1. Степенная функция, ее свойства и график;
2. Преобразования:
Параллельный перенос;
Симметрия относительно осей координат;
Симметрия относительно начала координат;
Симметрия относительно прямой y = x;
Растяжение и сжатие вдоль осей координат.
3. Показательная функция, ее свойства и график, аналогичные преобразования;
4. Логарифмическая функция , ее свойства и график;
5. Тригонометрическая функция, ее свойства и график, аналогичные преобразования (y = sin x; y = cos x; y = tg x);
Функция: y = x\n - ее свойства и график.
Степенная функция, ее свойства и график
y = x, y = x 2 , y = x 3 , y = 1/x
и т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функции y = x p
, где p - заданное действительное число.
Свойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях x
и p
имеет смысл степень x p
. Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от
показателя степени p.
- Показатель p = 2n - четное натуральное число.
y = x 2n , где n - натуральное число, обладает следующими свойствами:
- область определения - все действительные числа, т. е. множество R;
- множество значений - неотрицательные числа, т. е. y больше или равно 0;
- функция y = x 2n четная, так как x 2n = (-x) 2n
- функция является убывающей на промежутке x < 0 и возрастающей на промежутке x > 0.
График функции y = x 2n имеет такой же вид, как например график функции y = x 4 .
2. Показатель p = 2n - 1 - нечетное натуральное число
В этом случае степенная функция y = x 2n-1 , где натуральное число, обладает следующими свойствами:
- область определения - множество R;
- множество значений - множество R;
- функция y = x 2n-1 нечетная, так как (-x) 2n-1 = x 2n-1 ;
- функция является возрастающей на всей действительной оси.
График функции y = x 2n-1 y = x 3 .
3. Показатель p = -2n , где n - натуральное число.
В этом случае степенная функция y = x -2n = 1/x 2n обладает следующими свойствами:
- множество значений - положительные числа y>0;
- функция y = 1/x 2n четная, так как 1/(-x) 2n = 1/x 2n ;
- функция является возрастающей на промежутке x0.
График функции y = 1/x 2n имеет такой же вид, как, например, график функции y = 1/x 2 .
4. Показатель p = -(2n-1)
, где n
- натуральное число.
В этом случае степенная функция y = x -(2n-1)
обладает следующими свойствами:
- область определения - множество R, кроме x = 0;
- множество значений - множество R, кроме y = 0;
- функция y = x -(2n-1) нечетная, так как (-x) -(2n-1) = -x -(2n-1) ;
- функция является убывающей на промежутках x < 0 и x > 0 .
График функции y = x -(2n-1) имеет такой же вид, как, например, график функции y = 1/x 3 .
1) Область определения функции и область значений функции .
Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x ), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции - это множество всех действительных значений y , которые принимает функция.
В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.
2) Нули функции .
Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.
3) Промежутки знакопостоянства функции .
Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.
4) Монотонность функции .
Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
5) Четность (нечетность) функции .
Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x) . График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
6) Ограниченная и неограниченная функции .
Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.
7) Периодическость функции .
Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).
19. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Применение функ-ций в экономике.
Основные элементарные функции. Их свойства и графики
1. Линейная функция.
Линейной функцией называется функция вида , где х - переменная, а и b - действительные числа.
Число а называют угловым коэффициентом прямой, он равен тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси абсцисс. Графиком линейной функции является прямая линия. Она определяется двумя точками.
Свойства линейной функции
1. Область определения - множество всех действительных чисел: Д(y)=R
2. Множество значений - множество всех действительных чисел: Е(у)=R
3. Функция принимает нулевое значение при или.
4. Функция возрастает (убывает) на всей области определения.
5. Линейная функция непрерывная на всей области определения, дифференцируемая и .
2. Квадратичная функция.
Функция вида , где х - переменная, коэффициенты а, b, с - действительные числа, называетсяквадратичной.
