Во многих задачах практики приходится иметь дело со случайными величинами, распределенными по своеобразному закону, который называется законом Пуассона.
Рассмотрим прерывную случайную величину , которая может принимать только целые, неотрицательные значения:
причем последовательность этих значений теоретически не ограничена.
Говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определенное значение , выражается формулой
где а – некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона.
Ряд распределения случайной величины , распределенной по закону Пуассона, имеет вид:
Убедимся, прежде всего, что последовательность вероятностей, задаваемая формулой (5.9.1), может представлять собой ряд распределения, т.е. что сумма всех вероятностей равна единице. Имеем:
.
На рис. 5.9.1 показаны многоугольники распределения случайной величины , распределенной по закону Пуассона, соответствующие различным значениям параметра . В таблице 8 приложения приведены значения для различных .
Определим основные характеристики – математическое ожидание и дисперсию – случайной величины , распределенной по закону Пуассона. По определению математического ожидания
.
Первый член суммы (соответствующий ) равен нулю, следовательно, суммирование можно начать с :
Обозначим ; тогда
. (5.9.2)
Таким образом, параметр представляет собой не что иное, как математическое ожидание случайной величины .
Для определения дисперсии найдем сначала второй начальный момент величины :
По ранее доказанному
кроме того,
Таким образом, дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равна её математическому ожиданию .
Это свойство распределения Пуассона часто применяется на практике для решения вопроса, правдоподобна ли гипотеза о том, что случайная величина распределена по закону Пуассона. Для этого определяют из опыта статистические характеристики – математическое ожидание и дисперсию – случайной величины. Если их значения близки, то это может служить доводом в пользу гипотезы о пуассоновском распределении; резкое различие этих характеристик, напротив, свидетельствует против гипотезы.
Определим для случайной величины , распределенной по закону Пуассона, вероятность того, что она примет значение не меньше заданного . Обозначим эту вероятность :
Очевидно, вероятность может быть вычислена как сумма
Однако значительно проще определить её из вероятности противоположного события:
(5.9.4)
В частности, вероятность того, что величина примет положительное значение, выражается формулой
(5.9.5)
Мы уже упоминали о том, что многие задачи практики приводят к распределению Пуассона. Рассмотрим одну из типичных задач такого рода.
Пусть на оси абсцисс Ох случайным образом распределяются точки (рис. 5.9.2). Допустим, что случайное распределение точек удовлетворяет следующим условиям:
1. Вероятность попадания того или иного числа точек на отрезок зависит только от длины этого отрезка, но не зависит от его положения на оси абсцисс. Иными словами, точки распределяются на оси абсцисс с одинаковой средней плотностью. Обозначим эту плотность (т.е. математическое ожидание числа точек, приходящихся на единицу длины) через .
2. Точки распределяются на оси абсцисс независимо друг от друга, т.е. вероятность попадания того или другого числа точек на заданный отрезок не зависит от того, сколько их попало на любой другой отрезок, не перекрывающийся с ним.
3. Вероятность попадания на малый участок двух или более точек пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одной точки (это условие означает практическую невозможность совпадения двух или более точек).
Выделим на оси абсцисс определенный отрезок длины и рассмотрим дискретную случайную величину – число точек, попадающих на этот отрезок. Возможные значения величины будут
Так как точки попадают на отрезок независимо друг от друга, то теоретически не исключено, что их там окажется сколь угодно много, т.е. ряд (5.9.6) продолжается неограниченно.
Докажем, что случайная величина имеет закон распределения Пуассона. Для этого вычислим вероятность того, что на отрезок попадет ровно точек.
Сначала решим более простую задачу. Рассмотрим на оси Ох малый участок и вычислим вероятность того, что на этот участок попадет хотя бы одна точка. Будем рассуждать следующим образом. Математическое ожидание числа точек, попадающих на этот участок, очевидно, равно (т.к. на единицу длины попадает в среднем точек). Согласно условию 3 для малого отрезка можно пренебречь возможностью попадания на него двух или больше точек. Поэтому математическое ожидание числа точек, попадающих на участок , будет приближенно равно вероятности попадания на него одной точки (или, что в наших условиях равнозначно, хотя бы одной).
Таким образом, с точностью до бесконечно малых высшего порядка, при можно считать вероятность того, что на участок попадет одна (хотя бы одна) точка, равной , а вероятность того, что не попадет ни одной, равной .
Воспользуемся этим для вычисления вероятности попадания на отрезок ровно точек. Разделим отрезок на равных частей длиной . Условимся называть элементарный отрезок «пустым», если в него не попало ни одной точки, и «занятым», если в него попала хотя бы одна. Согласно вышедоказанному вероятность того, что отрезок окажется «занятым», приближенно равна ; вероятность того, что он окажется «пустым», равна . Так как, согласно условию 2, попадания точек в неперекрывающиеся отрезки независимы, то наши n отрезков можно рассмотреть как независимых «опытов», в каждом из которых отрезок может быть «занят» с вероятностью . Найдем вероятность того, что среди отрезков будет ровно «занятых». По теореме о повторении опытов эта вероятность равна
или, обозначая ,
(5.9.7)
При достаточно большом эта вероятность приближенно равна вероятности попадания на отрезок ровно точек, так как попадание двух или больше точек на отрезок имеет пренебрежимо малую вероятность. Для того чтобы найти точное значение , нужно в выражении (5.9.7) перейти к пределу при :
(5.9.8)
Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела:
(5.9.9)
Первая дробь и знаменатель последней дроби в выражении (5.9.9) при , очевидно, стремятся к единице. Выражение от не зависит. Числитель последней дроби можно преобразовать так:
(5.9.10)
При и выражение (5.9.10) стремится к . Таким образом, доказано, что вероятность попадания ровно точек в отрезок выражается формулой
где , т.е. величина Х распределена по закону Пуассона с параметром .
Отметим, что величина по смыслу представляет собой среднее число точек, приходящееся на отрезок .
Величина (вероятность того, что величина Х примет положительное значение) в данном случае выражает вероятность того, что на отрезок попадет хотя бы одна точка:
Таким образом, мы убедились, что распределение Пуассона возникает там, где какие-то точки (или другие элементы) занимают случайное положение независимо друг от друга, и подсчитывается количество этих точек, попавших в какую-то область. В нашем случае такой «областью» был отрезок на оси абсцисс. Однако наш вывод легко распространить и на случай распределения точек на плоскости (случайное плоское поле точек) и в пространстве (случайное пространственное поле точек). Нетрудно доказать, что если соблюдены условия:
1) точки распределены в поле статистически равномерно со средней плотностью ;
2) точки попадают в неперекрывающиеся области независимым образом;
3) точки появляются поодиночке, а не парами, тройками и т.д., то число точек , попадающих в любую область (плоскую или пространственную), распределяются по закону Пуассона:
где – среднее число точек, попадающих в область .
Для плоского случая
где – площадь области ; для пространственного
где - объем области .
Заметим, что для пуассоновского распределения числа точек, попадающих в отрезок или область, условие постоянной плотности () несущественно. Если выполнены два других условия, то закон Пуассона все равно имеет место, только параметр а в нем приобретает другое выражение: он получается не простым умножение плотности на длину, площадь или объем области, а интегрированием переменной плотности по отрезку, площади или объему. (Подробнее об этом см. n° 19.4)
Наличие случайных точек, разбросанных на линии, на плоскости или объеме – неединственное условие, при котором возникает распределение Пуассона. Можно, например, доказать, что закон Пуассона является предельным для биномиального распределения:
, (5.9.12)
если одновременно устремлять число опытов к бесконечности, а вероятность – к нулю, причем их произведение сохраняет постоянное значение:
Действительно, это предельное свойство биномиального распределения можно записать в виде:
. (5.9.14)
Но из условия (5.9.13) следует, что
Подставляя (5.9.15) в (5.9.14), получим равенство
, (5.9.16)
которое только что было доказано нами по другому поводу.
Это предельное свойство биномиального закона часто находит применение на практике. Допустим, что производится большое количество независимых опытов , в каждом из которых событие имеет очень малую вероятность . Тогда для вычисления вероятности того, что событие появится ровно раз, можно воспользоваться приближенной формулой:
, (5.9.17)
где - параметр того закона Пуассона, которым приближенно заменяется биномиальное распределение.
От этого свойства закона Пуассона – выражать биномиальное распределение при большом числе опытов и малой вероятности события – происходит его название, часто применяемое в учебниках статистики: закон редких явлений.
Рассмотрим несколько примеров, связанных с пуассоновским распределением, из различных областей практики.
Пример 1. На автоматическую телефонную станцию поступают вызовы со средней плотностью вызовов в час. Считая, что число вызовов на любом участке времени распределено по закону Пуассона, найти вероятность того, что за две минуты на станцию поступит ровно три вызова.
Решение. Среднее число вызовов за две минуты равно:
Кв.м. Для поражения цели достаточно попадания в нее хотя бы одного осколка. Найти вероятность поражения цели при данном положении точки разрыва.
Решение. . По формуле (5.9.4) находим вероятность попадания хотя бы одного осколка:
(Для вычисления значения показательной функции пользуемся таблицей 2 приложения).
Пример 7. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 100. Берется на пробу 2 куб. дм воздуха. Найти вероятность того, что в нем будет обнаружен хотя бы один микроб.
Решение. Принимая гипотезу о пуассоновском распределении числа микробов в объеме, находим:
Пример 8. По некоторой цели производится 50 независимых выстрелов. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,04. Пользуясь предельным свойством биномиального распределения (формула (5.9.17)), найти приближенно вероятность того, что в цель попадет: ни одного снаряда, один снаряд, два снаряда.
Решение. Имеем . По таблице 8 приложения находим вероятности.
Предельные теоремы в схеме Бернулли.
Предположим, что мы хотим определить вероятность выпадения ровно 5100 «гербов» при 10000 бросаний монеты. Ясно, что при таком большом числе испытаний использование формулы Бернулли весьма затруднительно с точки зрения вычислений. В таких случаях пользуются асимптотическими формулами Пуассона и Муавра-Лапласа.
Асимптотические формулы Муавра-Лапласа.
Теорема 1. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число независимых испытаний п достаточно велико, то вероятностьP n (k) того, что событие А появиться в n испытаниях ровно k раз приближенно равна
где . Причем это равенство тем точнее, чем больше n.
Имеются специальные таблицы, в которых помещены значения функции 
(функция Гаусса), соответствующие положительным значениям аргумента х
. Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция четна, т. е. 
.
При
Пример 1. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.
Решение. По условию, n = 400; k = 80; р = 0,2; q = 0,8. Воспользуемся асимптотической формулой Лапласа:
Вычислим х: 
.
По таблице находим = 0,3989. Искомая вероятность
.
Формула Бернулли приводит примерно к такому же результату:
.
Пример 2. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле р = 0,75. Найти вероятность того, что при 10 выстрелах стрелок поразит мишень 8 раз.
Решение. По условию, n =10; k = 8; р = 0,75; q = 0,25. Воспользуемся асимптотической формулой Лапласа:
Вычислим х: 
.
По таблице находим = 0,3739. Искомая вероятность
Формула Бернулли приводит к иному результату, а, именно 
. Столь значительное расхождение ответов объясняется тем, что в настоящем примере п
имеет малое значение (формула Муавра-Лапласа дает достаточно хорошие приближения лишь при достаточно больших значениях п
).
Теорема 2. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля, и единицы, а число независимых испытаний п достаточно велико, то вероятность Р п (k l , k 2 ) того, что событие А появится в п испытаниях от k 1 до k 2 раз (не менее k 1 и не более k 2 ), приближенно равна определенному интегралу
(2)
где и . Причем это равенство тем точнее, чем больше n.
При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Муавра-Лапласа, пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции. В таблице даны значения функции Лапласа 
дляположительных значений х
и для х =
0;
для х
< 0 пользуются той же таблицей, функция Ф
(x
) нечетна, т.е. 
. В таблице приведены значения интеграла лишь до х =
5, так как для х
> 5 можно принять Ф
(х
) = 0,5.
Для того чтобы можно было пользоваться таблицей функции Лапласа, преобразуем соотношение (2) так:
Итак,вероятность того, что событие А появится в п независимых испытанияхот k 1 до k 2 раз,
где и .
Пример. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна р = 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.
Решение. По условию, р = 0,2; q = 0,8; n = 400; k 1 = 70; k 2 =100. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа. Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:
Таким образом, имеем
Р 400 (70, 100)=Ф(2,5) - Ф (- 1,25) = Ф (2,5) + Ф (1,25). По таблице находим:
Ф (2,5) = 0,4938; Ф (1,25) = 0,3944.
Искомая вероятность
Р 400 (70, 100)=0,4938 + 0,3944=0,8882.
Замечание.
С помощью функции Лапласа можно найти вероятность отклонения относительной частоты от вероятности р
в п
независимых испытаниях, используя формулу: 
, где - некоторое число.
Асимптотическая формула Пуассона.
Пусть число испытаний п в схеме Бернулли неограниченно увеличивается, а вероятность успеха р в одном испытании неограниченно уменьшается, причем их произведение = пр . сохраняет постоянное значение. Это означает, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний, т.е. при различных значениях п , остается неизменным. Тогда Р п (k ) определяется по приближенной формуле (формула Пуассона)
.
Замечание 1. Имеются специальные таблицы, пользуясь которыми можно найти Р п (k ), зная и k.
Замечание 2.
Формулу Пуассона применяют, когда вероятность успеха крайне мала, т.е. сам по себе успех является редким событием (например, выигрыш автомобиля по лотерейному билету), но количество испытаний велико, среднее число успехов = пр
незначительно. (
).
Замечание 3. Формула Пуассона справедлива также по отношению к числу неудач, если число испытаний п в схеме Бернулли неограниченно увеличивается, а вероятность неудачи q в одном испытании неограниченно уменьшается причем сохраняет постоянное значение.
Пример. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.
Решение. По условию, п = 5000, р = 0,0002, k = 3. = пр = 5000 *0,0002 = 1.
По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна
.
Формула Пуассона находит широкое применение в теории массового обслуживания. Ее можно считать математической моделью простейшего потока событий.
Определение 1.
Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени
. Примерами потоков служат: поступление вызовов на АТС, на пункт неотложной медицинской помощи, прибытие самолетов в аэропорт, клиентов на предприятие бытового обслуживания, последовательность отказов элементов и многие другие. События, образующие поток, в общем случае могут быть различными, но мы будем рассматривать только поток однородных событий, различающихся только моментами появления. Такой поток можно изобразить как последовательность точек 
на числовой оси .
Определение 2. Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени.
Определение 3. Стационарным называется поток событий, который характеризуется тем, что вероятность появления k событий на промежутке времени длительностью зависит только от числа k и от длительности промежутка и не зависит от того, где на числовой оси расположен этот участок, т.е. вероятность появления k событий за промежуток времени, длительности t есть функция, зависящая только от k и t. Следовательно, среднее число событий, появляющихся в единицу времени (интенсивность потока ) есть величина постоянная.
Определение 4. Поток событий называется потоком без последействия, если для любых непересекающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.
Определение 5. Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на бесконечно малый участок двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.(события появляются не группами, а по одиночке)
Определение 6. Простейшим (стационарным пуассоновским) называют поток событий, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.
Замечание. Установлено что если поток представляет собой сумму очень большого числа независимых стационарных потоков, влияние каждого из которых на всю сумму (суммарный поток) ничтожно мало, то суммарный поток (при условии его ординарности) близок к простейшему..
Можно доказать, что если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за время длительностью t определяется формулой Пуассона.
Эта формула отражает все свойства простейшего потока.
Пример. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Найти вероятности того, что за 5 мин поступит: а) 2 вызова; б) менее двух вызовов; в) не менее двух вызовов. Поток вызовов предполагается простейшим.
Решение.
По условию 
Воспользуемся формулой Пуассона.
Б) События не поступило ни одного вызова и поступил один вызов несовместны, поэтому по формуле сложения искомая вероятность
В) События поступило менее 2 вызовов и поступило не менее 2 вызовов противоположны, поэтому
Спасибо, что читаете и делитесь с другими
При большом числе испытаний $n$ и малой вероятности $р$ формулой Бернулли пользоваться неудобно, например, $0.97^{999}$ вычислить трудно.
В этом случае для вычисления вероятности того, что в $n$ испытаниях ($n$ – велико) событие произойдет $k$ раз, используют формулу Пуассона :
$$ P_n(k)=\frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda}, \qquad \lambda=n \cdot p. $$
Здесь $\lambda=n \cdot p$ обозначает среднее число появлений события в $n$ испытаниях.
Эта формула дает удовлетворительное приближение для $p \le 0,1$ и $np \le 10$. При больших $np$ рекомендуется применять формулы Лапласа (Муавра-Лапласа). Cобытия, для которых применима формула Пуассона, называют редкими , так как вероятность их осуществления очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).
На сайте есть бесплатный онлайн-калькулятор для формулы Пуассона
Примеры решений
Пример. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.
Решение. По условию дано: .
Искомая вероятность
Пример. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути 0,004. Найти вероятность того, что в пути повреждено меньше трех изделий.
Решение. По условию дано: .
По теореме сложения вероятностей
Пример. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.
Решение. По условию дано: .
Получаем:
Подробную статью о формуле с примерами, онлайн калькулятор и расчетный файл к видеоролику вы найдете тут.
Если вероятность появления события в отдельном испытании достаточно близка к нулю , то даже при больших значениях количества испытаний вероятность, вычисляемая по локальной теореме Лапласа, оказывается недостаточно точной. В таких случаях используют формулу, выведенную Пуассоном.
ТЕОРЕМА ПУАССОНА
Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна, но достаточно мала, число независимых испытаний достаточно велико, при этом сочетания меньше десяти то вероятность того, что в количестве испытаниях событие наступит ровно раз примерно равна
Для формулы Пуассона используют таблицы табулирования функции .
——————————-
Рассмотрим примеры типичных для студентов задач.
Пример 1. Автобиография писателя издается тиражом в 1000 экземпляров. Для каждой книги вероятность быть неправильно сброшюрованной равна 0,002. Найти вероятность того, что тираж содержать ровно 7 бракованных книг.
Решение. Проверим выполнение условия теоремы Пуассона. Для входных значений
что условия выполняются.
По табличным значениям функции Пуассона находим вероятность
Применения к этому событию локальную теорему Лапласа получим
Точное значение вероятности определяем по формуле Бернулли
Из анализа трех методов следует, что формула Пуассона дает более точнее приближения, чем формула Лапласа. Именно поэтому ее рекомендуют применять для отыскания вероятности в такого сорта задачах.
——————————-
Пример 2. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 5 нестандартных.
Формула Пуассона
Имеем даные , которые удовлетворяют требования теоремы Пуассона По таблице функции Пуассона при получим:
Найдем вероятность того же события по локальной теореме Лапласа.
Где λ равна среднему числу появления событий в одинаковых независимых испытаниях, т.е. λ = n × p, где p – вероятность события при одном испытании, e = 2,71828 .
Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:
Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор используется для построения Пуассоновского распределения и вычисления всех характеристик ряда: математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения. Отчет с решением оформляется в формате Word . В случае, когда n велико, а λ = p·n > 10 формула Пуассона дает очень грубое приближение и для расчета P n (m) используют локальную и интегральную теоремы Муавра-Лапласа .
Числовые характеристики случайной величины Х
Математическое ожидание распределения ПуассонаM[X] = λ
Дисперсия распределения Пуассона
D[X] = λ
Пример №1
. Семена содержат 0.1% сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 2000 семян обнаружить 5 семян сорняков?
Решение.
Вероятность р мала, а число n велико. np = 2 P(5) = λ 5 e -5 /5! = 0.03609
Математическое ожидание
: M[X] = λ = 2
Дисперсия
: D[X] = λ = 2
Пример №2
. Среди семян ржи имеется 0.4% семян сорняков. Составить закон распределения числа сорняков при случайном отборе 5000 семян. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение. Математическое ожидание: M[X] = λ = 0.004*5000 = 20. Дисперсия: D[X] = λ = 20
Закон распределения:
| X | 0 | 1 | 2 | … | m | … |
| P | e -20 | 20e -20 | 200e -20 | … | 20 m e -20 /m! | … |
Пример №3
. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 1/200. Найдите вероятность того, что среди 200 соединений произойдет:
а) ровно одно неправильное соединение;
б) меньше чем три неправильных соединения;
в) больше чем два неправильных соединения.
Решение.
По условию задачи вероятность события мала, поэтому используем формулу Пуассона (15).
а) Задано: n = 200, p = 1/200, k = 1. Найдем P 200 (1).
Получаем: 
. Тогда P 200 (1) ≈ e -1 ≈ 0,3679.
б) Задано: n = 200, p = 1/200, k < 3. Найдем P 200 (k < 3).
Имеем: a = 1.
в) Задано: n = 200, p = 1/200, k > 2. Найдем P 200 (k > 2).
Эту задачу можно решить проще: найти вероятность противоположного события, так как в этом случае нужно вычислить меньше слагаемых. Принимая во внимание предыдущий случай, имеем
Рассмотрим случай, когда n является достаточно большим, а p - достаточно малым; положим np = a, где a - некоторое число. В этом случае искомая вероятность определяется формулой Пуассона:
Вероятность появления k событий за время длительностью t можно также найти по формуле Пуассона:
где λ - интенсивность потока событий, то есть среднее число событий, которые появляются в единицу времени.
Пример №4 . Вероятность того, что деталь бракованная, равна 0.005. проверяется 400 деталей. Укажите формулу вычисления вероятности того, что больше 3 деталей оказались с браком.
Пример №5
. Вероятность появления бракованных деталей при их массовом производстве равна p. определить вероятность того, что в партии из N деталей содержится а) ровно три детали; б) не более трех бракованных деталей.
p=0,001; N = 4500
Решение.
Вероятность р мала, а число n велико. np = 4.5 < 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
Случайная величина X имеет область значений (0,1,2,...,m). Вероятности этих значений можно найти по формуле:
Найдем ряд распределения X.
Здесь λ = np = 4500*0.001 = 4.5
P(0) = e - λ = e -4.5 = 0.01111
P(1) = λe -λ = 4.5e -4.5 = 0.04999
Тогда вероятность того, что в партии из N деталей содержится ровно три детали, равна:
Тогда вероятность того, что в партии из N деталей содержится не более трех бракованных деталей:
P(x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736
Пример №6
. Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час N вызовов. Определить вероятность того, что за данную минуту она получит: а) ровно два вызова; б) более двух вызовов.
N = 18
Решение.
За одну минуту АТС в среднем получает λ = 18/60 мин. = 0,3
Считая, что случайное число X вызовов, поступивших на АТС за одну минуту,
подчиняется закону Пуассона, по формуле найдем искомую вероятность
Найдем ряд распределения X.
Здесь λ = 0.3
P(0) = e - λ = e -0.3 = 0.7408
P(1) = λe -λ = 0.3e -0.3 = 0.2222
Вероятность того, что за данную минуту она получит ровно два вызова:
P(2) = 0,03334
Вероятность того, что за данную минуту она получит более двух вызовов:
P(x>2) = 1 – 0,7408 – 0,2222 – 0,03334 = 0,00366
Пример №7
. Рассматриваются два элемента, работающих независимо друг от друга. Продолжительность времени безотказной работы имеет показательное распределение с параметром λ1 = 0,02 для первого элемента и λ2 = 0,05 для второго элемента. Найти вероятность того, что за 10 часов: а) оба элемента будут работать безотказно; б) только Вероятность того, что за 10 часов элемент №1 не выйдет из строя:
Рещение.
P 1 (0) = e -λ1*t = e -0.02*10 = 0,8187
Вероятность того, что за 10 часов элемент №2 не выйдет из строя:
P 2 (0) = e -λ2*t = e -0.05*10 = 0,6065
а) оба элемента будут работать безотказно;
P(2) = P 1 (0)*P 2 (0) = 0,8187*0,6065 = 0,4966
б) только один элемент выйдет из строя.
P(1) = P 1 (0)*(1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0))*P 2 (0) = 0.8187*(1-0.6065) + (1-0.8187)*0.6065 = 0.4321
Пример №7
. Производство даёт 1% брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий выбраковано будет не больше 17?
Примечание
: поскольку здесь n*p =1100*0.01=11 > 10, то необходимо использовать
