЭ 2016 - http :// www.school25.nichost.ru/images/banners/oge.jpg
Приведенные к настоящему моменту в открытом банке задач ЕГЭ по математике (mathege.ru), решение которых основано на одной лишь формуле, представляющей собой классическое определение вероятности.
Понять формулу проще всего на примерах.
Пример 1.
В корзине 9 красных шаров и 3 синих. Шары различаются только цветом. Наугад (не глядя) достаём один из них. Какова вероятность того, что выбранный таким образом шар окажется синего цвета?
Комментарий. В задачах по теории вероятности происходит нечто (в данном случае наше действие по вытаскиванию шара), что может иметь разный результат - исход. Нужно заметить, что на результат можно смотреть по-разному. "Мы вытащили какой-то шар" - тоже результат. "Мы вытащили синий шар" - результат. "Мы вытащили именно вот этот шар из всех возможных шаров" - такой наименее обобщенный взгляд на результат называется элементарным исходом. Именно элементарные исходы имеются в виду в формуле для вычисления вероятности.
Решение.
Теперь вычислим вероятность выбора синего шара.
Событие А: "выбранный шар оказался синего цвета"
Общее число всех возможных исходов: 9+3=12 (количество всех шаров, которые мы могли бы вытащить)
Число благоприятных для события А исходов: 3 (количество таких исходов, при которых событие А произошло, - то есть, количество синих шаров)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Ответ: 0,25
Посчитаем для той же задачи вероятность выбора красного шара.
Общее число возможных исходов останется тем же, 12. Число благоприятных исходов: 9. Искомая вероятность: 9/12=3/4=0,75
Вероятность любого события всегда лежит в пределах от 0 до 1.
Иногда в повседневной речи (но не в теории вероятности!) вероятность событий оценивают в процентах. Переход между математической и разговорной оценкой осуществляется путем умножения (или деления) на 100%.
Итак,
При этом вероятность равна нулю у событий, которые не могут произойти - невероятны. Например, в нашем примере это была бы вероятность вытащить из корзины зеленый шар. (Число благоприятных исходов равно 0, Р(А)=0/12=0, если считать по формуле)
Вероятность 1 имеют события, которые абсолютно точно произойдут, без вариантов. Например, вероятность того, что «выбранный шар окажется или красным или синим» - для нашей задачи. (Число благоприятных исходов: 12, Р(А)=12/12=1)
Мы рассмотрели классический пример, иллюстрирующий определение вероятности. Все подобные задачи ЕГЭ по теории вероятности решаются применением данной формулы.
На месте красных и синих шаров могут быть яблоки и груши, мальчики и девочки, выученные и невыученные билеты, билеты, содержащие и не содержащие вопрос по какой-то теме (прототипы , ), бракованные и качественные сумки или садовые насосы (прототипы , ) – принцип остается тем же.
Немного отличаются формулировкой задачи теории вероятности ЕГЭ, где нужно вычислить вероятность выпадения какого-то события на определенный день. ( , ) Как и в предыдущих задачах нужно определить, что является элементарным исходом, после чего применить ту же формулу.
Пример 2. Конференция длится три дня. В первый и второй день выступают по 15 докладчиков, в третий день – 20. Какова вероятность того, что доклад профессора М. выпадет на третий день, если порядок докладов определяется жеребьевкой?
Что здесь является элементарным исходом? – Присвоение докладу профессора какого-то одного из всех возможных порядковых номеров для выступления. В жеребьевке участвует 15+15+20=50 человек. Таким образом, доклад профессора М. может получить один из 50 номеров. Значит, и элементарных исходов всего 50.
А какие исходы благоприятные? – Те, при которых окажется, что профессор будет выступать в третий день. То есть, последние 20 номеров.
По формуле вероятность P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Ответ: 0,4
Жеребьевка здесь представляет собой установление случайного соответствия между людьми и упорядоченными местами. В примере 2 установление соответствия рассматривалось с точки зрения того, какое из мест мог бы занять конкретный человек. Можно к той же ситуации подходить с другой стороны: кто из людей с какой вероятностью мог бы попасть на конкретное место (прототипы , , , ):
Пример 3. В жеребьевке участвуют 5 немцев, 8 французов и 3 эстонца. Какова вероятность того, что первым (/вторым/седьмым/последним – не важно) будет выступать француз.
Количество элементарных исходов – количество всех возможных людей, которые могли бы по жеребьевке попасть на данное место. 5+8+3=16 человек.
Благоприятные исходы – французы. 8 человек.
Искомая вероятность: 8/16=1/2=0,5
Ответ: 0,5
Немного отличается прототип . Остались задачи про монеты () и игральные кости (), несколько более творческие. Решение этих задач можно посмотреть на страницах прототипов.
Приведем несколько примеров на бросание монеты или кубика.
Пример 4.
Когда подбрасываем монету, какова вероятность выпадения решки?
Исходов 2 – орел или решка. (считается, что монета никогда не падает на ребро)
Благоприятный исход – решка, 1.
Вероятность 1/2=0,5
Ответ: 0,5.
Пример 5.
А если подбрасываем монету два раза? Какова вероятность того, что оба раза выпадет орел?
Главное определить, какие элементарные исходы будем рассматривать при подбрасывании двух монет. После подбрасывания двух монет может получиться один из следующих результатов:
1) PP – оба раза выпала решка
2) PO – первый раз решка, второй раз орел
3) OP – первый раз орел, второй раз решка
4) OO – оба раза выпал орел
Других вариантов нет. Значит, элементарных исходов 4. Благоприятный из них только первый, 1.
Вероятность: 1/4=0,25
Ответ: 0,25
Какова вероятность того, что из двух подбрасываний монеты один раз выпадет решка?
Количество элементарных исходов то же, 4. Благоприятные исходы – второй и третий, 2.
Вероятность выпадения одной решки: 2/4=0,5
В таких задачах может пригодиться ещё одна формула.
Если при одном бросании монеты возможных вариантов результата у нас 2, то для двух бросаний результатов будет 2·2=2 2 =4 (как в примере 5), для трех бросаний 2·2·2=2 3 =8, для четырех: 2·2·2·2=2 4 =16, … для N бросаний возможных результатов будет 2·2·...·2=2 N .
Так, можно найти вероятность выпадения 5 решек из 5 бросаний монеты.
Общее число элементарных исходов: 2 5 =32.
Благоприятных исходов: 1. (РРРРР – все 5 раз решка)
Вероятность: 1/32=0,03125
То же верно и для игральной кости. При одном бросании возможных результатов здесь 6. Значит, для двух бросаний: 6·6=36, для трех 6·6·6=216, и т. д.
Пример 6. Бросаем игральную кость. Какова вероятность, что выпадет четное число?
Всего исходов: 6, по числу граней.
Благоприятных: 3 исхода. (2, 4, 6)
Вероятность: 3/6=0,5
Пример 7. Бросаем две игральные кости. Какова вероятность, что в сумме выпадет 10? (округлить до сотых)
Для одного кубика 6 возможных исходов. Значит, для двух, по вышеупомянутому правилу, 6·6=36.
Какие исходы будут благоприятными для того, чтоб в сумме выпало 10?
10 надо разложить на сумму двух чисел от 1 до 6. Это можно сделать двумя способами: 10=6+4 и 10=5+5. Значит, для кубиков возможны варианты:
(6 на первом и 4 на втором)
(4 на первом и 6 на втором)
(5 на первом и 5 на втором)
Итого, 3 варианта.
Искомая вероятность: 3/36=1/12=0,08
Ответ: 0,08
Другие типы задач B6 будут рассмотрены в одной из следующих статей «Как решать».
ОГЭ 2017. Математика. Теория вероятностей и элементы статистики. Рязановский А.Р., Мухин Д.Г.
М.: 2017. - 48 с.
В предлагаемой книге, состоящей из двух частей, подробно рассмотрены основные понятия, относящиеся к теории вероятностей и математической статистике, детально, по шагам разобраны решения задач, которые обычно предлагаются в КИМ на ОГЭ. Кроме того, подробно, на примерах излагаются простейшие понятия комбинаторики (комбинаторные числа для числа перестановок, размещений и сочетаний без повторений). С такой же подробностью ведётся изложение основных положений математической статистики, показаны на примерах отличия выборочного среднего от моды и медианы и дано пояснение, в каких случаях какое из этих средних нужно использовать. Назначение пособия - отработка практических навыков учащихся по подготовке к экзамену (в новой форме) в 9 классе по математике. В сборнике даны ответы на все варианты заданий. Пособие предназначено учителям и методистам, использующим тесты для подготовки к Основному государственному экзамену, оно также может быть использовано учащимися для самоподготовки и самоконтроля.
Формат: pdf
Размер: 939 Кб
Смотреть, скачать: drive.google
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 4
Часть I. Задачи по теории вероятностей 5
1. Понятие вероятности 5
2. Классическое определение вероятности 6
3. Применение классического определения вероятности 8
3.1. Правило суммы 11
3.2. Правило произведения 12
3.3. Задачи на вычисление вероятностей 17
4. Статистический метод 19
4.1. Статистическое определение вероятности 20
4.2. Задачи на вычисление вероятностей 21
5. Использование комбинаторных чисел 22
5.1. Перестановки без повторений 22
5.2. Задачи, в которых используется формула для числа перестановок без
повторений 24
5.3. Размещения без повторений 25
5.4. Сочетания без повторений 26
5.5. Выбор пары 28
5.6. Дополнительные задачи 31
Часть II. Элементы статистики, таблицы, обработка данных 33
1. Статистические характеристики 33
2. Задачи о среднем арифметическом и медиане 36
3. Выбор статистической характеристики для оценки явления 38
4. Задания на вычисление вероятностей и статистических характеристик 40
Ответы 46
Несмотря на то, что основы теории вероятностей и математической статистики уже
довольно давно преподаются в школах нашей страны, основные понятия и многие
положения этой интересной науки всё ещё остаются недостаточно прочно усвоенными
многими учащимися средней школы. Результаты проведения ОГЭ для учащихся 9-х
классов показывают, что примерно 30% из всех сдававших ОГЭ не справляются с
заданиями по теории вероятностей и(или) по статистике. Более того, некоторые
задачи, предлагавшиеся в ОГЭ и диагностических работах, вызывают определённую
неуверенность у некоторых учителей.
В предлагаемой книге, состоящей из двух частей, подробно рассмотрены основные
понятия, относящиеся к теории вероятностей и математической статистике,
детально, по шагам разобраны решения задач, которые обычно предлагаются в КИМах
на ОГЭ. Кроме этого, подробно, на примерах излагаются простейшие понятия
комбинаторики (комбинаторные числа для числа перестановок, размещений и
сочетаний без повторений). С такой же подробностью ведётся изложение основных
положений математической статистики, показаны на примерах отличия выборочного
среднего от моды и медианы и дано пояснение в каких случаях какое из этих
средних нужно использовать.
Задачи для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по вероятности
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 6 спортсменов из Греции, 4 спортсмена из Болгарии, 3 спортсменов из Румынии и 7 - из Венгрии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Венгрии.
Решение: Всего исходов 4+6+7+3=20; Благоприятных – 7. Ответ: 7/20=0,35
Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 30 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 20 до 29.
Решение: Искомая вероятность равна P=0.94−0.56=0.38. Ответ 0,38
Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов – первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора Преображенского окажется запланированным на последний день конференции?
Решение: Воспользуемся классическим определением вероятности. По условию задачи, на последний день приходится 12 докладов, а всего их 75, тогда искомая вероятность равна P=12/75=0.16. Ответ 0,16
На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России. Ответ: 0,3
На семинар приехали 3 ученых из Индонезии, 3 из Камбоджи, 4 из Чили и ещё 10 ученых из стран Европы. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из Индонезии. Ответ: 0,15
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 6 спортсменов из Великобритании, 3 спортсмена из Франции, 6 спортсменов из Германии и 10 - из Италии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Франции.
Решение: Всего исходов 6+3+6+10=25; Благоприятных – 3. Ответ: 3/25=0,12. Ответ: 0,12
В турнире чемпионов участвуют 6 футбольных клубов: «Барселона», «Ювентус», «Бавария», «Челси», «Порту» и «ПСЖ». Команды случайным образом распределяют на две группы по три команды. Какова вероятность того, что «Барселона» и «Бавария» окажутся в одной группе?
Пусть "Барселона" и "Бавария" должны попасть в первую группу. Вероятность того, что туда попадет "Барселона", равна 3/6=1/2, так как в группе 3 места, а всего команд 6. Вероятность того, что в первую группу попадет и "Бавария", равна 2/5, так как в группе уже осталось 2 места, а всего выбираем из 5 оставшихся команд. Следовательно, вероятность того, что обе команды попадут в первую группу, равна 1/2∗ 2/5=0,2. Так как группы две , то вероятности складываюся (обе команд ы попадут в первую ИЛИ во воторую группу). Тогда искомая вероятность равна 0,4. Ответ: 0,4.
Родительский комитет закупил 10 пазлов для подарков детям на окончание года, из них 3 с машинами и 7 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Васе достанется пазл с машиной. Решение 3/10. Ответ: 0,3
Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.Решение: Обозначим за x искомую вероятность того, что купленное яйцо произведено в первом хозяйстве. Тогда 1−x - вероятность того, что купленное яйцо произведено вторым хозяйством. Применим формулу полной вероятности и получим 0.4x+0.2(1−x)=0.35 ⇒ x=0.75. Ответ: 0,75
Родительский комитет закупил 20 пазлов для подарков детям на окончание года, из них 6 с машинами и 14 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Володе достанется пазл с городом. Ответ: 14/ 20 = 0,7
На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с яблоками. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с яблоками. Ответ: 0,2
В сборнике билетов по физике всего 25 билетов в 13 из них встречается вопрос по оптике. Найдите вероятность того, что в случайном выбранном билете на экзамене попадется билет по оптике.
Ответ: 13/25=0,52
В сборнике билетов по физике всего 15 билетов в 12 из них встречается вопрос по электростатике. Найдите вероятность того, что в случайном выбранном билете на экзамене не попадется билет по электростатике. Ответ: 3/15 = 0,2
Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 5, но не дойдя до отметки 11 часов.
Решение: Всего на 12 секторов разбивают циферблат числа от1 до 12. Благоприятные для нас сектора от 5 до 11. Их – 6. Тогда Р = 6/12 = 0,5. Ответ: 0,5
Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 4, но не дойдя до отметки 7 часов.
Решение: Всего 12 секторов. Благоприятные – 3. Тогда Р = 3/12 = 0,25. Ответ: 0,25
Команда бобслеистов состоит из четырех человек. Если хотя бы один спортсмен заболеет, то команда не выходит на старт. Вероятность заболеть для первого участника команды составляет 0,1, для второго – 0,2, а для третьего – 0,3, а для четвертого – 0,4. Какова вероятность, что команда бобслеистов не выйдет на старт?
Решение. Найдем вероятность того, что команда выйдет на старт: P 1 =(1−0.1)∗ (1− 0.2)∗ (1− 0.3)∗ (1− 0.4)=0,3024. Тогда вероятность того, что команда не выйдет на старт, равна P=1−P 1 =1-0,3024= 0.6976. Ответ 0,6976.
В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта. Ответ 6/30=0,2
В группе туристов 16 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 4 человека за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист А. полетит первым рейсом вертолёта. Ответ: 4/16 = 0,25
В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России. Ответ: 7/20=0,35
На экзамене 35 билетов, Стас не выучил 7 из них. Найдите вероятность того, что при случайном выборе ему попадется выученный билет. Ответ: 28/35=0,8
В каждой двадцать пятой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Коля покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Коля не найдёт приз в своей банке.
Решение: Так как, согласно условиям в каждой двадцать пятой банке кофе есть приз,
то в остальных 24-х приза нет. Тогда, вероятность того, что Коля не найдёт приз в своей банке равна
24 / 25 = 0,96 Ответ: 0,96:
Из 600 клавиатур для компьютера в среднем 12 неисправны. Какова вероятность того, что случайно выбранная клавиатура исправна. Ответ: 1- 12/600=0,98
В среднем на 147 исправных дрелей приходятся три неисправные. Найдите вероятность того, что выбранная дрель исправна. Ответ: 147/150=0,98
Девятиклассники Петя, Катя, Ваня, Даша и Наташа бросили жребий, кому начинать игру. Найдите вероятность того, что жребий начинать игру Кате не выпадет. Ответ 4/5=0,8
Девятиклассники Петя, Катя, Ваня, Даша и Наташа бросили жребий, кому начинать игру. Найдите вероятность того, что жребий начинать игру должен будет мальчик. Ответ: 0,4
В кармане у Серёжи было четыре конфеты - «Ласточка», «Красная шапочка», «Маска» и «Взлётная», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Серёжа случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Красная шапочка». Ответ: 1/4=0,25
Перед началом первого тура чемпионате по теннису участников разбивают на игровые пары случайный образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 теннисистов, среди которых 7 спортсменов из России, в том числе Анатолий Москвин. Найдите вероятность того, что в первом туре Анатолий Москвин будет играть с каким-либо теннисистом из России. Ответ: 6/75=0,08
Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений - по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса?
Решение: найдём сколько выступлений запланировано на третий день: (80-8)/4=18
Тогда, вероятность того, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса равна
Р = 18/80=0,225 Ответ: 0,225
По статистическим данным вероятность того, что телефон марки “Sumsung”, купленный в магазине “Евросеть”, прослужит больше четырёх лет равна 0,83. Вероятность того, что он прослужит больше пяти лет, равна 0,66. Найдите вероятность того, что телефон данной марки выйдет из строя в течение пятого года эксплуатации.
Решение: Вероятность искомого события равна P = 0,83−0,66 = 0,17. Ответ 0.17.
Какова вероятность того что случайно выбранное натуральное число от 30 до 54 делится на 2?
Решение. От 30 до 54 25чисел. Четных из 13.(30 31; 32 33; 34 35;… 52 53; и 54) Ответ 13/25=0,52
В урне 5 красных и 3 синих шара. На удачу выбирают три из них. Какова вероятность того, что два из них будут синими.
Решение. (2/3*1/5)/3/8=2/15*8/3=16/45=0,3(5)
В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.
Два несовместных события Р(А+В)=Р(А)+Р(В)= 5/30+10/30=15/30=0,5
Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 5.
Решение. Всего трехзначных чисел 900, из 180 чисел кратны 5, поэтому Р = 180/900 = 0,2 Ответ: 0,2
В урне лежат 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар будет: белый, черный, синий, красный, белый или черный, синий или красный, белый или черный или синий?
Решение. События вынуть шар белого цвета или вынуть шар черного цвета несовместны. Поэтому в решении используем теорему сложения. Всего 70 шаров.
Найдем Р(б)=10/70: Р(ч)=15/70: Р(с)=20/70: Р(к)=25/70
По теореме о сумме получим Р(б+ч) = Р(б)+ Р(ч)= 10/70+15/70=25/70= 5/14; Р(с+к)= Р(с)+Р(к)= 20/70+25/70=45/70=9/14; Р(б+ч+с) = Р(б)+Р(с)+ Р(ч)=10/70+20/70+15/70=45/70=9/14
Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 4.
В первой коробке находится 2 белых и 10 черных шаров, во второй - 8 белых и 4 черных шара. Вынимаем по 1 шару из каждой коробки. Какова вероятность, что оба шара будут белыми? Решение. Рассмотрим события:
А и В независимые события поэтому Р(А*В)= Р(А)*Р(В)=1/6*2/3=1/9 Ответ 1/9
Стас выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 48.
В первой коробке находится 2 белых и 10 черных шаров, во второй - 8 белых и 4 черных шара. Вынимаем по 1 шару из каждой коробки. Какова вероятность, что один вынутый шар белый, а другой - черный? Решение.
А – вынимаем белый шар из 1 ящика Р(А)=2/12
В – вынимаем белый шар из 2 ящика Р(В)=8/12
С – вынимаем черный шар из 1 ящика Р(С)=10/12
Д- вынимаем черный шар из 2 ящика Р(Д)=4/12
Каковы возможные случаи Р(АД) Р(ВС). Так как ящики не зависят друг от друга, то и события будут независимыми. Тогда Р(АД) = Р(А)*Р(Д)= 1/6 *1/3 = 1/18 ; Р(ВС) = Р(В)*Р(С) = 2/3 *5/6 = 5/9
В итоге у нас два несовместных события и получаем Р = Р(АД) + Р(ВС) = 11/18.
Вова выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 49. Решение. Трехзначных чисел – 900. Первое число которое делится на 49 это 147. Максимальное: решается неравенством 49*n < 1000 n < 20 20/49 т.е. n =20-2=18 Ответ 18/900=0,02
На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,3. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Решение.P(АUB)=P(A)+P(B)-P(AB) P=0,3+0,25=0,55 P(AB)=0
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Решение. Рассмотрим события: А = кофе закончится в первом автомате,
В = кофе закончится во втором автомате. Тогда
A·B = кофе закончится в обоих автоматах,
A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.
По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12.
События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения: P (A + B )= P (A )+ P (B )− P (A ·B )=0,3+0,3−0,12=0,48.
Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,48 = 0,52. Ответ: 0,52.
Приведем другое решение.
Вероятность того, что кофе останется в первом автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется во втором автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется в первом или втором автомате равна 1 − 0,12 = 0,88. Поскольку P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,88 = 0,7 + 0,7 − х, откуда искомая вероятость х = 0,52. Примечание.
Заметим, что события А и В не являются независимыми. Действительно, вероятность произведения независимых событий была бы равна произведению вероятностей этих событий: P(A·B) = 0,3·0,3 = 0,09, однако, по условию, эта вероятность равна 0,12.
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов производится по вечерам после закрытия. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,25. Такая же вероятность события, что к вечеру кофе закончится во втором автомате. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Решение. P (АUB )=P (A )+P (B )-P (AB )=0,25+0,25-0,15 – хотя бы в одном, тогда если из 1-0,35=0,65 - кофе останется в обоих автоматах
Вероятность того, что новый персональный компьютер прослужит больше года, равна 0,98. вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,84. найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года. Решение. Прослужит дольше чем год- это значит больше двух лет или сломается в промежутке от 1 до 2 лет. Р(>1)=Р(1-2)+Р(>2) Р=0,98-0,84
Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся П. верно решит больше 12 задач, равна 0,7. Вероятность того, что П. верно решит больше 11 задач, равна 0,79. Найдите вероятность того, что П. верно решит ровно 12 задач. Ответ Р=0,79-0,7=0,09
Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда А должна сыграть два матча - с командой В и с командой С. Найдите вероятность того что в обоих матчах первым мячом будет владеть команда А. Решение ½*1/2=0,25
Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Монтёр» по очереди играет с командами «Ротор», «Статор» и «Мотор». Найдите вероятность того, что «Монтёр» будет начинать только первую игру.
Решение: Капитан команды "Монтер" будет трижды кидать жребий: с капитаном команды "Ротор", затем с капитаном команды "Статор" и с капитаном команды "Мотор".
В первом жребие вероятность начать игру равна 0.5. Далее вероятность не начинать игру со "Статором" и с "Мотором" равна также по 0.5. Таким образом, вероятность начать только первую игру равна P=0.5∗ 0.5∗ 0.5=0.125. Ответ: 0,125
Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифра- ми?
Решение. А- Четная предпоследняя – Р(А)=1/2. В- четная последняя Р(В)=1/2
Р = 0,5*0,5 = 0,25 или всего четных цифр 5 на последнем месте и на предпоследнем тоже 5. Итого 5*5=25. Всего цифр на двух последних местах 10*10=100. Ответ 25/100=0,25
Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет хотя бы одну партию.
Решение: Найдем вероятность того, что гроссмейстер А не выйграет ни одну партию. Она равна P 1 =0.5∗ 0.7=0.35. Тогда , вероятность того , что А . выиграет хотя бы одну партию , равна (по формуле вероятности прот ипоположного события) P = 1−P 1 = 0,65. Ответ: 0,65.
Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,32. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза. Ответ 0,5*0,32=0,16
Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Решение: Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156 . Ответ: 0,156
Фирма «Вспышка» изготавливает фонарики. Вероятность того, что случайно выбранный фонарик из партии бракованный, равна 0,02. Какова вероятность того, что два случайно выбранных из одной партии фонарика окажутся не бракованными? Ответ 0,98*0,98=0,9604
Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежат 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
Решение: Вероятность того, что пистолет пристрелянный равна 2/10 = 0,2, что не пристрелянный 8/10 = 0,8
Вероятность того, что попадется пристрелянный и Джон попадет, равна 0,2 · 0,9 = 0,18
Вероятность того, что попадется не пристрелянный и Джон попадет, равна 0,8 · 0,3 = 0,24
Вероятность попасть: 0,18 + 0,24 = 0,42
Вероятность промаха: Р = 1 - 0,42 = 0,58 Ответ: 0,58
Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе - 0,9, в третье - 0,8. Найти вероятность следующих событий:
а) только одно отделение получит газеты вовремя;
б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.
Решение. Решение: Введем события
А1 = (газеты доставлены своевременно в первое отделение),
А2 = (газеты доставлены своевременно во второе отделение),
А3 = (газеты доставлены своевременно в третье отделение),
поусловию P(A1)=0,95;P(A2)=0,9;P(A3)=0,8
Найдем вероятность события Х = (только одно отделение получит газеты вовремя).
Событие Х произойдет, если
или газеты доставлены своевременно в 1 отделение, и доставлены не вовремя во 2 и 3,
или газеты доставлены своевременно в 2 отделение, и доставлены не вовремя во 1 и 3,
или газеты доставлены своевременно в 3 отделение, и доставлены не вовремя во 1 и 2.
Таким образом,
X =A 1⋅ A 2*⋅ A 3*+A 1* ⋅ A 2⋅ A 3*+A 1*⋅ A 2*⋅ A 3.
Так как события А1,А2,А3 - независимые, по теоремам сложения и умножения получаем
P(X)=P(A1) ⋅ P(A2 * ) ⋅ P(A3 * )+P(A1 * ) ⋅ P(A2) ⋅ P(A3 * )+P(A1 * ) ⋅ P(A2 * ) ⋅ P(A3)=
0,95⋅ 0,1⋅ 0,2+0,05⋅ 0,9⋅ 0,2+0,05⋅ 0,1⋅ 0,8=0,032.
Найдем вероятность события Y=(хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием). Введем противоположное событие Y*=(все отделения получат газеты вовремя). Вероятность этого события
P(Y*)=P(A1 ⋅ A2 ⋅ A3)=P(A1) ⋅ P(A2) ⋅ P(A3)=0,95 ⋅ 0,9 ⋅ 0,8=0,684.
Тогда вероятность события Y: P(Y)=1−P(Y*)=1−0,684=0,316. Ответ: 0,032; 0,316.
В таблице представлены результаты четырёх стрелков, показанные ими на тренировке.
Номер стрелка
Число выстрелов
Число попаданий
Тренер решил послать на соревнования того стрелка, у которого относительная частота попаданий выше. Кого из стрелков выберет тренер? Укажите в ответе его номер.
Решение. Сравним дроби
26/44 45/70 14/40 48/67 Лучший результат 4. Ответ 4.
Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 0,8. Он стреляет пять раз. Пять выстрелов по пяти различным мишеням. Какова вероятность того, что биатлонист поразит ровно три мишени.
Решение. Так как в задаче происходит несколько выстрелов, и вероятность появления попадания одинакова при каждом выстреле, то речь идет о схеме Бернулли P n (k)=C k n ⋅ p k ⋅ (1− p) n − k .
Ответ = 10 * 0.8 3 * 0.2 2 = 0.2048
Какова вероятность того, что при 8 бросаниях монеты герб выпадет 5 раз?
Решение. Так как в задаче происходит несколько испытаний, и вероятность появления события (герба) одинакова в каждом испытании, речь идет о схеме Бернулли. Запишем формулу Бернулли, которая описывает вероятность того, что из n бросков монет герб выпадет ровно k раз: P n (k)=C k n ⋅ p k ⋅ (1− p) n − k .
Записываем данные из условия задачи: n=8,p=0,5 (вероятность выпадения герба в каждом броске равна 0,5) и k=5. Подставляем и получаем вероятность:
P(X)=P 8 (5)=C 5 8 ⋅ 0,5 5 ⋅ (1− 0,5) 8 − 5 = 8! / 5!3!⋅ 0,5 8 = (6⋅ 7⋅ 8)/(1⋅ 2⋅ 3) ⋅ 0,58 = 0,219. Ответ 0,219.
Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.
Решение: Введем независимые события:
А1= (при аварии сработает первый сигнализатор);
А2 = (при аварии сработает второй сигнализатор);
по условию задачи P(A1)=0,95,P(A2)=0,9P(A1)=0,95,P(A2)=0,9.
Введем событие Х = (при аварии сработает только один сигнализатор). Это событие произойдет, если при аварии сработает первый сигнализатор и не сработает второй, или если при аварии сработает второй сигнализатор и не сработает первый, то есть X=A1⋅ A2* +A1* ⋅ A2. Тогда вероятность события Х по теоремам сложения и умножения вероятностей равна
P(X)=P(A1) ⋅ P(A2 * )+P(A1 * ) ⋅ P(A2)=0,95 ⋅ 0,1+0,05 ⋅ 0,9=0,14. Ответ: 0,14.
В первой урне находятся 10 белых и 4 черных шаров, а во второй 5 белых и 9 черных шаров. Из каждой урны вынули по шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?
РЕШЕНИЕ. Введем событие X = (Оба извлеченных шара черного цвета).
Введем вспомогательные независимые события: H 1× = (Из первой урны извлечен черный шар),
H 2× = (Из второй урны извлечен черный шар).
Найдем вероятности этих событий по классическому определению вероятности: P (H 1×)=4/14
P (H 2×) = 9/14 . Тогда P (X)= P(H 1х) *P(H 2х) = 2/7*9/14 = 9/49 = 0,184 . ОТВЕТ . 0,184.
Трое учащихся на экзамене независимо друг от друга решают одну и ту же задачу. Вероятности ее решения этими учащимися равны 0,8, 0,7 и 0,6 соответственно. Найдите вероятность того, что хотя бы один учащийся решит задачу.
Решение. Введем событие X = (Хотя бы один учащийся решит задачу) и противоположное ему X* = (Ни один учащийся не решит задачу). Введем вспомогательные события: A1 = (Первый учащийся решил задачу), A2 = (Второй учащийся решил задачу), A3 = (Третий учащийся решил задачу), вероятности P (A1) = 0,8 , P (А2) = 0,7 , P (А3)) = 0,6 . Выразим событие X*=A1* A2* A3* . Считаем вероятность как вероятность произведения независимых событий : Р(Х*) = (1- 0,8)(1 - 0,7)(1- 0,6) = 0, 2* 0,3* 0,4 = 0,024.
Тогда вероятность искомого события P (X)= 1- P(X*) = 1 - 0,024 = 0,976 . ОТВЕТ . 0,976.
Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 0,8. Он стреляет пять раз. Найдите вероятность того, что он попадет в мишень ровно один раз.
Перед началом матча по футболу судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда "Белые" по очереди играет с командами "Красные", "Синие", "Зеленые". Найдите вероятность того, что ровно в двух матчах из трёх право первой владеть мячом получит команда "Белые".
Решение: Составляем список всех возможных исходов в этих трёх играх с "Красными" (К), "Синими" (С) и "Зелеными" (З).
П - первая владеет мячом, Н - нет.
ППП ППН ПНП НПП ПНН НПН ННП ННН
и смотрим, в сколько из них содержится ровно 2 раза П, т.е. ровно в двух матчах команда "Белые" будет первой владеть мячом.
Таких вариантов 3, а всего вариантов - 8. Тогда искомая вероятность равна 3 / 8 = 0,375. Ответ: 0,375
Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая - 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая - 1% . Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Решение: Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: 0,45 · 0,03 = 0, 0135
Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0,55 · 0,01= 0,0055
По формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019. Ответ: 0,019
БОРИС НИКОЛАЕВИЧ ПЕРВУШКИН
Учитель Математики Высшей Категории
НОУ «Петербургская школа « Тет-а-Тет »
Элементы теории вероятностей на ОГЭ 9 класса и ЕГЭ 11 класса по Математике.
Теория вероятностей на ЕГЭ - это очень простые задачи под номером В10. С ними справится каждый. Ведь для решения задачи B10 в варианте ЕГЭ понадобятся лишь самые основные понятия теории вероятностей.
Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет.
Вы выиграли в лотерею - случайное событие. Пригласили друзей отпраздновать выигрыш, а они по дороге к вам застряли в лифте - тоже случайное событие. Правда, мастер оказался поблизости и освободил всю компанию через десять минут - и это тоже можно считать счастливой случайностью…
Наша жизнь полна случайных событий. О каждом из них можно сказать, что оно произойдет с некоторой вероятностью . Скорее всего, вы интуитивно знакомы с этим понятием. Теперь мы дадим математическое определение вероятности.
Начнем с самого простого примера. Вы бросаете монетку. Орел или решка?
Такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов, в теории вероятностей называют испытанием
.
Орел и решка - два возможных исхода
испытания.
Орел выпадет в одном случае из двух возможных. Говорят, что вероятность того, что монетка упадет орлом, равна 1/2.
Бросим игральную кость. У кубика шесть граней, поэтому возможных исходов тоже шесть.
Например, вы загадали, что выпадет три очка. Это один исход из шести возможных. В теории вероятностей он будет называться благоприятным исходом
.
Вероятность выпадения тройки равна 1/6 (один благоприятный исход из шести возможных).
Вероятность четверки - тоже 1/6
А вот вероятность появления семерки равна нулю. Ведь грани с семью точками на кубике нет.
Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
Очевидно, что вероятность не может быть больше единицы.
Вот другой пример. В пакете 25 яблок, из них 8 - красные, остальные - зеленые. Ни формой, ни размером яблоки не отличаются. Вы запускаете в пакет руку и наугад вынимаете яблоко. Вероятность вытащить красное яблоко равна 8/25, а зеленое - 17/25.
Вероятность достать красное или зеленое яблоко равна 8/25 + 17/25 = 1.
Разберем задачи по теории вероятностей, входящие в сборники для подготовки к ЕГЭ.
1. В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 2 красных, 9 желтых и 4 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.
Всего имеется 15 машин, то есть к заказчице приедет одна из пятнадцати. Желтых - девять, и значит, вероятность приезда именно желтой машины равна 9/15, то есть 0,6.
2. (Демо-вариант 2012) В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.
Очевидно, вероятность вытащить билет без вопроса о грибах равна 23/25, то есть 0,92.
3. Родительский комитет закупил 30 пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них 12 с картинами известных художников и 18 с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вовочке достанется пазл с животным.
Задача решается аналогично.
Ответ: 0,6.
4. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные - из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая последней, окажется из Китая.
Давайте представим, что все спортсменки одновременно подошли к шляпе и вытянули из нее бумажки с номерами. Кому-то из них достанется двадцатый номер. Вероятность того, что его вытянет китайская спортсменка, равен 5/20 (поскольку из Китая -5 спортсменок). Ответ: 0,25.
5. Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовет число кратное пяти?
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 , 11... 100
Каждое пятое число из данного множества делится на 5. Значит, вероятность равна 1/5.
6. Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет нечетное число очков.
1, 3, 5 - нечетные числа; 2, 4, 6 - четные. Вероятность нечетного числа очков равна 1/2.
Ответ: 0,5.
7. Монета брошена три раза. Какова вероятность двух «орлов» и одной «решки»?
Заметим, что задачу можно сформулировать по-другому: бросили три монеты одновременно. На решение это не повлияет.
Как вы думаете, сколько здесь возможных исходов?
Бросаем монету. У этого действия два возможных исхода: орел и решка
Две монеты - уже четыре исхода:
Три монеты? Правильно, 8 исходов, так как 2 2 2 = 2³ = 8.
Два орла и одна решка выпадают в трех случаях из восьми.
Ответ: 3/8.
8. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
Бросаем первую кость - шесть исходов. И для каждого из них возможны еще шесть - когда мы бросаем вторую кость.
Получаем, что у данного действия - бросания двух игральных костей - всего 36 возможных исходов, так как 6² = 36.
А теперь - благоприятные исходы:
2 6
3 5
4 4
5 3
6 2
Вероятность выпадения восьми очков равна 5/36 ≈ 0,14.
9. Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,9. Найдите вероятность того, что он попадёт в цель четыре раза выстрела подряд.
Если вероятность попадания равна 0,9 - следовательно, вероятность промаха 0,1. Рассуждаем так же, как и в предыдущей задаче. Вероятность двух попадания подряд равна 0,9 0,9 = 0,81. А вероятность четырех попаданий подряд равна
0,9 0,9 0,9 0,9 = 0,6561.
^
Вероятность: логика перебора.
Задача В10 про монеты из диагностической работы 7 декабря многим показалась сложной. Вот ее условие:
В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.
Мы знаем, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Но как посчитать все эти исходы?
Можно, конечно, обозначить пятирублевые монеты цифрами 1, а десятирублевые цифрами 2 - а затем посчитать, сколькими способами можно выбрать три элемента из набора 1 1 2 2 2 2.
Однако есть более простое решение:
Кодируем монеты числами: 1, 2 (это пятирублёвые), 3, 4, 5, 6 (это десятирублёвые). Условие задачи можно теперь сформулировать так:
Есть шесть фишек с номерами от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить их по двум карманам поровну, так чтобы фишки с номерами 1 и 2 не оказались вместе?
Давайте запишем, что у нас в первом кармане.
Для этого составим все возможные комбинации из набора 1 2 3 4 5 6. Набор из трёх фишек будет трёхзначным числом. Очевидно, что в наших условиях 1 2 3 и 2 3 1 - это один и тот же набор фишек. Чтобы ничего не пропустить и не повториться, располагаем соответствующие трехзначные числа по возрастанию:
123, 124, 125, 126...
А дальше? Мы же говорили, что располагаем числа по возрастанию. Значит, следующее - 134, а затем:
135, 136, 145, 146, 156.
Все! Мы перебрали все возможные комбинации, начинающиеся на 1. Продолжаем:
234, 235, 236, 245, 246, 256,
345, 346, 356,
456.
Всего 20 возможных исходов.
У нас есть условие - фишки с номерами 1 и 2 не должны оказаться вместе. Это значит, например, что комбинация 356 нам не подходит - она означает, что фишки 1 и 2 обе оказались в не в первом, а во втором кармане. Благоприятные для нас исходы - такие, где есть либо только 1, либо только 2. Вот они:
134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 - всего 12 благоприятных исходов.
Тогда искомая вероятность равна 12/20.
