Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, B 1, D 1 единичного куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Ответ: Искомый многогранник ABCB 1 D 1 составлен из двух треугольных пирамид с общим основанием. Он получается из куба отсечением трех треугольных пирамид. Его объем равен 0,5.




Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, A 1 правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является треугольная пирамида A 1 ABC. Ее объем равен 1/3.


Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, A 1, C 1 правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является треугольная пирамида C 1 ABA 1. Ее объем равен 1/3.


Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, D, E, F, A 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является шестиугольная пирамида A 1 ABCDEF. Ее объем равен 1/3.


Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, A 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является треугольная пирамида A 1 ABC. Ее объем равен 1/18.


Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, D, A 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является четырехугольная пирамида A 1 ABCD. Ее объем равен 1/6.


Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, D, E, A 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является пятиугольная пирамида A 1 ABCDE. Ее объем равен 5/18.


Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, A 1, B 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является четырехугольная пирамида СABB 1 A 1. Ее объем равен 1/9.


Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, A 1, B 1, C 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является треугольная призма ABCA 1 B 1 C 1. Ее объем равен 1/6.


Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, D, A 1, B 1, C 1, D 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является четырехугольная призма ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Ее объем равен 1/2.


Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, D, A 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является треугольная пирамида A 1 ABD. Ее объем равен 1/9.


Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, C, E, A 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является треугольная пирамида A 1 ACE. Ее объем равен 1/6.


Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, B 1, C 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является треугольная пирамида C 1 ABB 1. Ее объем равен 1/18.


Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, С 1, D 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является треугольная пирамида D 1 ABC 1. Ее объем равен 1/18.

Дорогие друзья! Для вас очередная статья с призмами. Имеется в составе экзамена такой тип заданий, в которых требуется определить объём многогранника. При чём он дан не в «чистом виде», а сначала его требуется построить. Я бы выразился так – его нужно «увидеть» в другом заданном теле.

Статья на с такими заданиями уже была на блоге, . В представленных ниже заданиях даются прямые правильные призмы – треугольная или шестиугольная. Если совсем позабыли что такое призма, то .

В правильной призме в основании лежит правильный многоугольник. Следовательно в основании правильной треугольной призмы лежит равносторонний треугольник, а в основании правильной шестиугольной призмы лежит правильный шестиугольник.

При решении задач используется формула объёма пирамиды, рекомендую посмотреть информацию . Так же будет полезно с параллелепипедами, принцип решения заданий схож. Ещё раз посмотрите формулы, которые необходимо знать.

Объём призмы:

Объём пирамиды:

245340. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, А 1 правильной треугольной призмы АВСА 1 В 1 С 1 , площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 3.

Получили пирамиду с основанием АВС и вершиной А 1 . Площадь её основания равна площади основания призмы (основание общее). Высота также общая. Объём пирамиды равен:

Ответ: 2

245341. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, А 1 , С 1 , правильной треугольной призмы АВСА 1 В 1 С 1 , площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 2.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Это пирамида с основанием АА 1 С 1 С и высотой равной расстоянию между ребром АС и вершиной В. Но в данном случае вычислять площадь этого основания и указанную высоту слишком долгий путь к результату. Проще поступить следующим образом:

Чтобы получить объём указанного многогранника необходимо из объёма данной призмы АВСА 1 В 1 С 1 вычесть объём пирамиды ВА 1 В 1 С 1 . Запишем:

Ответ: 4

245342. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А 1 , В 1 , В, С, правильной треугольной призмы АВСА 1 В 1 С 1 , площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Чтобы получить объём указанного многогранника необходимо из объёма призмы АВСА 1 В 1 С 1 вычесть объёмы двух тел – пирамиды ABCА 1 и пирамиды CА 1 В 1 С 1 . Запишем:


Ответ: 4

245343. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, E, F, A 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Это пирамида имеющая общее основание с призмой и высотой равной высоте призмы. Объём пирамиды будет равен:

Ответ: 4

245344. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, В, С, A 1 , B 1 , C 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Полученный многогранник является прямой призмой. Объём призмы равен произведению площади основания и высоты.

Высота исходной призмы и полученной общая, она равна трём (это длина бокового ребра). Остаётся определить площадь основания, то есть треугольника АВС.

Так как призма правильная, то в её основании лежит правильный шестиугольник. Площадь треугольника АВС равна одной шестой части этого шестиугольника, подробнее об этом (пункт 6). Следовательно площадь АВС равна 1. Вычисляем:

Ответ: 3

245345. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, В, D, E, A 1 , B 1 , D 1 , E 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Высота исходной призмы и полученной общая, она равна двум (это длина бокового ребра). Остаётся определить площадь основания, то есть четырёхугольника АВDЕ.

Так как призма правильная, то в её основании лежит правильный шестиугольник. Площадь четырехугольника АВDЕ равна четырём шестым этого шестиугольника. Почему? Подробнее об этом посмотрите (пункт 6). Следовательно площадь АВDЕ будет равна 4. Вычисляем:

Ответ: 8

245346. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, В, C, D, A 1 , B 1 , С 1 , D 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Полученный многогранник является прямой призмой.

Высота исходной призмы и полученной общая, она равна двум (это длина бокового ребра). Остаётся определить площадь основания, то есть четырёхугольника АВCD. Отрезок AD соединяет диаметрально противоположные точки правильного шестиугольника, а это означает, что он разбивает его на две равные трапеции. Следовательно площадь четырёхугольника АВCD (трапеции) равна трём.

Вычисляем:

Ответ: 6

245347. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Полученный многогранник является пирамидой с основанием АВС и высотой ВВ 1 .

*Высота исходной призмы и полученной общая, она равна трём (это длина бокового ребра).

Остаётся определить площадь основания пирамиды, то есть треугольника АВC. Она равна одной шестой площади правильного шестиугольника, являющегося основанием призмы. Вычисляем:

Ответ: 1

245357. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны корню из трёх.

Объём призмы равен произведению площади основания призмы и её высоты.

Высота прямой призмы равна её боковому ребру, то есть она уже нам дана – это корень из трёх. Вычислим площадь правильного шестиугольника лежащего в основании. Его площадь равна шести площадям равных друг другу правильных треугольников, при чём сторона такого треугольника равна ребру шестиугольника:

*Использовали формулу площади треугольника – площадь треугольника равна половине произведения соседних сторон на синус угла между ними.

Вычисляем объём призмы:

Ответ: 13,5

Что можно отметить особо? Внимательно стройте многогранник, не мысленно, а именно на листочке прорисуйте его. Тогда вероятность ошибки из-за невнимательности будет исключена. Запомните свойства правильного шестиугольника. Ну и формулы объёма, которые использовали важно помнить.

Решите две задачи на объём самостоятельно:

27084. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны √3.

27108. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны 2√3 и наклонены к плоскости основания под углом 30 0 .

На этом всё. Удачи!

С уважением, Александр.

P.S: Буду благодарен, если расскажете о сайте в социальных сетях

А B C D E F Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, E, F, A 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3. А1А1А1А1 C1C1C1C1 F1F1F1F1 E1E1E1E1 D1D1D1D1 B1B1B1B1 3 х 1 0 х В


2. 2. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3. А B C D E F А1А1А1А1 C1C1C1C1 D1D1D1D1 E1E1E1E1 F1F1F1F1 А BC Найдем площадь треугольника АВС и площадь 6-угольника. aa =sin B1B1B1B1




A BCD Найти это отношение можно исследуя геометрический чертеж, а не вычисляя площади. Шестиугольник – 6 треугольников. Треугольник АВС содержит 1 такой треугольник. А B C D E F А1А1А1А1 C1C1C1C1 D1D1D1D1 E1E1E1E1 F1F1F1F1 3 B1B1B1B1 3 S 6 = 6 3 х 1 0 х В


3. 3. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки B, C, D, E, B 1, C 1, D 1, E 1, правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 14. А B C D E F А1А1А1А1 C1C1C1C1 D1D1D1D1 F1F1F1F1 E1E1E1E1 B1B1B1B1 B CDE4 3 х 1 0 х В Площадь трапеции BCDE равна половине площади 6-угольника


Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, D, E, A 1, B 1, D 1, E 1, правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания которой равна 14, а боковое ребро равно 3. А B C D E F А1А1А1А1 C1C1C1C1 F1F1F1F1 3 E1E1E1E1 B CDE Найдем площадь 6- угольника и прямоугольника. D1D1D1D1 B1B1B1B1 aa = – cos60 0 a 3 a




Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, D, E, A 1, B 1, D 1, E 1, правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания которой равна 14, а боковое ребро равно 3. А B C D E F А1А1А1А1 C1C1C1C1 F1F1F1F1 3 E1E1E1E1 B CDE D1D1D1D1 B1B1B1B х 1 0 х В


5. 5. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A 1, B 1, C 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 7. А B C D E F А1А1А1А1 C1C1C1C1 D1D1D1D1 E1E1E1E1 F1F1F1F1 А BC Найдем площадь треугольника АВС и площадь 6-угольника. aa =sin60 0 B1B1B1B1 77 7




A BCD Найти это отношение можно исследуя геометрический чертеж, а не вычисляя площади. Шестиугольник – 6 треугольников. Треугольник АВС содержит 1 такой треугольник. C1C1C1C1 А B C D E F А1А1А1А1 D1D1D1D1 E1E1E1E1 F1F1F1F1 B1B1B1B1 7 7 S 6 = х 1 0 х В 11 3, 5 5.


В А С С1С1С1С1 В1В1В1В Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A 1, B 1, В, С правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3. Искомый объем можно рассмотреть как разность объема треугольной призмы и двух пирамид. А1А1А1А1 3 х 1 0 х В 11 4


В А С С1С1С1С1 В1В1В1В Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, A 1, С 1 правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 D 1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 2. Искомый объем можно рассмотреть как разность объема треугольной призмы и пирамиды A 1 B 1 C 1 B. А1А1А1А1 3 х 1 0 х В 11 4


А В С С1С1С1С1 А1А1А1А1 В1В1В1В Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, A 1 правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1, площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно х 1 0 х В 11 2


C D А B D1D1 C1C1 B1B1 A1A Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, В, C, B 1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, у которого АВ=3, АD=3, AA 1 = х 1 0 х В 11 4, 5 abS 2 1 = 33


Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А 1, В, C, C 1, B 1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, у которого АВ=4, АD=3, AA 1 =4. D A B C A1A1 D1D1 C1C1 B1B1 Получилась четырехугольная пирамида с основанием СВВ 1 С 1. Мне хочется опрокинуть параллелепипед на грань CBВ 1 C 1. C B B1B1 C1C1 A DD1D1 A1A х 1 0 х В


Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, В, B 1, C 1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, у которого АВ=5, АD=3, AA 1 =4. C D A B D1D1 C1C1 B1B1 A1A1 Неудобный чертеж, т.к. не совсем ясен вид отсеченного многогранника. Мне хочется опрокинуть параллелепипед на грань ABВ 1 А 1. A B B1B1 A1A1 C DD1D1 C1C1 АВВ 1 С 1 – треугольная призма с основанием АВС и высотой В 1 С х 1 0 х В abS 2 1 = 54


Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, В, C, D 1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, у которого АВ=4, АD=3, AA 1 =4. C D A B D1D1 C1C1 B1B1 A1A х 1 0 х В 11 8 abS 2 1 = 34


Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, D, A 1, B, C, B 1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, у которого АВ=3, АD=4, AA 1 =5. D A В C A1A1 D1D1 C1C1 В1В х 1 0 х В Диагональное сечение делит параллелепипед на два равных многогранника. Равные фигуры имеют равные объемы.

Показывающая связь знака производной с характером монотонности функции.

Пожалуйста, будьте предельно внимательны в следующем. Смотрите, график ЧЕГО вам дан! Функции или ее производной

Если дан график производной , то интересовать нас будут только знаки функции и нули. Никакие «холмики» и «впадины» не интересуют нас в принципе!

Задача 1.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.


Решение:

На рисунке выделены цветом области убывания функции :


В эти области убывания функции попадает 4 целые значения .


Задача 2.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.


Решение:

Раз касательная к графику функции параллельна (или совпадает) прямой (или, что тоже самое, ), имеющей угловой коэффициент , равный нулю, то и касательная имеет угловой коэффициент .

Это в свою очередь означает, что касательная параллельна оси , так как угловой коэффициент есть тангенс угла наклона касательной к оси .

Поэтому мы находим на графике точки экстремума (точки максимума и минимума), – именно в них касательные к графику функции будут параллельны оси .


Таких точек – 4.

Задача 3.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.


Решение:

Раз касательная к графику функции параллельна (или совпадает) прямой , имеющей угловой коэффициент , то и касательная имеет угловой коэффициент .

Это в свою очередь означает, что в точках касания.

Поэтому смотрим, сколько точек на графике имеют ординату , равную .

Как видим, таких точек – четыре.

Задача 4.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.


Решение:

Производная равна нулю в точках экстремума. У нас их 4:


Задача 5.

На рисунке изображён график функции и одиннадцать точек на оси абсцисс:. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?


Решение:

На промежутках убывания функции её производная принимает отрицательные значения. А убывает функция в точках. Таких точек 4.

Задача 6.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции .


Решение:

Точки экстремума – это точки максимума (-3, -1, 1) и точки минимума (-2, 0, 3).

Сумма точек экстремума: -3-1+1-2+0+3=-2.

Задача 7.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.


Решение:

На рисунке выделены промежутки, на которых производная функции неотрицательная.

На малом промежутке возрастания целых точек нет, на промежутке возрастания четыре целых значения : , , и .


Их сумма:

Задача 8.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.


Решение:

На рисунке выделены цветом все промежутки, на которых производная положительна, а значит сама функция возрастает на этих промежутках.


Длина наибольшего из них – 6.

Задача 9.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка принимает наибольшее значение.


Решение:

Смотрим как ведет себя график на отрезке , а именно нас интересует только знак производной .


Знак производной на – минус, так как график на этом отрезке ниже оси .

Решение заданий части В ЕГЭ по математике

Решение. Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с плюса на минус. На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (−10; 8). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−9;6].

Решение. Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с плюса на минус. На отрезке [−9;6] функция имеет две точки максимума x = − 4 и x = 4. Ответ: 2 . На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (−10; 8). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−9;6].

Решение. На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−1; 12). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает.

Решение. На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−1; 12). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает, т. е. на интервалах (0,5; 3), (6; 10) и (11; 12). В них содержатся целые точки 1, 2, 7, 8 и 9. Всего 5 точек. Ответ: 5.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 4). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. Решение. Промежутки убывания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 4). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. Решение. Промежутки убывания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна, то есть интервалу (−9; −6) длиной 3 и интервалу (−2; 3) длиной 5. Длина наибольшего из них равна 5. Ответ: 5.

На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9]. Решение. Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный.

На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9]. Решение. Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный. На отрезке [−6; 9] функция имеет одну точку максимума x = 7. Ответ: 1.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 6). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. Решение. Промежутки возрастания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции положительна.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 6). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. Решение. Промежутки возрастания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции положительна, то есть интервалам (−7; −5), (2; 5). Наибольший из них - интервал (2; 5), длина которого 3.

На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (−7; 10). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [−3; 8]. Решение. Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с минуса на плюс.

На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (−7; 10). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [−3; 8]. Решение. Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с минуса на плюс. На отрезке [−3; 8] функция имеет одну точку минимума x = 2. Ответ: 1.

На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (−16; 4). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−14; 2]. Решение. Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной - изображенным на графике нулям производной. Производная обращается в нуль в точках −13, −11, −9, −7. На отрезке [−14; 2] функция имеет 4 точки экстремума. Ответ: 4.

На рисунке изображен график функции y=f(x) , определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x) . Решение. Заданная функция имеет максимумы в точках 1, 4, 9, 11 и минимумы в точках 2, 7, 10. Поэтому сумма точек экстремума равна 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44. Ответ: 44.

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 . Решение. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; −2), B (2; 0), C (−6; 0). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB

На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к этому графику в точке абсциссой, равной 3. Найдите значение производной этой функции в точке x = 3. Для решения используем геометрический смысл производной: значение производной функции в точке равняется угловому коэффициенту касательной к графику этой функции, проведенной в этой точке. Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси х (tg α). Угол α = β, как накрест лежащие углы при параллельных прямых y=0, y=1 и секущей-касательной. Для треугольника ABC

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 . По свойствам касательной y=f ′ (x 0)⋅x+b, b=const По рисунку видно, что касательная к функции f(x) в точке x 0 проходит через точки (-3;2), (5,4). Следовательно, можно составить систему уравнений

Источники http://reshuege.ru/