В основе метода лежит следующая итерационная модификация формулы

x k +1 = x k + a k s(x k),

x k+1 = x k - a k Ñ f(x k), где

a - заданный положительный коэффициент;

Ñ f(x k) - градиент целевой функции первого порядка.

Недостатки:

    необходимость выбора подходящего значения ;

    медленная сходимость к точке минимума ввиду малости f(x k) в окрестности этой точки.

Метод наискорейшего спуска

Свободен от первого недостатка простейшего градиентного метода, т.к. a k вычисляется путем решения задачи минимизации Ñ f(x k) вдоль направления Ñ f(x k) с помощью одного из методов одномерной оптимизации x k+1 = x k - a k Ñ f(x k).

Данный метод иногда называют методом Коши.

Алгоритм характеризуется низкой скоростью сходимости при решении практических задач. Это объясняется тем, что изменения переменных непосредственно зависит от величины градиента, которая стремится к нулю в окрестности точки минимума и отсутствует механизм ускорения на последних итерациях. Поэтому, учитывая устойчивость алгоритма, метод наискорейшего спуска часто используется как начальная процедура поиска решения (из точек, расположенных на значительных расстояниях от точки минимума).

Метод сопряженных направлений

Общая задача нелинейного программирования без ограничений сводится к следующему: минимизировать f(x), x E n , где f(x) является целевой функцией. При решении этой задачи мы используем методы минимизации, которые приводят к стационарной точке f(x), определяемой уравнением f(x *)=0. Метод сопряженных направлений относится к методам минимизации без ограничений, использующим производные. Задача: минимизировать f(x), x E n , где f(x) является целевой функцией n независимых переменных. Важной особенностью является быстрая сходимость за счет того, что при выборе направления используется матрица Гессе, которая описывает область топологии поверхности отклика. В частности, если целевая функция квадратичная, то можно получить точку минимума не более чем за количество шагов, равное размерности задачи.

Для применения метода на практике его необходимо дополнить процедурами проверки сходимости и линейной независимости системы направлений. Методы второго порядка

Метод Ньютона

Последовательное применение схемы квадратичной аппроксимации приводит к реализации оптимизационного метода Ньютона по формуле

x k +1 = x k - Ñ 2 f(x k -1) Ñ f(x k).

Недостатком метода Ньютона является его недостаточная надежность при оптимизации не квадратичных целевых функций. Поэтому его часто модифицируют:

x k +1 = x k - a k Ñ 2 f(x k -1) Ñ f(x k), где

a k - параметр, выбираемый таким образом, чтобы f(x k+1) min.

2. Нахождение экстремума функции без ограничения

Дана некоторая функция f(х) на открытом интервале (а, в) изменения аргумента х. Предполагаем, что exst внутри этого интервала существует (нужно сказать, что в общем случае математически заранее это утверждать не могут; однако в технических приложениях очень часто наличие exst внутри некоторого интервала изменения интервала изменения аргумента может быть предсказано из физических соображений).

Определение exst. Функция f(x) заданная на интервале (а, в) имеет в точке x * max(min), если эту точку можно окружить таким интервалом (x * -ε, x * +ε), содержащимся в интервале (а, в), что для всех ее точек х, принадлежащих интервалу (x * -ε, x * +ε), выполняется неравенство:

f(x) ≤ f(x *) → для max

f(x) ≥ f(x *) → для min

Это определение не накладывает никаких ограничений на класс функций f(x), что, конечно, очень ценно.

Если ограничится для функций f(x), достаточно распространенным, но все же более узким классом гладких функций (под гладкими функциями мы будем понимать такие функции, которые непрерывны вместе со своими производными на интервале изменения аргумента), то можно воспользоваться теоремой Ферма, которая дает необходимые условия существования exst.

Теорема Ферма. Пусть функция f(x) определена в некотором интервале (а, в) и в точке "с" этого интервала принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если существует в этой точке двухсторонняя конечная производная , то существования необходимоexst .

Примечание. Двухсторонняя производная характеризуется свойством иными словами, речь идет о том, что в точке "с" производная в пределе одна и та же при подходе к точке "с" слева и справа, т.е.f(x) – гладкая функция.

* В случае имеет местоmin, а при →max. Наконец, если при х=х 0 , то использование 2-ой производной не помогает и нужно воспользоваться, например, определением exst.

При решении задачи I необходимые условия exst (т.е. теорема Ферма) используется очень часто.

Если уравнение exst имеет вещественные корни, то точки, соответствующие этим корням, являются подозрительными наexst (но не обязательно самыми экстремумами, ибо имеем дело с необходимыми, а не с необходимыми и достаточными условиями). Так, например, в точке перегиба Х п имеет место , однако, как известно, это не экстремум.

Заметим ещё, что:

    из необходимых условий нельзя сказать, какой вид экстремума найден max или min: для определения этого нужны дополнительные исследования;

    из необходимых условий нельзя определить, глобальный это экстремум или локальный.

Поэтому, когда находят точки подозрительные на exst, их дополнительно исследуют, например, на основе определения exst или 2-ой производной.

Данное учебное пособие подготовлено на основе курса лекций по дисциплине «Нейроинформатика», читавшегося с 1994 года на факультете Информатики и вычислительной техники Красноярского государственного технического университета.

по данному курсу,

Следующие главы содержат одну или несколько лекций. Материал, приведенный в главах, несколько шире того, что обычно дается на лекциях. В приложения вынесены описания программ, используемых в данном курсе (

Включающий в себя два уровня - уровень запросов компонентов универсального нейрокомпьютера и уровень языков описания отдельных компонентов нейрокомпьютера.

учебный план

задания на лабораторные работы

#AutBody_14DocRoot

#AutBody_15DocRoot

Нейроучебник

#AutBody_16DocRoot

проект стандарта нейрокомпьютера

Данное пособие является электронным и включает в себя программы, необходимые для выполнения лабораторных работ.

Книга:

Разделы на этой странице:

Изучению градиентных методов обучения нейронных сетей посвящено множество работ (сослаться на все работы по этой теме не представляется возможным, поэтому дана ссылка на работы, где эта тема исследована наиболее детально). Кроме того, существует множество публикаций, посвященных градиентным методам поиска минимума функции (как и в предыдущем случае, ссылки даны только на две работы, которые показались наиболее удачными). Данный раздел не претендует на какую-либо полноту рассмотрения градиентных методов поиска минимума. В нем приведены только несколько методов, применявшихся в работе группой «НейроКомп». Все градиентные методы объединены использованием градиента как основы для вычисления направления спуска.

Метод наискорейшего спуска

1. Вычислить_оценку О2
2. О1=О2
3. Вычислить_градиент
4. Оптимизация шага Пустой_указатель Шаг
5. Вычислить_оценку О2
6. Если О1-О2<Точность то переход к шагу 2

Рис. 5. Метод наискорейшего спуска

Наиболее известным среди градиентных методов является метод наискорейшего спуска. Идея этого метода проста: поскольку вектор градиента указывает направление наискорейшего возрастания функции, то минимум следует искать в обратном направлении. Последовательность действий приведена на рис. 5.

Этот метод работает, как правило, на порядок быстрее методов случайного поиска. Он имеет два параметра - Точность, показывающий, что если изменение оценки за шаг метода меньше чем Точность, то обучение останавливается; Шаг - начальный шаг для оптимизации шага. Заметим, что шаг постоянно изменяется в ходе оптимизации шага.




Рис. 6. Траектории спуска при различных конфигурациях окрестности минимума и разных методах оптимизации.

Остановимся на основных недостатках этого метода. Во-первых, эти методом находится тот минимум, в область притяжения которого попадет начальная точка. Этот минимум может не быть глобальным. Существует несколько способов выхода из этого положения. Наиболее простой и действенный - случайное изменение параметров с дальнейшим повторным обучение методом наискорейшего спуска. Как правило, этот метод позволяет за несколько циклов обучения с последующим случайным изменением параметров найти глобальный минимум.

Вторым серьезным недостатком метода наискорейшего спуска является его чувствительность к форме окрестности минимума. На рис. 6а проиллюстрирована траектория спуска при использовании метода наискорейшего спуска, в случае, если в окрестности минимума линии уровня функции оценки являются кругами (рассматривается двумерный случай). В этом случае минимум достигается за один шаг. На рис. 6б приведена траектория метода наискорейшего спуска в случае эллиптических линий уровня. Видно, что в этой ситуации за один шаг минимум достигается только из точек, расположенных на осях эллипсов. Из любой другой точки спуск будет происходить по ломаной, каждое звено которой ортогонально к соседним звеньям, а длина звеньев убывает. Легко показать что для точного достижения минимума потребуется бесконечное число шагов метода градиентного спуска. Этот эффект получил название овражного, а методы оптимизации, позволяющие бороться с этим эффектом - антиовражных.

kParTan

1. Создать_вектор В1
2. Создать_вектор В2
3. Шаг=1
4. Вычислить_оценку О2
5. Сохранить_вектор В1
6. О1=О2
7. N=0
8. Вычислить_градиент
9. Оптимизация_шага Пустой_указатель Шаг
10. N=N+1
11. Если N 12. Сохранить_вектор В2
13. В2=В2-В1
14. ШагParTan=1
15. Оптимизация шага В2 ШагParTan
16. Вычислить_оценку О2
17. Если О1-О2<Точность то переход к шагу 5

Рис. 7. Метод kParTan

Одним из простейших антиовражных методов является метод kParTan. Идея метода состоит в том, чтобы запомнить начальную точку, затем выполнить k шагов оптимизации по методу наискорейшего спуска, затем сделать шаг оптимизации по направлению из начальной точки в конечную. Описание метода приведено на рис 7. На рис 6в приведен один шаг оптимизации по методу 2ParTan. Видно, что после шага вдоль направления из первой точки в третью траектория спуска привела в минимум. К сожалению, это верно только для двумерного случая. В многомерном случае направление kParTan не ведет прямо в точку минимума, но спуск в этом направлении, как правило, приводит в окрестность минимума меньшего радиуса, чем при еще одном шаге метода наискорейшего спуска (см. рис. 6б). Кроме того, следует отметить, что для выполнения третьего шага не потребовалось вычислять градиент, что экономит время при численной оптимизации.

1. Какие высказывания неверны? Метод Данцига

Ответ: можно отнести к группе градиентных

2. Какие из нижеперечисленных высказываний истинны:

Ответ: Задача ЛП с несовместной системой ограничений называется открытой

3. Какие из перечисленных методов не являются активными

Ответ: золотого сечения

4. Какие из приведенных высказываний верны:

Ответ: задача транспортного типа – частный случай задачи линейного программирования

5. Какие из приведенных утверждений истинны: Метод наименьших квадратов

Ответ: сводится в итоге к решению системы n линейных уравнений при аппроксимации результатов многочленами n-го порядка

6. Какие из указанных методов не являются градиентными

Ответ: симплексный метод (метод Нелдера-Мида)

7. Какие из указанных методов позволяют найти глобальный экстремум полимодальной функции

Ответ: сканирования

8. Какие методы среди перечисленных являются методами покоординатного поиска

Ответ: касательный

9. Отметьте верные утверждения

Ответ: метод простого перебора нельзя использовать при отыскании экстремума согласно процедуре Гаусса-Зайделя

10. Укажите истинное высказывание

Ответ: планом называется любое допустимое решение задачи

11. Укажите неправильное высказывание

Ответ: плоскость, содержащая хотя бы одну угловую точку выпуклого многогранника называется опорной плоскостью этого многогранника

12. Укажите номера правильных утверждений

Ответ: задачи транспортного типа нельзя решать методом Данцига, так как они относятся к задачам дискретного программирования(1). Первоначальный план в симплексном методе получаем приравниваем нулю всех базисных переменных(3)

13. Укажите правильное утверждение?

Ответ: базисное решение задачи ЛП вырожденное, если хотя бы одна из свободных переменных равна нулю

14. Что из нижеследующего неверно:

Ответ: любая точка на прямой является выпуклой линейной комбинацией двух точек, через которые проведена эта прямая

15. Что истинно из высказываний ниже?

Ответ: задача о коммивояжере относится к области дискретного программирования

16. Что истинно из следующего:

Ответ: одна из основных проблем оптимизации – «проблема размерности»

17. Что неверно в приведенных высказываниях?

Ответ: если функция цели задачи ЛП достигает экстремума в нескольких точках, то она достигает того же значения в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих точек.

18. Что из приведенных высказываний неверно?

Ответ: задачу ЛП можно решить процедурой упорядоченного перехода от одного плана к другому.

19. Что из предлагаемого истинно

Ответ: внутри области допустимых решений задачи ЛП не может быть экстремум

20. Что ложно из нижеприведенного?

Ответ: Для отыскания экстремума линейной целевой функции симплексным методом необходимо выполнить n-m итераций, n- количество неизвестных задачи, m- число ограничений общего вида

Вкину немного своего экспириенса:)

Метод покоординатного спуска

Идея данного метода в том, что поиск происходит в направлении покоординатного спуска во время новой итерации. Спуск осуществляется постепенно по каждой координате. Количество координат напрямую зависит от количества переменных.
Для демонстрации хода работы данного метода, для начала необходимо взять функцию z = f(x1, x2,…, xn) и выбрать любую точку M0(x10, x20,…, xn0) в n пространстве, которая зависит от числа характеристик функции. Следующим шагом идет фиксация всех точек функции в константу, кроме самой первой. Это делается для того, чтобы поиск многомерной оптимизации свести к решению поиска на определенном отрезке задачу одномерной оптимизации, то есть поиска аргумента x1.
Для нахождения значения данной переменной, необходимо производить спуск по этой координате до новой точки M1(x11, x21,…, xn1). Далее функция дифференцируется и тогда мы можем найти значение новой следующий точки с помощью данного выражения:

После нахождения значения переменной, необходимо повторить итерацию с фиксацией всех аргументов кроме x2 и начать производить спуск по новой координате до следующей новой точке M2(x11,x21,x30…,xn0). Теперь значение новой точки будет происходить по выражению:

И снова итерация с фиксацией будет повторяться до тех пор, пока все аргументы от xi до xn не закончатся. При последней итерации, мы последовательно пройдем по всем возможным координатам, в которых уже найдем локальные минимумы, поэтому целевая функция на последний координате дойдет до глобального минимума. Одним из преимуществ данного метода в том, что в любой момент времени есть возможность прервать спуск и последняя найденная точка будет являться точкой минимума. Это бывает полезно, когда метод уходит в бесконечный цикл и результатом этого поиска можно считать последнюю найденную координату. Однако, целевая установка поиска глобального минимума в области может быть так и не достигнута из-за того, что мы прервали поиск минимума (см. Рисунок 1).


Рисунок 1 – Отмена выполнения покоординатного спуска

Исследование данного метода показали, что каждая найденная вычисляемая точка в пространстве является точкой глобального минимума заданной функции, а функция z = f(x1, x2,…, xn) является выпуклой и дифференцируемой.
Отсюда можно сделать вывод, что функция z = f(x1, x2,…, xn) выпукла и дифференцируема в пространстве, а каждая найденная предельная точка в последовательности M0(x10, x20,…, xn0) будет являться точкой глобального минимума (см. Рисунок 2) данной функции по методу покоординатного спуска.


Рисунок 2 – Локальные точки минимума на оси координат

Можно сделать вывод о том, что данный алгоритм отлично справляется с простыми задачами многомерной оптимизации, путём последовательно решения n количества задач одномерной оптимизации, например, методом золотого сечения.

Ход выполнения метода покоординатного спуска происходит по алгоритму описанного в блок схеме (см. Рисунок 3). Итерации выполнения данного метода:
Изначально необходимо ввести несколько параметров: точность Эпсилон, которая должна быть строго положительной, стартовая точка x1 с которой мы начнем выполнение нашего алгоритма и установить Лямбда j;
Следующим шагом будет взять первую стартовую точку x1, после чего происходит решение обычного одномерного уравнения с одной переменной и формула для нахождения минимума будет, где k = 1, j=1:

Теперь после вычисления точки экстремума, необходимо проверить количество аргументов в функции и если j будет меньше n, тогда необходимо повторить предыдущий шаг и переопределить аргумент j = j + 1. При всех иных случаях, переходим к следующему шагу.
Теперь необходимо переопределить переменную x по формуле x (k + 1) = y (n + 1) и попытаться выполнить сходимость функции в заданной точности по выражению:

Теперь от данного выражения зависит нахождение точки экстремума. Если данное выражение истинно, тогда вычисление точки экстремума сводится к x*= xk + 1. Но часто необходимо выполнить дополнительные итерации, зависящие от точности, поэтому значения аргументов будет переопределено y(1) = x(k + 1), а значения индексов j =1, k = k + 1.


Рисунок 3 – Блок схема метода покоординатного спуска

Итого, у нас имеется отличный и многофункциональный алгоритм многомерной оптимизации, который способен разбивать сложную задачу, на несколько последовательно итерационных одномерных. Да, данный метод достаточно прост в реализации и имеет легкое определение точек в пространстве, потому что данной метод гарантирует сходимость к локальной точке минимума. Но даже при таких весомых достоинствах, метод способен уходить в бесконечные циклы из-за того, что может попасть в своего рода овраг.
Существуют овражные функции, в которых существуют впадины. Алгоритм, попав в одну из таких впадин, уже не может выбраться и точку минимума он обнаружит уже там. Так же большое число последовательных использований одного и того же метода одномерной оптимизации, может сильно отразиться на слабых вычислительных машинах. Мало того, что сходимость в данной функции очень медленная, поскольку необходимо вычислить все переменные и зачастую высокая заданная точность увеличивает в разы время решения задачи, так и главным недостатком данного алгоритма – ограниченная применимость.
Проводя исследование различных алгоритмов решения задач оптимизации, нельзя не отметить, что огромную роль играет качество данных алгоритмов. Так же не стоит забывать таких важных характеристик, как время и стабильность выполнения, способность находить наилучшие значения, минимизирующие или максимизирующие целевую функцию, простота реализации решения практических задач. Метод покоординатного спуска прост в использовании, но в задачах многомерной оптимизации, чаще всего, необходимо выполнять комплексные вычисления, а не разбиение целой задачи на подзадачи.

Метод Нелдера - Мида

Стоит отметить известность данного алгоритма среди исследователей методов многомерной оптимизации. Метод Нелдера – Мида один из немногих методов, который основанный на концепции последовательной трансформации деформируемого симплекса вокруг точки экстремума и не используют алгоритм движения в сторону глобального минимума.
Данный симплекс является регулярным, а представляется как многогранник с равностоящими вершинами симплекса в N-мерном пространстве. В различных пространствах, симплекс отображается в R2-равносторонний треугольник, а в R3 - правильный тетраэдр.
Как упоминалось выше, алгоритм является развитием метода симплексов Спендли, Хекста и Химсворта, но, в отличие от последнего, допускает использование неправильных симплексов. Чаще всего, под симплексом подразумевается выпуклый многогранник с числом вершин N+1, где N – количество параметров модели в n -мерном пространстве.
Для того, чтобы начать пользоваться данным методом, необходимо определиться с базовой вершиной всех имеющихся множества координат с помощью выражения:

Самым замечательным в этом методе то, что у симплекса существуют возможности самостоятельно выполнять определенные функции:
Отражение через центр тяжести, отражение со сжатием или растяжением;
Растяжение;
Сжатие.
Преимуществу среди этих свойств отдают отражению, поскольку данный параметр является наиболее опционально – функциональным. От любой выбранной вершины возможно сделать отражение относительно центра тяжести симплекса по выражению:.

Где xc - центр тяжести (см. Рисунок 1).


Рисунок 1 – Отражение через центр тяжести

Следующим шагом необходимо провести расчет аргументов целевой функции во всех вершинах отраженного симплекса. После этого, мы получим полную информацию о том, как симплекс будет вести себя в пространстве, а значит и информацию о поведении функции.
Для того чтобы совершить поиск точки минимума или максимума целевой функции с помощью методов использующих симплексы, необходимо придерживаться следующей последовательности:
На каждом шаге строиться симплекс, в каждой точке которого, необходимо произвести расчет всех его вершин, после чего отсортировать полученные результаты по возрастанию;
Следующий шаг – это отражение. Необходимо провести попытку получить значения нового симплекса, а путём отражения, у нас получиться избавиться от нежелательных значений, которые стараются двигать симплекс не в сторону глобального минимума;
Чтобы получить значения нового симплекса, из полученных отсортированных результатов, мы берем две вершины с наихудшими значениями. Возможны такие случаи, что сразу подобрать подходящие значения не удастся, тогда придется вернуться к первому шагу и произвести сжатие симплекса к точке с самым наименьшим значением;
Окончанием поиска точки экстремума является центр тяжести, при условии, что значение разности между функциями имеет наименьшие значения в точках симплекса.

Алгоритм Нелдера – Мида так же использует эти функции работы с симплексом по следующим формулам:

Функция отражения через центр тяжести симплекса высчитывается по следующему выражению:

Данное отражение выполняется строго в сторону точки экстремума и только через центр тяжести (см. Рисунок 2).


Рисунок 2 – Отражение симплекса происходит через центр тяжести

Функция сжатия вовнутрь симплекса высчитывается по следующему выражению:

Для того, чтобы провести сжатие, необходимо определить точку с наименьшим значением (см. Рисунок 3).


Рисунок 3 – Сжатие симплекса происходит к наименьшему аргументу.

Функция отражения со сжатием симплекса высчитывается по следующему выражению:

Для того, чтобы провести отражение со сжатием (см. Рисунок 4), необходимо помнить работу двух отдельных функций – это отражение через центр тяжести и сжатие симплекса к наименьшему значению.


Рисунок 4 - Отражение со сжатие

Функция отражения с растяжением симплекса (см. Рисунок 5) происходит с использованием двух функций – это отражение через центр тяжести и растяжение через наибольшее значение.


Рисунок 5 - Отражение с растяжением.

Чтобы продемонстрировать работу метода Нелдера – Мида, необходимо обратиться к блок схеме алгоритма (см. Рисунок 6).
Первостепенно, как и в предыдущих примерах, нужно задать параметр искаженности ε, которая должна быть строго больше нуля, а также задать необходмые параметры для вычисления α, β и a. Это нужно будет для вычисления функции f(x0), а также для построения самого симплекса.

Рисунок 6 - Первая часть метода Нелдера - Мида.

После построения симплекса необходимо произвести расчет всех значений целевой функции. Как и было описано выше про поиск экстремума с помощью симплекса, необходимо рассчитать функцию симплекса f(x) во всех его точках. Далее производим сортировку, где базовая точка будет находиться:

Теперь, когда базовая точка рассчитана, а также и все остальные отсортированы в списке, мы производим проверку условия достижимости по ранее заданной нами точности:

Как только данное условие станет истинным, тогда точка x(0) симплекса будет считаться искомой точкой экстремума. В другом случае, мы переходим на следующий шаг, где нужно определить новое значение центра тяжести по формуле:

Если данное условие выполняется, тогда точка x(0) будет являться точкой минимума, в противном случае, необходимо перейти на следующий шаг в котором необходимо произвести поиск наименьшего аргумента функции:

Из функции необходимо достать самую минимальное значение аргумента для того, что перейти к следующему шагу выполнения алгоритма. Иногда случается проблема того, что несколько аргументов сразу имеют одинаковое значение, вычисляемое из функции. Решением такой проблемы может стать повторное определение значения аргумента вплоть до десятитысячных.
После повторного вычисления минимального аргумента, необходимо заново сохранить новые полученные значения на n позициях аргументов.


Рисунок 7 - Вторая часть метода Нелдера - Мида.

Вычисленное из предыдущей функции значение необходимо подставить в условие fmin < f(xN). При истинном выполнении данного условия, точка x(N) будет являться минимальной из группы тех, которые хранятся в отсортированном списке и нужно вернуться к шагу, где мы рассчитывали центр тяжести, в противном случае, производим сжатие симплекса в 2 раза и возвращаемся к самому началу с новым набором точек.
Исследования данного алгоритма показывают, что методы с нерегулярными симплексами (см. Рисунок 8) еще достаточно слабо изучены, но это не мешает им отлично справляться с поставленными задачами.
Более глубокие тесты показывают, что экспериментальным образом можно подобрать наиболее подходящие для задачи параметры функций растяжения, сжатия и отражения, но можно пользоваться общепринятыми параметрами этих функций α = 1/2, β = 2, γ = 2 или α = 1/4, β = 5/2, γ = 2. Поэтому, перед тем как отбрасывать данный метод для решения поставленной задачи, необходимо понимать, что для каждого нового поиска безусловного экстремума, нужно пристально наблюдать за поведением симплекса во время его работы и отмечать нестандартные решения метода.


Рисунок 8 - Процесс нахождения минимума.

Статистика показала, что в работе данного алгоритма существует одна из наиболее распространенных проблем – это вырождение деформируемого симплекса. Это происходит, когда каждый раз, когда несколько вершин симплекса попадают в одно пространство, размерность которого не удовлетворяет поставленной задачи.
Таким образом, размерность во время работы и заданная размерность закидывают несколько вершин симплекса в одну прямую, запуская метод в бесконечный цикл. Алгоритм в данной модификации еще не оснащен способом выйти из такого положения и сместить одну вершину в сторону, поэтому приходится создать новый симплекс с новыми параметрами, чтобы такого в дальнейшем не происходило.
Еще одной особенностью обладает данный метод – это некорректной работой при шести и более вершинах симплекса. Однако, при модификации данного метода, можно избавиться от этой проблемы и даже не потерять при этом скорости выполнения, но значение выделяемой памяти заметно повысится. Данный метод можно считать циклическим, поскольку он полностью основан на циклах, поэтому и замечается некорректная работа при большом количестве вершин.
Алгоритм Нелдера – Мида по праву можно считать одним из наилучших методов нахождения точки экстремума с помощью симплекса и отлично подходит для использования его в различные рода инженерных и экономических задачах. Даже не смотря на цикличность, количество памяти он использует очень малое количество, по сравнение с тем же методом покоординатного спуска, а для нахождения самого экстремума требуется высчитывать только значения центра тяжести и функции. Небольшое, но достаточное, количество комплексных параметров дают этому методу широкое использование в сложных математических и актуальных производственных задачах.
Симплексные алгоритмы – это край, горизонты которого еще мы не скоро раскроем, но уже сейчас они значительно упрощают нашу жизнь своей визуальной составляющей.

P.S. Текст полностью мой. Надеюсь кому-нибудь данная информация будет полезной.

Лекция № 8

Градиентные методы решения задач нелинейного программирования. Методы штрафных функций. Приложения нелинейного программирования к задачам исследования операций.

Задачи без ограничений. Градиентным методом можно решать, вообще говоря, любую нелинейную задачу. Однако при этом находится лишь локальный экстремум. Поэтому целесообразнее применять этот метод при решении задач выпуклого программирования, в которых любой локальный экстремум, является одновременно и глобальным (см. теорему 7.6).

Будем рассматривать задачу максимизации нелинейной дифференцируемой функции f (x ). Суть градиентного поиска точки максимума х * весьма проста: надо взять произвольную точку х 0 и с помощью градиента , вычисленного в этой точке, определить направление, в котором f (х ) возрастает с наибольшей скоростью (рис. 7.4),

а затем, сделав небольшой шаг в найденном направлении, перейти в новую точку x i . Потом снова определить наилучшее направление для перехода в очередную точку х 2 и т. д. На рис. 7.4 поисковая траектория представляет собой ломаную х 0 , x 1 , х 2 ... Таким образом, надо построить последовательность точек х 0 , x 1 , х 2 ,...,x k , ... так, чтобы она сходилась к точке максимума х *, т. е. для точек последовательности выполнялись условия

Градиентные методы, как правило, позволяют получать точное решение за бесконечное число шагов и только в некоторых случаях - за конечное. В связи с этим градиентные методы относят к приближенным методам решения.

Движение из точки х k в новую точку x k+1 осуществляется по прямой, проходящей через точку х k и имеющей уравнение

(7.29)

где λ k - числовой параметр, от которого зависит величина шага. Как только значение параметра в уравнении (7.29) выбрано: λ k =λ k 0 , так становится определенной очередная точка на поисковой ломаной.

Градиентные методы отличаются друг от друга способом выбора величины шага - значения λ k 0 параметра λ k . Можно, например, двигаться из точки в точку с постоянным шагом λ k = λ, т. е. при любом k

Если при этом окажется, что , то следует возвратиться в точку и уменьшить значение параметра, например до λ /2.

Иногда величина шага берется пропорциональной модулю градиента.

Если ищется приближенное решение, то поиск можно прекратить, основываясь на следующих соображениях. После каждой серии из определенного числа шагов сравнивают достигнутые значения целевой функции f (x ). Если после очередной серии изменение f (x ) не превышает некоторого наперед заданного малого числа , поиск прекращают и достигнутое значение f (x ) рассматривают как искомый приближенный максимум, а соответствующее ему х принимают за х *.



Если целевая функция f (x ) вогнутая (выпуклая), то необходимым и достаточным условием оптимальности точки х * является равенство нулю градиента функции в этой точке.

Распространенным является вариант градиентного поиска, называемый методом наискорейшего подъема. Суть его в следующем. После определения градиента в точке х к движение вдоль прямой производится до точки х к+ 1 , в которой достигается максимальное значение функции f (х ) в направлении градиента . Затем в этой точке вновь определяется градиент, и движение совершается по прямой в направлении нового градиента до точки х к+ 2 , в которой достигается максимальное в этом направлении значение f (x ). Движение продолжается до тех пор, пока не будет достигнута точка х *, соответствующая наибольшему значению целевой функции f (x ). На рис. 7.5 приведена схема движения к оптимальной точке х * методом наискорейшего подъема. В данном случае направление градиента в точке х k является касательным к линии уровня поверхности f (х ) в точке х к+ 1 , следовательно, градиент в точкех к+ 1 ортогонален градиенту (сравните с рис. 7.4).

Перемещение из точки х k в точку сопровождается возрастанием функции f (x ) на величину

Из выражения (7.30) видно, что приращение является функцией переменной , т. е. . При нахождении максимума функции f (x) в направлении градиента ) необходимо выбирать шаг перемещения (множитель ), обеспечивающий наибольшее возрастание приращению функции, именно функции . Величина , при которой достигается наибольшее значение , может быть определена из необходимого условия экстремума функции :

(7.31)

Найдем выражение для производной, дифференцируя равенство (7.30) по как сложную функцию:

Подставляя этот результат в равенство (7.31), получаем

Это равенство имеет простое геометрическое истолкование: градиент в очередной точке х к+ 1 , ортогонален градиенту в предыдущей точке х к .


построены линии уровня этой поверхности. С этой целью уравнение приведено к виду (x 1 -1) 2 +(x 2 -2) 2 =5-0,5f , из которого ясно, что линиями пересечения параболоида с плоскостями, параллельными плоскости x 1 Оx 2 (линиями уровня), являются окружности радиусом . При f =-150, -100, -50 их радиусы равны соответственно , а общий центр находится в точке (1; 2). Находим градиент данной функции:

I шаг . Вычисляем:

На рис. 7.6 с началом в точке х 0 =(5; 10) построен вектор 1/16, указывающий направление наискорейшего возрастания функции в точке х 0 . На этом направлении расположена следующая точка . В этой точке .

Используя условие (7.32), получаем

или 1-4=0, откуда =1/4. Так как , то найденное значение является точкой максимума . Находим x 1 =(5-16/4; 10-32/4)=(1; 2).

II шаг . Начальная точка для второго шага x 1 =(1; 2). Вычисляем =(-4∙1 +4; -4∙2+8)=(0; 0). Следовательно, х 1 =(1; 2) является стационарной точкой. Но поскольку данная функция вогнутая, то в найденной точке (1; 2) достигается глобальный максимум.

Задача с линейными ограничениями. Сразу же отметим, что если целевая функция f (х ) в задаче с ограничениями имеет единственный экстремум и он находится внутри допустимой области, то для поиска экстремальной точки х * применяется изложенная выше методика без каких-либо изменений.

Рассмотрим задачу выпуклого программирования с линейными ограничениями:

(7.34)

Предполагается, что f (х ) является вогнутой функцией и имеет непрерывные частные производные в каждой точке допустимой области.

Начнем с геометрической иллюстрации процесса решения задачи (рис. 7.7). Пусть начальная точка х 0 расположена внутри допустимой области. Из точки х 0 можно двигаться в направлении градиента , пока f (x ) не достигнет максимума. В нашем случае f (x ) все время возрастает, поэтому остановиться надо в точке х , на граничной прямой. Как видно из рисунка, дальше двигаться в направлении градиента нельзя, так как выйдем из допустимой области. Поэтому надо найти другое направление перемещения, которое, с одной стороны, не выводит из допустимой области, а с другой - обеспечивает наибольшее возрастание f (x ). Такое направление определит вектор , составляющий с вектором наименьший острый угол по сравнению с любым другим вектором, выходящим из точки x i и лежащим в допустимой области. Аналитически такой вектор найдется из условия максимизации скалярного произведения . В данном случае вектор указывающий наивыгоднейшее направление, совпадает с граничной прямой.


Таким образом, на следующем шаге двигаться надо по граничной прямой до тех пор, пока возрастает f (x ); в нашем случае - до точки х 2 . Из рисунка видно, что далее следует перемещаться в направлении вектора , который находится из условия максимизации скалярного произведения , т. е. по граничной прямой. Движение заканчивается в точке х 3 , поскольку в этой точке завершается оптимизационный поиск, ибо в ней функция f (х ) имеет локальный максимум. Ввиду вогнутости в этой точке f (х ) достигает также глобального максимума в допустимой области. Градиент в точке максимума х 3 =х * составляет тупой угол с любым вектором из допустимой области, проходящим через х 3 , поэтому скалярное произведение будет отрицательным для любого допустимого r k , кроме r 3 , направленного по граничной прямой. Для него скалярное произведение =0, так как и взаимно перпендикулярны (граничная прямая касается линии уровня поверхности f (х ), проходящей через точку максимума х *). Это равенство и служит аналитическим признаком того, что в точке х 3 функция f (x ) достигла максимума.

Рассмотрим теперь аналитическое решение задачи (7.33) - (7.35). Если оптимизационный поиск начинается с точки, лежащей в допустимой области (все ограничения задачи выполняются как строгие неравенства), то перемещаться следует по направлению градиента так, как установлено выше. Однако теперь выбор λ k в уравнении (7.29) усложняется требованием, чтобы очередная точка оставалась в допустимой области. Это означает, что ее координаты должны удовлетворять ограничениям (7.34), (7.35), т. е. должны выполняться неравенства:

(7.36)

Решая систему линейных неравенств (7.36), находим отрезок допустимых значений параметра λ k , при которых точка х k +1 будет принадлежать допустимой области.

Значение λ k * , определяемое в результате решения уравнения (7.32):

При котором f (x ) имеет локальный максимум по λ k в направлении, должно принадлежать отрезку . Если же найденное значение λ k выходит за пределы указанного отрезка, то в качестве λ k * принимается . В этом случае очередная точка поисковой траектории оказывается на граничной гиперплоскости, соответствующей тому неравенству системы (7.36), по которому при решении системы получена правая конечная точка . отрезка допустимых значений параметра λ k .

Если оптимизационный поиск начат с точки, лежащей на граничной гиперплоскости, или очередная точка поисковой траектории оказалась на граничной гиперплоскости, то для продолжения движения к точке максимума прежде всего необходимо найти наилучшее направление движения С этой целью следует решить вспомогательную задачу математического программирования, а именно- максимизировать функцию

при ограничениях

для тех t , при которых

где .

В результате решения задачи (7.37) - (7.40) будет найден вектор , составляющий с градиентом наименьший острый угол.

Условие (7.39) говорит о том, что точка принадлежит границе допустимой области, а условие (7.38) означает, что перемещение из по вектору будет направлено внутрь допустимой области или по ее границе. Условие нормализации (7.40) необходимо для ограничения величины , так как в противном случае значение целевой функции (7.37) можно сделать сколь угодно большим Известны различные формы условий нормализации, и в зависимости от этого задача (7.37) - (7.40) может быть линейной или нелинейной.

После определения направления находится значение λ k * для следующей точки поисковой траектории. При этом используется необходимое условие экстремума в форме, аналогичной уравнению (7.32), но с заменой на вектор , т. е.

(7.41)

Оптимизационный поиск прекращается, когда достигнута точка x k * , в которой .

Пример 7.5. Максимизировать функцию при ограничениях

Решение. Для наглядного представления процесса оптимизации будем сопровождать его графической иллюстрацией. На рис 7.8 изображено несколько линий уровня данной поверхности и допустимая область ОАВС, в которой следует найти точку х *, доставляющую максимум данной функции (см. пример 7 4).

Начнем оптимизационный поиск, например с точки х 0 =(4, 2,5), лежащей на граничной прямой АВ x 1 +4x 2 =14. При этом f (х 0)=4,55.

Найдем значение градиента

в точке x 0 . Кроме того, и по рисунку видно, что через допустимую область проходят линии уровня с пометками более высокими, чем f (x 0)=4,55. Словом, надо искать направление r 0 =(r 01 , r 02) перемещения в следующую точку x 1 более близкую к оптимальной. С этой целью решаем задачу (7.37) - (7.40) максимизации функции при ограничениях


Поскольку точка х 0 располагается только на одной (первой) граничной прямой (i =1) x 1 +4x 2 =14, то условие (7.38) записывается в форме равенства.

Система ограничительных уравнений этой задачи имеет только два решения (-0,9700; 0,2425) и (0,9700;-0,2425) Непосредственной подстановкой их в функцию T 0 устанавливаем, что максимум Т 0 отличен от нуля и достигается при решении (-0,9700; 0,2425) Таким образом, перемещаться из х 0 нужно по направлению вектора r 0 =(0,9700; 0,2425), т е по граничной прямой ВА.

Для определения координат следующей точки x 1 =(x 11 ; x 12)

(7.42)

необходимо найти значение параметра , при котором функция f (x ) в точке x

откуда =2,0618. При этом =-0,3999<0. Значит,=2,0618. По формуле (7.42) находим координаты новой точки х 1 (2; 3).

Если продолжить оптимизационный поиск, то при решении очередной вспомогательной задачи (7.37)- (7.40) будет установлено, что Т 1 =, а это говорит о том, что точка x 1 является точкой максимума х* целевой функции в допустимой области. Это же видно и из рисунка в точке x 1 одна из линий уровня касается границы допустимой области. Следовательно, точка x 1 является точкой максимума х*. При этом f max =f (x *)=5,4.


Задача с нелинейными ограничениями. Если в задачах с линейными ограничениями движение по граничным прямым оказывается возможным и даже целесообразным, то при нелинейных ограничениях, определяющих выпуклую область, любое как угодно малое перемещение из граничной точки может сразу вывести за пределы области допустимых решений, и возникнет необходимость в возвращении в допустимую область (рис. 7.9). Подобная ситуация характерна для задач, в которых экстремум функции f (x ) достигается на границе области. В связи с этим применяются различные

способы перемещения, обеспечивающие построение последовательности точек, расположенных вблизи границы и внутри допустимой области, или зигзагообразное движение вдоль границы с пересечением последней. Как видно из рисунка, возврат из точки x 1 в допустимую область следует осуществлять вдоль градиента той граничной функции , которая оказалась нарушенной. Это обеспечит отклонение очередной точки х 2 в сторону точки экстремума х*. Признаком экстремума в подобном случае будет коллинеарность векторов и .