Как мы увидим ниже, далеко не всякая элементарная функция имеет интеграл, выражающийся в элементарных функциях. Поэтому очень важно выделить такие классы функций, интегралы которых выражаются через элементарные функции. Простейшим из этих классов является класс рациональных функций.

Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, т. е. в виде отношения двух многочленов:

Не ограничивая общности рассуждения, будем предполагать, что многочлены не имеют общих корней.

Если стецень числителя ниже степени знаменателя, то дробь называется правильной, в противном случае дробь называется неправильной.

Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и некоторой правильной дроби:

здесь многочлен, а - правильная дробь.

Пример t. Пусть дана неправильная рациональная дробь

Разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), получим

Так как интегрирование многочленов не представляет затруднений, то основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных рациональных дробей.

Определение. Правильные рациональные дроби вида

называются простейшими дробями I, II, III и IV типов.

Интегрирование простейших дробей типа I, II и III не составляет большой трудности, поэтому мы проведем их интегрирование без каких-либо дополнительных пояснений:

Более сложных вычислений требует интегрирование простейших дробей IV типа. Пусть нам дан интеграл такого типа:

Произведем преобразования:

Первый интеграл берется подстановкой

Второй интеграл - обозначим его через запишем в виде

по предположению корни знаменателя комплексные, а следовательно, Далее поступаем следующим образом:

Преобразуем интеграл:

Интегрируя по частям, будем иметь

Подставляя это выражение в равенство (1), получим

В правой части содержится интеграл того же типа, что но показатель степени знаменателя подынтегральной функции на единицу ниже ; таким образом, мы выразили через . Продолжая идти тем же путем, дойдем до известного интеграла.

Статья рассказывает о преобразовании рациональных выражений. Рассмотрим виды рациональных выражений, их преобразования, группировки, вынесения за скобки общего множителя. Научимся представлять дробные рациональные выражения в виде рациональных дробей.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Определение и примеры рациональных выражений

Определение 1

Выражения, которые составлены из чисел, переменных, скобок, степеней с действиями сложения, вычитания, умножения, деления с наличием черты дроби, называют рациональными выражениями.

Для примера имеем, что 5 , 2 3 · x - 5 , - 3 · a · b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) · (y - 2) x 5 - 5 · x · y · 2 - 1 11 · x 3 .

То есть это такие выражения, которые не имеют деления на выражения с переменными. Изучение рациональных выражений начинается с 8 класса, где их называют дробными рациональными выражениями.Особое внимание уделяют дробям в числителе, которые преобразовывают с помощью правил преобразования.

Это позволяет переходить к преобразованию рациональных дробей произвольного вида. Такое выражение может быть рассмотрено как выражение с наличием рациональных дробей и целых выражений со знаками действий.

Основные виды преобразований рациональных выражений

Рациональные выражения используются для того, чтобы выполнять тождественные преобразования, группировки, приведение подобных, выполнение других действий с числами. Цель таких выражений – это упрощение.

Пример 1

Преобразовать рациональное выражение 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .

Решение

Видно, что такое рациональное выражение – это разность 3 · x x · y - 1 и 2 · x x · y - 1 . Замечаем, что знаменатель у них идентичный. Это значит, что приведение подобных слагаемых примет вид

3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 · 3 - 2 = x x · y - 1

Ответ: 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 .

Пример 2

Выполнить преобразование 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) .

Решение

Первоначально выполняем действия в скобках 3 · x − x = 2 · x . Данное выражение представляем в виде 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x . Мы приходим к выражению, которое содержит действия с одной ступенью, то есть имеет сложение и вычитание.

Избавляемя от скобок при помощи применения свойства деления. Тогда получаем, что 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x .

Группируем числовые множители с переменной x , после этого можно выполнять действия со степенями. Получаем, что

2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x = (2 · (- 4) : 2) · (x · x 2: x) · y 4 = - 4 · x 2 · y 4

Ответ: 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = - 4 · x 2 · y 4 .

Пример 3

Преобразовать выражение вида x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .

Решение

Для начала преобразовываем числитель и знаменатель. Тогда получаем выражение вида (x · (x + 3) - (3 · x + 1)) : 1 2 · x · 4 + 2 , причем действия в скобках делают в первую очередь. В числителе выполняются действия и группируются множители. После чего получаем выражение вида x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x - 3 · x - 1 1 2 · 4 · x + 2 = x 2 - 1 2 · x + 2 .

Преобразуем в числителе формулу разности квадратов, тогда получаем, что

x 2 - 1 2 · x + 2 = (x - 1) · (x + 1) 2 · (x + 1) = x - 1 2

Ответ : x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x - 1 2 .

Представление в виде рациональной дроби

Алгебраическая дробь чаще всего подвергается упрощению при решении. Каждое рациональное приводится к этому разными способами. Необходимо выполнить все необходимые действия с многочленами для того, чтобы рациональное выражение в итоге смогло дать рациональную дробь.

Пример 4

Представить в виде рациональной дроби a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a .

Решение

Данное выражение можно представить в виде a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a . Умножение выполняется в первую очередь по правилам.

Следует начать с умножения, тогда получим, что

a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a - 5 · (a + 5) a + 3 · 1 a · (a + 5) = a - 5 · (a + 5) · 1 (a + 3) · a · (a + 5) = a - 5 (a + 3) · a

Производим представление полученного результата с исходное. Получим, что

a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a

Теперь выполняем вычитание:

a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a = a + 5 · a + 3 a · (a - 3) · (a + 3) - (a - 5) · (a - 3) (a + 3) · a · (a - 3) = = a + 5 · a + 3 - (a - 5) · (a - 3) a · (a - 3) · (a + 3) = a 2 + 3 · a + 5 · a + 15 - (a 2 - 3 · a - 5 · a + 15) a · (a - 3) · (a + 3) = = 16 · a a · (a - 3) · (a + 3) = 16 a - 3 · (a + 3) = 16 a 2 - 9

После чего очевидно, что исходное выражение примет вид 16 a 2 - 9 .

Ответ: a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 - 9 .

Пример 5

Представить x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x в виде рациональной дроби.

Решение

Заданное выражение записывается как дробь, в числителе которой имеется x x + 1 + 1 , а в знаменателе 2 · x - 1 1 + x . Необходимо произвести преобразования x x + 1 + 1 . Для этого нужно выполнить сложение дроби и числа. Получаем, что x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 · x + 1 x + 1

Следует, что x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 x + 1 2 · x - 1 1 + x

Получившаяся дробь может быть записана как 2 · x + 1 x + 1: 2 · x - 1 1 + x .

После деления придем к рациональной дроби вида

2 · x + 1 x + 1: 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 x + 1 · 1 + x 2 · x - 1 = 2 · x + 1 · (1 + x) (x + 1) · (2 · x - 1) = 2 · x + 1 2 · x - 1

Можно решить это иначе.

Вместо деления на 2 · x - 1 1 + x производим умножение на обратную ей 1 + x 2 · x - 1 . Применим распределительное свойство и получаем, что

x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 · x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 · 1 + x 2 · x - 1 = = x x + 1 · 1 + x 2 · x - 1 + 1 · 1 + x 2 · x - 1 = x · 1 + x (x + 1) · 2 · x - 1 + 1 + x 2 · x - 1 = = x 2 · x - 1 + 1 + x 2 · x - 1 = x + 1 + x 2 · x - 1 = 2 · x + 1 2 · x - 1

Ответ: x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x - 1 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter


Эта статья посвящена преобразованию рациональных выражений , преимущественно дробно рациональных, – одному из ключевых вопросов курса алгебры для 8 классов. Сначала мы напомним, выражения какого вида называют рациональными. Дальше остановимся на проведении стандартных преобразований с рациональными выражениями, таких как группировка слагаемых, вынесение за скобки общих множителей, приведение подобных слагаемых и т.п. Наконец, научимся представлять дробные рациональные выражения в виде рациональных дробей.

Навигация по странице.

Определение и примеры рациональных выражений

Рациональные выражения являются одним из видов выражений , изучаемых на уроках алгебры в школе. Дадим определение.

Определение.

Выражения, составленные из чисел, переменных, скобок, степеней с целыми показателями, соединенных с помощью знаков арифметических действий +, −, · и:, где деление может быть обозначено чертой дроби, называются рациональными выражениями .

Приведем несколько примеров рациональных выражений: .

Рациональные выражения начинают целенаправленно изучаться в 7 классе. Причем в 7 классе познаются основы работы с так называемыми целыми рациональными выражениями , то есть, с рациональными выражениями, которые не содержат деления на выражения с переменными. Для этого последовательно изучаются одночлены и многочлены , а также принципы выполнения действий с ними. Эти все знания в итоге позволяют выполнять преобразование целых выражений .

В 8 классе переходят к изучению рациональных выражений, содержащих деление на выражение с переменными, которые называют дробными рациональными выражениями . При этом особое внимание уделяется так называемым рациональным дробям (их также называют алгебраическими дробями ), то есть дробям, в числителе и знаменателе которых находятся многочлены. Это в итоге дает возможность выполнять преобразование рациональных дробей .

Полученные навыки позволяют перейти к преобразованию рациональных выражений произвольного вида. Это объясняется тем, что любое рациональное выражение можно рассматривать как выражение, составленное из рациональных дробей и целых выражений, соединенных знаками арифметических действий. А работать с целыми выражениями и алгебраическими дробями мы уже умеем.

Основные виды преобразований рациональных выражений

С рациональными выражениями можно проводить любые из основных тождественных преобразований , будь то группировка слагаемых или множителей, приведение подобных слагаемых, выполнение действий с числами и т.п. Обычно целью выполнения этих преобразований является упрощение рационального выражения .

Пример.

.

Решение.

Понятно, что данное рациональное выражение представляет собой разность двух выражений и , причем данные выражения являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть. Таким образом, мы можем выполнить приведение подобных слагаемых :

Ответ:

.

Понятно, что при проведении преобразований с рациональными выражениями, как, впрочем, и с любыми другими выражениями, нужно оставаться в рамках принятого порядка выполнения действий .

Пример.

Выполните преобразование рационального выражения .

Решение.

Мы знаем, что сначала выполняются действия в скобках. Поэтому в первую очередь преобразуем выражение в скобках: 3·x−x=2·x .

Теперь можно подставить полученный результат в исходное рациональное выражение: . Так мы пришли к выражению, содержащему действия одной ступени – сложение и умножение.

Избавимся от скобок в конце выражения, применив свойство деления на произведение: .

Наконец, мы можем сгруппировать числовые множители и множители с переменной x, после чего выполнить соответствующие действия с числами и применить : .

На этом преобразование рационального выражения завершено, и в результате мы получили одночлен.

Ответ:

Пример.

Преобразуйте рациональное выражение .

Решение.

Сначала преобразуем числитель и знаменатель. Такой порядок преобразования дробей объясняется тем, что черта дроби по своей сути есть другое обозначение деления, и исходное рациональное выражение по сути есть частное вида , а действия в скобках выполняются в первую очередь.

Итак, в числителе выполняем действия с многочленами, сначала умножение, затем – вычитание, а в знаменателе сгруппируем числовые множители, и вычислим их произведение: .

Еще представим числитель и знаменатель полученной дроби в виде произведения: вдруг возможно сокращение алгебраической дроби . Для этого в числителе воспользуемся формулой разности квадратов , а в знаменателе вынесем двойку за скобки, имеем .

Ответ:

.

Итак, начальное знакомство с преобразованием рациональных выражений можно считать состоявшимся. Переходим, так сказать, к самому сладкому.

Представление в виде рациональной дроби

Наиболее часто конечной целью преобразования выражений является упрощение их вида. В этом свете самым простым видом, к которому можно преобразовать дробно рациональное выражение, является рациональная (алгебраическая) дробь, и в частном случае многочлен, одночлен или число.

А любое ли рациональное выражение возможно представить в виде рациональной дроби? Ответ утвердительный. Поясним, почему это так.

Как мы уже сказали, всякое рациональное выражение можно рассматривать как многочлены и рациональные дроби, соединенные знаками плюс, минус, умножить и разделить. Все соответствующие действия с многочленами дают многочлен или рациональную дробь. В свою очередь любой многочлен можно преобразовать в алгебраическую дробь, записав его со знаменателем 1 . А сложение, вычитание, умножение и деление рациональных дробей в результате дают новую рациональную дробь. Следовательно, выполнив все действия с многочленами и рациональными дробями в рациональном выражении, мы получим рациональную дробь.

Пример.

Представьте в виде рациональной дроби выражение .

Решение.

Исходное рациональное выражение представляет собой разность дроби и произведения дробей вида . Согласно порядку выполнения действий мы сначала должны выполнить умножение, а уже потом – сложение.

Начинаем с умножения алгебраических дробей :

Подставляем полученный результат в исходное рациональное выражение: .

Мы пришли к вычитанию алгебраических дробей с разными знаменателями:

Итак, выполнив действия с рациональными дробями, составляющими исходное рациональное выражение, мы его представили в виде рациональной дроби .

Ответ:

.

Для закрепления материала разберем решение еще одного примера.

Пример.

Представьте рациональное выражение в виде рациональной дроби.