Выборочное среднее квадратическое отклонение, размах выборки. 7. 2.
Контрольные вопросы
1. Запишите формулы для нахождения выборочного среднего по статистическим данным: 1) несгруппированным, 2) сгруппированным и поясните их. Приведите пример.
2. Запишите формулы для нахождения выборочного среднего квадратического отклонения по статистическим данным: 1) несгруппированным, 2) сгруппированным и поясните их. Приведите пример.
3. Назовите числовые характеристики выборки, которые описывают:
1) центр распределения,
2) рассеивание значений случайной величины вокруг центра,
3) симметричность распределения,
4) островершинность распределения?
Часть 2. статистические оценки параметров распределения генеральной совокупности
Тема 1. точечные оценки параметров генеральной совокупности
1. Оценка параметра и ее свойства
Изучаемая генеральная совокупность может быть очень большой. Поэтому ее изучают с помощью выборочного метода. Для выборки из генеральной совокупности вычисляют выборочную среднюю, выборочную дисперсию, и интересующие нас параметры . Например, для нормального распределения – это параметры и https://pandia.ru/text/78/148/images/image101_3.gif" width="16" height="20">.
Как оценить параметры генеральной совокупности, зная значения выборочных параметров?
Статистическая оценка
параметров распределения
Доверительный
Несмещенная Точечная Интервальная интервал
Эффективная оценка оценка
Состоятельная Доверительная
вероятность
* среднее арифметическое * размах варьирования
* медиана * выборочная дисперсия
* мода * выборочное среднее
квадратическое отклонение
Статистическое оценивание параметров распределения
Естественно возникает задача: как оценить (найти приближенное значение) параметра (параметров), которым определяется распределение?
Если генеральную совокупность описывает параметр https://pandia.ru/text/78/148/images/image104_4.gif" width="25" height="20">, которая вычислена по выборке. Например, выборочное среднее оценивает генеральную среднюю ; выборочная дисперсия оценивает генеральную дисперсию ..gif" width="25" height="28 src=">, а параметры – греческими , .
Если статистическая оценка параметра характеризуется одним числом, она называется точечной .
Для каждой конкретной выборки точечная статистическая оценка – это число, т. е. точка на числовой оси.
Статистическая оценка является случайной величиной и меняется в зависимости от выборки.
Для одной и той же неизвестной величины https://pandia.ru/text/78/148/images/image083_3.gif" width="15 height=25" height="25">, выборочная медиана , полусумма крайних элементов.
В силу многообразия оценок, применяемых для оценивания одной и той же неизвестной величины, возникает задача выбора лучшей оценки параметра в определенном смысле..gif" width="25" height="20"> должна быть несмещенной , т. е. ее математическое ожидание должно быть равно оцениваемому параметру.
2..gif" width="24" height="28 src="> представляет собой несмещенную оценку математического ожидания генеральной совокупности .
Выборочная дисперсия https://pandia.ru/text/78/148/images/image112_3.gif" width="20 height=19" height="19">.
Несмещенной оценкой
генеральной дисперсии
служит исправленная выборочная дисперсия
, где - поправочный коэффициент.
При больших значения и будут мало отличаться, поэтому «исправление» выборочной дисперсии производят при малых (). В целях повышения надежности полученной оценки следует увеличивать объем выборки.
Пример 1. При обследовании 50 членов семей получен дискретный вариационный ряд.
Определите средний размер (среднее число членов) семьи.
Охарактеризуйте изменчивость размера семьи.
Объясните полученные результаты, сделайте выводы.
Решение
1. В данной задаче изучаемый признак является дискретным , так как размер семей не может отличаться друг от друга менее чем на одного человека. Рассчитаем среднее число членов семьи:
https://pandia.ru/text/78/148/images/image117_3.gif" width="209" height="60">:
https://pandia.ru/text/78/148/images/image119_3.gif" width="39 height=28" height="28">).
Найдем среднее квадратическое отклонение размера семьи: . Среднее квадратическое отклонение размера семьи - 2 человека.
Найдем коэффициент вариации размера семьи по формуле 
. Коэффициент вариации составляет 38%. Так как коэффициент вариации больше 35%, можно сделать вывод о том, что изучаемая совокупность семей является неоднородной
, чем объясняется высокая изменчивость размера семьи в данной совокупности.
Тестовые задания
1. Точечная оценка параметра распределения признака, вычисленная по выборке, характеризуется:
1) одним числом 2) средним значением признака
3) точкой на прямой 4) результатами выборки
2. В результате измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 11, 13, 15. Тогда оценка дисперсии измерений равна:
1) 4; 2) 13; 3) 8; 4) 3.
3. Отметьте правильные ответы. Качество точечной оценки параметра распределения признака характеризуется:
1) несмещенностью; 2) эффективностью;
3) состоятельностью; 4) случайностью.
4. Отметьте правильный ответ. Несмещенная оценка математического ожидания признака:
1) https://pandia.ru/text/78/148/images/image123_2.gif" width="93 height=60" height="60">;
3) https://pandia.ru/text/78/148/images/image125_2.gif" width="115" height="60">.
5. Оценка генеральной средней признака:
1) выборочное среднее значение 2) среднее значение признака
3) наибольшее значение признака 4) математическое ожидание
6. Несмещенная оценка дисперсии признака:
1) https://pandia.ru/text/78/148/images/image127_3.gif" width="176" height="60 src=">;
3) https://pandia.ru/text/78/148/images/image129_3.gif" width="144 height=60" height="60">.
7. Проведено четыре измерения (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 5, 6, 9, 12 . Оценка математического ожидания равна:
1) 8,25; 2) 8,5 ; 3) 7; 4) 8.
8. Математическое ожидание оценки параметра равно:
1) параметру; 2) выборочному среднему значению;
3) выборочной дисперсии; 4) нулю.
9. Несмещенная и состоятельная оценка генеральной дисперсии:
1) выборочная дисперсия; 2) исправленная выборочная дисперсия;
3) размах признака; 4) приближенное значение дисперсии.
Ответы . 1 . 1). 2. 1). 3 . 1, 2, 3. 4. 2).
5. 1). 6. 1). 7. 4). 8. 1). 9. 2).
контрольные вопросы
1. Дайте определение точечной статистической оценки.
2. Какая оценка параметра распределения называется точечной?
3..gif" width="25" height="28 src=">?
5. Какая числовая характеристика выборки является несмещенной для математического ожидания?
6. Какая числовая характеристика выборки является несмещенной для дисперсии?
Тема 2. интервальные оценки параметров генеральной совокупности
1. Доверительная вероятность и доверительный интервал
Точечные оценки являются приближенными, так как они указывают точку на числовой оси, в которой должно находиться значение неизвестного параметра.
Оценка параметра при разных выборках одного и того же объема будет принимать разные значения. Поэтому в ряде задач требуется найти не только подходящее значение параметра, но и определить его точность и надежность .
Для этого в математической статистике используется два понятия – доверительный интервал и доверительная вероятность.
Доверительный интервал – интервал значений, в пределах которого, как можно надеяться, находится параметр генеральной совокупности.
Наша надежда выражается доверительной вероятностью – вероятность, с которой доверительный интервал «захватит» истинное значение параметра генеральной совокупности. Чем выше доверительная вероятность, тем шире доверительный интервал. Значение доверительной вероятности выбирает сам исследователь. Обычно это 0,9; 0,95; 0,99.
Если статистическая оценка параметра закона распределения случайной величины https://pandia.ru/text/78/148/images/image131_3.gif" width="53" height="24 src=">, в который попадает оцениваемый параметр с заданной надежностью (вероятностью), называется доверительным интервалом , а вероятность - доверительной вероятностью или уровнем надежности. Число называется уровнем значимости .
Вычисление доверительных интервалов основывается на предположении нормальности наблюдаемых величин . Если это предположение не выполнено, то оценка может оказаться плохой, особенно для малых выборок. При увеличении объема выборки, скажем, до 100 или более, качество оценки улучшается и без предположения нормальности выборки.
Например, если среднее выборки равно 23, а нижняя и верхняя границы доверительного интервала с уровнем p =.95 равны 19 и 27 соответственно, то можно заключить, что с вероятностью 95% интервал с границами 19 и 27 накрывает среднее популяции. Если мы установим больший уровень доверия, то интервал станет шире, поэтому возрастает вероятность, с которой он "накрывает" неизвестное среднее популяции, и наоборот.
Доверительный интервал применяется в случае сравнительно небольшого объема выборки , когда предполагается, что надежность точечной оценки может быть невысокой.
Доверительный интервал
симметричен относительно оценки истинного значения параметра и имеет вид 
, где - предельная ошибка выборки (наибольшее отклонение выборочного значения параметра от его истинного значения)..gif" width="15" height="20">.
Для доверительного интервала половина его длины 
называется точностью интервального оценивания
.
Если выполняется соотношение 
, то число называется точностью
, а число - надежностью оценки
генеральной числовой характеристики https://pandia.ru/text/78/148/images/image141_3.gif" width="115" height="25 src="> - выборка объема из генеральной совокупности объема ; - выборочное среднее; - выборочное среднее квадратическое отклонение.
Доверительный интервал уровня надежности https://pandia.ru/text/78/148/images/image105_2.gif" width="17" height="20 src="> имеет вид
,
где - предельная ошибка выборки , которая зависит от объема выборки , доверительной вероятности и равна половине доверительного интервала.
Https://pandia.ru/text/78/148/images/image144_1.gif" width="16" height="16 src="> служит доверительный интервал:
https://pandia.ru/text/78/148/images/image083_3.gif" width="15" height="25"> - выборочное среднее; - исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение; https://pandia.ru/text/78/148/images/image147_2.gif" width="37" height="20 src=">) степеней свободы и доверительной вероятности .
Интервальной оценкой с надежностью генеральной средней https://pandia.ru/text/78/148/images/image144_1.gif" width="16" height="16 src="> служит доверительный интервал:
https://pandia.ru/text/78/148/images/image083_3.gif" width="15" height="25"> - выборочное среднее; - выборочное среднее квадратическое отклонение; https://pandia.ru/text/78/148/images/image151_1.gif" width="39" height="24">, при котором ; - объем выборки.
Выводы . Доверительный интервал для среднего представляет интервал значений вокруг оценки, где с данным уровнем доверия, находится "истинное" (неизвестное) среднее значение признака.
Хорошо известно, например, что чем «неопределенней» прогноз погоды (т. е. шире доверительный интервал), тем вероятнее он будет верным.
Пример. Найти доверительный интервал с надежностью 0,95 для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины, если известны ее среднее квадратическое отклонение https://pandia.ru/text/78/148/images/image154_1.gif" width="61 height=28" height="28"> и объем выборки .
Воспользуемся формулой https://pandia.ru/text/78/148/images/image150_1.gif" width="11" height="17 src="> найдем по таблице значений функции Лапласа 
, с учетом того, что , т. е. 
..gif" width="59 height=23" height="23">. Получим доверительный интервал:
https://pandia.ru/text/78/148/images/image162_1.gif" width="135" height="24 src=">.
Тестовые задания
1. Длина доверительного интервала уменьшается с увеличением:
1) выборочных значений 2) объема выборки
3) доверительной вероятности 4) выборочного среднего
2. Длина доверительного интервала с увеличением объема выборки:
1) уменьшается; 2) увеличивается;
3) не изменяется; 4) колеблется.
3. Длина доверительного интервала с увеличением доверительной вероятности:
1) изменяется, 2) уменьшается,
3) увеличивается, 4) постоянна.
4. Отметьте два правильных ответа..gif" width="19" height="20 src="> в формуле доверительного интервала означают:
1) оценка параметра; 2) доверительный интервал;
3) объем выборки; 4) доверительная вероятность.
Ответы. 1. 2). 2. 1 3. 2). 4. 4) и 3).
контрольные Вопросы
1. Что понимается под термином «интервальная оценка параметра распределения»?
2. Дайте определение доверительного интервала.
3. Что такое точность оценки и надежность оценки?
4. Что называется доверительной вероятностью? Какие значения она принимает?
5. Как изменится длина доверительного интервала, если увеличить: 1) объем выборки, 2) доверительную вероятность? Ответ обоснуйте.
6. Запишите формулу для нахождения доверительного интервала математического ожидания нормально распределенной случайной величины, если генеральная дисперсия: 1) известна; 2) неизвестна.
Часть 3. проверка статистических гипотез
Тема 1. Основные понятия теории принятия статистического решения
1. Нулевая и альтернативная статистические гипотезы
Статистической гипотезой называется такое предположение о виде или свойствах генерального или выборочного распределений, которое можно проверить статистическими методами на основе имеющейся выборк и.
Сущность проверки статистической гипотезы заключается в том, чтобы установить:
· согласуются ли экспериментальные данные и выдвинутая гипотеза;
· допустимо ли отнести расхождение между гипотезой и результатом статистического анализа экспериментальных данных за счет случайных причин.
· о законе распределения генеральной совокупности (например, гипотеза о том, что количество ошибок внимания у младших школьников имеет равномерное распределение);
· о числовых значениях параметров случайной величины (например, гипотеза о том, что среднее количество правильных ответов студентов контрольной группы на десять тестовых вопросов по теме равно восьми);
· об однородности выборок (т. е. принадлежности их одной и той же генеральной совокупности);
· о виде модели , описывающей статистическую зависимость между несколькими признаками (например, предположение о том, что связь между успешностью обучения математики и показателем невербального интеллекта учащихся линейная, прямо пропорциональная).
11.1. Доверительные интервалы и доверительная вероятность.
Доверительные интервалы для параметров нормально распределенной
генеральной совокупности.
При статистической обработке результатов наблюдений следует не только найти оценку неизвестного параметра θ , но и охарактеризовать точность этой оценки. С этой целью вводится понятие доверительного интервала.
Доверительным интервалом для параметра θ называется интервал (θ 1 , θ 2 ), содержащий (накрывающий) истинное значение θ с заданной вероятностью р = 1 - α , т.е. Р [θ 1 < θ < θ 2 ] = 1-α .
Число 1 - α называется доверительной вероятностью, а значение α - уровнем значимости. Статистики θ 1 = θ 1 (x 1 ,...,x n ) и θ 2 = θ 2 (x 1 ,...,x n ), определяемые по выборке x 1 ,...,x n из генеральной совокупности с неизвестным параметром θ , называются соответственно нижней и верхней границами доверительного интервала.
Условие Р [θ 1 < θ < θ 2 ] = 1-α означает, что в большой серии независимых экспериментов, в каждом из которых получена выборка объема n , в среднем (1 - α )·100% из общего числа построенных доверительных интервалов содержат истинное значение параметра θ .
Длина доверительного интервала, характеризующая точность интервального оценивания, зависит от объема выборки n и доверительной вероятности 1 - α : при увеличении объема выборки длина доверительного интервала уменьшается, а с приближением доверительной вероятности к единице - увеличивается. Выбор доверительной вероятности определяется конкретными условиями. Обычно используются значения 1 - α , равные 0,90; 0,95; 0,99.
При решении некоторых задач применяются односторонние доверительные интервалы, границы которых определяют из условий: Р [θ < θ 2 ] = 1-α или Р [θ 1 < θ ] = 1-α .
В этом случае интервалы называются соответственно левосторонними и правосторонними доверительными интервалами.
Чтобы найти доверительный интервал для параметра θ , надо знать закон распределения статистики = (х 1 ,...,х п) , значение которой является оценкой параметра θ.
Для получения доверительного интервала наименьшей длины при данном объеме выборки п и заданной доверительной вероятности 1-α в качестве оценки параметра θ следует брать эффективную либо асимптотически эффективную оценку.
Рассмотрим один из методов построения доверительных интервалов. Предположим, что существует статистика Y = Y( , θ) такая, что:
а) закон распределения Y известен и не зависит от θ ;
б) функция Y( , θ)
непрерывна и строго монотонна по θ.
Пусть (1-α
) - заданная доверительная вероятность, а у а/2
и у 1- a /2 -
квантили распределения статистики Y
порядков α/2
и 1-α/
2соответственно. Тогда с вероятностью 1-α
выполняется неравенство у а/2 < Y( , θ) < у 1- a /2 .
Решая это неравенство относительно θ , найдем границы θ i и θ 2 доверительного интервала для θ. Если плотность распределения статистики Y симметрична относительно оси Оу , то доверительный интервал имеет наименьшую длину, а если это распределение несимметрично, то длину, близкую к наименьшей.
Пример 46. Пусть х 1 ,х 2 ,...,х n - выборка из нормально распределенной генеральной совокупности. Найти доверительный интервал для математического ожидания т при условии, что дисперсия генеральной совокупности известна и равна σ 2 , а доверительная вероятность равна 1-α.
Решение. В качестве оценки математического ожидания т возьмем выборочное среднее . Для нормально распределенной генеральной совокупности выборочное среднее является эффективной оценкой т. Выборочное среднее в данном случае имеет нормальное распределение .
Рассмотрим статистику , имеющую нормальное распределение N (0,1) независимо от значения параметра т. Кроме того, U как функция т непрерывна и строго монотонна. Тогда , где и а/2 и и 1- a /2 - квантили нормального распределения N (0,1).
Решая неравенство 
относительно т,
получим, что с вероятностью 1-α
выполняется условие:
.
Так как квантили нормального распределения связаны соотношением и а/2 =-u 1- a /2 , полученный доверительный интервал для т можно записать следующим образом:
11.2. Доверительные интервалы для вероятности успеха в схеме Бернулли
и параметра λ распределения Пуассона.
Если распределение генеральной совокупности не является нормальным, то в некоторых случаях по выборкам большого объема можно построить доверительные интервалы для неизвестных параметров приближенно, используя при этом предельные теоремы теории вероятности и вытекающие из них асимптотические распределения и оценки.
Пример 47. Пусть в n независимых испытаниях успех наступил х раз. Найти доверительный интервал для вероятности р успеха в одном испытании.
Решение . Эффективной оценкой вероятности успеха р в одном испытании является относительная частота = h = x/h . По теореме Муавра-Лапласа относительная частота h имеет асимптотически нормальное распределение , где q = 1 - р.
Рассмотрим статистику 
, которая имеет асимптотически нормальное распределение N
(0,1) независимо от значения р.
При больших п
тогда имеем
.
Отсюда получим, что с вероятностью ≈1-α выполняется неравенство
.
Заменяя значения р и q влевой и правой частях записанного выше неравенства их оценками = h и = 1-h, получим доверительный интервал для вероятности успеха в схеме
Пример 48. При проверке 100 деталей из большой партии обнаружено 10 бракованных деталей.
а) Найти 95 % приближенный доверительный интервал для доли бракованных деталей во всей партии.
б) Какой минимальный объем выборки следует взять для того, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что доля бракованных деталей по всей партии отличается от частоты
появления бракованных деталей в выборке не более чем на 1 %?
Решение .а) Оценка доли бракованных деталей в партии по выборке равна = h = 10/100 = 0,1. По таблице приложений (П1) находим квантиль и 1- a /2 = и 0,975 = 1,96 . Тогда 95% доверительный
интервал для доли бракованных деталей в партии приближенно имеет вид 0,041 < р < 0,159.
б) Представим полученный доверительный интервал в виде неравенства
,
которое выполняется с вероятностью ≈1 - α = 0,95. Так как согласно условию задачи , то для определения n получим неравенство
.
Отсюда следует, что 
и n
≥(0,3·196) 2 =3457,44 . Итак, минимальный объем выборки n
= 3458.
11.3. Доверительные интервалы для коэффициента корреляции ρ.
Пусть выборка (х i ,у i), i
= 1,2,...,п,
получена из генеральной совокупности, имеющей двумерное нормальное распределение, и r
- выборочный коэффициент корреляции. При достаточно больших n
статистика 
имеет приближенно нормальное распределение 
.
Доверительный интервал для Arth ρ имеет вид
Доверительный интервал для ρ вычисляется с помощью таблиц гиперболического тангенса ρ= thz .(смотри таблицу приложение П8).
Пример 49. Выборочный коэффициент корреляции, вычисленный по выборке объема 10, r = -0,64. Найти 90 % доверительный интервал для коэффициента корреляции р.
Решение. По таблице приложений (П8) находим Arth(-0,64)= -Arth0,64 = -0,76.
Так как и 0,
95 = 1,645, то доверительный интервал для Arthρ имеет вид , т.е. -1,38 Обращаясь к таблице П8, получим 90 % доверительный интервал для коэффициента корреляции: - 0,881 < ρ <
-0,139. 11.4. Примеры доверительных интервалов.
1. Доверительный интервал для математического ожидания а
нормальной случайной величины при известной дисперсии σ 2
имеет вид Здесь величина определяется по заданной доверительной вероятности γ
по таблице значений , в которой .
Теоремы 1 и 2 хотя и являются общими, т. е. сформулированы при достаточно широких предположениях, они не дают возможности установить, насколько близки оценки к оцениваемым параметрам. Из факта, что -оценки являются состоятельными, следует только то, что при увеличении объема выборки значение P
(|θ
* – θ
| < δ), δ < 0, приближается к 1. Возникают следующие вопросы. 1) Каким должен быть объем выборки п,
чтобы заданная точность 2) Какова точность оценки, если объем выборки известен и вероятность безошибочности вывода задана? 3) Какова вероятность того, что при заданном объеме выборки будет обеспечена заданная точность оценки? Введем несколько новых определений. Определение. Вероятность γ выполнения неравенства,
|θ
*– θ
| < δ называется доверительной вероятностью или надежностью оценки θ
. Перейдем от неравенства |θ
*–θ
| < δ к двойному неравенству. Известно, что . Поэтому доверительную вероятность можно записать в виде Так как θ
(оцениваемый параметр) – число постоянное, а θ
* – величина случайная, понятие доверительной вероятности сформулировать так: доверительной вероятностью γ
называется вероятность того, что интервал (θ
*– δ, θ
*+ δ) накрывает оцениваемый параметр. Определение. Случайный интервал
(θ
*–δ
, θ
*+δ
), в пределах которого с вероятностью γ находится неизвестный оцениваемый параметр, называется доверительным интервалом İ
, соответствующим коэффициенту доверия γ,
İ=
(θ*– δ, θ*+ δ
).
(3) Надежность оценки γ
может задаваться заранее, тогда, зная закон распределения изучаемой случайной величины, можно найти доверительный интервал İ
. Решается и обратная задача, когда по заданному İ
находится соответствующая надежность оценки. Пусть, например, γ
= 0,95; тогда число р
= 1 – у = 0,05 показывает, с какой вероятностью заключение о надежности оценки ошибочно. Число р=1–γ
называется уровнем значимости.
Уровень значимости задается заранее в зависимости от конкретного случая. Обычно р
принимают равным 0,05; 0,01; 0,001. Выясним, как построить доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенного признака. Было показано, что Оценим математическое ожидание с помощью выборочной средней учитывая, что также имеет нормальное распределение*. Имеем а по формуле (12.9.2) получаем Принимая во внимание (13.5.12), получим Пусть известна вероятность γ
. Тогда Для удобства пользования таблицей функции Лапласа положим тогда а Интервал накрывает параметр а = М
(Х
)
с вероятностью γ
. В большинстве случаев среднее квадратическое отклонение σ(Х)
исследуемого признака неизвестно. Поэтому вместо σ
(Х
)
при большой выборке (n
> 30) применяют исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение s
, являющееся, в свою очередь оценкой σ
(X
), доверительный интервал будет иметь вид İ
= Пример.
С вероятностью γ = 0,95 найти доверительный интервал для М
(Х
)
– длины колоса ячменя сорта «Московский 121». Распределение задается таблицей, в которой" вместо интервалов изменения (х i
, х i
+ 1) взяты числа , см. Считать, что случайная величина X
подчинена нормальному распределению. Решение. Выборка большая (n
= 50). Имеем Найдем точность оценки Определим доверительные границы: Таким образом, с надежностью γ
= 0,95 математическое ожидание заключено в доверительном интервале I
= (9,5; 10,3). Итак, в случае большой выборки (n
> 30), когда исправленное среднее квадратическое отклонение незначительно отклоняется от среднего квадратического отклонения значения признака в генеральной совокупности, можно найти доверительный интервал. Но делать большую выборку удается не всегда и это не всегда целесообразно. Из (7) видно, что чем меньше п,
тем шире доверительный интервал, т. е. I
зависит от объема выборки п.
Английский статистик Госсет (псевдоним Стьюдент) доказал, что в случае нормального распределения признака X
в генеральной совокупности нормирования случайная величина зависит только от объема выборки. Была найдена функция распределения случайной величины Т
и вероятность P
(T
< t γ
), t γ
– точность оценки. Функция, определяемая равенством s
(n
, t γ
) = P
(|T
| < t γ
) = γ
(9) названа t-распределением Стьюдента
с п
– 1 степенями свободы. Формула (9) связывает случайную величину Т,
доверительный интервал İ
и доверительную вероятность γ
. Зная две из них, можно найти третью. Учитывая (8), имеем Неравенство в левой части (13.7.10) заменим равносильным ему неравенством где t γ
=t
(γ
,n
). Для функции t γ
составлены таблицы (см. Приложение 5). При n
>30 числа t γ
и t,
найденные по таблице функции Лапласа, практически совпадают. Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения σ x
в случае нормального распределения.
Теорема.
Пусть известно, что случайная величина имеет нормальное распределение. Тогда для оценки параметра σ х этого закона имеет место равенство
где
γ – доверительная вероятность, зависящая от объема выборки п и точности оценки β
. Функция γ
= Ψ
(n
, β
) хорошо изучена. С ее помощью определяют β
= β
(γ
,п
). Для β
= β
(γ
,п
) составлены таблицы, по которым по известным п
(объему выборки) и γ
(доверительной вероятности) определяется β
. Пример.
Для оценки параметра нормально распределенной случайной величины была сделана выборка (дневной удой 50 коров) и вычислено s
= 1,5. Найти доверительный интервал, накрывающий с вероятностью γ
= 0,95. Решение. По таблице β
(γ
, п)
для n
= 50 и γ
= 0,95 находим β = 0,21 (см. Приложение 6). В соответствии с неравенством (13) найдем границы доверительного интервала. Имеем 1,5 – 0,21·1,5 = 1,185; 1,5 + 0,21·1,5 = 1,185; После получения точечной оценки желательно иметь данные о надежности такой оценки. Понятно, что величина является лишь приближенным значением параметра q. Вычисленная точечная оценка может быть близка к оцениваемому параметру, а может и очень сильно отличаться от него. Точечная оценка не несет информации о точности процедуры оценивания. Особенно важно иметь сведения о надежности оценок для небольших выборок. В таких случаях следует пользоваться интервальными оценками. Задачу интервального оценивания в самом общем виде можно сформулировать следующим образом: по данным выборки построить числовой интервал, относительно которого с заранее выбранной вероятностью можно сказать, что внутри этого интервала находится оцениваемый параметр. Здесь существует несколько подходов. Наиболее распространенным методом интервального оценивания является метод доверительных интервалов
. Доверительным интервалом
для параметра
q называется интервал , содержащий неизвестное значение параметра генеральной совокупности с заданной вероятностью
g, т.е.
Число g называется доверительной вероятностью
, а число a=1–g – уровнем надежности
. Доверительная вероятность задается априорно и определяется конкретными условиями. Обычно используется g=0,9; 0,95; 0,99 (соответственно, a=0,1; 0,05; 0,01). Длина доверительного интервала, характеризующая точность интервальной оценки, зависит от объема выборки n
и доверительной вероятности g. При увеличении величины n
длина доверительного интервала уменьшается, а с приближением вероятности g к единице – увеличивается. Часто доверительный интервал строят симметричным относительно точечной оценки, т.е. в виде Здесь число D называется предельной
(или стандартной
) ошибкой выборки
. Однако симметричные интервалы не всегда удается построить, более того, иногда приходится ограничиваться односторонними доверительными интервалами: Поскольку в эконометрических задачах часто приходится строить доверительные интервалы параметров случайных величин, имеющих нормальное распределение
, приведем схемы их нахождения. 3.4.2. Доверительный интервал оценки генеральной Пусть количественный признак X
генеральной совокупности имеет нормальное распределение с заданной дисперсией s 2 и неизвестным математическим ожиданием a
. Для оценки параметра a
извлечена выборка X
1 , X
2 , …, X n
, состоящей из n
независимых нормальной распределенных случайных величин с параметрами a
и s, причем s известно, а величину a
оценивают по выборке: Оценим точность этого приближенного равенства. Для этого зададим вероятность g и попробуем найти такое число D, чтобы выполнялось соотношение Далее воспользуемся свойствами нормального распределения. Известно, что сумма нормально распределенных величин также имеет нормальное распределение. Поэтому средняя величина имеет нормальное распределение, математическое ожидание и дисперсия которой равны Следовательно, Воспользуемся теперь формулой нахождения вероятностей отклонения нормально распределенной случайной величины от математического ожидания: где F(x
) – функция Лапласа. Заменяя X
на и s на , получим где . Из последнее равенства находим, что предельная ошибка выборки
будет равна Приняв во внимание, что доверительная вероятность задана и равна g, получим окончательный результат. Интервальная оценка генеральной средней (математического ожидания) имеет вид или более кратко
где число t g определяется из равенства .
Приведем значения t
g для широко распространенных значений доверительной вероятности: , , Обсудим, как влияет на точность оценивания параметра a
объем выборки n
, величина среднего квадратичного отклонения s, а также значение доверительной вероятности g. а) При увеличении n
точность оценки увеличивается. К сожалению, увеличение точности (т.е. уменьшение длины доверительного интервала) пропорционально , а не 1/n
, т.е. происходит гораздо медленнее, чем рост числа наблюдений. Например, если мы хотим увеличить точность выводов в 10 раз чисто статистическими средствами, то мы должны увеличить объем выборки в 100 раз. б) Чем больше s, тем ниже точность. Зависимость точности от этого параметра носит линейный характер. в) Чем выше доверительная вероятность g, тем больше значение параметра t
g , т.е. тем ниже точность. При этом между g и t
g существует нелинейная связь. С увеличением g значение t
g резко увеличивается ( при ). Поэтому с большой уверенностью (с высокой доверительной вероятностью) мы можем гарантировать лишь относительно невысокую точность. (Доверительный интервал окажется широким.) И наоборот: когда мы указываем для неизвестного параметра a
относительно узкие пределы, мы рискуем совершить ошибку – с относительно высокой вероятностью. Отметим, что величина называется средней ошибкой выборки
. Для бесповторной выборки эта формула примет вид Тогда предельная ошибка выборки D будет представлять собой t
-кратную среднюю ошибку: Пример 3.7.
На основе продолжительных наблюдений за весом X
пакетов орешков, заполняемых автоматически, установлено, что среднее квадратичное отклонение веса пакетов равно s=10 г
. Взвешено 25 пакетов, при этом их средний вес составил . В каком интервале с надежностью 95% лежит истинное значение среднего веса пакетов? Для определения 95%-го доверительного интервала вычислим предельную ошибку выборки Следовательно 95%-й доверительный интервал для истинное значение среднего веса пакетов будет иметь вид На первый взгляд может показаться, что полученный результат представляет только теоретический результат, поскольку среднее квадратичное отклонение s, как правило, тоже неизвестно и вычисляется по выборочным данным. Однако если выборка достаточно большая, то полученный результат вполне приемлем для практического использования, поскольку функция распределения будет мало отличаться от нормальной, а оценка дисперсии s
2 будет достаточно близка к истинному значению s 2 . Более того, полученный результат часто используют и в том случае, когда распределение генеральной совокупности отличается нормального. Это обусловлено тем, что сумма независимых случайных величин, в силу центральной предельной теоремы, при больших выборках имеет распределение, близкое к нормальному. â Пример 3.8.
Предположим, что в результате выборочного обследования жилищных условий жителей города на основе собственно-случайной повторной выборки, получен следующий вариационный ряд: Таблица 3.5
Построить 95%-доверительный интервал для изучаемого признака. Решение.
Рассчитаем выборочную среднюю величину и дисперсию изучаемого признака. Таблица 3.6
Средняя ошибка выборки составит Определим предельную ошибку выборки с вероятностью 0,95 (): Установим границы генеральной средней Таким образом, на основании проведенного выборочного обследования с вероятностью 0,95 можно заключить, что средний размер общей площади, приходящейся на 1 чел., в целом по городу лежит в пределах от 18,6 до 19,4 м
2 . â 3.4.3. Доверительный интервал оценки генеральной Выше была решена задача построения интервальной оценки для математического ожидания нормального распределения, когда его дисперсия известна. Однако на практике дисперсия обычно тоже неизвестна и ее вычисляют по той же самой выборке, что и математическое ожидание. Это приводит к необходимости использования другой формулы при определении доверительного интервала для математического ожидания случайной величины, имеющей нормальное распределение. Такая постановка задачи особенно актуальна при малых объемах выборки. Пусть количественный признак X
генеральной совокупности имеет нормальное распределение N
(a
,s), причем оба параметра a
и s неизвестны. По данным выборки X
1 , X
2 , …, X n
, вычислим среднее арифметическое и исправленную дисперсию: , Для нахождения доверительного интервала в этом случае строится статистика имеющая распределение Стьюдента с числом степеней свободы n=n–1 независимо от значений параметров a и s. Выбрав доверительную вероятность g и зная объем выборки n, можно найти такое число t, что будет выполняться равенство Отсюда находим интервальную оценку для генеральной средней (математического ожидания) при неизвестном s: или более кратко
Число t
(коэффициент Стьюдента
) находится из таблиц для распределения Стьюдента. Отметим, что он является функцией двух аргументов: доверительной вероятности g и числа степеней свободы k
=n
–1, т.е. t=t
(g,n). Следует быть очень внимательным при использовании таблиц для распределения Стьюдента. Во-первых, обычно в таблицах вместо доверительной вероятности g используют уровень надежности a=1–g. Во-вторых, очень часто в таблицах приводятся значения т.н. одностороннего критерия Стьюдента Или В этом случае в таблицах следует брать значения , если в таблице используется уровень надежности, или , если в таблице используется доверительная вероятность. Несмотря на кажущееся сходство формул (3.17) и (3.22), между ними имеется существенное различие, заключающееся в том, что коэффициент Стьюдента t
зависит не только от доверительной вероятности, но и от объема выборки. Особенно это различие заметно при малых выборках. (Напомним, что при больших выборках различие между распределением Стьюдента и нормальным распределением практически исчезает.) В этом случае использование нормального распределения приводит к неоправданному сужению доверительного интервала, т.е. к неоправданному повышению точности. Например, если n
=5 и g=0,99, то, пользуясь распределением Стьюдента, получим t
=4,6, а используя нормальное распределение, – t
=2,58, т.е. доверительный интервал в последнем случае почти в два раза уже, чем интервал при использовании распределения Стьюдента. Пример 3.9.
Аналитик фондового рынка оценивает среднюю доходность определенных акций. Случайная выборка 15 дней показала, что средняя (годовая) доходность со средним квадратичным отклонением . Предполагая, что доходность акций подчиняется нормальному закону распределения, постройте 95%-доверительный интервал для средней доходности интересующего аналитика вида акций. Решение.
Поскольку объем выборки n
=15, то необходимо применить распределение Стьюдента с степенями свободы. По таблицам для распределения Стьюдента находим Используя это значение, строим 95%-доверительный интервал: Следовательно, аналитик может быть на 95% уверен, что средняя годовая доходность по акциям находится между 8,44% и 12,3%. â
.
|θ
* – θ
| = δ была гарантирована с заранее принятой вероятностью?
(4)
(5)
(7)
(8)
(10)
. В результате получим
(11)
(12)
.
, (3.15)
или 
.
средней при известной генеральной дисперсии
.
.
.
,
,
.
, (3.17)
.
. (3.20)
.
, Общая площадь жилищ, приходящаяся на 1 чел., м
2
Число жителей, n i
Середина интервала, x i
До 5,0
2,5
20,0
50,0
5,0–10,0
7,5
712,5
5343,8
10,0–15,0
12,5
2550,0
31875,0
15,0–20,0
17,5
4725,0
82687,5
20,0–25,0
22,5
4725,0
106312,5
25,0–30,0
27,5
3575,0
98312,5
30,0 и более
32,5
2697,5
87668,8
Итого
–
19005,0
412250,0
; 
; .
.
.
средней при неизвестной генеральной дисперсии
.
,
.
, (3.22)
.
.
.
