Продолжим изучение архимедовой силы. Проделаем опыты. К коромыслу весов подвесим два одинаковых шара. Их вес одинаков, поэтому коромысло находится в равновесии (рис. «а»). Подставим под правый шар пустой стакан. От этого вес шаров не изменится, поэтому равновесие сохранится (рис. «б»).

Второй опыт. Подвесим к динамометру большую картофелину. Вы видите, что её вес равен 3,5 Н. Погрузим картофелину в воду. Мы обнаружим, что её вес уменьшился и стал равен 0,5 Н.

Вычислим изменение веса картофеля:

DW = 3,5 Н – 0,5 Н = 3 Н

Почему же вес картофеля уменьшился именно на 3 Н? Очевидно потому, что в воде на картофель подействовала выталкивающая сила такой же величины. Другими словами, сила Архимеда равна изменению веса т ела:

Эта формула выражает способ измерения архимедовой силы: нужно дважды измерить вес тела и вычислить его изменение. Полученное значение равно силе Архимеда.

Для вывода следующей формулы проделаем опыт с прибором «ведёрко Архимеда». Основные его части следующие: пружина со стрелкой 1, ведёрко 2, тело 3, отливной сосуд 4, стаканчик 5.

Сначала пружину, ведёрко и тело подвешивают к штативу (рис. «а») и отмечают положение стрелки жёлтой меткой. Затем тело помещают в отливной сосуд. По мере погружения тело вытесняет некоторый объём воды , который сливается в стаканчик (рис. «б»). Вес тела становится меньше, пружина сжимается, и стрелка поднимается выше жёлтой метки.

Перельём воду, вытесненную телом, из стаканчика в ведёрко (рис. «в»). Самое удивительное в том, что когда вода будет перелита (рис «г»), стрелка не просто опустится вниз, а укажет точно на жёлтую метку! Значит, вес влитой в ведёрко воды уравновесил архимедову силу . В виде формулы этот вывод запишется так:

Обобщая результаты двух опытов, получим закон Архимеда : выталкивающая сила, действующая на тело в жидкости (или газе), равна весу жидкости (газа), взятой в объёме этого тела и направлена противоположно вектору веса.

В § 3-б мы указали, что сила Архимеда обычно направлена вверх. Поскольку она противонаправлена вектору веса, а он не всегда направлен вниз, архимедова сила также не всегда действует вверх. Например, во вращающейся центрифуге в стакане с водой пузырьки воздуха будут всплывать не вверх, а отклоняясь к оси вращения.

Часто научные открытия становятся следствием простой случайности. Но только люди с подготовленным умом могут оценить важность простого совпадения и сделать из него далеко идущие выводы. Именно благодаря цепи случайных событий в физике появился закон Архимеда, объясняющий поведение тел в воде.

Предание

В Сиракузах об Архимеде слагали легенды. Однажды правитель этого славного города усомнился в честности своего ювелира. В короне, изготовленной для правителя, должно было содержаться определенное количество золота. Проверить этот факт поручили Архимеду.

Архимед установил, что в воздухе и в воде тела имеют разный вес, причем разность прямо пропорциональна плотности измеряемого тела. Измерив вес короны в воздухе и в воде, и проведя аналогичный опыт с целым куском золота, Архимед доказал, что в изготовленной короне существовала примесь более легкого металла.

По преданию, Архимед сделал это открытие в ванне, наблюдая за выплеснувшейся водой. Что стало дальше с нечестным ювелиром, история умалчивает, но умозаключение сиракузского ученого легло в основу одного из важнейших законов физики, который известен нам, как закон Архимеда.

Формулировка

Результаты своих опытов Архимед изложил в труде «О плавающих телах», который, к сожалению, дошел до наших дней лишь в виде отрывков. Современная физика закон Архимеда описывает, как совокупную силу, действующую на тело, погруженное в жидкость. Выталкивающая сила тела в жидкости направлена вверх; ее абсолютная величина равна весу вытесненной жидкости.

Действие жидкостей и газов на погруженное тело

Любой предмет, погруженный в жидкость, испытывает на себе силы давления. В каждой точке поверхности тела данные силы направлены перпендикулярно поверхности тела. Если бы эти они были одинаковы, тело испытывало бы только сжатие. Но силы давления увеличиваются пропорционально глубине, поэтому нижняя поверхность тела испытывает больше сжатие, чем верхняя. Можно рассмотреть и сложить все силы, действующие на тело в воде. Итоговый вектор их направления будет устремлен вверх, происходит выталкивание тела из жидкости. Величину этих сил определяет закон Архимеда. Плавание тел всецело основывается на этом законе и на различных следствиях из него. Архимедовы силы действуют и в газах. Именно благодаря этим силам выталкивания в небе летают дирижабли и воздушные шары: благодаря воздухоизмещению они становятся легче воздуха.

Физическая формула

Наглядно силу Архимеда можно продемонстрировать простым взвешиванием. Взвешивая учебную гирю в вакууме, в воздухе и в воде можно видеть, что вес ее существенно меняется. В вакууме вес гири один, в воздухе - чуть ниже, а в воде - еще ниже.

Если принять вес тела в вакууме за Р о, то его вес в воздушной среде может быть описан такой формулой: Р в =Р о - F а;

здесь Р о - вес в вакууме;

Как видно из рисунка, любые действия со взвешиванием в воде значительно облегчают тело, поэтому в таких случаях сила Архимеда обязательно должна учитываться.

Для воздуха эта разность ничтожна, поэтому обычно вес тела, погруженного в воздушную среду, описывается стандартной формулой.

Плотность среды и сила Архимеда

Анализируя простейшие опыты с весом тела в различных средах, можно прийти к выводу, что вес тела в различных средах зависит от массы объекта и плотности среды погружения. Причем чем плотнее среда, тем больше сила Архимеда. Закон Архимеда увязал эту зависимость и плотность жидкости или газа отражается в его итоговой формуле. Что же еще влияет на данную силу? Другими словами, от каких характеристик зависит закон Архимеда?

Формула

Архимедову силу и силы, которые на нее влияют, можно определить при помощи простых логических умозаключений. Предположим, что тело определенного объема, погруженное в жидкость, состоит из тоже же самой жидкости, в которую оно погружено. Это предположение не противоречит никаким другим предпосылкам. Ведь силы, действующие на тело, никоим образом не зависят от плотности этого тела. В этом случае тело, скорее всего, будет находиться в равновесии, а сила выталкивания будет компенсироваться силой тяжести.

Таким образом, равновесие тела в воде будет описываться так.

Но сила тяжести, из условия, равна весу жидкости, которую она вытесняет: масса жидкости равна произведению плотности на объём. Подставляя известные величины, можно узнать вес тела в жидкости. Этот параметр описывается в виде ρV * g.

Подставляя известные значения, получаем:

Это и есть закон Архимеда.

Формула, выведенная нами, описывает плотность, как плотность исследуемого тела. Но в начальных условиях было указано, что плотность тела идентична плотности окружающей его жидкости. Таким образом, в данную формулу можно смело подставлять значение плотности жидкости. Визуальное наблюдение, согласно которому в более плотной среде сила выталкивания больше, получило теоретическое обоснование.

Применение закона Архимеда

Первые опыты, демонстрирующие закон Архимеда, известны еще со школьной скамьи. Металлическая пластинка тонет в воде, но, сложенная в виде коробочки, может не только удерживаться на плаву, но и нести на себе определенный груз. Это правило - важнейший вывод из правила Архимеда, оно определяет возможность построения речных и морских судов с учетом их максимальной вместимости (водоизмещения). Ведь плотность морской и пресной воды различна и суда, и подводные лодки должны учитывать перепады этого параметра при вхождении в устья рек. Неправильный расчет может привести к катастрофе - судно сядет на мель, и для его подъема потребуются значительные усилия.

Закон Архимеда необходим и подводникам. Дело в том, что плотность морской воды меняет свое значение в зависимости от глубины погружения. Правильный расчет плотности позволит подводникам правильно рассчитать давление воздуха внутри скафандра, что повлияет на маневренность водолаза и обеспечит его безопасное погружение и всплытие. Закон Архимеда должен учитываться также и при глубоководном бурении, огромные буровые вышки теряют до 50% своего веса, что делает их транспортировку и эксплуатацию менее затратным мероприятием.

Выталкивающую силу, или силу Архимеда, можно вычислить. Особенно легко это сделать для тела, стороны которого прямоугольники (прямоугольного параллелепипеда). Например, такую форму имеет брусок.

Поскольку боковые силы давления жидкости можно не учитывать, так как они взаимно уничтожаются (их равнодействующая равна нулю), то рассматриваются только силы давления воды, действующие на нижнюю и верхнюю поверхности. Если тело не полностью погружено в воду, то есть только сила давления воды, действующая снизу. Она единственная, которая создает выталкивающую силу.

Давление жидкости на глубине h определяется формулой:

Сила давления определяется формулой:

Заменив давление во второй формуле на равную ему правую часть из первой формулы, получим:

Это и есть сила давления жидкости, действующая на поверхность тела на определенной глубине. Если тело плавает на поверхности, то эта сила будет выталкивающей силой (силой Архимеда). h здесь определяется высотой подводной части тела. В таком случае формулу можно записать так: F A = ρghS. Тем самым подчеркнув, что речь идет о силе Архимеда.

Произведение высоты (h) погруженной в воду части прямоугольного бруска на площадь его основания (S) - это объем (V) погруженной части этого тела. Действительно, чтобы найти объем параллелепипеда надо перемножить его ширину (a), длину (b) и высоту (h). Произведение ширины на длину есть площадь основания (S). Поэтому в формуле мы можем заменить произведение hS на V:

Теперь обратим внимание на то, что ρ - это плотность жидкости, а V - это объем погруженного тела (или части тела). Но ведь тело, погружаясь в жидкость, вытесняет из нее объем жидкости, равный погруженному телу. То есть, если погрузить в воду тело объемом 10 см 3 , то оно вытеснит 10 см 3 воды. Конечно, этот объем воды скорее всего не выскочит из емкости, заменившись объемом тела. Просто уровень воды в емкости поднимется на 10 см 3 .

Поэтому в формуле F A = ρgV мы можем иметь в виду не объем погруженного тела, а объем вытесненной телом воды.

Вспомним, что произведение плотности (ρ) на объем (V) - это масса тела (m):

В таком случае формулу, определяющую выталкивающую силу, можно записать так:

Но ведь произведение массы тела (m) на ускорение свободного падения (g) есть вес (P) этого тела. Тогда получается такое равенство:

Таким образом, сила Архимеда (или выталкивающая сила) равна по модулю (численному значению) весу жидкости в объеме, равном объему погруженного в нее тела (или его погруженной части) . Это и есть закон Архимеда .

Если тело в виде бруска полностью погружено в воду, то выталкивающую силу для него определяет разность между силой давления воды сверху и силой давления снизу. Сверху на тело давит сила, равная

F верх = ρgh верх S,

F низ = ρgh низ S,

Тогда мы можем записать

F A = ρgh низ S – ρgh верх S = ρgS(h низ - h верх)

h верх – это расстояние от кромки воды до верхней поверхности тела, а h низ - это расстояние от кромки воды до нижней поверхности тела. Их разность есть высота тела. Следовательно,

F A = ρghS, где h - это высота тела.

Получилось то же самое, что и для частично погруженного тела, хотя там h - это высота части тела, находящейся под водой. В том случае уже было доказано, что F A = P. То же самое выполняется и здесь: выталкивающая сила, действующая на тело, равна по модулю весу вытесненной им жидкости, которая равна по объему погруженному телу.

Обратите внимание, что вес тела и вес жидкости одинаковых объемов чаще всего разный, так как у тела и жидкости чаще всего разные плотности. Поэтому нельзя говорить, что выталкивающая сила равна весу тела. Она равна весу жидкости, объемом равному телу. Причем весу по модулю, так как выталкивающая сила направлена вверх, а вес вниз.

Из–за разности давлений в жидкости на разных уровнях возникает выталкивающая или Архимедова сила, которая вычисляется по формуле:

где: V – объем вытесненной телом жидкости, или же объем погружённой в жидкость части тела, ρ – плотность жидкости в которую погружено тело, и следовательно, ρV – масса вытесненной жидкости.

Архимедова сила, действующая на погруженное в жидкость (или газ) тело, равна весу жидкости (или газа), вытесненной телом. Это утверждение, называемоезаконом Архимеда , справедливо для тел любой формы.

При этом вес тела (т.е. сила с которой тело действует на опору или подвес) погруженного в жидкость уменьшается. Если принять, что вес покоящегося тела в воздухе равен mg , а именно так мы и будем поступать в большинстве задач (хотя вообще говоря на тело в воздухе также действует очень маленькая сила Архимеда со стороны атмосферы, ведь тело погружено в газ из атмосферы), то для веса тела в жидкости можно легко вывести следующую важную формулу:

Эта формула может быть использована при решении большого количества задач. Ее можно запомнить. При помощи закона Архимеда осуществляется не только мореплавание, но и воздухоплавание. Из закона Архимеда вытекает, что если средняя плотность тела ρ т больше плотности жидкости (или газа) ρ (или по–другому mg > F A), тело будет опускаться на дно. Если же ρ т < ρ (или по–другому mg < F A), тело будет плавать на поверхности жидкости. Объем погруженной части тела будет таков, что вес вытесненной жидкости равен весу тела. Для подъема воздушного шара в воздухе его вес должен быть меньше веса вытесненного воздуха. Поэтому воздушные шары заполняют легкими газами (водородом, гелием) или нагретым воздухом.



Плавание тел

Если тело находится на поверхности жидкости (плавает), то на него действует всего две силы (Архимеда вверх и тяжести вниз), которые уравновешивают друг друга. Если тело погружено только в одну жидкость, то записав второй закон Ньютона для такого случая и выполнив простые математические операции можем получить следующее выражение связывающее объемы и плотности:

где: V погр – объем погруженной части тела, V – полный объем тела. При помощи этого соотношения легко решается большинство задач на плавание тел.

Основные теоретические сведения

Импульс тела

Импульсом (количеством движения) тела называют физическую векторную величину, являющуюся количественной характеристикой поступательного движения тел. Импульс обозначается р . Импульс тела равен произведению массы тела на его скорость, т.е. он рассчитывается по формуле:

Направление вектора импульса совпадает с направлением вектора скорости тела (направлен по касательной к траектории). Единица измерения импульса – кг∙м/с.

Общий импульс системы тел равен векторной сумме импульсов всех тел системы:

Изменение импульса одного тела находится по формуле (обратите внимание, что разность конечного и начального импульсов векторная):

где: p н – импульс тела в начальный момент времени, p к – в конечный. Главное не путать два последних понятия.

Абсолютно упругий удар – абстрактная модель соударения, при которой не учитываются потери энергии на трение, деформацию, и т.п. Никакие другие взаимодействия, кроме непосредственного контакта, не учитываются. При абсолютно упругом ударе о закрепленную поверхность скорость объекта после удара по модулю равна скорости объекта до удара, то есть величина импульса не меняется. Может поменяться только его направление. При этом угол падения равен углу отражения.

Абсолютно неупругий удар – удар, в результате которого тела соединяются и продолжают дальнейшее своё движение как единое тело. Например, пластилиновый шарик при падении на любую поверхность полностью прекращает свое движение, при столкновении двух вагонов срабатывает автосцепка и они так же продолжают двигаться дальше вместе.

Закон сохранения импульса

При взаимодействии тел импульс одного тела может частично или полностью передаваться другому телу. Если на систему тел не действуют внешние силы со стороны других тел, такая система называется замкнутой .

В замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой. Этот фундаментальный закон природы называетсязаконом сохранения импульса (ЗСИ) . Следствием его являются законы Ньютона. Второй закон Ньютона в импульсной форме может быть записан следующим образом:

Как следует из данной формулы, в случае если на систему тел не действует внешних сил, либо действие внешних сил скомпенсировано (равнодействующая сила равна нолю), то изменение импульса равно нолю, что означает, что общий импульс системы сохраняется:

Аналогично можно рассуждать для равенства нулю проекции силы на выбранную ось. Если внешние силы не действуют только вдоль одной из осей, то сохраняется проекция импульса на данную ось, например:

Аналогичные записи можно составить и для остальных координатных осей. Так или иначе, нужно понимать, что при этом сами импульсы могут меняться, но именно их сумма остается постоянной. Закон сохранения импульса во многих случаях позволяет находить скорости взаимодействующих тел даже тогда, когда значения действующих сил неизвестны.

Проделаем опыт (рис. 133). Подвесим к пружине 1 небольшое ведерко 2 и тело цилиндрической формы 3 . Отметив положение стрелки-указателя на штативе (рис. 133, а ), поместим тело в сосуд, наполненный жидкостью до уровня отливной трубки. При этом часть жидкости, объем которой равен объему тела, выльется из сосуда в находящийся рядом стакан (рис. 133, б ). Одновременно с этим вес тела в жидкости уменьшится и указатель пружины переместится вверх. Из предыдущего параграфа мы знаем, что вес тела в жидкости уменьшается на величину, равную архимедовой (выталкивающей) силе. Связана ли эта величина с количеством вытесненной телом жидкости? Чтобы выяснить это, перельем эту жидкость из стакана в ведерко 2 . Мы увидим, как стрелка-указатель снова возвратится к своему прежнему положению (рис. 133, в ). Это означает, что вытесненная телом жидкость весит столько же, сколько теряет в своем весе погруженное в жидкость тело . Но вес тела в жидкости меньше веса того же тела в воздухе на величину, равную выталкивающей силе. Поэтому окончательный вывод, к которому мы приходим, можно сформулировать следующим образом:

Выталкивающая сила, действующая на погруженное в жидкость тело, равна весу жидкости, вытесненной этим телом.

Этот закон был открыт Архимедом и потому носит его имя - закон Архимеда .

Мы установили этот закон опытным путем. Теперь докажем его теоретически. Для этого заметим, что выталкивающая сила (как равнодействующая всех сил давления, действующих со всех сторон на погруженное в жидкость тело) не зависит от того, из какого вещества сделано это тело. Если, например, в воде находится шарик, то давление окружающих слоев воды будет одним и тем же независимо от того, сделан ли этот шарик из пластмассы, стекла или стали. (Точно так же давление столба жидкости на дно сосуда не зависит от того, из какого материала изготовлено дно этого сосуда.) А раз так, то рассмотрим простейший случай, когда погруженное в жидкость тело состоит из той же жидкости, в которую оно погружено. Это (жидкое) тело, как и любая другая часть окружающей жидкости, будет, очевидно, находиться в равновесии. Поэтому приложенная к нему архимедова сила F А будет уравновешена действующей вниз силой тяжести m ж g (где m ж -масса жидкости в объеме данного тела):

F A = m ж g . (47.1)

Но сила тяжести m ж g равна весу вытесненной жидкости Р ж . Таким образом, F A = Р ж , что и требовалось доказать.

Формулу (47.1) можно переписать в другом виде. Учитывая, что масса жидкости mж равна произведению ее плотности ρ ж на объем V ж , получаем

F A = ρ ж V ж g . (47.2)

Через V ж здесь обозначен объем вытесненной жидкости. Этот объем равен объему той части тела, которая погружена в жидкость. Если тело погружено в жидкость целиком, то он совпадает с объемом V всего тела; если же тело погружено в жидкость частично, то он меньше объема V тела (рис. 134).
Формула (47.2) остается справедливой и для архимедовой силы, действующей в газе; только в этом случае в нее следует подставлять плотность газа и объем вытесненного газа, а не жидкости.

С учетом вышеизложенного закон Архимеда в настоящее время формулируют следующим образом:

На всякое тело, погруженное в покоящуюся жидкость (или газ), действует со стороны этой жидкости (или газа) выталкивающая сила, равная произведению плотности жидкости (или газа), ускорения свободного падения и объема той части тела, которая погружена в жидкость (или газ).

1. Сформулируйте закон Архимеда в старой и современной (более общей) форме. 2. Имеются два шарика одинакового радиуса: деревянный и стальной. Одинаковая ли выталкивающая сила будет действовать на них при их полном погружении в воду? 3. Тело полностью погрузили сначала в чистую воду, а затем - в соленую. В какой воде на тело действовала большая выталкивающая сила? 4. К коромыслу весов подвешены два цилиндра одинаковой массы: свинцовый и алюминиевый. Весы находятся в равновесии. Нарушится ли равновесие весов, если оба цилиндра одновременно погрузить в воду? 5. К коромыслу весов подвешены два одинаковых по объему алюминиевых цилиндра. Нарушится ли равновесие весов, если один цилиндр погрузить в воду, а другой (одновременно с первым) - в спирт?