Я обнаружил этот фрактал, когда разглядывал интерференцию волн на поверхности речки. Волна движется к берегу, отражается и накладывается сама на себя. Есть ли порядок в тех узорах, которые создаются волнами? Попробуем найти его. Рассмотрим не всю волну, а только вектор ее движения. «Берега» сделаем гладкими, для простоты эксперимента.

Эксперимент можно провести на обычном листке в клеточку из школьной тетради.

Или используя JavaScript реализацию алгоритма.

Возьмем прямоугольник со сторонами q и p. Отправим луч (вектор) из угла в угол. Луч двигается к одной из сторон прямоугольника, отражается и продолжает движение к следующей стороне. Это продолжается до тех пор, пока луч не попадет в один из оставшихся углов. Если размер стороны q и p - взаимно просты числа, то получается узор (как мы увидим позже - фрактал).

На картинке мы ясно видим, как работает этот алгоритм.

Gif-анимация:

Самое удивительное то, что с разными сторонами прямоугольника - получаем разные узоры.

Почему я называю эти узоры фракталами? Как известно, «фрактал» - это геометрическая фигура, обладающая свойствами самоподобия. Часть картинки повторяет всю картинку в целом. Если значительно увеличить размеры сторон Q и P - ясно, что эти узоры обладают свойствами самоподобия.

Попробуем увеличить. Увеличивать будем хитрым способом. Возьмем, например, узор 17x29. Следующие узоры будут: 29x(17+29=46), 46x(29+46=75)…
Одна сторона: F(n);
Вторая сторона: F(n+1)=F(n)+F(n-1);
17, 29, 46, 75, 121, 196, 317, 513, 830, 1343
Как числа Фибоначчи, только с другими первым и вторым членом последовательности: F(0)=17, F(1)=29.

Если большая сторона четная, получается такой узор:

Если меньшая сторона четная:

Если обе стороны нечетные - получаем симметрический узор:

В зависимости от того, как начинается луч:

или

Попробую объяснить, что происходит в этих прямоугольниках.

Отделим от прямоугольника квадрат, и посмотрим, что происходит на границе.

Луч выходит в той-же точке, откуда зашел.

При этом, количество квадратиков, которые проходит луч - всегда четное число.

Поэтому, если отрезать от прямоугольника квадрат - останется не измененная часть фрактала.

Если отделять от фрактала квадраты столько раз, сколько это возможно - можно добраться до «начала» фрактала.

Похоже на спираль Фибоначчи?

Из чисел Фибоначчи тоже можно получить фракталы.

В математике числами Фибоначчи (ряд Фибоначчи, последовательность Фибоначчи) называют числа:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…
По определению, первые две цифры в последовательности Фибоначчи 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих.
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
F(0)=0, F(1)=1

Поехали:

Как мы видим, чем ближе отношение сторон приближается к золотому сечению - тем больше детализация фрактала.

При этом фрактал повторяет часть фрактала, увеличенного на .

Вместо чисел Фибоначчи можно использовать иррациональные размеры сторон:

Получим тот-же фрактал.

Те-же фракталы можно получить и в квадрате, если пускать луч под другим углом:

Что можно сказать в заключении?
Хаос - это тоже порядок. Со своими закономерностями. Порядок этот не изученный, но вполне поддающийся изучению. А все стремление науки - обнаружить эти закономерности. И в конечном итоге соединить детали головоломки, чтобы увидеть общую картину.
Давайте посмотрим на поверхность речки. Если бросить в нее камень - пойдут волны. Круги, вполне поддающиеся изучению. Скорость, период, длину волны - все это можно подсчитать. Но до тех пор, пока волна не дойдет до берега, не отразиться и не начнет накладываться на саму себя. Получим хаос (интерференцию), который уже трудно поддается изучению.
Что если двигаться от обратного? Упростить поведение волны на столько, на сколько это возможно. Упростить, найти закономерность и после этого попробовать описать уже полную картину происходящего.
Что можно упростить? Очевидно, что сделать отражающую поверхность прямой, без изгибов. Далее, вместо самой волны, использовать только вектор движения волны. В принципе, этого достаточно, чтобы построить простой алгоритм и смоделировать процесс на компьютере. И даже вполне достаточно, чтобы сделать «модель» поведения волны на обычном листке в клеточку.
Что имеем в результате? В результате видим, что в волновых процессах (та-же рябь на поверхности речки) имеем не хаос, а наложение фракталов (самоподобных структур) друг на друга.

Рассмотрим другой вид волн. Как известно, электромагнитная волна состоит из трех векторов - волновой вектор и вектора напряженности электрического и магнитного поля. Как видим, если «словить» такую волну в замкнутой области – там, где пересекаются эти вектора, получаем вполне четкие замкнутые структуры. Быть может, элементарные частицы – это такие-же фракталы?

Все фрактальчики в прямоугольниках от 1 до 80 (6723х6723 px):

Замкнутые области во фракталах (6723х6723 px):

Просто красивый фрактал (4078x2518 px):

Самые гениальные открытия в науке способны кардинально изменить человеческую жизнь. Изобретенная вакцина может спасти миллионы людей, создание оружия, наоборот, эти жизни отнимает. Совсем недавно (в масштабе человеческой эволюции) мы научились «укрощать» электричество — и теперь не можем себе представить жизнь без всех этих удобных устройств, использующих электроэнергию. Но есть и такие открытия, которым мало кто придает значение, хотя они тоже сильно влияют на нашу жизнь.

Одно из таких «незаметных» открытий — фракталы. Вам наверняка доводилось слышать это запоминающееся слово, но знаете ли вы, что оно означает и как много интересного скрыто в этом термине?

В каждом человеке заложена природная любознательность, стремление познавать окружающий его мир. И в этом стремлении человек старается придерживаться логики в суждениях. Анализируя процессы, происходящие вокруг него, он пытается найти логичность происходящего и вывести некоторую закономерность. Самые большие умы на планете заняты этой задачей. Грубо говоря, ученые ищут закономерность там, где ее быть не должно. Тем не менее даже в хаосе можно найти связь между событиями. И эта связь — фрактал.

Наша маленькая дочь, четырех с половиной лет, сейчас находится в том прекрасном возрасте, когда число вопросов «Почему?» многократно превышает число ответов, которые взрослые успевают давать. Не так давно, рассматривая поднятую с земли ветку, дочка вдруг заметила, что эта ветка, с сучками и ответвлениями, сама похожа на дерево. И, конечно, дальше последовал привычный вопрос «Почему?», на который родителям пришлось искать простое объяснение, понятное ребенку.

Обнаруженная ребенком схожесть отдельной веточки с целым деревом — это очень точное наблюдение, которое лишний раз свидетельствует о принципе рекурсивного самоподобия в природе. Очень многие органические и неорганические формы в природе формируются аналогично. Облака, морские раковины, «домик» улитки, кора и крона деревьев, кровеносная система и так далее — случайные формы всех этих объектов могут быть описаны фрактальным алгоритмом.

⇡ Бенуа Мандельброт: отец фрактальной геометрии

Само слово «фрактал» появилось благодаря гениальному ученому Бенуа Мандельброту (Benoît B. Mandelbrot).

Он сам придумал этот термин в семидесятых годах прошлого века, позаимствовав слово fractus из латыни, где оно буквально означает «ломанный» или «дробленный». Что же это такое? Сегодня под словом «фрактал» чаще всего принято подразумевать графическое изображение структуры, которая в более крупном масштабе подобна сама себе.

Математическая база для появления теории фракталов была заложена за много лет до рождения Бенуа Мандельброта, однако развиться она смогла лишь с появлением вычислительных устройств. В начале своей научной деятельности Бенуа работал в исследовательском центре компании IBM. В то время сотрудники центра трудились над передачей данных на расстояние. В ходе исследований ученые столкнулись с проблемой больших потерь, возникающих из-за шумовых помех. Перед Бенуа стояла сложная и очень важная задача — понять, как предсказать возникновение шумовых помех в электронных схемах, когда статистический метод оказывается неэффективным.

Просматривая результаты измерений шума, Мандельброт обратил внимание на одну странную закономерность — графики шумов в разном масштабе выглядели одинаково. Идентичная картина наблюдалась независимо от того, был ли это график шумов за один день, неделю или час. Стоило изменить масштаб графика, и картина каждый раз повторялась.

При жизни Бенуа Мандельброт неоднократно говорил, что он не занимается формулами, а просто играет с картинками. Этот человек мыслил очень образно, а любую алгебраическую задачу переводил в область геометрии, где, по его словам, правильный ответ всегда очевиден.

Неудивительно, что именно человек с таким богатым пространственным воображением стал отцом фрактальной геометрии. Ведь осознание сути фракталов приходит именно тогда, когда начинаешь изучать рисунки и вдумываться в смысл странных узоров-завихрений.

Фрактальный рисунок не имеет идентичных элементов, но обладает подобностью в любом масштабе. Построить такое изображение с высокой степенью детализации вручную ранее было просто невозможно, на это требовалось огромное количество вычислений. Например, французский математик Пьер Жозе Луи Фату (Pierre Joseph Louis Fatou) описал это множество более чем за семьдесят лет до открытия Бенуа Мандельбротом. Если же говорить про принципы самоподобия, то о них упоминалось еще в трудах Лейбница и Георга Кантора.

Один из первых рисунков фрактала был графической интерпретацией множества Мандельброта, которое родилось благодаря исследованиям Гастона Мориса Жюлиа (Gaston Maurice Julia).

Гастон Жюлиа (всегда в маске — травма с Первой мировой войны)

Этот французский математик задался вопросом, как будет выглядеть множество, если построить его на основе простой формулы, проитерированной циклом обратной связи. Если объяснить «на пальцах», это означает, что для конкретного числа мы находим по формуле новое значение, после чего подставляем его снова в формулу и получаем еще одно значение. Результат — большая последовательность чисел.

Чтобы получить полное представление о таком множестве, нужно проделать огромное количество вычислений — сотни, тысячи, миллионы. Вручную это сделать было просто нереально. Но когда в распоряжении математиков появились мощные вычислительные устройства, они смогли по-новому взглянуть на формулы и выражения, которые давно вызывали интерес. Мандельброт был первым, кто использовал компьютер для просчета классического фрактала. Обработав последовательность, состоящую из большого количества значений, Бенуа перенес результаты на график. Вот что он получил.

Впоследствии это изображение было раскрашено (например, один из способов окрашивания цветом — по числу итераций) и стало одним из самых популярных изображений, какие только были созданы человеком.

Как гласит древнее изречение, приписываемое Гераклиту Эфесскому, «В одну и ту же реку нельзя войти дважды». Оно как нельзя лучше подходит для трактования геометрии фракталов. Как бы детально мы ни рассматривали фрактальное изображение, мы все время будем видеть схожий рисунок.

Желающие посмотреть, как будет выглядеть изображение пространства Мандельброта при многократном увеличении, могут сделать это, загрузив анимационный GIF .

⇡ Лорен Карпентер: искусство, созданное природой

Теория фракталов скоро нашла практическое применение. Поскольку она тесно связана с визуализацией самоподобных образов, неудивительно, что первыми, кто взял на вооружение алгоритмы и принципы построения необычных форм, были художники.

Будущий сооснователь легендарной студии Pixar Лорен Карпентер (Loren C. Carpenter) в 1967 году начал работать в компании Boeing Computer Services, которая была одним из подразделений известной корпорации, занимающейся разработкой новых самолетов.

В 1977 году он создавал презентации с прототипами летающих моделей. В обязанности Лорена входила разработка изображений проектируемых самолетов. Он должен был создавать картинки новых моделей, показывая будущие самолеты с разных сторон. В какой-то момент в голову будущему основателю Pixar Animation Studios пришла в голову креативная идея использовать в качестве фона изображение гор. Сегодня такую задачу может решить любой школьник, но в конце семидесятых годов прошлого века компьютеры не могли справиться со столь сложными вычислениями — графических редакторов не было, не говоря уже о приложениях для трехмерной графики. В 1978 году Лорен случайно увидел в магазине книгу Бенуа Мандельброта «Фракталы: форма, случайность и размерность». В этой книге его внимание привлекло то, что Бенуа приводил массу примеров фрактальных форм в реальной жизни и доказывал, что их можно описать математическим выражением.

Такая аналогия была выбрана математиком не случайно. Дело в том, что как только он обнародовал свои исследования, ему пришлось столкнуться с целым шквалом критики. Главное, в чем упрекали его коллеги, — бесполезность разрабатываемой теории. «Да, — говорили они, — это красивые картинки, но не более. Практической ценности теория фракталов не имеет». Были также те, кто вообще считал, что фрактальные узоры — просто побочный результат работы «дьявольских машин», которые в конце семидесятых многим казались чем-то слишком сложным и неизученным, чтобы всецело им доверять. Мандельброт пытался найти очевидное применение теории фракталов, но, по большому счету, ему и не нужно было это делать. Последователи Бенуа Мандельброта в следующие 25 лет доказали огромную пользу от подобного «математического курьеза», и Лорен Карпентер был одним из первых, кто опробовал метод фракталов на практике.

Проштудировав книжку, будущий аниматор серьезно изучил принципы фрактальной геометрии и стал искать способ реализовать ее в компьютерной графике. Всего за три дня работы Лорен смог визуализировать реалистичное изображение горной системы на своем компьютере. Иными словами, он с помощью формул нарисовал вполне узнаваемый горный пейзаж.

Принцип, который использовал Лорен для достижения цели, был очень прост. Он состоял в том, чтобы разделять более крупную геометрическую фигуру на мелкие элементы, а те, в свою очередь, делить на аналогичные фигуры меньшего размера.

Используя более крупные треугольники, Карпентер дробил их на четыре мелких и затем повторял эту процедуру снова и снова, пока у него не получался реалистичный горный ландшафт. Таким образом, ему удалось стать первым художником, применившим в компьютерной графике фрактальный алгоритм для построения изображений. Как только стало известно о проделанной работе, энтузиасты по всему миру подхватили эту идею и стали использовать фрактальный алгоритм для имитации реалистичных природных форм.

Одна из первых визуализаций 3D по фрактальному алгоритму

Всего через несколько лет свои наработки Лорен Карпентер смог применить в куда более масштабном проекте. Аниматор создал на их основе двухминутный демонстрационный ролик Vol Libre, который был показан на Siggraph в 1980 году. Это видео потрясло всех, кто его видел, и Лоурен получил приглашение от Lucasfilm.

Анимация рендерилась на компьютере VAX-11/780 от Digital Equipment Corporation с тактовой частотой пять мегагерц, причем прорисовка каждого кадра занимала около получаса.

Работая для Lucasfilm Limited, аниматор создавал по той же схеме трехмерные ландшафты для второго полнометражного фильма саги Star Trek. В фильме «Гнев Хана» (The Wrath of Khan) Карпентер смог создать целую планету, используя тот же самый принцип фрактального моделирования поверхности.

В настоящее время все популярные приложения для создания трехмерных ландшафтов используют аналогичный принцип генерирования природных объектов. Terragen, Bryce, Vue и прочие трехмерные редакторы полагаются на фрактальный алгоритм моделирования поверхностей и текстур.

⇡ Фрактальные антенны: лучше меньше, да лучше

За последние полвека жизнь стремительно стала меняться. Большинство из нас принимает достижения современных технологий как должное. Ко всему, что делает жизнь более комфортной, привыкаешь очень быстро. Редко кто задается вопросами «Откуда это взялось?» и «Как оно работает?». Микроволновая печь разогревает завтрак — ну и прекрасно, смартфон дает возможность поговорить с другим человеком — отлично. Это кажется нам очевидной возможностью.

Но жизнь могла бы быть совершенно иной, если бы человек не искал объяснения происходящим событиям. Взять, например, сотовые телефоны. Помните выдвижные антенны на первых моделях? Они мешали, увеличивали размеры устройства, в конце концов, часто ломались. Полагаем, они навсегда канули в Лету, и отчасти виной тому… фракталы.

Фрактальные рисунки завораживают своими узорами. Они определенно напоминают изображения космических объектов — туманностей, скопления галактик и так далее. Поэтому вполне закономерно, что, когда Мандельброт озвучил свою теорию фракталов, его исследования вызвали повышенный интерес у тех, кто занимался изучением астрономии. Один из таких любителей по имени Натан Коэн (Nathan Cohen) после посещения лекции Бенуа Мандельброта в Будапеште загорелся идеей практического применения полученных знаний. Правда, сделал он это интуитивно, и не последнюю роль в его открытии сыграл случай. Будучи радиолюбителем, Натан стремился создать антенну, обладающую как можно более высокой чувствительностью.

Единственный способ улучшить параметры антенны, который был известен на то время, заключался в увеличении ее геометрических размеров. Однако владелец жилья в центре Бостона, которое арендовал Натан, был категорически против установки больших устройств на крыше. Тогда Натан стал экспериментировать с различными формами антенн, стараясь получить максимальный результат при минимальных размерах. Загоревшись идеей фрактальных форм, Коэн, что называется, наобум сделал из проволоки один из самых известных фракталов — «снежинку Коха». Шведский математик Хельге фон Кох (Helge von Koch) придумал эту кривую еще в 1904 году. Она получается путем деления отрезка на три части и замещения среднего сегмента равносторонним треугольником без стороны, совпадающей с этим сегментом. Определение немного сложное для восприятия, но на рисунке все ясно и просто.

Существуют также другие разновидности «кривой Коха», но примерная форма кривой остается похожей

Когда Натан подключил антенну к радиоприемному устройству, он был очень удивлен — чувствительность резко увеличилась. После серии экспериментов будущий профессор Бостонского университета понял, что антенна, сделанная по фрактальному рисунку, имеет высокий КПД и покрывает гораздо более широкий частотный диапазон по сравнению с классическими решениями. Кроме того, форма антенны в виде кривой фрактала позволяет существенно уменьшить геометрические размеры. Натан Коэн даже вывел теорему, доказывающую, что для создания широкополосной антенны достаточно придать ей форму самоподобной фрактальной кривой.

Автор запатентовал свое открытие и основал фирму по разработке и проектированию фрактальных антенн Fractal Antenna Systems , справедливо полагая, что в будущем благодаря его открытию сотовые телефоны смогут избавиться от громоздких антенн и станут более компактными.

В принципе, так и произошло. Правда, и по сей день Натан ведет судебную тяжбу с крупными корпорациями, которые незаконно используют его открытие для производства компактных устройств связи. Некоторые известные производители мобильных устройств, как, например, Motorola, уже пришли к мирному соглашению с изобретателем фрактальной антенны.

⇡ Фрактальные измерения: умом не понять

Этот вопрос Бенуа позаимствовал у знаменитого американского ученого Эдварда Каснера.

Последний, как и многие другие известные математики, очень любил общаться с детьми, задавая им вопросы и получая неожиданные ответы. Иногда это приводило к удивительным последствиям. Так, например, девятилетний племянник Эдварда Каснера придумал хорошо всем известное теперь слово «гугол», обозначающее единицу со ста нулями. Но вернемся к фракталам. Американский математик любил задавать вопрос, какова длина береговой линии США. Выслушав мнение собеседника, Эдвард сам говорил правильный ответ. Если измерять длину по карте ломаными отрезками, то результат окажется неточным, ведь береговая линия имеет большое количество неровностей. А что будет, если измерять максимально точно? Придется учитывать длину каждой неровности — нужно будет измерять каждый мыс, каждую бухту, скалу, длину скалистого уступа, камня на ней, песчинки, атома и так далее. Поскольку число неровностей стремится к бесконечности, измеренная длина береговой линии будет при измерении каждой новой неровности увеличиваться до бесконечности.

Чем меньше мера при измерении, тем больше измеряемая длина

Интересно, что, следуя подсказкам Эдварда, дети намного быстрее взрослых говорили правильное решение, в то время как у последних были проблемы с принятием такого невероятного ответа.

На примере этой задачи Мандельброт предложил использовать новый подход к измерениям. Поскольку береговая линия близка к фрактальной кривой, значит, к ней можно применить характеризующий параметр — так называемую фрактальную размерность.

Что такое обычная размерность — понятно любому. Если размерность равна единице, мы получаем прямую, если два — плоскую фигуру, три — объем. Однако такое понимание размерности в математике не срабатывает с фрактальными кривыми, где этот параметр имеет дробное значение. Фрактальную размерность в математике можно условно рассматривать как «неровность». Чем выше неровность кривой, тем больше ее фрактальная размерность. Кривая, обладающая, по Мандельброту, фрактальной размерностью выше ее топологической размерности, имеет аппроксимированную протяженность, которая не зависит от количества измерений.

В настоящее время ученые находят все больше и больше областей для применения теории фракталов. С помощью фракталов можно анализировать колебания котировок на бирже, исследовать всевозможные естественные процессы, как, например, колебание численности видов, или моделировать динамику потоков. Фрактальные алгоритмы могут быть использованы для сжатия данных, например для компрессии изображений. И кстати, чтобы получить на экране своего компьютера красивый фрактал, не обязательно иметь докторскую степень.

⇡ Фрактал в браузере

Пожалуй, один из самых простых способов получить фрактальный узор — воспользоваться онлайновым векторным редактором от молодого талантливого программиста Toby Schachman . В основе инструментария этого простого графического редактора лежит все тот же принцип самоподобия.

В вашем распоряжении имеется всего две простейших формы — четырехугольник и круг. Вы можете добавлять их на холст, масштабировать (чтобы масштабировать вдоль одной из осей, удерживайте клавишу Shift) и вращать. Перекрываясь по принципу булевых операций сложения, эти простейшие элементы образуют новые, менее тривиальные формы. Далее эти новые формы можно добавлять в проект, а программа будет повторять генерирование этих изображений до бесконечности. На любом этапе работы над фракталом можно возвращаться к любой составляющей сложной формы и редактировать ее положение и геометрию. Увлекательное занятие, особенно если учесть, что единственный инструмент, который вам нужен для творчества, — браузер. Если вам будет непонятен принцип работы с этим рекурсивным векторным редактором, советуем вам посмотреть видео на официальном сайте проекта, на котором подробно показывается весь процесс создания фрактала.

⇡ XaoS: фракталы на любой вкус

Многие графические редакторы имеют встроенные средства для создания фрактальных узоров. Однако эти инструменты обычно являются второстепенными и не позволяют выполнить тонкую настройку генерируемого фрактального узора. В тех случаях, когда необходимо построить математически точный фрактал, на помощь придет кроссплатформенный редактор XaoS . Эта программа дает возможность не только строить самоподобное изображение, но и выполнять с ним различные манипуляции. Например, в режиме реального времени вы можете совершить «прогулку» по фракталу, изменив его масштаб. Анимированное движение вдоль фрактала можно сохранить в виде файла XAF и затем воспроизвести в самой программе.

XaoS может загружать случайный набор параметров, а также использовать различные фильтры постобработки изображения — добавлять эффект смазанного движения, сглаживать резкие переходы между точками фрактала, имитировать 3D-картинку и так далее.

⇡ Fractal Zoomer: компактный фрактальный генератор

По сравнению с другими генераторами изображений фракталов имеет несколько преимуществ. Во-первых, он совсем небольшой по размеру и не требует установки. Во-вторых, в нем реализована возможность определять цветовую палитру рисунка. Вы можете выбирать оттенки в цветовых моделях RGB, CMYK, HVS и HSL.

Также очень удобно использовать опцию случайного подбора цветовых оттенков и функцию инвертирования всех цветов на картинке. Для настройки цвета имеется функция цикличного перебора оттенков — при включении соответствующего режима программа анимирует изображение, циклично меняя на нем цвета.

Fractal Zoomer может визуализировать 85 различных фрактальных функций, причем в меню программы наглядно показываются формулы. Фильтры для постобработки изображения в программе имеются, хотя и в небольшом количестве. Каждый назначенный фильтр можно в любой момент отменить.

⇡ Mandelbulb3D: редактор трехмерных фракталов

Когда употребляется термин «фрактал», чаще всего подразумевается плоское двухмерное изображение. Однако фрактальная геометрия выходит за рамки 2D-измерения. В природе можно найти как примеры плоских фрактальных форм, скажем, геометрию молнии, так и трехмерные объемные фигуры. Фрактальные поверхности могут быть трехмерными, и одна из очень наглядных иллюстраций 3D-фракталов в повседневной жизни — кочан капусты. Наверное, лучше всего фракталы можно разглядеть в сорте романеско — гибриде цветной капусты и брокколи.

А еще этот фрактал можно съесть

Создавать трехмерные объекты с похожей формой умеет программа Mandelbulb3D . Чтобы получить трехмерную поверхность с использованием фрактального алгоритма, авторы данного приложения, Дениэл Уайт (Daniel White) и Пол Ниландер (Paul Nylander), преобразовали множество Мандельброта в сферические координаты. Созданная ими программа Mandelbulb3D представляет собой самый настоящий трехмерный редактор, который моделирует фрактальные поверхности разных форм. Поскольку в природе мы часто наблюдаем фрактальные узоры, то искусственно созданный фрактальный трехмерный объект кажется невероятно реалистичным и даже «живым».

Он может походить на растение, может напоминать странное животное, планету или что-нибудь другое. Этот эффект усиливается благодаря продвинутому алгоритму визуализации, который дает возможность получать реалистичные отражения, просчитывать прозрачность и тени, имитировать эффект глубины резкости и так далее. В Mandelbulb3D имеется огромное количество настроек и параметров визуализации. Можно управлять оттенками источников света, выбирать фон и уровень детализации моделируемого объекта.

Фрактальный редактор Incendia поддерживает двойное сглаживание изображения, содержит библиотеку из полусотни различных трехмерных фракталов и имеет отдельный модуль для редактирования базовых форм.

Приложение использует фрактальный скриптинг, с помощью которого можно самостоятельно описывать новые типы фрактальных конструкций. В Incendia есть редакторы текстур и материалов, а движок визуализации позволяет использовать эффекты объемного тумана и различные шейдеры. В программе реализована опция сохранения буфера при длительном рендеринге, поддерживается создание анимации.

Incendia позволяет экспортировать фрактальную модель в популярные форматы трехмерной графики — OBJ и STL. В состав Incendia включена небольшая утилита Geometrica — специальный инструмент для настройки экспорта фрактальной поверхности в трехмерную модель. С помощью этой утилиты можно определять разрешение 3D-поверхности, указывать число фрактальных итераций. Экспортированные модели могут быть использованы в 3D-проектах при работе с такими трехмерными редакторами, как Blender, 3ds max и прочие.

В последнее время работа над проектом Incendia несколько затормозилась. На данный момент автор ищет спонсоров, которые помогли бы ему развивать программу.

Если вам не хватает фантазии нарисовать в этой программе красивый трехмерный фрактал — не беда. Воспользуйтесь библиотекой параметров, которая находится в папке INCENDIA_EX\parameters. С помощью файлов PAR вы сможете быстро найти самые необычные фрактальные формы, в том числе и анимированные.

⇡ Aural: как поют фракталы

Мы обычно не рассказываем о проектах, работа над которыми только ведется, однако в данном случае мы должны сделать исключение, уж очень это необычное приложение. Проект под названием Aural придумал тот же человек, что и Incendia. Правда, на этот раз программа не визуализирует фрактальное множество, а озвучивает его, превращая в электронную музыку. Идея очень любопытная, особенно если учесть необычные свойства фракталов. Aural — это аудиоредактор, генерирующий мелодии с использованием фрактальных алгоритмов, то есть, по сути, это звуковой синтезатор-секвенсор.

Последовательность звуков, выдаваемая этой программой, необычна и… красива. Она вполне может пригодиться для написания современных ритмов и, как нам кажется, особенно хорошо подходит для создания звуковых дорожек к заставкам телевизионных и радиопередач, а также «петель» фоновой музыки к компьютерным играм. Рамиро пока не предоставил демонстрационной версии своей программы, но обещает, что, когда он это сделает, для того, чтобы работать с Aural, не нужно будет изучать теорию фракталов — достаточно просто поиграться с параметрами алгоритма генерирования последовательности нот. Послушать, как звучат фракталы, и .

Фракталы: музыкальная пауза

Вообще-то фракталы могут помочь написать музыку даже без программного обеспечения. Но это может сделать только тот, кто по-настоящему проникнут идеей природной гармонии и при этом не превратился в несчастного «ботана». Тут есть смысл брать пример с музыканта по имени Джонатан Колтон (Jonathan Coulton), который, помимо всего прочего, пишет композиции для журнала Popular Science. И не в пример другим исполнителям, Колтон все свои произведения публикует под лицензией Creative Commons Attribution-Noncommercial, которая (при использовании в некоммерческих целях) предусматривает свободное копирование, распространение, передачу произведения другим лицам, а также его изменение (создание производных произведения), чтобы приспособить его к своим задачам.

У Джонатана Колтона, конечно же, есть песня про фракталы.

⇡ Заключение

Во всем, что нас окружает, мы часто видим хаос, но на самом деле это не случайность, а идеальная форма, разглядеть которую нам помогают фракталы. Природа — лучший архитектор, идеальный строитель и инженер. Она устроена очень логично, и если где-то мы не видим закономерности, это означает, что ее нужно искать в другом масштабе. Люди все лучше и лучше это понимают, стараясь во многом подражать естественным формам. Инженеры проектируют акустические системы в виде раковины, создают антенны с геометрией снежинок и так далее. Уверены, что фракталы хранят в себе еще немало секретов, и многие из них человеку еще лишь предстоит открыть.

Как стало ясно в последние десятилетия (в связи с развитием теории самоорганизации), самоподобие встречается в самых разных предметах и явлениях. Например, самоподобие можно наблюдать в ветках деревьев и кустарников, при делении оплодотворенной зиготы, снежинках, кристаллах льда, при развитии экономических систем, в строении горных систем, облаков.

Все перечисленные объекты и другие, подобные им по своей структуре являются фрактальными. То есть они обладают свойствами самоподобия, или масштабной инвариантности. А это значит, что некоторые фрагменты их структуры строго повторяются через определенные пространственные промежутки. Очевидно, что эти объекты могут иметь любую природу, причем их вид и форма остаются неизменными независимо от масштаба. И в природе, и в обществе на достаточно больших масштабах происходит самоповторение. Так, облако повторяет свою клочковатую структуру от 10 4 м (10 км) до 10 -4 м (0,1 мм). Ветвистость повторяется у деревьев от 10 -2 до 10 2 м. Разрушающиеся материалы, порождающие трещины, также повторяют свое самоподобие на нескольких масштабах. Снежинка, упавшая на руку, тает. В период таяния, перехода от одной фазы к другой снежинка-капля также - фрактал.

Фрактал- это объект, обладающий бесконечной сложностью, позволяющий вблизи рассмотреть не меньше деталей, чем издалека. Классический пример тому - Земля. Из космоса она выглядит как шар. Приближаясь к ней, мы обнаружим океаны, континенты, побережья и цепи гор. Позднее взору предстанут более мелкие детали: кусочек земли на поверхности горы, столь же сложный и неровный, как сама гора. Потом покажутся крошечные частички грунта, каждая из которых сама является фрактальным объектом

Фрактал является нелинейной структурой, сохраняющей самоподобие при бесконечном увеличении или уменьшении масштаба. Только на малых длинах нелинейность переходит в линейность. Это особенно ярко проявляется в математической процедуре дифференцирования.

Таким образом, можно сказать, что фракталы как модели применяются в том случае, когда реальный объект нельзя представить в виде классических моделей. А это значит, что мы имеем дело с нелинейными связями и недетерминированной природой данных. Нелинейность в мировоззренческом смысле означает многовариантность путей развития, наличие выбора из альтернатив путей и определенного темпа эволюции, а также необратимость эволюционных процессов. В математическом смысле нелинейность - это определенный вид математических уравнений (нелинейные дифференциальные уравнения), содержащих искомые величины в степенях, больше единицы или коэффициенты, зависящие от свойств среды. То есть, когда мы применяем классические модели (например, трендовые, регрессионные и т. д.), мы говорим, что будущее объекта однозначно детерминированное. И мы можем предсказать его, зная прошлое объекта (исходные данные для моделирования). А фракталы применяются в том случае, когда объект имеет несколько вариантов развития и состояние системы определяется положением, в котором она находится на данный момент. То есть мы пытаемся смоделировать хаотичное развитие.

Когда говорят о детерминированности некой системы, имеют в виду, что ее поведение характеризуется однозначной причинно-следственной связью. То есть, зная начальные условия и закон движения системы, можно точно предсказать ее будущее. Именно такое представление о движении во Вселенной характерно для классической, ньютоновской динамики. Хаос же, напротив, подразумевает беспорядочный, случайный процесс, когда ход событий нельзя ни предсказать, ни воспроизвести.

Хаос порождается собственной динамикой нелинейной системы - ее свойством экспоненциально быстро разводить сколь угодно близкие траектории. В результате форма траекторий очень сильно зависит от начальных условий. При исследовании систем, которые, на первый взгляд, развиваются хаотически, часто пользуются теорией фракталов, т.к. именно этот подход позволяет увидеть некую закономерность в возникновении "случайных" отклонений в развитии системы.

Изучение естественных фрактальных структур дает нам возможность глубже понять процессы самоорганизации и развития нелинейных систем. Мы уже выяснили, что естественные фракталы самых различных, извилистых линий встречаются повсюду вокруг нас. Это берег моря, деревья, облака, разряд молнии, структура металла, нервная или сосудистая система человека. Эти замысловатые линии и шероховатые поверхности оказались в поле зрения научных исследований, потому что природа демонстрировала нам совершенно другой уровень сложности, нежели в идеальных геометрических системах. Изучаемые структуры в пространственно-временном отношении оказались самоподобными. Они бесконечно самовоспроизводились и повторяли себя в различных масштабах длин и времени. Любой нелинейных процесс в конечном итоге приводит к развилке. Система в таком случае, в точке ветвления, выбирает тот или иной путь. Траектория развития системы будет выглядеть в виде фрактала, то есть ломаной линии, форма которой может быть описана в виде ветвистого, запутанного пути, имеющего свою логику и закономерность.

Ветвление системы можно сравнить с ветвлением дерева, где каждая ветвь соответствует трети всей системы. Ветвление позволяет линейной структуре заполнить объемное пространство или, говоря точнее: фрактальная структура согласовывает различные пространства. Фрактал может расти, заполняя окружающее пространство, так же, как растет кристалл в пересыщенном растворе. При этом характер ветвления будет связан не со случайностью, а с определенной закономерностью.

Фрактальная структура самоподобно повторяется и на других уровнях, на более высоком уровне организации жизни человека, например на уровне самоорганизации коллектива или команды. Самоорганизация сетей и форм переходит с микроуровня на макроуровень. В совокупности они представляют собой целостное единство, где по части можно судить о целом. В данной курсовой работе как пример рассматриваются фрактальные свойства социальных процессов, что говорит об универсальности теории фракталов и ее лояльности к разным областям науки.

Делается вывод, что фрактал - это способ организованного взаимодействия пространств различной размерности и природы. К вышесказанному следует добавить, что не только пространственного, но и временного. Тогда даже человеческий мозг и нейронные сети будут представлять собой фрактальную структуру.

Природа очень любит фрактальные формы. Фрактальный объект обладает расползающейся, разряженной структурой. При наблюдении таких объектов с возрастающим увеличением можно видеть, что они проявляют повторяющийся на разных уровнях рисунок. Мы уже говорили о том, что фрактальный объект может выглядеть совершенно одинаково независимо от того, наблюдаем ли мы его в метровом, миллиметровом или микронном (1:1 000 000 доли метра масштабе). Свойство симметрии фрактальных объектов проявляется в инвариантности по отношению к масштабу. Фракталы симметричны относительно центра растяжения или изменения масштаба так же, как круглые тела симметричны относительно оси вращения.

Обожаемый образ нелинейной динамики - фрактальные структуры, у которых с изменением масштаба описание строится по одному и тому же правилу. В реальной жизни реализация этого принципа возможна с небольшими вариациями. Например, в физике при переходе с уровня на уровень (от атомных процессов к ядерным, от ядерных к элементарным частицам) меняются закономерности, модели, способы описания. То же самое мы наблюдаем в биологии (уровень популяции организма, ткани, клетки и т.д.) Будущее синергетики зависит от того, в какой мере нелинейной науке удастся помочь в описании этой структурной неоднородности и разных "межуровневых" явлений. В настоящее время большинство научных дисциплин не имеет надежных фрактальных концептуальных моделей.

Сегодня разработки в рамках теории фракталов ведутся в любой частной науке - физике, социологии, психологии, лингвистике и т.п. Тогда и общество, и социальные институты, и язык, и даже мысль - фракталы.

В дискуссиях, развернувшихся в последние годы среди ученых и философов вокруг концепции фракталов, наиболее спорный вопрос состоит в следующем: можно ли говорить об универсальности фракталов, о том, что каждый объект природы содержит фрактал или проходит фрактальную стадию? Сложились две группы ученых, отвечающих на данный вопрос прямо противоположным образом. Первая группа ("радикалы", новаторы) поддерживает тезис об универсальности фракталов. Вторая группа ("консерваторы") отрицает этот тезис, но все же утверждает, что не каждый объект Природы имеет фрактал, но в каждой области Природы можно найти фрактал.

Современная наука достаточно успешно адаптировала теорию фракталов для разных областей знания. Так, в экономике теория фракталов используется при техническом анализе финансовых рынков, которые существуют в развитых странах мира уже не одну сотню лет. Впервые возможность прогнозировать дальнейшее поведение цены на акции, если известно ее направление за какой-то последний период, заметил Ч. Доу. В девяностых годах XIX в, опубликовав ряд статей, Доу заметил, что цены на акции подвержены циклическим колебаниям: после продолжительного роста следует продолжительное падение, потом опять рост и падение.

В середине XX века, когда весь научный мир увлекался только что появившейся теорией фракталов, другой известный американский финансист Р. Эллиот предложил свою теорию поведения цен на акции, которая была основана на использовании теории фракталов. Эллиот исходил из того, что геометрия фракталов имеет место быть не только в живой природе, но и в общественных процессах. К общественным процессам он относил и торговлю акциями на бирже.

Основой теории служит так называемая волновая диаграмма. Эта теория позволяет прогнозировать дальнейшее поведение тренда цены, основываясь на знании предыстории его поведения и следуя правилам развития массового психологического поведения.

Теория фракталов нашла применение и в биологии. Фрактальную природу, некоторое ее подобие, имеют многие, если не все, биологические структуры и системы растений, животных и человека: нервная система, система легких, кровеносная и лимфатическая системы и т.д. Появились данные, что развитие злокачественной опухоли так же идет по фрактальному принципу. Учитывая принцип самоафинности и конгруэнтности фрактала можно объяснить ряд трудноразрешимых проблем эволюции органического мира. Для фрактальных объектов так же характерна такая особенность, как проявление комплементарности. Комплементарность в биохимии -- взаимное соответствие в химическом строении двух макромолекул, обеспечивающее их взаимодействие -- спаривание двух нитей ДНК, соединение фермента с субстратом, антигена с антителом. Комплементарные структуры подходят друг к другу как ключ к замку (Энциклопедия Кирилла и Мефодия). Этим свойством обладают полинуклеотидные цепи ДНК.

Одни из наиболее мощных приложений фракталов лежат в компьютерной графике. Во-первых, это фрактальное сжатие изображений, и во-вторых построение ландшафтов, деревьев, растений и генерирование фрактальных текстур. При этом для сжатия, записи информации необходимо самоподобное увеличение фрактала, а для ее считывания соответственно - самоподобное увеличение.

Достоинства алгоритмов фрактального сжатия изображений - очень маленький размер упакованного файла и малое время восстановления картинки. Фрактально упакованные картинки можно масштабировать без появления пикселизации. Но процесс сжатия занимает продолжительное время и иногда длится часами. Алгоритм фрактальной упаковки с потерей качества позволяет задать степень сжатия, аналогично формату jpeg. В основе алгоритма лежит поиск больших частей изображения подобных некоторым маленьким частям. И в выходной файл записывается только информация о подобии одной части другой. При сжатии обычно используют квадратную сетку (кусочки - квадраты), что приводит к небольшой угловатости при восстановлении картинки, шестиугольная сетка лишена такого недостатка.

Среди литературных произведений находят такие, которые обладают текстуальной, структурной или семантической фрактальной природой. В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста. К текстуальным фракталам относятся неразветвляющееся бесконечное дерево, тождественные самим себе с любой итерации ("У попа была собака…", "Притча о философе, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится…", "Ложно утверждение, что истинно утверждение, что ложно утверждение…"); неразветвляющиеся бесконечные тексты с вариациями ("У Пегги был веселый гусь…") и тексты с наращениями ("Дом, который построил Джек").

В структурных фракталах схема текста потенциально фрактальна. Тексты, обладающие такой структурой, стрятся по следующим принципам: венок сонетов (15 стихотворений), венок венков сонетов (211 стихотворений), венок венков венков сонетов (2455 стихотворений); "рассказы в рассказе" ("Книга тысячи и одной ночи", Я.Потоцкий "Рукопись, найденная в Сарагоссе"); предисловия, скрывающие авторство (У.Эко "Имя розы").

Всем здравствуйте! Меня зовут,Рибенек Валерия, г.Ульяновск и сегодня я выложу несколько своих научных статей на сайте ЛКИ.

Первая моя научная статья в этом блоге будет посвящена фракталам . Скажу сразу, что мои статьи рассчитаны почти на любую аудиторию. Т.е. они, надеюсь, будут интересны, как школьникам, так и студентам.

Недавно я узнала о таких интереснейших объектах математического мира как фракталы. Но существуют они не только в математике. Они окружают нас повсюду. Фракталы бывают природные. О том, что такое фракталы, о видах фракталов, о примерах этих объектов и их применении я и расскажу в этой статье. Для начала кратко расскажу, что такое фрактал.

Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — это сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре в целиком. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической. Для примера я вставлю картинку с изображением четырех разных фракталов.

Расскажу немного об истории фракталов. Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово «фрактал» было введено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта The Fractal Geometry of Nature. В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

Примеров фракталов можно привести массу, потому что, как и говорила, они окружают нас повсюду. По-моему, даже вся наша Вселенная — это один огромный фрактал. Ведь все в ней, от строения атома до строения самой Вселенной, в точности повторяет друг друга. Но есть, конечно, и более конкретные примеры фракталов из разных областей. Фракталы, к примеру, присутствуют в комплексной динамике. Там они естественным образом появляются при изучении нелинейных динамических систем . Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функцией комплекса переменных на плоскости. Одними из самых известных фракталов такого вида являются множество Жюлиа, множество Мандельброта и бассейны Ньютона. Ниже по порядку на картинки изображены каждый из вышеперечисленных фракталов.

Еще одним примером фракталов являются фрактальные кривые. Объяснить, как строиться фрактал лучше всего именно на примере фрактальных кривых. Одной из таких кривых является, так называемая, Снежинка Коха. Существует простая процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. Ниже показана Снежинка (или кривая) Коха.

Фрактальных кривых так же существует огромное множество. Самые известные из них — это, уже упомянутая, Снежинка Коха, а также кривая Леви, кривая Минковского, ломанная Дракона, кривая Пиано и дерево Пифагора. Изображение данных фракталов и их историю, я думаю, при желании вы легко сможете найти в Википедии.

Третьим примером или видом фракталов являются стохастические фракталы. К таким фракталам можно отнести траекторию броуновского движения на плоскости и в пространстве, эволюции Шрамма-Лёвнера, различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр.

Существуют так же чисто математические фракталы. Это, например, канторово множество, губка Менгера, Треугольник Серпинского и другие.

Но самые, пожалуй, интересные фракталы — это природные. Природные фракталы — это такие объекты в природе, которые обладают фрактальными свойствами. И тут уже список большой. Я не буду перечислять все, потому что, наверное, всех и не перечислить, но о некоторых расскажу. Вот, к примеру, в живой природе к таким фракталам относятся наша кровеносная система и легкие. А еще кроны и листья деревьев. Так же сюда можно отнести морских звезд, морских ежей, кораллы, морские раковины, некоторые растения, такие как капуста или брокколи. Ниже наглядно показаны несколько таких природных фракталов из живой природы.

Если же рассматривать неживую природу, то там интересных примеров гораздо больше, нежели в живой. Молнии, снежинки, облака, всем известные, узоры на окнах в морозные дни, кристаллики, горные хребты — все это является примерами природных фракталов из неживой природы.

Примеры и виды фракталы мы рассмотрели. Что же касается применения фракталов, то они применяются в самых разных областях знаний. В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать ее при вычислении протяженности береговой линии. Так же фракталы активно используются в радиотехнике, в информатике и компьютерных технологиях, телекоммуникациях и даже экономике. Ну и, конечно же, фрактальное видение, активно используется в современном искусстве и архитектуре. Вот один из примеров фрактальных картин:

И так, на этом я думаю завершить свой рассказ о таком необычном математическом явлении как фрактал. Сегодня мы узнали о том, что такое фрактал, как он появился, о видах и о примерах фракталов. А так же я рассказала о их применении и продемонстрировала некоторые из фракталов наглядно. Надеюсь, вам понравилась эта небольшая экскурсия в мир удивительных и завораживающих фрактальных объектов.

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature". В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.
Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.
Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале. Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому".

Существует большое число математических объектов называемых фракталами (треугольник Серпинского, снежинка Коха, кривая Пеано, множество Мандельброта и лоренцевы аттракторы). Фракталы с большой точностью описывают многие физические явления и образования реального мира: горы, облака, турбулентные (вихревые) течения, корни, ветви и листья деревьев, кровеносные сосуды, что далеко не соответствует простым геометрическим фигурам. Впервые о фрактальной природе нашего мира заговорил Бенуа Мандельброт в своей основополагающей работе "Фрактальная геометрия природы" .
Термин фрактал введен Бенуа Мандельбротом в 1977 году в его фундаментальной работе "Фракталы, Форма, Хаос и Размерность" . Согласно Мандельброту, слово фрактал происходит от латинских слов fractus - дробный и frangere - ломать, что отражает суть фрактала, как "изломанного", нерегулярного множества.

Классификация фракталов.

Для того, чтобы представить все многообразие фракталов удобно прибегнуть к их общепринятой классификации. Существует три класса фракталов.

1. Геометрические фракталы.

Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры получается геометрический фрактал.

Рассмотрим на примере один из таких фрактальных объектов - триадную кривую Коха.

Построение триадной кривой Коха.

Возьмем прямолинейный отрезок длины 1. Назовем его затравкой . Разобьем затравку на три равные части длиной в 1/3, отбросим среднюю часть и заменим ее ломаной из двух звеньев длиной 1/3.

Мы получим ломаную, состоящую из 4 звеньев с общей длиной 4/3 , - так называем первое поколение .

Для того чтобы перейти к следующему поколению кривой Коха, надо у каждого звена отбросить и заменить среднюю часть. Соответственно длина второго поколения будет 16/9, третьего - 64/27. если продолжить этот процесс до бесконечности, то в результате получится триадная кривая Коха.

Рассмотрим теперь св-ва триадной кривой Коха и выясним, почему же фракталы называли «монстрами».

Во-первых, эта кривая не имеет длины - как мы убедились, с числом поколений ее длина стремится к бесконечности.

Во-вторых, к этой кривой невозможно построить касательную - каждая ее точка является точкой перегиба, в которой производная не существует, - эта кривая не гладкая.

Длина и гладкость - фундаментальные св-ва кривых, которые изучаются как евклидовой геометрией, так и геометрией Лобачевского, Римана. К триадной кривой Коха традиционные методы геометрического анализа оказались неприменимы, поэтому кривая Коха оказалась чудовищем - «монстром» среди гладких обитателей традиционных геометрий.

Построение "дракона" Хартера-Хейтуэя.

Для получения другого фрактального объекта нужно изменить правила построения. Пусть образующим элементом будут два равных отрезка, соединенных под прямым углом. В нулевом поколении заменим единичный отрезок на этот образующий элемент так, чтобы угол был сверху. Можно сказать, что при такой замене происходит смещение середины звена. При построении следующих поколений выполняется правило: самое первое слева звено заменяется на образующий элемент так, чтобы середина звена смещалась влево от направления движения, а при замене следующих звеньев, направления смещения середин отрезков должны чередоваться. На рисунке представлены несколько первых поколений и 11-е поколение кривой, построенной по вышеописанному принципу. Кривая, при n стремящемуся к бесконечности, называется драконом Хартера-Хейтуэя.
В машинной графике использование геометрических фракталов необходимо при получении изображений деревьев, кустов. Двухмерные геометрические фракталы используются для создания объемных текстур (рисунка на поверхности объекта).

2.Алгебраические фракталы

Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс, как дискретную динамическую систему, можно пользоваться терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д.
Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят - аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.

Множество Мандельброта.

В качестве примера рассмотрим множество Мандельброта. Алгоритм его построения достаточно прост и основан на простом итеративном выражении: Z = Z[i] * Z[i] + C , где Zi и C - комплексные переменные. Итерации выполняются для каждой стартовой точки с прямоугольной или квадратной области - подмножестве комплексной плоскости. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока Z[i] не выйдет за пределы окружности радиуса 2, центр которой лежит в точке (0,0), (это означает, что аттрактор динамической системы находится в бесконечности), или после достаточно большого числа итераций (например 200-500) Z[i] сойдется к какой-нибудь точке окружности. В зависимости от количества итераций, в течении которых Z[i] оставалась внутри окружности, можно установить цвет точки C (если Z[i] остается внутри окружности в течение достаточно большого количества итераций, итерационный процесс прекращается и эта точка растра окрашивается в черный цвет).

3.Стохастические фракталы

Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе хаотически менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.
Существуют и другие классификации фракталов, например деление фракталов на детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерминированные (стохастические).

О применении фракталов

Прежде всего, фракталы - область удивительного математического искусства, когда с помощью простейших формул и алгоритмов получаются картины необычайной красоты и сложности! В контурах построенных изображений нередко угадываются листья, деревья и цветы.

Одни из наиболее мощных приложений фракталов лежат в компьютерной графике. Во-первых, это фрактальное сжатие изображений, и во-вторых построение ландшафтов, деревьев, растений и генерирование фрактальных текстур. Современная физика и механика только-только начинают изучать поведение фрактальных объектов. И, конечно же, фракталы применяются непосредственно в самой математике.
Достоинства алгоритмов фрактального сжатия изображений - очень маленький размер упакованного файла и малое время восстановления картинки. Фрактально упакованные картинки можно масштабировать без появления пикселизации. Но процесс сжатия занимает продолжительное время и иногда длится часами. Алгоритм фрактальной упаковки с потерей качества позволяет задать степень сжатия, аналогично формату jpeg. В основе алгоритма лежит поиск больших кусков изображения подобных некоторым маленьким кусочкам. И в выходной файл записывается только какой кусочек какому подобен. При сжатии обычно используют квадратную сетку (кусочки - квадраты), что приводит к небольшой угловатости при восстановлении картинки, шестиугольная сетка лишена такого недостатка.
Компанией Iterated разработан новый формат изображений "Sting", сочетающий в себе фрактальное и «волновое» (такое как в формате jpeg) сжатие без потерь. Новый формат позволяет создавать изображения с возможностью последующего высококачественного масштабирования, причем объем графических файлов составляет 15-20% от объема несжатых изображений.
Склонность фракталов походить на горы, цветы и деревья эксплуатируется некоторыми графическими редакторами, например фрактальные облака из 3D studio MAX, фрактальные горы в World Builder. Фрактальные деревья, горы и целые пейзажи задаются простыми формулами, легко программируются и не распадаются на отдельные треугольники и кубики при приближении.
Нельзя обойти стороной и применения фракталов в самой математике. В теории множеств множество Кантора доказывает существование совершенных нигде не плотных множеств, в теории меры самоаффинная функция "Канторова лестница" является хорошим примером функции распределения сингулярной меры.
В механике и физике фракталы используются благодаря уникальному свойству повторять очертания многих объектов природы. Фракталы позволяют приближать деревья, горные поверхности и трещины с более высокой точностью, чем приближения наборами отрезков или многоугольников (при том же объеме хранимых данных). Фрактальные модели, как и природные объекты, обладают "шероховатостью", и свойство это сохраняется при сколь угодно большом увеличении модели. Наличие на фракталах равномерной меры, позволяет применять интегрирование, теорию потенциала, использовать их вместо стандартных объектов в уже исследованных уравнениях.
При фрактальном подходе хаос перестает быть синимом беспорядка и обретает тонкую структуру. Фрактальная наука еще очень молода, и ей предстоит большое будущее. Красота фракталов далеко не исчерпана и еще подарит нам немало шедевров - тех, которые услаждают глаз, и тех, которые доставляют истинное наслаждение разуму.

О построении фракталов

Метод последовательных приближений

Глядя на эту картинку, нетрудно понять, как можно построить самоподобный фрактал (в данном случае пирамиду Серпинского). Нужно взять обычную пирамиду (тетраэдр), затем вырезать ее середину (октаэдр), в результате чего у нас получается четыре маленьких пирамидки. С каждой из них мы проделываем ту же самую операцию и т.д. Это несколько наивное, но наглядное объяснение.

Рассмотрим суть метода более строго. Пусть имеется некоторая IFS-система, т.е. система сжимающих отображений S ={S 1 ,...,S m } S i:R n ->R n (например, для нашей пирамидки отображения имеют вид S i (x)=1/2*x+o i , где o i - вершины тетраэдра, i=1,..,4). Затем выбираем некоторое компактное множество A 1 в R n (в нашем случае выбираем тетраэдр). И определяем по индукции последовательность множеств A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). Известно, что множества A k с ростом k, всё лучше приближают искомый аттрактор системы S .

Заметим, что каждая из этих итераций является аттрактором рекуррентной системы итерированных функций (английский термин Digraph IFS , RIFS и также Graph-directed IFS ) и поэтому их легко построить с помощью нашей программы.

Построение по точкам или вероятностный метод

Это наиболее лёгкий для реализации на компьютере метод. Для простоты рассмотрим случай плоского самоаффинного множества. Итак, пусть {S

} - некоторая система аффинных сжатий. Отображения S

представимые в виде: S

Фиксированная матрица размера 2x2 и o

Двумерный вектор столбец.

• Возьмем неподвижную точку первого отображения S 1 в качестве начальной точки:
  x:= o1;
  Здесь мы пользуемся тем, что все неподвижные точки сжатий S 1 ,..,S m принадлежат фракталу. В качестве начальной точки можно выбрать произвольную точку и порожденная ею последовательность точек стянется к фракталу, но тогда на экране появятся несколько лишних точек.
• Отметим текущую точку x=(x 1 ,x 2) на экране:
  putpixel(x 1 ,x 2 ,15);
• Выберем случайным образом число j от 1 до m и пересчитаем координаты точки x:
  j:=Random(m)+1;
  x:=S j (x);
• Переходим на шаг 2, либо, если сделали достаточно большое число итераций, то останавливаемся.

Примечание. Если коэффициенты сжатия отображений S i разные, то фрактал будет заполняться точками неравномерно. В случае, если отображения S i являются подобиями, этого можно избежать небольшим усложнением алгоритма. Для этого на 3-ем шаге алгоритма число j от 1 до m надо выбирать с вероятностями p 1 =r 1 s ,..,p m =r m s , где r i обозначают коэффициенты сжатия отображений S i , а число s (называемое размерностью подобия) находится из уравнения r 1 s +...+r m s =1. Решение этого уравнения можно найти, например, методом Ньютона.

О фракталах и их алгоритмах

Фрактал происходит от латинского прилагательного "fractus", и в переводе означает состоящий из фрагментов, а соответствующий латинский глагол "frangere" означает разбивать, то есть создавать неправильные фрагменты. Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Термин был предложен Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта «The Fractal Geometry of Nature» - «Фрактальная геометрия природы». В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф).

Коррективы

Позволю себе внести некоторые коррективы в алгоритмы предложенные в книге Х.-О. Пайтгена и П.Х.Рихтера "Красота фракталов" М. 1993 сугубо для искоренения опечаток иоблегчения понимания процессов поскольку после их изучения многое осталось для меня загадкой. К сожалению эти "понятные" и "простые" алгоритмы ведут качующий образ жизни.

В основе построения фракталов лежит некая нелинейная функция комплексного процесса с обратной связью z=> z 2 +c поскольку z и с -комплексные числа, то z=x+iy, c=p+iq необходимо разложить его на х и у чтобы перейти в более реальную для простого человека плоскость:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Плоскость, состоящая из всех пар (x,y), может рассматриваться, как при фиксированных значениях р и q , так и при динамических. В первом случае перебирая по закону все точки (х,у) плоскости и окрашивая их в зависимости от количества повторений функции необходимых для выхода из итерационного процесса или не окрашивая (черный цвет) при привышении допустимого максимума повторений мы получим отображение множества Жюлиа. Если, напротив, определить начальнуюя пару значений (x,y) и проследить ее колористическую судьбу при динамически изменяющихся значениях параметров p и q, то получаим изображения, называемые множествами Мандельброта.

К вопросу об алгоритмах раскраски фракталов.

Обычно тело множества представляют в виде черного поля, хотя очевидно, что черный цвет может быть заменен на любой другой, но это тоже мало интересный результат. Получить изображение множества раскрашенного во все цвета - задача которая не может решаться при помощи циклических операций т.к. количество итерации формирующих тело множества равно максимально возможному и всегда одно и тоже. Раскрасить множество в разные цвета возможно применив в качестве номера цвета результат проверки условия выхода из цикла (z_magnitude) или подобный ему, но с другими математическими действиями.

Применение "фрактального микроскопа"

для демонстрации пограничных явлений.

Аттракторы - центры ведущие борьбу за доминирование на плоскости. Между аттракторами возникает граница представляющая витееватый узор. Увеличивая масштаб рассмотрения в пределах границ множества можно получать нетривиальные узоры отражаюшие состояние детерминированного хаоса - обычного явления в мире природы.

Исследуемые географами объекты образуют систему с весьма сложно организованными границами, в связи с чем их проведение становится не простой практической задачей. Природные комплексы имеют ядра типичности выступающие в качестве аттракторов теряющих силу влияния на территорию по мере ее удаления.

Используя фрактальный микроскоп для множеств Мандельброта и Жюлиа можно сформировать представление о пограничных процессах и явлениях, одинаково сложных не зависимо от масштаба рассмотрения и таким образом подготовить восприятие специалиста к встрече с динамичным и на первый взгляд хаотичным в пространстве и времени природным объектом, к пониманию фрактальной геометрии природы. Многоцветие красок и фрактальная музыка определенно оставят глубокий след в сознании учащихся.

Фракталам посвящены тысячи публикаций и огромные ресурсы интернет, однако для многих специалистов далеких от информатики данный термин представляется абсолютно новым. Фракталы, как объекты представляющие интерес для специалистов различных отраслей знания, должны получить надлежащее место в курсе информатики.

Примеры

РЕШЕТКА СЕРПИНСКОГО

Это один из фракталов, с которыми экспериментировал Мандельброт, когда разрабатывал концепции фрактальных размерностей и итераций. Треугольники, сформированные соединением средних точек большего треугольника вырезаны из главного треугольника, образовывая треугольник, с большим количеством дырочек. В этом случае инициатор - большой треугольник а шаблон - операция вырезания треугольников, подобных большему. Так же можно получить и трехмерную версию треугольника, используя обыкновенный тетраэдр и вырезая маленькие тетраэдры. Размерность такого фрактала ln3/ln2 = 1.584962501. Чтобы получить ковер Серпинского , возьмем квадрат, разделим его на девять квадратов, а средний вырежем. То же сделаем и с остальными, меньшими квадратами. В конце концов образуется плоская фрактальная сетка, не имеющая площади, но с бесконечными связями. В своей пространственной форме, губка Серпинского преобразуется в систему сквозных форм, в которой каждый сквозной элемент постоянно заменяется себе подобным. Эта структура очень похожа на разрез костной ткани. Когда-нибудь такие повторяющиеся структуры станут элементом строительных конструкций. Их статика и динамика, считает Мандельброт, заслуживает пристального изучения.

КРИВАЯ КОХА

Кривая Коха один из самых типичных детерминированных фракталов. Она была изобретена в девятнадцатом веке немецким математиком по имени Хельге фон Кох, который, изучая работы Георга Контора и Карла Вейерштрассе, натолкнулся на описания некоторых странных кривых с необычным поведением. Инициатор - прямая линия. Генератор - равносторонний треугольник, стороны которого равны трети длины большего отрезка. Эти треугольники добавляются к середине каждого сегмента снова и снова. В своем исследовании, Мандельброт много экспериментировал с кривыми Коха, и получил фигуры такие как Острова Коха, Кресты Коха, Снежинки Коха и даже трехмерные представления кривой Коха, используя тетраэдр и прибавляя меньшие по размерам тетраэдры к каждой его грани. Кривая Коха имеет размерность ln4/ln3 = 1.261859507.

ФРАКТАЛ МАНДЕЛЬБРОТА

Это НЕ множество Мандельброта, которое можно достаточно часто видеть. Множество Мандельброта основано на нелинейных уравнениях и является комплексным фракталом. Это тоже вариант кривой Коха несмотря на то, что этот объект не похож на нее. Инициатор и генератор так же отличны от использованных для создания фракталов, основанных на принципе кривой Коха, но идея остается той же. Вместо того, чтобы присоединять равносторонние треугольники к отрезку кривой, квадраты присоединяются к квадрату. Благодаря тому, что этот фрактал занимает точно половину отведенного пространства при каждой итерации, он имеет простую фрактальную размерность 3/2 = 1.5.

ПЯТИУГОЛЬНИК ДАРЕРА

Фрактал выглядит как связка пятиугольников, сжатых вместе. Фактически он образован при использовании пятиугольника в качестве инициатора и равнобедренных треугольников, отношение большей стороны к меньшей в которых в точности равно так называемой золотой пропорции (1.618033989 или 1/(2cos72)) в качестве генератора. Эти треугольники вырезаются из середины каждого пятиугольника, в результате чего получается фигура, похожая на 5 маленьких пятиугольников, приклеенных к одному большому. Вариант этого фрактала можно получить при использовании в качестве инициатора шестиугольника. Этот фрактал называется Звезда Давида и он довольно похож на шестиугольную версию Снежинки Коха. Фрактальная размерность пятиугольника Дарера ln6/ln(1+g), где g - отношение длины большей стороны треугольника к длине меньшей. В данном случае, g - это Золотая Пропорция, так что фрактальная размерность приблизительно равна 1.86171596. Фрактальное измерение Звезды Давида ln6/ln3 или 1.630929754.

Сложные фракталы

Фактически, если вы увеличите маленькую область любого сложного фрактала а затем проделаете то же самое с маленькой областью этой области, то эти два увеличения будут значительно отличаться друг от друга. Два изображения будут очень похожи в деталях, но они не будут полностью идентичными.

Рис 1. Приближение множества Мандельброта

Сравните, например приведенные здесь картинки множества Мандельброта, одна из которых получена при увеличении некоторой области другой. Как видно, они абсолютно не являются идентичными, хотя на обоих мы видим черный круг, от которого в разные стороны идут пылающие щупальца. Эти элементы повторяются бесконечно долго во множестве Мандельброта в уменьшающейся пропорции.

Детерминистские фракталы являются линейными, тогда как сложные фракталы таковыми не являются. Будучи нелинейными, эти фракталы генерируются тем, что Мандельброт назвал нелинейными алгебраическими уравнениями. Хороший пример - это процесс Zn+1=ZnІ + C, что является уравнением, используемым для построения множества Мандельброта и Жулии второй степени. Решение этих математических уравнений вовлекает комплексные и мнимые числа. Когда уравнение интерпретируется графически на комплексной плоскости, результатом оказывается странная фигура, в которой прямые линии переходят в кривые, появляются хотя и не без деформаций, эффекты самоподобия на различных масштабных уровнях. При этом вся картина в целом является непредсказуемой и очень хаотичной.

Как можно увидеть, смотря на картинки, сложные фракталы действительно очень сложны и их невозможно создать без помощи компьютера. Для получения красочных результатов этот компьютер должен обладать мощным математическим сопроцессором и монитором с высоким разрешением. В отличии от детерминистских фракталов, сложные фракталы не вычисляются за 5-10 итераций. Практически каждая точка на экране компьютера как отдельный фрактал. Во время математической обработки, каждая точка рассматривается как отдельный рисунок. Каждой точке соответствует определенное значение. Уравнение встраивается, применительно к каждой точке и производится, к примеру 1000 итераций. Для получения сравнительно неискаженного изображения за приемлемый для домашних компьютеров промежуток времени, для одной точки возможно проводить 250 итерации.

Большинство фракталов, которые мы видим сегодня, красиво раскрашены. Возможно фрактальные изображения получили такое большое эстетическое значение именно благодаря своим цветовым схемам. После того, как уравнение посчитано, компьютер анализирует результаты. Если результаты остаются стабильными, или колеблются вокруг определенного значения, точка обычно принимает черный цвет. Если значение на том или ином шаге стремится к бесконечности, точку закрашивают в другой цвет, может быть в синий или красный. Во время этого процесса, компьютер назначает цвета для всех скоростей движения.

Обычно, быстро движущиеся точки закрашивают в красный цвет, тогда как более медленные в желтый и так далее. Темные точки, вероятно, самые стабильные.

Сложные фракталы отличаются от детерминистских в том смысле, что они бесконечно сложные, но, при этом, могут быть сгенерированы очень простой формулой. Детерминистским фракталам не нужны формулы или уравнения. Просто возьмите чертежную бумагу и вы можете построить решето Серпинского до 3 или 4 итерации без каких-либо затруднений. Попробуйте сделать это с множеством Жулиа! Легче пойти мерить длину береговой линии Англии!

МНОЖЕСТВО МАНДЕЛЬБРОТА

Рис 2. Множество Мандельброта

Множества Мандельброта и Жулиа, вероятно, два наиболее распространенных среди сложных фракталов. Их можно найти во многих научных журналах, обложках книг, открытках, и в компьютерных хранителях экрана. Множество Мандельброта, которое было построено Бенуа Мандельбротом, наверное первая ассоциация, возникающая у людей, когда они слышат слово фрактал. Этот фрактал, напоминающий чесальную машину с прикрепленными к ней пылающими древовидными и круглыми областями, генерируется простой формулой Zn+1=Zna+C, где Z и C - комплексные числа и а - положительное число.

Множество Мандельброта, которое чаще всего можно увидеть - это множество Мандельброта 2й степени, то есть а=2. Тот факт, что множество Мандельброта не только Zn+1=ZnІ+C, а фрактал, показатель в формуле которого может быть любым положительным числом ввел в заблуждение многих. На этой странице вы видите пример множества Мандельброта для различных значений показателя а.
Рис 3. Появление пузырьков при a=3.5

Также популярен процесс Z=Z*tg(Z+C). Благодаря включению функции тангенса, получается множество Мандельброта, окруженное областью, напоминающей яблоко. При использовании функции косинуса, получаются эффекты воздушных пузырьков. Короче говоря, существует бесконечное количество способов настройки множества Мандельброта для получения различных красивых картинок.

МНОЖЕСТВО ЖУЛИА

Удивительно, но множества Жулиа образуются по той же самой формуле, что и множество Мандельброта. Множество Жулиа было изобретено французским математиком Гастоном Жулиа, по имени которого и было названо множество. Первый вопрос, возникающий после визуального знакомства с множествами Мандельброта и Жулиа это "если оба фрактала сгенерированы по одной формуле, почему они такие разные?" Сначала посмотрите на картинки множества Жулиа. Достаточно странно, но существуют разные типы множеств Жулиа. При рисовании фрактала с использованием различных начальных точек (чтобы начать процесс итераций), генерируются различные изображения. Это применимо только ко множеству Жулиа.

Рис 4. Множество Жулиа

Хотя это нельзя увидеть на картинке, фрактал Мандельброта - это, на самом деле, множество фракталов Жулиа, соединенных вместе. Каждая точка (или координата) множества Мандельброта соответствует фракталу Жулиа. Множества Жулиа можно сгенерировать используя эти точки в качестве начальных значений в уравнении Z=ZІ+C. Но это не значит, что если выбрать точку на фрактале Мандельброта и увеличить ее, можно получить фрактал Жулиа. Эти две точки идентичны, но только в математическом смысле. Если взять эту точку и просчитать ее по данной формуле, можно получить фрактал Жулиа, соответствующий определенной точке фрактала Мандельброта.