Подготовка к ОГЭ по математике
Задачи 1 части
Модуль «Геометрия»
Задание 15.
Задание проверяет умение использовать приобретенные знания и умения в
практической деятельности и повседневной жизни, уметь строить и
исследовать простейшие математические модели (исследовать построенные
модели с использованием геометрических понятий и теорем, решать
практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин.)
1. Две сосны растут на расстоянии 15 м одна от другой. Высота одной сосны 30 м,
а другой – 22 м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.
2. Две сосны растут на расстоянии 20 м одна от другой. Высота одной сосны 27 м,
а другой – 12 м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.
3. Две сосны растут на расстоянии 16 м одна от другой. Высота одной сосны 27 м,
а другой – 15 м. найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.
4. Проектор полностью освещает экран А высотой 70 см, расположенный на
проектора нужно расположить экран В высотой 150 см, чтобы он был
дайте в сантиметрах.
А В
5. Проектор полностью освещает экран А высотой 240 см, расположенный на
расстоянии 300 см от проектора. Найдите, на каком наименьшем расстоянии от
проектора нужно расположить экран В высотой 80 см, чтобы он был полностью
освещен, если настройки проектора остаются неизменными. Ответ дайте в
сантиметрах.
В А
6. Проектор полностью освещает экран А высотой 50 см, расположенный на
расстоянии 140 см от проектора. Найдите, на каком наименьшем расстоянии от
проектора нужно расположить экран В высотой 260 см, чтобы он был
полностью освещен, если настройки проектора остаются неизменными. Ответ
дайте в сантиметрах.
А В
7. Найдите длину лестницы, которую прислонили к дереву, если ее верхний конец
находится на высоте 1,6 м над землей, а нижний отстоит от ствола дерева на 1,2
м. Ответ дайте в метрах.
Две сосны растут на расстоянии 24 м одна от другой. Высота одной сосны 17 м,
8.
9. Пожарную лестницу длиной 10 м приставили к окну третьего этажа дома.
Нижний конец лестницы отстоит от стены на 6 м. На какой высоте расположено
окно? Ответ дайте в метрах.
10.Две сосны растут на расстоянии 36 м одна от другой. Высота одной сосны 25 м,
а другой – 10 м. Найдите расстояние (в метрах) между их вершинами.
11.Колесо имеет 45 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите угол,
который образуют две соседние спицы. Ответ дайте в градусах
12.Фонарь закреплен на столбе на высоте 5,4 м. Человек стоит на расстоянии 6 м
от столба и отбрасывает тень длиной 3 м. Какого роста человек? Ответ дайте в
метрах.
13.Колесо имеет 6 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите величину
угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.
14.Человек ростом 190 см стоит на расстоянии 5 м от столба, на котором висит
фонарь. Длина тени человека равна 2,5 м. На какой высоте установлен фонарь?
Ответ дайте в метрах.
15.Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 25 минут?
16.Человек ростом 1,9 м стоит на расстоянии 24 м от столба. На столбе на высоте
7,6 м висит фонарь. Найдите длину тени, которую отбрасывает человек. Ответ
дайте в метрах.
17.Какой угол (в градусах) образует минутная и часовая стрелки часов в 10:00?
18.Найдите периметр участка земли прямоугольной формы, если площадь участка
равна 2700 м2, а одна сторона в 3 раза больше другой. Ответ дайте в метрах.
19.Сколько спиц в колесе, в котором угол между любыми соседними спицами
равен 60о?
20. Сколько спиц в колесе, в котором угол между любыми соседними спицами
равен 40о?
21.Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении,
находится на высоте 4,8 м от земли. Длина троса равна 5 м найдите расстояние
от точки основания флагштока до места крепления троса на земле. Ответ дайте
в метрах.
22.Флагшток удерживается в вертикальном положении при помощи троса.
Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле равно
1,6 м. Длина троса равна 3,4 м. Найдите расстояние от земли до точки
крепления троса. Ответ дайте в метрах.
23.Найдите периметр участка земли прямоугольной формы, если площадь участка
равна 3600 м2, а одна сторона в 4 раза больше другой. Ответ дайте в метрах.
24.Паркет состоит из прямоугольных дощечек со сторонами 5 см и 20 см. Паркет
продаётся упаковками по 2 кв.м в одной упаковке. Сколько дощечек в такой
упаковке?
25. На рисунке изображен колодец с «журавлем». Короткое плечо имеет длину 2
м, а длинное плечо – 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча,
6м
2 м
26.На рисунке изображен колодец с «журавлем». Короткое плечо имеет длину 2 м,
а длинное плечо – 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча,
когда конец короткого поднимется на 0,5 м?
4м
2 м
27. Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, основания
между малой и большой опорами. Высота малой опоры 2,25 м, высота большой
опоры 2,85 м. Найдите высоту средней опоры. Ответ дайте в метрах.
крыша
2,25м? 2,85м
28.Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, основания
которых расположены на одной прямой. Средняя опора стоит посередине
между малой и большой опорами. Высота малой опоры 2,2 м, высота средней
опоры 2,5 м. Найдите высоту большей опоры. Ответ дайте в метрах.
крыша
2,2 м 2,5 м?
29.Какова длина (в метрах) лестницы, которую прислонили к дереву, если верхний
её конец находится на высоте 1,6 м над землёй, а нижний отстоит от ствола
дерева на 1,2 м?
30.Какова длина (в метрах) лестницы, которую прислонили к дереву, если верхний
её конец находится на высоте 2,4 м над землёй, а нижний отстоит от ствола
дерева на 0,7 м?
31.Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, основания
которых расположены на одной прямой. Средняя опора стоит посередине
между малой и большой опорами. Высота малой опоры 1,7 м, высота средней
опоры 2,1 м. Найдите высоту большей опоры. Ответ дайте в метрах.
крыша
1,7 м 2,1 м?
32.Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, основания
которых расположены на одной прямой. Средняя опора стоит посередине
между малой и большой опорами. Высота средней опоры 2,2 м, высота большей
опоры 2,5 м. Найдите высоту меньшей опоры. Ответ дайте в метрах.
крыша
? м 2,2 м 2,5
33.Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 29 минут?
34.Паркет продаётся упаковками по 1,5 кв.м в каждой упаковке. Каждая дощечка
имеет форму прямоугольника со сторонами 5 см и 20 см. Сколько дощечек в
такой упаковке?
35.Проектор полностью освещает экран А высотой 80 см, расположенный на
проектора нужно расположить экран В высотой 160 см, чтобы он был
полностью освещен, если настройки проектора остаются неизменными? Ответ
дайте в сантиметрах.
А В
36.Проектор полностью освещает экран А высотой 80 см, расположенный на
расстоянии 250 см от проектора. Найдите, на каком наименьшем расстоянии от
проектора нужно расположить экран В высотой 240 см, чтобы он был
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цель работы: Разработать модель решения геометрических задач практического содержания из вариантов ГИА 9 класса и создать демонстрационную презентацию данного метода.
Литература: Открытый банк заданий по математике ГИА 2012 www.mathgia.ru
Этапы решения задачи:
- Постановка задачи
Формулируется условие задачи, выделяются исходные данные и результаты.
Строится математическая модель решения задачи, например, выполняется геометрический чертеж, в котором реальные объекты заменены на геометрические фигуры.- Вычислительный этап
Производится сопоставление теоретического материала с созданной математической моделью. Выписываются расчетные формулы, выделяются существенные свойства геометрических объектов.
Производятся расчеты. - Анализ полученных результатов
Производится сопоставление результата решения задачи реальной действительности.
Задача 1 . В 24 м одна от другой растут две сосны. Высота одной 23 м, а другой – 16 м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.
| Этапы решения задачи | Содержание |
| Постановка задачи | Условие задачи: В 24 м одна от другой растут две сосны. Высота одной 23 м, а другой – 16 м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками. Исходные данные: Высоты деревьев – 23 м и 16 м, расстояние между их основаниями – 24 м. Результат: Расстояние между верхушками сосен. |
| Создание математической модели |  AB=23 м, CD=16 м, АС=24 м Найти BD |
| Вычислительный этап | Теоретический минимум: В прямоугольнике противоположные стороны равны. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Решение: Проведем DH перпендикулярно АВ, ACDH – прямоугольник, DC=AH, AC=DH. ВН=АВ-АН. Таким образом, DH=24 м, BH=23–16=7 м. По теореме Пифагора: |
| Можно сопоставить полученный результат 25 м, например, с расстоянием между соснами 24 м. |
Задача 2 . Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 8 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна четырем шагам. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь?
| Этапы решения задачи | Содержание |
| Постановка задачи | Условие задачи: Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 8 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна четырем шагам. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь? Исходные данные: Рост человека – 1,7 м, тень человека – 4 шага, расстояние от человека до столба – 8 шагов. Результат: Высота столба (в метрах). |
| Создание математической модели |
 AB=1,7 м, SA=4 шага, AC=8 шагов Найти СD |
| Вычислительный этап | Теоретический минимум: Первый признак подобия треугольников (по двум углам). Длина отрезка равна сумме длин частей, из которых состоит этот отрезок. Решение: CS=AC+AS=4+8=12 шагов. DS – луч света от фонаря. ΔABS~ΔCDS (по двум углам). Тогда ;  . |
| Анализ полученных результатов | Можно сопоставить полученный результат 5,1 м, например, с ростом человека 1,7 м. |
Прототипы задач с практическим содержанием из открытого банка заданий ГИА 2012
- Мальчик прошел от дома по направлению на восток 800 м. Затем повернул на север и прошел 600 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказался мальчик?
- Девочка прошла от дома по направлению на запад 500 м. Затем повернула на север и прошла 300 м. После этого она повернула на восток и прошла еще 100 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказалась девочка?
- Мальчик и девочка, расставшись на перекрестке, пошли по взаимно перпендикулярным дорогам, мальчик со скоростью 4 км/ч, девочка – 3 км/ч. Какое расстояние (в километров) будет между ними через 30 минут?
- Два парохода вышли из порта, следуя один на север, другой на запад. Скорости их равны соответственно 15 км/ч и 20 км/ч. Какое расстояние (в километрах) будет между ними через 2 часа?
- В 60 м одна от другой растут две сосны. Высота одной 31 м, а другой – 6 м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.
- Колесо имеет 18 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.
- Сколько спиц в колесе, если угол между соседними спицами равен 18°?
- Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 5 ч?
- Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 10 мин?
- Какой угол (в градусах) описывает часовая стрелка за 20 мин?
- На какой угол (в градусах) поворачивается минутная стрелка пока часовая проходит 2°?
- Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 8 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна четырем шагам. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь?
- Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 12 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 5,4 м. Найдите длину тени человека в метрах.
- Площадь прямоугольного земельного участка равна 9 га, ширина участка равна 150 м. Найдите длину этого участка в метрах.
- Найдите периметр прямоугольного участка земли, площадь которого равна 800 м2 и одна сторона в 2 раза больше другой. Ответ дайте в метрах.
- Сколько досок длиной 2 м, шириной 20 см и толщиной 10 мм выйдет из четырехугольной балки длиной 100 дм, имеющей в сечении прямоугольник размером 50 см × 80 см?
- Сколько коробок в форме прямоугольного параллелепипеда размерами 30×40×100 (см) можно поместить в кузов машины размерами 2,4×8×2,8 (м)?
- Две трубы, диаметры которых равны 45 см и 60 см, требуется заменить одной, не изменяя пропускную способность. Каким должен быть диаметр новой трубы? Ответ дайте в сантиметрах.
- Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 30 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 2,7 м и 4,8 м?
- Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 7 м и 8 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 20 см. Сколько потребуется таких дощечек?
- Найдите периметр прямоугольного участка земли, площадь которого равна 19600 м 2 и одна сторона в 4 раза больше другой. Ответ дайте в метрах.
- Площадь прямоугольного земельного участка равна 14 га, ширина участка равна 100 м. Найдите длину этого участка в метрах.
Высота дерева определяется как вертикальное расстояние между наиболее высокой точкой кроны и поверхностью земли. Она отличается от длины дерева, которая представляет собой длину ствола от поверхности земли до вершины дерева (Рис. 1). Измерения следует по возможности проводить с точностью до 0,1 м, хотя этот уровень точности не может быть достигнут для крупных деревьев.
Рекомендуется отмечать место (например, расстояние от дерева и азимут) с которого проводится измерение, чтобы проводить все последующие измерения с той же позиции. Эти же точки измерения можно выметить в натуре на земле. Хотя считается, что условия обозреваемости могут меняться через 10-20- лет (рост подроста, развитие крон...), эта процедура является одним из способов ограничения ошибок измерения.
Рис.1: Высота и длина дерева.
Совет
: в некоторых случаях (например, оттирание периферических побегов, побегов поросли) верхушкой считают самую высокую "живую" почку кроны. Хотя зимой не так просто увидеть вершину дерева во время измерений высоты листопадных видов, но это
позволит отличить вершину от сухих мертвых ветвей, которые весной обычно отламываются.
Совет
: Для наклоненных деревьев рекомендуется измерять высоту перпендикуляра от
самой верхней точки кроны до земли в направлении наклона дерева.
Совет
: В случае, когда насаждение располагаемся на склоне (> 6°), рекомендуется измерять
высоту дерева на уровне основания дерева (той же высоте над уровнем моря) или выше.
2 способ
Измерение проводят вдвоём. Один человек становится рядом с деревом, а другой, с хорошим глазомером, отойдя на некоторое расстояние, чтобы охватить взглядом, всё дерево от комля до вершины, «откладывает» на глаз, сколько человек данного роста «укладывается» по всей длине ствола. При этом рациональнее каждый раз откладывать расстояние, вдвое больше, чем предыдущее, т.е. мысленно отложить сначала высоту двух «человечков», затем прибавить к ним ещё двух, затем – ещё четырёх, затем ещё восьми и т.д. (т.е. по схеме 1 – 2 – 4 – 8 – 16). С точки зрения человеческого глазомера это проще и точнее. Зная рост «человечка» можно подсчитать высоту дерева.
3 способ
Измерение высоты дерева при помощи тени
В солнечный день для определения высоты дерева можно воспользоваться отбрасываемой им тенью. Измерив свою тень или тень какого-нибудь шеста, вы можете вычислить искомую высоту из пропорции АВ:аb = ВС:bс
так как высота дерева во столько же раз больше вашей собственной высоты (или высоты шеста), во сколько раз тень дерева длиннее вашей тени (или тени шеста). Это вытекает, конечно, из геометрического подобия треугольников AВС и abc (по двум углам).
Самый точный из непрямых способов, - используется в солнечную погоду. Точно измеряется тень от стоящего человека, чей рост известен. Далее замеряется тень от исследуемого дерева. В густом лесу, когда тень того или иного дерева и, особенно, его вершины найти затруднительно, можно порекомендовать следующим способом. Отойти от дерева таким образом, чтобы взгляд человека (голова), вершина дерева и солнце лежали на одной линии, после чего найти на земле тень от собственной головы – это и будет тень от вершины дерева. Остаётся только замерить расстояние между этой точкой и основанием дерева и определить высоту дерева по пропорции: длина тени человека/его рост – длина тени дерева/его высота.
II.4. 3. Методика определения возраста дерева
Точный возраст многовековых деревьев определить очень трудно. Поэтому для таких деревьев принято говорить о размерах окружности и диаметра их ствола. Зависимость окружности ствола от возраста так же очень относительна и зависит от тех природных условий, в которых произрастает дерево.
Возраст векового дерева определяется по простой формуле:
L = k·c,
где L - возраст дерева,
к - коэффициент,
с - длина окружности стола дерева (обхват) на высоте 1,3 метра от поверхности земли. Для сосны коэффициент - от 0,7 до 1,5 на сухом скальном грунте.
