Скачать с Depositfiles

Лекция № 9. Тема 3 : Линии второго порядка

Пусть в некоторой ДСК задана линия, определяемая уравнением второй степени

где коэффициенты
одновременно не равны нулю. Эта линия назы-вается кривой или линией второго порядка .

Может случиться, что нет точек
с действительными коорди-натами, удовлетворяющими уравнению (1). В этом случае считают, что уравнение (1) определяет мнимую линию второго порядка. Например,
 это уравнение мнимой окружности.

Рассмотрим три важных частных случаев уравнения (1).

3.1. Эллипс

Эллипс определяется уравнением

(2)

Коэффициенты а и b называются соответственно большой и малой полуосями, а уравнение (2) – каноническим уравнением эллипса.

Положим
и отметим на оси Ох точки

называемые фокусами эллипса. Тогда эллипс можно определить как

геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до фокусов есть величина постоянная, равная 2а .

у

b

M K

— а F 1 O F 2 a x

— b

Покажем это. Пусть точка
 текущая точка эллипса. В этом случае получаем Тогда должно выполняться равенство

Выражение (3) представим в виде

и возведём в квадрат обе части выражения

Отсюда получаем

Еще раз возведём это выражение в квадрат и воспользуемся соотно-шением
, тогда

(4)

Разделив обе части выражения (4) на
, окончательно получаем каноническое уравнение эллипса

Исследуем уравнение (2). Если в уравнении заменить , то уравнение (2) не изменится. Это означает, что эллипс симметричен относительно координатных осей. Поэтому рассмотрим подробно часть эллипса, находящуюся в первой четверти. Она определяется уравнением
Очевидно, что эллипс проходит через точки
. Выполнив схематическое построение в первой четверти, симметрично отобразим его график во все четверти. Таким образом, эллипс является непрерывной замкнутой кривой. Точки называются вершинами эллипса.

Отношение
называется эксцентриситетом эллипса. Для эллипса
.

Прямые
называются директрисами эллипса.

Справедливо следующее свойство директрис :

Отношение расстояний от фокуса и директрисы для точек эллипса есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Доказывается аналогично, как и равенство (3).

Замечание 1. Окружность
является частным случаем эллипса. Для неё

3.2. Гипербола

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

т.е. в уравнении (1) нужно положить

Коэффициенты а и b называются соответственно вещественной и мнимой полуосями.

Положив
, отметим на оси Ох точки
на-зываемые фокусами гиперболы. Тогда гиперболу можно определить как

геометрическое место точек, разность расстояний от которых до фокусов по абсолютной величине равна 2 а , т.е.

у

К М

F 1 —а О а F 2 х

Доказывается аналогично, как и для эллипса. По виду уравнения гиперболы так же заключаем, что её график симметричен относительно осей системы координат. Часть гиперболы, лежащая в первой четверти, имеет уравнение
Из этого уравнения видно, что при достаточно больших х гипербола близка к прямой
. После схематичного построения в первой четверти симметрично отобра-жаем график во все четверти.

Точки
называются вершинами гиперболы. Прямые
называются асимптотами – это прямые, к которым стремятся ветви гиперболы, не пересекая их.

Отношение называется эксцентриситетом гиперболы. Для гиперболы
.

Прямые называются директрисами гиперболы. Для директрис гиперболы имеет место свойство, аналогичное, как и для директрис эллипса.

Пример. Найти уравнение эллипса, вершины которого находятся в фокусах, а фокусы в вершинах гиперболы
.

По условию
а

Окончательно получаем

10.3. Парабола

Парабола определяется каноническим уравнением
т.е. в уравнении (1) нужно положить

Коэффициент р называется К у

фокальным параметром. М

Отметим на оси Ох точку

называемую фокусом

 эллипс;

 парабола;

 гипербола .

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

где A, B, C, D, E, F - числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

Эллипс, заданный каноническим уравнением

Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы обозначены как и на рисунке ниже.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

где a и b (a > b ) - длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a , О ) и (- a , О ), а ось ординат - в точках (b , О ) и (- b , О ). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат - малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид . Это уравнение окружности радиуса a , а окружность - частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a /b раз вдоль оси Oy .

Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением , эллипсом.

Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия - эллипс.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось - это a = 5 , меньшая полуось - это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:

Точки и , обозначенные зелёным на большей оси, где

называются фокусами .

называется эксцентриситетом эллипса.

Отношение b /a характеризует "сплюснутость" эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.

Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.

Решение. Делаем несложные умозаключения:

Если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,

Если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

Подставляем и вычисляем:

Результат - каноническое уравнение эллипса:

Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет .

Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c , нужное для вычисления длины меньшей полуоси:

.

Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

Составляем каноническое уравнение эллипса:

Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением .

Решение. Следует найти число c , определяющее первые координаты фокусов эллипса:

.

Получаем фокусы эллипса:

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) расстояние между фокусами 30, а большая ось 34

2) малая ось 24, а один из фокусов находится в точке (-5; 0)

3) эксцентриситет , а один из фокусов находится в точке (6; 0)

Продолжаем решать задачи на эллипс вместе

Если - произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и - расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний - следующие:

Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a .

Прямые, определяемые уравнениями

называются директрисами эллипса (на чертеже - красные линии по краям).

Из двух вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки эллипса

,

где и - расстояния этой точки до директрис и .

Пример 7. Дан эллипс . Составить уравнение его директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. . Все данные для этого есть. Вычисляем:

.

Получаем уравнение директрис эллипса:

Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки , а директрисами являются прямые .

Свойства кривых второго порядка

Эллипс, гипербола, парабола

Если в уравнении F(x , y ) = 0 линии на плоскости функция F(x , y ) есть многочлен некоторой степени от двух переменных, то такая линия называется алгебраической , степень многочлена называется порядком кривой. Например, прямая – алгебраическая линия первого порядка. Рассмотрим линии второго порядка.

К кривым второго порядка относятся эллипс, гипербола и парабола. Эти кривые играют большую роль в прикладных вопросах.

Определение 1.

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек, принадлежащих этой же плоскости и называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Найдем уравнение эллипса. Для этого возьмем систему координат так, чтобы ось ОХ проходила через фокусы, а ось OY делила расстояние между фокусами пополам. Пусть расстояние между фокусами F 1 и F 2 равно 2с , а сумма расстояний от текущей точки М(х , у ) эллипса до фокусов равна 2а : r 1 + r 2 = 2a , 2a > 2с .

Тогда фокусы имеют координаты F 1 (с , 0) и F 2 (–с , 0), расстояния от т. М(х , у ) до фокусов равны соответственно

r 1 = , r 2 = .

Из определения получаем уравнение эллипса

+ = 2а

Упрощая это уравнение, получим

Полагая здесь а 2 – с 2 = b 2 , получим уравнение

, (1)

которое называется каноническим уравнением эллипса .

Исследуем форму эллипса, используя это уравнение.

1) Нетрудно видеть, что если точка (х , у ) принадлежит эллипсу, то ему принадлежат и точки (–х , у ), (х , –у ) , (–х , –у ), т.е. эллипс симметричен относительно осей координат и относительно начала координат.

2) Запишем уравнение (1) в виде откуда следует, что х Î[–a ; a ], y Î [–b , b ].

3) В силу симметрии достаточно изучить характер линии при х Î.

Когда х растет от 0 до а , убывает от b до 0, т.к. у ¢ = < 0 для всех х Î и отразим его симметрично относительно осей координат и начала координат.

Точки А, В, С, D пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса , точка О называется центром эллипса, отрезок АО = ОС = а называется большой полуосью, а ОВ = OD = b – малой полуосью эллипса, расстояния r 1 и r 2 от точки эллипса до фокусов называются фокальными радиусами .

Если бы мы расположили фокусы эллипса на оси ОУ, уравнение эллипса имело бы точно такой же вид, как и уравнение (1), только большой полуосью была бы b . В дальнейшем, договоримся, что большая полуось соответствует оси, на которой лежат фокусы эллипса и, наоборот, из уравнения эллипса по большему параметру а или b можно определить, на какой оси координат лежат фокусы эллипса.

На практике по заданному каноническому уравнению построить эллипс можно так: от начала координат влево и вправо по оси ОХ отложить отрезки длиной а , а по оси ОУ вверх и вниз – отрезки длины b . Через полученные точки-вершины провести гладкую замкнутую овальную линию.

Если а = b = , то с = 0, фокусы эллипса сливаются в одну точку – начало координат – и эллипс вырождается в окружность

х 2 +у 2 = а 2

с центром в начале координат и радиусом а .

Определение 2.

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний которых до двух заданных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Если расположить фокусы гиперболы на оси ОХ так, чтобы начало координат оказалось в середине между ними, обозначить расстояние между фокусами 2с , модуль разности расстояний – 2а , 2a > 2с , то символьное уравнение гиперболы будет иметь вид |r 1 – r 2 | = 2a , а в координатной форме оно запишется так:

½ – ½= 2а .

Преобразовав это уравнение так же как в случае уравнения эллипса, и обозначив b 2 = с 2 – а 2 , получим каноническое уравнение гиперболы

, (2).

Исследуя форму гиперболу, находим, что

1) кривая симметрична относительно осей и начала координат, поэтому исследование формы достаточно провести для части кривой, расположенной в первой четверти и являющейся графиком функции , х Î [а , +¥), ;

2) точки пересечения с осью ОХ (–а , 0) и (а , 0) – эти точки называются вершинами гиперболы ; с осью ОУ кривая не пересекается;

3) прямые у = являются асимптотами гиперболы. При изменении х от а до бесконечности функция возрастает от 0 до бесконечности, т.к. у ¢ = > 0 для всех х Î[a , +¥). Кроме того, эта часть кривой выпуклая: у ¢¢= >0 при х Î[a , +¥). Изобразив часть гиперболы в первой четверти в соответствии с этими исследованиями, затем отобразим эту линию симметрично относительно осей и начала координат на остальные четверти, получим искомую гиперболу.

На практике по заданному каноническому уравнению гиперболу строят так.

1. Сначала строят осевой прямоугольник: слева и справа от начала координат на расстоянии а проводят прямые, параллельные оси ОУ, а сверху и снизу на расстоянии b от начала координат – прямые, параллельные оси ОХ.

2. Прямые, на которых лежат диагонали полученного прямоугольника, есть асимптоты гиперболы.

3. Точки пересечения сторон прямоугольника с осью ОХ – вершины гиперболы. От вершин к асимптотам в левой и правой полуплоскости проводят ветви гиперболы.

Точки А(–а , 0) и С(а , 0) называются вершинами гиперболы, точка О (начало координат) – центром гиперболы. Отрезок ОА = ОС = а называется действительной полуосью гиперболы, отрезок ОВ = OD = b – мнимой полуосью . Оси координат при этом так же называют соответственно действительной осью (ее гипербола пересекает в двух точках) и мнимой осью (ее гипербола не пересекает). Расстояния r 1 и r 2 от точки гипербол до фокусов называются фокальными радиусами .

Если фокусы гиперболы расположить на оси ОУ, то ее уравнение будет иметь вид

, или , (3).

где а –мнимая полуось, b – действительная. Гиперболы (2) и (3) называются сопряженными . Они имеют одни и те же асимптоты.

Таким образом, по каноническому уравнению гиперболы легко определить, какая из осей является действительной (ось, квадрат переменной которой входит в уравнение со знаком плюс), а какая – мнимой (квадрат соответствующей переменной входит со знаком минус).

Если а = b , гипербола называется равносторонней (равнобочной), ее асимптоты перпендикулярны друг другу.

Определение 3.

Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки (фокуса) и от заданной прямой (директрисы), лежащих в одной плоскости.

Найдем уравнение параболы, используя это определение.

Пусть р – расстояние между фокусом F и директрисой D . Расположим систему координат так чтобы директриса была параллельна оси ОУ, фокус находился на оси ОХ, начало координат располагалось посередине между фокусом и директрисой. Пусть М(х , у ) – текущая точка параболы, фокус F( ,0), уравнение директрисы х =– , проекция точки М на директрису – точка К(– , х ). Тогда символьное уравнение параболы |FM| = |MK| в координатной форме примет вид

После преобразований получаем у 2 = 2рх .

Если фокус параболы поместить в точку F(– , 0), а директрисой взять прямую х = , то уравнение приобретет вид у 2 = –2рх . Поэтому каноническим уравнением параболы называют уравнение вида

у 2 = 2рх , (4)

где р – параметр произвольного знака.

Исследуем расположение параболы по ее каноническому уравнению (4).

1) Проходит через начало координат (0, 0).

2) Кривая симметрична относительно оси ОХ: точки (х , у ) и (х , –у ) принадлежат параболе. Ось ОХ при этом называют осью параболы .

3) В силу симметрии исследование достаточно провести при у > 0. Рассмотрим функцию , при р > 0 область определения этой функции х Î. Производные этой функции равны у ¢ = , у ¢¢= .Для р >0 эта функция возрастает при х Î(0, +¥), убывает при х Î(–¥, 0), а в точке (0, 0) имеет минимум. Для р < 0, наоборот, при х Î(0, +¥) убывает, при х Î(–¥, 0) возрастает, в точке (0, 0) – максимум. Точку (0, 0) называют вершиной параболы . При р >0 и при у ¢¢ < 0, значит, кривая выпуклая.

4) По этим исследованиям вырисовывается следующая кривая

Если фокус параболы расположить на оси ОУ, директрису провести параллельно оси ОХ, начало координат расположить по-прежнему посередине между фокусом и директрисой, то получим уравнение параболы в виде

х 2 = 2ру , (5)

которое также называется каноническим уравнением параболы. Эта парабола имеет вершиной начало координат, осью симметрии ось ОУ; при р >0 ветви параболы направлены вверх, при р < 0 – вниз.

Свойства кривых второго порядка

Для всех рассмотренных кривых есть общая характеристика: фокус.

Фокус в переводе с латинского означает очаг . С фокусами кривых второго порядка связаны их оптические свойства

Представим себе, что эллипс, гипербола, парабола вращаются вокруг оси, содержащей фокусы. При этом образуется поверхность, которую называют соответственно эллипсоидом, гиперболоидом, параболоидом. Если реальную поверхность такого вида покрыть (со стороны фокусов) амальгамой, то получится соответственно эллиптическое, гиперболическое, параболическое зеркало. Известные из физики законы отражения света позволяют сделать такие выводы:

1) Если источник света поместить в одном из фокусов эллиптического зеркала, то его лучи, отразившись от зеркала, соберутся в другом фокусе.

Этим свойством пользовались фокусники: помещали источник света в одном фокусе эллиптического зеркала, в другом – воспламеняющееся вещество, которое загоралось без видимых причин, что поражало зрителей. Поэтому слово «фокус» получило тот смысл, в котором мы привыкли его употреблять.

2) Если источник света поместить в фокусе параболического зеркала, то его лучи, отразившись, пойдут параллельно оси параболы. На этом основано устройство прожектора.

3) Если источник света поместить в одном из фокусов гиперболического зеркала, то его лучи пойдут так, как если бы они исходили из второго фокуса.

Наряду с фокусами, характерными компонентами кривых второго порядка являются директрисы и эксцентриситет.

Определение 4.

Прямая D называется директрисой кривой, если отношение расстояния d от любой точки кривой до L к расстоянию r от этой точки до фокуса F кривой есть величина постоянная. Величина называется эксцентриситетом кривой.

Эллипс имеет две директрисы D 1 и D 2 , расположенные вне эллипса, и перпендикулярные большой оси (параллельные малой) эллипса.

У гиперболы также две директрисы, расположены они между ветвями гиперболы перпендикулярно действительной оси (параллельно мнимой оси).

Уравнения директрис эллипса и гиперболы имеют вид , где а – большая или действительная полуось; директриса и фокус, расположенные по одну сторону от центра кривой, называются соответствующими друг другу. Постоянным является отношение расстояний от точки кривой до соответствующих друг другу фокусов и директрис.

У параболы один фокус и одна директриса, перпендикулярная оси параболы. Уравнения директрис в зависимости от расположения фокуса имеют вид .

Эксцентриситет кривой второго порядка характеризует форму этой кривой. Для эллипса эксцентриситет e < 1, для гиперболы e >1, у параболы e = 1, у окружности e = 0. Если а – большая или действительная полуось, с – половина фокусного расстояния, то эксцентриситет равен . Зависимость формы кривой второго порядка с одними и теми же фокусом и директрисой от эксцентриситета показана на рисунке.

1. Линии второго порядка на евклидовой плоскости.

2. Инварианты уравнений линий второго порядка.

3. Определение вида линий второго порядка по инвариантам ее уравнения.

4. Линии второго порядка на аффинной плоскости. Теорема единственности.

5. Центры линий второго порядка.

6. Асимптоты и диаметры линий второго порядка.

7. Привидение уравнений линий второго порядка к простейшему.

8. Главные направления и диаметры линий второго порядка.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Линии второго порядка в евклидовой плоскости.

Определение:

Евклидова плоскость – это пространство размерности 2,

(двумерное вещественное пространство).

Линии второго порядка представляют собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.

Эти линии часто встречаются в различных вопросах естествознания. Например, движение материальной точки под воздействием центрального поля силы тяжести проис­ходит по одной из этих линий.

Если секущая плоскость пересекает все прямолинейные образующие одной полости конуса, то в сечении получится ли­ния, называемая эллипсом (рис. 1.1,а). Если секущая плоскость пересекает образующие обеих полостей конуса, то в сечении по­лучится линия, называемая гиперболой (рис. 1.1,6). И, наконец, если секущая плоскость параллельна одной из образующих ко­нуса (на 1.1, в - это образующая АВ), то в сечении получится линия, называемая параболой. Рис. 1.1 дает наглядное представление о форме рассматриваемых линий.

Рисунок 1.1

Общее уравнение линии второго порядка имеет следующий вид:

(1)

(1*)

Эллипсом называется множесво точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F 1 и F 2 этой плоскости, называемых фо­кусами, есть величина постоянная.

При этом не исключается совпадение фокусов эллипса. Оче­видно, если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.

Для вывода канонического уравнения эллипса выберем на­чало О декартовой системы координат в середине отрезка F 1 F 2 , а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 1.2 (если фокусы F 1 и F 2 совпадают, то О совпадает с F 1 и F 2 , а за ось Ох можно взять лю­бую ось, проходящую через О).

Пусть длина отрезка F 1 F 2 F 1 и F 2 соответствен­но имеют координаты (-с, 0) и (с, 0). Обозначим через 2а постоян­ную, о которой говорится в опреде­лении эллипса. Очевидно, 2а > 2с, т. е. а > с ( Если М - точка эллипса (см. рис. 1.2), то | MF ] |+ | MF 2 | = 2 a , а так как сумма двух сторон MF 1 и MF 2 треугольника MF 1 F 2 больше третьей стороны F 1 F 2 = 2c, то 2а > 2с. Случай 2а = 2с естественно исключить, так как тогда точка М располагается на отрезке F 1 F 2 и эллипс вырождается в отрезок.).

Пусть М - точка плоскости с координатами (х, у) (рис. 1.2). Обозначим через r 1 и r 2 расстояния от точки М до точек F 1 и F 2 соответственно. Со­гласно определению эллипса равенство

r 1 + r 2 = 2а (1.1)

является необходимым и достаточным условием расположения точки М (х, у) на данном эллипсе.

Используя формулу расстояния между двумя точками, получим

(1.2)

Из (1.1) и (1.2) вытекает, что соотношение

(1.3)

представляет собой необходимое и достаточное условие распо­ложения точки М с координатами х и у на данном эллипсе. По­этому соотношение (1.3) можно рассматривать как уравнение эллипса. Путем стандартного приема «уничтожения радикалов» это уравнение приводится к виду

(1.4) (1.5)

Так как уравнение (1.4) представляет собой алгебраическое следствие уравнения эллипса (1.3), то координаты х и у любой точки М эллипса будут удовлетворять и уравнению (1.4). По­скольку при алгебраических преобразованиях, связанных с изба­влением от радикалов, могли появиться «лишние корни», мы дол­жны убедиться в том, что любая точка М, координаты которой удовлетворяют уравнению (1.4), располагается на данном эллипсе. Для этого, очевидно, достаточно доказать, что величи­ны r 1 и r 2 для каждой точки удовлетворяют соотношению (1.1). Итак, пусть координаты х и у точки М удовлетворяют уравне­нию (1.4). Подставляя значение у 2 из (1.4) в правую часть вы­ражения (1.2) для г 1 после несложных преобразований найдем, что

, тогда .

Совершенно аналогично найдем, что

. Таким обра­зом, для рассматриваемой точки М , (1.6)

т. е.r 1 + r 2 = 2а, и поэтому точка М располагается на эллипсе. Уравнение (1.4) называется каноническим уравнением эллипса. Величины а и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса (наименование «большая» и «малая» объяс­няется тем, что а>Ь).

Замечание . Если полуоси эллипса а и b равны, то эллипс представляет собой окружность, радиус которой равен R = a = b , а центр совпадает с началом координат.

Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых абсолютная величина раз­ности расстояний до двух фиксированных точек, F 1 и F 2 этой пло­скости, называемых фокусами, есть величина постоянная ( Фокусы F 1 и F 2 гиперболы естественно считать различными, ибо если указанная в определении гиперболы постоянная не равна нулю, то нет ни одной точки плоскости при совпаденииF 1 и F 2 , которая бы удовлетворяла требованиям определения гиперболы. Если же эта постоянная равна нулю и F 1 совпадает с F 2 , то любая точка плоскости удовлетворяет требованиям определения гиперболы.).

Для вывода канонического уравнения гиперболы выберем начало координат в середине отрезка F 1 F 2 , а оси Ох и Оу на­правим так, как указано на рис. 1.2. Пусть длина отрезка F 1 F 2 равна 2с. Тогда в выбранной системе координат точки F 1 и F 2 соответственно имеют координаты (-с, 0) и (с, 0) Обозначим через 2а постоянную, о которой говорится в определении гипер­болы. Очевидно, 2a< 2с, т. е. a < с. Мы должны убедиться в том, что уравнение (1.9), получен­ное путем алгебраических преобразований уравнения (1.8), не приобрело новых корней. Для этого достаточно доказать, что для каждой точки М, координаты х и у которой удовлетворяют уравнению (1.9), величины r 1 и r 2 удовлетворяют соотношению (1.7). Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые были сделаны при выводе формул (1.6), найдем для интересующих нас величин r 1 и r 2 следующие выражения:

(1.11)

Таким образом, для рассматриваемой точки М имеем

, и поэтому она располагается на гиперболе.

Уравнение (1.9) называется каноническим уравнением ги­перболы. Величины а и b называются соответственно действи­тельной и мнимой полуосями гиперболы.

Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до не­которой фиксированной прямой, также расположенной в рас­сматриваемой плоскости.