График линейной функции y ax b. Линейная функция, её свойства и график

1. Дробно-линейная функция и ее график

Функция вида y = P(x) / Q(x), где P(x) и Q(x) – многочлены, называется дробно-рациональной функцией.

С понятием рациональных чисел вы уже наверняка знакомы. Аналогично рациональные функции – это функции, которые можно представить как частное двух многочленов.

Если дробно-рациональная функция представляет собой частное двух линейных функций – многочленов первой степени, т.е. функцию вида

y = (ax + b) / (cx + d), то ее называют дробно-линейной.

Заметим, что в функции y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (иначе функция становится линейной y = ax/d + b/d) и что a/c ≠ b/d (иначе функция константа). Дробно-линейная функция определена при всех действительных числах, кроме x = -d/c. Графики дробно-линейных функций по форме не отличаются от известного вам графика y = 1/x. Кривая, являющаяся графиком функции y = 1/x, называется гиперболой . При неограниченном увеличении x по абсолютной величине функция y = 1/x неограниченно уменьшается по абсолютной величине и обе ветки графика приближаются к оси абсцисс: правая приближается сверху, а левая – снизу. Прямые, к которым приближаются ветки гиперболы, называются ее асимптотами .

Пример 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Решение.

Выделим целую часть: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Теперь легко видеть, что график этой функции получается из графика функции y = 1/x следующими преобразованиями: сдвигом на 3 единичных отрезка вправо, растяжением вдоль оси Oy в 7 раз и сдвигом на 2 единичных отрезка вверх.

Любую дробь y = (ax + b) / (cx + d) можно записать аналогичным образом, выделив «целую часть». Следовательно, графики всех дробно-линейных функций есть гиперболы, различным образом сдвинутые вдоль координатных осей и растянутые по оси Oy.

Для построения графика какой-нибудь произвольной дробно-линейной функции совсем не обязательно дробь, задающую эту функцию, преобразовывать. Поскольку мы знаем, что график есть гипербола, будет достаточно найти прямые, к которым приближаются ее ветки – асимптоты гиперболы x = -d/c и y = a/c.

Пример 2.

Найти асимптоты графика функции y = (3x + 5)/(2x + 2).

Решение.

Функция не определена, при x = -1. Значит, прямая x = -1 служит вертикальной асимптотой. Для нахождения горизонтальной асимптоты, выясним, к чему приближаются значения функции y(x), когда аргумент x возрастает по абсолютной величине.

Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

При x → ∞ дробь будет стремиться к 3/2. Значит, горизонтальная асимптота – это прямая y = 3/2.

Пример 3.

Построить график функции y = (2x + 1)/(x + 1).

Решение.

Выделим у дроби «целую часть»:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Теперь легко видеть, что график этой функции получается из графика функции y = 1/x следующими преобразованиями: сдвигом на 1 единицу влево, симметричным отображением относительно Ox и сдвигом на 2 единичных отрезка вверх по оси Oy.

Область определения D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Область значений E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Точки пересечения с осями: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Функция возрастает на каждом из промежутков области определения.

Ответ: рисунок 1.

2. Дробно-рациональная функция

Рассмотрим дробно-рациональную функцию вида y = P(x) / Q(x), где P(x) и Q(x) – многочлены, степени выше первой.

Примеры таких рациональных функций:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) или y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Если функция y = P(x) / Q(x) представляет собой частное двух многочленов степени выше первой, то ее график будет, как правило, сложнее, и построить его точно, со всеми деталями бывает иногда трудно. Однако, часто достаточно применить приемы, аналогичные тем, с которыми мы уже познакомились выше.

Пусть дробь – правильная (n < m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

Очевидно, что график дробно-рациональной функции можно получить как сумму графиков элементарных дробей.

Построение графиков дробно-рациональных функций

Рассмотрим несколько способов построения графиков дробно-рациональной функции.

Пример 4.

Построить график функции y = 1/x 2 .

Решение.

Используем график функции y = x 2 для построения графика y = 1/x 2 и воспользуемся приемом «деления» графиков.

Область определения D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Область значений E(y) = (0; +∞).

Точек пересечения с осями нет. Функция четная. Возрастает при все х из интервала (-∞; 0), убывает при x от 0 до +∞.

Ответ: рисунок 2.

Пример 5.

Построить график функции y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Решение.

Область определения D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/3 + 1/3.

Здесь мы использовали прием разложения на множители, сокращения и приведения к линейной функции.

Ответ: рисунок 3.

Пример 6.

Построить график функции y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Решение.

Область определения D(y) = R. Так как функция четная, то график симметричен относительно оси ординат. Прежде чем строить график, опять преобразуем выражение, выделив целую часть:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Заметим, что выделение целой части в формуле дробно-рациональной функции является одним из основных при построении графиков.

Если x → ±∞, то y → 1, т.е. прямая y = 1 является горизонтальной асимптотой.

Ответ: рисунок 4.

Пример 7.

Рассмотрим функцию y = x/(x 2 + 1) и попробуем точно найти наибольшее ее значение, т.е. самую высокую точку правой половины графика. Чтобы точно построить этот график, сегодняшних знаний недостаточно. Очевидно, что наша кривая не может «подняться» очень высоко, т.к. знаменатель довольно быстро начинает «обгонять» числитель. Посмотрим, может ли значение функции равняться 1. Для этого нужно решить уравнение x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Это уравнение не имеет действительных корней. Значит, наше предположение не верно. Чтобы найти самое большое значение функции, надо узнать, при каком самом большом А уравнение А = x/(x 2 + 1) будет иметь решение. Заменим исходное уравнение квадратным: Аx 2 – x + А = 0. Это уравнение имеет решение, когда 1 – 4А 2 ≥ 0. Отсюда находим наибольшее значение А = 1/2.

Ответ: рисунок 5, max y(x) = ½.

Остались вопросы? Не знаете, как строить графики функций?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Задания на свойства и графики квадратичной функции вызывают, как показывает практика, серьезные затруднения. Это довольно странно, ибо квадратичную функцию проходят в 8 классе, а потом всю первую четверть 9-го класса "вымучивают" свойства параболы и строят ее графики для различных параметров.

Это связано с тем, что заставляя учащихся строить параболы, практически не уделяют времени на "чтение" графиков, то есть не практикуют осмысление информации, полученной с картинки. Видимо, предполагается, что, построив десятка два графиков, сообразительный школьник сам обнаружит и сформулирует связь коэффициентов в формуле и внешний вид графика. На практике так не получается. Для подобного обобщения необходим серьезный опыт математических мини исследований, которым большинство девятиклассников, конечно, не обладает. А между тем, в ГИА предлагают именно по графику определить знаки коэффициентов.

Не будем требовать от школьников невозможного и просто предложим один из алгоритмов решения подобных задач.

Итак, функция вида y = ax 2 + bx + c называется квадратичной, графиком ее является парабола. Как следует из названия, главным слагаемым является ax 2 . То есть а не должно равняться нулю, остальные коэффициенты (b и с ) нулю равняться могут.

Посмотрим, как влияют на внешний вид параболы знаки ее коэффициентов.

Самая простая зависимость для коэффициента а . Большинство школьников уверенно отвечает: " если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, а если а < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой а > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

В данном случае а = 0,5

А теперь для а < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

В данном случае а = - 0,5

Влияние коэффициента с тоже достаточно легко проследить. Представим, что мы хотим найти значение функции в точке х = 0. Подставим ноль в формулу:

y = a 0 2 + b 0 + c = c . Получается, что у = с . То есть с - это ордината точки пересечения параболы с осью у. Как правило, эту точку легко найти на графике. И определить выше нуля она лежит или ниже. То есть с > 0 или с < 0.

с > 0:

y = x 2 + 4x + 3

с < 0

y = x 2 + 4x - 3

Соответственно, если с = 0, то парабола обязательно будет проходить через начало координат:

y = x 2 + 4x

Сложнее с параметром b . Точка, по которой мы будем его находить, зависит не только от b но и от а . Это вершина параболы. Ее абсцисса (координата по оси х ) находится по формуле х в = - b/(2а) . Таким образом, b = - 2ах в . То есть, действуем следующим образом: на графике находим вершину параболы, определяем знак ее абсциссы, то есть смотрим правее нуля (х в > 0) или левее (х в < 0) она лежит.

Однако это не все. Надо еще обратить внимание на знак коэффициента а . То есть посмотреть, куда направлены ветви параболы. И только после этого по формуле b = - 2ах в определить знак b .

Рассмотрим пример:

Ветви направлены вверх, значит а > 0, парабола пересекает ось у ниже нуля, значит с < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, х в > 0. Значит b = - 2ах в = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: а > 0, b < 0, с < 0.

Алгебра и начала анализа.
1. Линейная функция y = ax + b, её свойства и график.
2. Квадратичная функция y = ax2 + bx + c, её свойства и график.
3. Функция y = k/x, её свойства и график, график дробно-линейной функции (на конкретном приме-ре).
4. Показательная функция y = ax, её свойства и график.
5. Логарифмическая функция y = loga x, её свойства и график.
6. Функция y = sin(x), её свойства и график.
7. Функция y = cos(x), её свойства и график.
8. Функция y = tg(x), её свойства и график.
9. Функция y = ctg(x), её свойства и график.
10. Арифметическая прогрессия, сумма первых n членов арифметической прогрессии.
11. Геометрическая прогрессия, сумма первых n членов геометрической прогрессии. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
12. Решение уравнения sin(x) = a, неравенств sin(x) > a, sin(x) < a.
13. Решение уравнения cos(x) = a, неравенств cos(x) > a, cos(x) < a.
14. Решение уравнения tg(x) = a, неравенств tg(x) > a, tg(x) < a.
15. Формулы приведения (с выводом).
16. Формулы синуса и косинуса суммы и разности двух аргументов (с доказательством).
17. Тригонометрические функции двойного аргумента.
18. Тригонометрические функции половинного аргумента.
19. Формулы суммы и разности синусов, косинусов (с доказательством).
20. Вывод формулы корней квадратного уравнения, теорема Виета.
21. Логарифм произведения, степени, частного.
22. Понятие производной, ее геометрический смысл и физический смысл.
23. Правила вычисления производной.

Функция заданная формулой y = kx + b, где k и b - некоторые числа, называется линейной.
Областью определения линейной функции служит множество R всех действительных чисел, т.к. выражение kx + b имеет смысл при любых значениях х.
График линейной функции y = kx + b есть прямая. Для построения графика, очевидно, достаточно двух точек, если k 0.
Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая y = kx с положительным направлением оси Ох, поэтому k называется угловым коэффициентом. Если k > 0, то этот угол острый; если k < 0 - тупой; если k = 0, то прямая совпадает с осью Ох.
График функции y = kx + b может быть постпоен с помощью параллельного переноса графика функции y = kx.

Ответ №2. Опр . Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y = ax2 + bx + c, где х - независимая переменная, а, b и с - некоторые числа, причем а 0.

Графиком квадратичной функции является парабола.

Свойства функции y = ax2(частный случай) при а > 0.

2. Если х 0, то y > 0. График функции расположен в верхней полуплоскости.

4. Функция убывает в промежутке (- ; 0] и возрастает в промежутке .
5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений функции (- ; 0].

И, так, график функции y = ax2 + bx + c есть парабола, вершиной которой является точка (m; n), где m = , n= . Осью симметрии параболы служит прямая х = m, параллельная оси y. При а > 0 ветви параболы направлены вверх, при a < 0 - вниз.

Если переменная у обратно пропорциональна переменной х, то эта зависимость выражается формулой, где - коэффициент обратной пропорциональности.

Область определения функции - есть множество всех чисел, отличных от нуля, т. е. .
Графиком обратной пропорциональности у=k/x является кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Такая кривая называется гиперболой. Если k>0, то ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях; если же k<.0, то во II и IV координатных четвертях.
Заметим, что гипербола не имеет общих точек с осями координат, а лишь сколь угодно близко к ним приближается.

№ 4. Опр. Функция, заданная формулой y = ax, где а - некоторое положительное число, не равное еденице, называется показательной.

1. Функция y = ax при а>1

в) функция возрастает;

д) если х > 0, то ax > 1;
е) если х < 0, то 0< ax <1;

2. Функция y = ax при 0< а <1
а)
б) множество значений - множество всех положительных чисел;
в) функция убывает;
г) при х = 0 значение функции равно 1;
д) если х > 0, то 0< ax <1;
е) если х < 0, то ax > 1.

№5.Опр . Функцию, заданную формулой y = loga x называют логарифмической функцией с основанием а.
Свойства функции y = loga x при a>1:
а) D(f) = R+;
б) E(f) = R;
в) функция возрастает;

д) если 0 е) если x > 1, то loga x > 0.
Свойства функции y = loga x при 0 а) D(f) = R+;
б) E(f) = R;
в) функция убывает;
г) если x = 1, то loga x = 0;
д) если 0 < x < 1, то loga x > 0;
е) если x > 1, то loga x < 0.

№6. Опр . Отношение катета прямоугольного треугольника, противолежащего острому углу, к гипотенузе называется синусом этого угла (обозначается sin ).

область определения - множество всех действительных чисел;
множество значений - [-1; 1];
функция нечетная: sin(-x) = -sin(x) для всех;
sin(x) = 0 при x = ;
sin(x) > 0 для всех;
sin(x) < 0 для всех;
функция возрастает на;
функция убывает на.

№ 7.Опр . Отношение катета прямоугольного треугольника, прилежащего к острому углу, к гипотенузе называется косинусом этого угла (обозначается cos )

область определения - множество всех действительных чисел;
множество значений - [-1; 1];
функция четная: cos(-x) = cos(x) для всех;
функция периодическая с наименьшим положительным периодом;
cos(x) = 0 при;
cos(x) > 0 для всех;
cos(x) > 0 для всех;
функция возрастает на;
функция убывает на

№8.Опр . Отношение катета, противолежащего острому углу прямоугольного треугольника, к катету, прилежащему к этому углу, называется тангенсом (обозначается tg ).

функция нечетная: tg(-x) = -tg(x) для всех х из области определения;
функция периодическая с наименьшим положительным периодом;
tg(x) = 0 при х = ;
tg(x) > 0 для всех;
tg(x) < 0 для всех;
функция возрастает на.

№9.Опр . Отношение катета, прилежащего острому углу прямоугольного треугольника, к катету, противолежащему к этому углу, называется котангенсом (обозначается ctg )

область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида;
множество значений - вся числовая прямая;
функция нечетная: ctg(-x) = -ctg(x) для всех х из области определения;
функция периодическая с наименьшим положительным периодом;
ctg(x) = 0 при x = ;
ctg(x) > 0 для всех;
ctg(x) < 0 для всех;
функция убывает на.

Ответ № 10

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.
Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом и ему предшествующим равна одному и тому же числу, т. е. а2 - а1 = а3 - а2 =… = ak - ak-1 =…. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обычно обозначается буквой d .
Для того чтобы задать арифметическую прогрессию (аn), достаточно знать ее первый член а1 и разность d .
Если разность арифметической прогрессии - положительное число, то такая прогрессия является возрастающей; если отрицательное число, то убывающей. Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все ее члены равны между собой и прогрессия является постоянной последовательностью.
Характеристическое свойство арифметической прогрессии. Последовательность (аn) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов, т. е. (1)
Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: an = a1 + d(n-1) . (2)
Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии имеет вид: (3)
Если в формулу (3) подставить вместо аn его выражение по формуле (2), то получим соотношение
Из определения разности арифметической прогрессии следует, что a1 + an = a2 + an-1 = ..., т. е. сумма членов, равноудаленных от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Ответ № 11

Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.
Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b2 :b1 = b3 :b2 =… = bn :bn-1 = bn+1 :bn =…. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q .
Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию (bn ), достаточно знать ее первый член b1 и знаменатель q .
Если q > 0 (), то прогрессия является монотонной последовательностью. Пусть, например, b1 = -2, q = 3, тогда геометрическая прогрессия -2, -6, -18,… есть монотонно убывающая последовательность. Если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью.
Характеристическое свойство геометрической прогрессии. Последовательность (bn ) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, т. е. (1)
Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: (2)
Формула суммы п первых членов геометрической прогрессии имеет вид: , (3)
Если в формулу (3) подставить вместо bn его выражение по формуле (2), то получится соот-ношение. , (4)
Из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b1 bn = b2 bn-1 = …, т.е. произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при

Пусть (xn) - геометрическая прогрессия со знаменателем q , где и. Суммой бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой удовлетворяет условию, называется предел суммы n первых ее членов при.
Обозначим сумму бесконечной геометрической прогрессии через S . Тогда верна формула.

Решение тригонометрических уравнений вида sin(x) = a

формула для корней уравнения sin(x) = a, где, имеет вид:
Частные случаи:
sin(x) = 0, x =
sin(x) = 1, x =
sin(x) = -1, x =
формула для корней уравнения sin2 (x) = a, где, имеет вид: x=

Решение тригонометрических неравенств вида sin(x) > a, sin(x) < a

Неравенства, содержащие переменную только под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими.
При решении тригонометрических неравенств используют свойство монотонности триго-нометрических функций, а также промежутки их знакопостоянства.
Для решения простейших тригонометрических неравенств вида sin(x) > a (sin(x) < а) используют единичную окружность или график функции y = sin(x).
sin(x) = 0 если х = ;
sin(x) = -1, если x = >;
sin(x) > 0, если;
sin(x) < 0, если.

Ответ № 13

Решение тригонометрического уравнения cos(x) = a

Формула для корней уравнения cos(x) = a, где, имеет вид: .
Частные случаи:
cos(x) = 1, x = ;
cos(x) = 0, ;
cos(x) = -1, x =
Формула для корней уравнения cos2 (x) = a, где, имеет вид: .

Решение тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a

Для решения простейших тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a используют единичную окружность или график функции y = cos(x);
Важным моментом является знание, что:
cos(x) = 0, если;
cos(x) = -1, если x = ;
cos(x) = 1, если x = ;
cos(x) > 0, если;
cos(x) > 0, если.

Решение тригонометрического уравнения tg(x) = a

Формула для корней уравнения tg(x) = a имеет вид: .
Частные случаи:
tg(x) = 0, x = ;
tg(x) = 1, ;
tg(x) = -1, .
Формула для корней уравнения tg2 (x) = a, где, имеет вид:

Решение тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a

Для решения простейших тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a используют единичную окружность или график функции y = tg(x).
Важно знать, что:
tg(x) > 0, если;
tg(x) < 0, если;
Тангенс не существует, если.

Формулами приведения называются соотношения, с помощью которых значения тригонометрических функций аргументов, выражаются через значения sin , cos , tg и ctg .
Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу:

	Аргумент

Для облегчения запоминания приведенных формул нужно использовать следующие правила:
a) при переходе от функций углов, к функциям угла название функции изменяют: синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот;
при переходе от функций углов, к функциям угла название функции сохраняют;
б) считая острым углом (т. е.), перед функцией угла ставят такой знак, какой имеет приводимая функ-ция углов, .

Все вышеприведенные формулы можно получить, пользуясь следующим правилом:
Любая тригонометрическая функция угла 90°n + по абсолютной величине равна той же функции угла, если число n - четное, и дополнительной функции, если число n - нечетное. При этом, если функция угла 90°n + . положительна, когда - острый угол, то знаки обеих функций одинаковы, если отрицательна, то различны.

Формулы косинуса суммы и разности двух аргументов:
Рис.1 Рис.2
Повернем радиус ОА, равный R, около точки О на угол и на угол (рис.1). Получим радиусы ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение векторов и. Пусть координаты точки В равны х1 и y1, координаты точки С равны х2 и y2. Эти же координаты имеют соответственно и векторы и. По определению скалярного произведения векторов:
= х1 х2 + y1 y2. (1)
Выразим скалярное произведение через тригонометрические функции углов и. Из определения косинуса и синуса следует, что
х1 = R cos , y1 = R sin , х2 = R cos , y2 = R sin .
Подставив значения х1, х2, y1, y2 в правую часть равенства (1), получим:
= R2 coscos+ R2 sinsin= R2 (coscos+ sinsin).
С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторовимеем:
= cos BOC = R2 cos BOC.
Угол ВОС между векторами и может быть равен - (рис.1), - (-) (рис.2) либо может отличаться от этих значений на целое число оборотов. В любом из этих случаев cos BOC = cos (-). Поэтому
= R2 cos (-).
Т.к. равно также R2 (coscos+ sinsin), то
cos(-) = coscos+ sinsin.
Cos(+) = cos(- (-)) = coscos(-) + sinsin(-) = coscos - sinsin.
Значит,
cos(+) = coscos - sinsin.
Формулы синуса суммы и разности двух аргументов:
Sin(+) = cos(/2 - (+)) = cos((/2 -) -) = cos(/2 -) cos+ sin(/2 -) sin= sincos+ cossin.
Значит,
sin(+) = sincos+ cossin.
Sin(-) = sin(+ (-)) = sincos(-) + cossin(-) = sincos - cossin.
Значит,
sin(-) = sincos - cossin.

Формулы двойных углов

Формулы сложения позволяют выразить sin 2, cos 2, tg 2, ctg 2через тригонометрические функции угла.
Положим в формулах
sin(+) = sincos+ cossin,
cos(+) = coscos - sinsin,
,
.
равным. Получим тождества:

sin 2= 2 sin cos ;
cos 2= cos2 - sin2 = 1 - sin2 = 2 cos2 - 1;
; .

Формулы половинного аргумента

Выразив правую часть формулы cos 2= cos2 - sin2 через одну тригонометрическую функцию (синус или косинус), придем к соотношениям
cos 2= 1 - sin2 , cos 2= 2 cos2 - 1.
Если в данных соотношениях положить = /2, то получим:
cos = 1 - 2 sin2 /2, cos 2= 2 cos2 /2 - 1. (1)
Из формул (1) следует, что
(2), (3).
Разделив почленно равенство (2) на равенство (3), получим
(4).
В формулах (2), (3) и (4) знак перед радикалом зависит от того, в какой координатной четверти находится угол /2.
Полезно знать следующую формулу:
.

Формулы суммы и разности синусов, косинусов

Сумму и разность синусов или косинусов можно представить в виде произведения тригонометрических функций. Формулы, на которых основано такое преобразование, могут быть получены из формул сложения.
Чтобы представить в виде произведения сумму sin + sin , положим = x + y и = x - y и воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности. Получим:
sin + sin = sin (x + y) + sin (x - y) = sinx cosy + cosx siny + sinx cosy - cosx siny = 2sinx cosy.
Решив теперь систему уравнений = x + y, = x - y относительно x и y, получим х = , y = .
Следовательно,
sin + sin = 2 sincos.
Аналогичным образом выводят формулы:
sin -sin = 2 cossin ;
cos + cos = 2 coscos;
cos + cos = -2 sinsin .

Чтобы найти решение приведенного квадратного уравнения x2 + p x + q = 0, где, достаточно перенести свободный член в правую часть и к обеем частям равенства прибавить. Тогда левая часть станет полным квадратом, и мы получаем равносильное уравнение = - q .
Оно отличается от простейшего уравнения x2 = m только внешним видом: стоит вместо x и - q - вместо m . Находим = . Отсюба х = - . Эта формула показывает, что всякое квадратное уравнение имеет два корня. Но эти корни могут быть и мнимыми, если < q . Может также оказаться, что оба корня квадратного уравнения равны между собой, если = q . Возращаемся к обычному виду.
1. Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2 + p x + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е. х1 + х2 = -р , а х1 х2 = q .
2. Теорема, обратная теореме Виета. Если р , q , х1, х2 таковы, что х1 + х2 = -р и х1 х2 = q , то х1 и х2 - корни уравнения x2 + p x + q = 0.

Опр . Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобыполучить число b.
Формулу (где b > 0, a > 0 и a 1) называют основным логарифмическим тождеством.
Свойства логарифмов:

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:
.
Для доказательства воспользуемся основным логарифмическим тождеством:
x = , y = .
Перемножим почленно эти равенства, получаем:
xy = = .
Следовательно, по определению логарифма (п.3) доказан.
Логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма делителя:
.
Ход доказательства аналогичен доказательству п.3
Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания:
.
При доказательстве, также необходимо воспользоваться основным логарифмическим тождеством.

Производной функции f(x) в точке х0называется предел отношения приращения функции в точке х0к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Это можно записать так: .
Из определения производной следует, что функция может иметь производную в точке х0только в том случае, если она определена в некоторой окрестности точки х0, включая эту точку.
Необходимым условием существования производной функции в данной точке является непрерывность функции в этой точке.
Существование производной функции f в точке х0эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (х0 ; f(х0)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен. В этом состоит геометрический смысл производной .
Механический смысл производной f "(x) функции у = f(x) - это скорость изменения функции в точке х. Поэтому при решении прикладных задач следует помнить, что какой бы процесс ни описывался изучаемой функцией у = f(x) производную с физической точки зрения можно представить как скорость, с которой протекает процесс.

Производная суммы равна сумме производных, если они существуют:
.
Если функция u и v дифференцируемы в точке х0то их производные дифференцируемы в этой точке и
.
Если функция u и v дифференцируемы в точке х0, а С - постоянная, то функция Cu дифференцируема в этой точке и
.
Если функция u и v дифференцируемы в точке х0и функция v не равна нулю в этой точке, то частное двух функций тоже дифференцируемо в точке х0и
.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.