Для обогрева помещения температура в котором равна тп 20 через радиатор отопления пропускают горячую воду. При каком наименьшем значении константы 

Продолжаем рассматривать прикладные задачи, которые входят в состав ЕГЭ по математике. Если вы не читали статью « ! » , то советую с ней ознакомиться. В этой статье речь пойдёт о задачах, где используется понятие логарифма. Повторюсь, что в решении таких задач нет сложностей. Необходимо в данную в условии формулу подставить исходные величины. В данных задачах решение их сводится к решению логарифмического уравнения, либо .

Что необходимо знать о логарифме?

1. Основное логарифмическое тождество.

Определение: Логарифмом числа a по основанию b называется показатель степени, в который нужно возвести b, чтобы получить a.

log b a = x b x = a

(a > 0, b > 0, b ≠ 1)

Например:

log 3 9 = 2 так как 3 2 = 9

Основное логарифмическое тождество:

2. Как решенается простое .

3. Как решается простое .

Рассмотрим задачи из открытого банка задач ЕГЭ по математике:

Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре C = 5∙10 -6 Ф. Параллельно с конденсатором подключен резистор с сопротивлением R = 2∙10 Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе U 0 = 25 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением:

Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 46 с.

Нам необходимо найти наибольшее возможное U на конденсаторе, при условии, что прошло не менее 46 секунд, то есть t ≥ 46.

Двойку представим в виде логарифма с основанием 2:

Знаки логарифмов мы можем снять, так как основания логарифмов в обеих частях равны. Знак неравенства не изменяется, так как основание логарифма больше единицы. Таким образом, далее будем неравенство:

Напряжение величина положительная, знак неравенства не меняется (при умножении частей неравенства на отрицательное число знак изменяется на противоположный):

Наибольшее возможное напряжение на конденсаторе 6,25 кВ.

Ответ: 6,25

Решить самостоятельно:

Для обогрева помещения, температура в котором равна Т п = 20 0 С, через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой Т в = 100 0 С. Расход проходящей через трубу воды m = 0,2 кг/с. Проходя по трубе расстояние x (м), вода охлаждается до температуры Т 0 С, при чём

где с = 4200Дж/кг∙С - теплоемкость воды

γ = 42 Вт/м∙ 0 С- коэффициент теплообмена

α = 1,4 - постоянная.

До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 28 м?

В данном случае необходимо решить уравнение:

Найдём Т, подставив все известные значения:

Единицу представим в виде логарифма с основанием 1:

Так как основания логарифмов равны, то равны их подлогарифмические выражения:

Вода охладится до температуры 60 градусов Цельсия.

Ответ: 60

Решить самостоятельно:

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени υ = 4 моля воздуха объемом V 1 = 15л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма V 2 . Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением:

где α = 9,15- постоянная

Т = 300К- температура воздуха.

Какой объём V 2 (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10980 Дж.

В данной задаче необходимо найти V 2 , подставив все известные значения в формулу:

В отличие от уже решённых задач, так можно использовать определение основного логарифмического тождества:

Воздух станет занимать 7,5 литра.

Ответ: 7,5

Решить самостоятельно:

Находящийся в воде водолазный колокол, содержащий υ = 6 моля воздуха при давлении p 1 = 2,5 атмосферы, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением:

α = 5,75- постоянная - постоянная

Т = 300К - температура воздуха

p 1 (атм) - начальное давление

p 2 (атм) - конечное давление воздуха в колоколе.

До какого наибольшего давления p 2 можно сжать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха совершается работа не более чем 10350 Дж? Ответ приведите в атмосферах.

Сказано, что «совершается работа не более, чем 10350 Дж», то есть максимальная работа, которая совершается при сжатии воздуха это 10350 Дж. Наибольшее давление будет достигнуто именно при максимальной работе, поэтому подставив все известные величины в выражение, решим уравнение и найдём p 2:

Подведём итог:

1. Подставляем данные в условии величины в формулу.

2. Внимательно вычисляем.

Если решаем уравнение, то используем определение основного логарифмического тождества. Либо свойство логарифма при решении уравнений (знаки логарифмов с одним основанием можно «снимать», то есть приравнивать подлогарифмические выражения).

Если решаем неравенство, то при снятии знаков логарифма обращаем внимание на его основание. Если оно принадлежит интервалу от 0 до 1, то знак неравенства меняем на противоположный. Если более единицы, то знак неравенства не изменяем.

Решения задач из открытого банка заданий ЕГЭ по математике.

1. Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре С = 3 × 10 -6 Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением R = 8 × 10 6 Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе U 0 = 4 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением t = aRC × log 2 (U 0 / U ) (с), где a = 1,4 — постоянная. Определите наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 33,6 с. Ответ дайте в кВ (киловольтах).

2. Для обогрева помещения, температура в котором равна T П = 20 ° С , через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой T В = 68 ° С . Расход проходящей через трубу воды m = 0,2 кг/с. Проходя по трубе расстояние x (м), вода охлаждается до температуры T ( ° С ) , причём x = acm / g log 2 (( T В - T П )/( T - T П )) (м), где c = 4200 Дж/(кг × ° С ) — теплоёмкость воды, g = 21В т/(м × ° С ) — коэффициент теплообмена, а a = 1,7 — постоянная. До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 136 м?

3. Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неё проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку, (в Н м) определяется формулой M = NIBl 2 sin a , где I = 10 A — сила тока в рамке, B = 3 × 10 -3 Тл — значение индукции магнитного поля, l = 0,4 м — размер рамки, N = 1200 — число витков провода в рамке, a — острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла a (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент M был не меньше 2,88 Н м?

4. Очень лёгкий заряженный металлический шарик зарядом q = 5 × 10 -6 Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет v = 6 м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции B которого лежит в той же плоскости и составляет угол a с направлением движения шарика. Значение индукции поля, B = 4 × 10 -3 Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная F Л = qvB sin a (Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла a , лежащего на отрезке шарик оторвётся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила F Л была не менее чем 6 × 10 -8 Н? Ответ дайте в градусах.

5. Небольшой мячик бросают под острым углом a к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле L = ( v 0 ) 2 sin 2 a / g (м), где v 0 =10 м/с — начальная скорость мячика, а g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной 10 м?

1. Решение. Чтобы ответить на вопрос, мы должны подставить все значения в формулу и решить неравенство 1,4 × 8 × 10 6 × 3 × 10 -6 × log 2 (4/ U ) ³ 33,6 . После умножения получаем 33,6 × log 2 (4/ U ) ³ 33,6, или log 2 (4/ U ) ³ 1. Отсюда 4/ U ³ 1, 4 ³ U . Ответ 4.

2. Решение.

136 = 1,7 × 4200 × 0,2 × log 2 ((68 - 20)/(T - 20))/21,

136 = 68 × log 2 (48 /( T - 20)), делим обе чсти уравнения на 68,

2 = log 2 (48 /(T - 20)),

48 /(T - 20)=4, T – 20=12, T =32.

3. Решение. Чтобы ответить на вопрос, мы должны подставить все значения в формулу и решить уравнение

2,88 = 1200 × 10 × 3 × 10 -3 × (0,4) 2 × sin a , перемножив числа в правой части, получаем

2,88 = 5,76 × sin a , отсюда sin a =0,5, a =30 ° .

4. Решение. Чтобы ответить на вопрос, мы должны подставить все значения в формулу и решить уравнение

6 × 10 -8 = 5 × 10 -6 × 6 × 4 × 10 -3 × sin a , перемножив числа в правой части, получаем

Решения задач из открытого банка заданий ЕГЭ по математике.

1. Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре С = 3 × 10 -6 Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением R = 8 × 10 6 Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе U 0 = 4 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением t = aRC × log 2 (U 0 / U ) (с), где a = 1,4 — постоянная. Определите наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 33,6 с. Ответ дайте в кВ (киловольтах).

2. Для обогрева помещения, температура в котором равна T П = 20 ° С , через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой T В = 68 ° С . Расход проходящей через трубу воды m = 0,2 кг/с. Проходя по трубе расстояние x (м), вода охлаждается до температуры T ( ° С ) , причём x = acm / g log 2 (( T В - T П )/( T - T П )) (м), где c = 4200 Дж/(кг × ° С ) — теплоёмкость воды, g = 21В т/(м × ° С ) — коэффициент теплообмена, а a = 1,7 — постоянная. До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 136 м?

3. Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неё проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку, (в Н м) определяется формулой M = NIBl 2 sin a , где I = 10 A — сила тока в рамке, B = 3 × 10 -3 Тл — значение индукции магнитного поля, l = 0,4 м — размер рамки, N = 1200 — число витков провода в рамке, a — острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла a (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент M был не меньше 2,88 Н м?

4. Очень лёгкий заряженный металлический шарик зарядом q = 5 × 10 -6 Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет v = 6 м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции B которого лежит в той же плоскости и составляет угол a с направлением движения шарика. Значение индукции поля, B = 4 × 10 -3 Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная F Л = qvB sin a (Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла a , лежащего на отрезке шарик оторвётся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила F Л была не менее чем 6 × 10 -8 Н? Ответ дайте в градусах.

5. Небольшой мячик бросают под острым углом a к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле L = ( v 0 ) 2 sin 2 a / g (м), где v 0 =10 м/с — начальная скорость мячика, а g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной 10 м?

1. Решение. Чтобы ответить на вопрос, мы должны подставить все значения в формулу и решить неравенство 1,4 × 8 × 10 6 × 3 × 10 -6 × log 2 (4/ U ) ³ 33,6 . После умножения получаем 33,6 × log 2 (4/ U ) ³ 33,6, или log 2 (4/ U ) ³ 1. Отсюда 4/ U ³ 1, 4 ³ U . Ответ 4.

2. Решение.

136 = 1,7 × 4200 × 0,2 × log 2 ((68 - 20)/(T - 20))/21,

136 = 68 × log 2 (48 /( T - 20)), делим обе чсти уравнения на 68,

2 = log 2 (48 /(T - 20)),

48 /(T - 20)=4, T – 20=12, T =32.

3. Решение. Чтобы ответить на вопрос, мы должны подставить все значения в формулу и решить уравнение

2,88 = 1200 × 10 × 3 × 10 -3 × (0,4) 2 × sin a , перемножив числа в правой части, получаем

2,88 = 5,76 × sin a , отсюда sin a =0,5, a =30 ° .

4. Решение. Чтобы ответить на вопрос, мы должны подставить все значения в формулу и решить уравнение

6 × 10 -8 = 5 × 10 -6 × 6 × 4 × 10 -3 × sin a , перемножив числа в правой части, получаем

ЕГЭ 2014 Типовой вариант 6
Условия задач с ответами и решениями

B1 . В летнем лагере на каждого участника полагается 30 г сахара в день. В лагере 223 человека. Сколько килограммовых упаковок сахара понадобится на весь лагерь на 8 дней?

B2 . На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Рио-де-Жанейро за каждый месяц 2009 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме разность между наибольшей и наименьшей среднемесячной температурой в 2009 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.

B3 . Найдите площадь трапеции, вершинами которой являются точки с координатами (1;6), (7;6), (4;1), (2;1).

B4 . В таблице указаны средние цены (в рублях) на некоторые основные продукты питания в трех городах России (по данным на начало 2010 года). Определите, в каком из этих городов окажется самым дешевым следующий набор продуктов: 2 батона пшеничного хлеба, 3 кг говядины, 1 л подсолнечного масла. В ответ запишите стоимость данного набора продуктов в этом городе (в рублях)

B5 . Найдите корень уравнение

B6 . Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 11, а одна из диагоналей ромба равна 44. Найдите величину тупого угла ромба. Ответ дайте в градусах.

B7 . Найдите значение выражения .

B8 . На рисунке изображен график функции и десять точек на оси абсцисс: . В скольких из этих точек производная функции положительна?

B9 . Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 12, а сторона основания равна 8. Найдите тангенс угла между плоскостью боковой грани и плоскостью основания пирамиды.

B10 . В торговом центре два одинаковых автомата продают чай. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится чай, равна 0,4. Вероятность того, что чай закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня чай останется в обоих автоматах.

B11 . Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6, боковые ребра равны 5. найдите площадь поверхности этой пирамиды.

B12 . Для обогрева помещения температура в котором равна T п = 20 о С, через радиатор отопления пропускают горячую воду температурой Т в = 88 о С. Расход проходящей через трубу воды m = 0,4 кг/c. Проходя по трубе расстояние x (м), вода охлаждается до температуры T (o C), причем (м), где с = 4200 Дж/(кг o C) - теплоемкость воды, Вт/(м o C) - коэффициент теплообмена, - постоянная. До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы равна 64 м?

B13 . В четверг акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в пятницу подешевели на то же число процентов. В результате они стали стоить на 9% дешевле, чем при открытие торгов в четверг. На сколько процентов подорожали акции компании в четверг?

B14 . Найдите наибольшее значение функции на отрезке

С1 . а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

С2 . В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 ребро основания AB = , а боковое ребро АА 1 = 7. Найдите тангенс угла между плоскостями BCA 1 и BB 1 C 1 .

С3 . Решите систему неравенств

С4 . Дан параллелограмм со сторонами 1 и 2 и острым углом 60 о. На двух его несмежных сторонах как на основаниях построены вне параллелограмма равнобедренные треугольники с углами 120 о при вершинах. Найдите расстояние между этими вершинами.

С5 . Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение, меньшее 2.

С6 . Друг за другом подряд выписали десятичную запись чисел и . Сколько всего цифр выписали?

28. Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени v =3 моля воздуха объёмом V 1 =8 л, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объема V 2 . Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением (Дж), где a =5,75 постоянная, а T =300 К - температура воздуха. Какой объем V 2 (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10350 Дж?

Ответ: 2

29. Находящи йся в воде водолазный колокол, содержащий v =2 моля воздуха при давлении p 1 =1,5 атмосферы, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением (Дж), где a =5,75 - постоянная, T =300 К - температура воздуха, p 1 (атм.) - начальное давление, а p 2 (атм.) - конечное давление воздуха в колоколе. До какого наибольшего давления p 2 можно сжать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха совершается работа не более чем 6900 Дж? Ответ приведите в атмосферах.

Ответ: 6

30. Для обогрева помещения, температура в котором равна T п =20°С, через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой T в =60°С. Расход проходящей через трубу воды m=0,3 кг/c. Проходя по трубе расстояние x (м), вода охлаждается до температуры T(°C), прочем (м), где с =4200 Дж/кг°С - теплоёмкость воды, γ =21 Вт/м∙°С - коэффициент теплообмена, а a = 0,7 - постоянная. До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 84 м?

Ответ: 30

31. Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре C =2∙10 -6 Ф. Параллельно c конденсатором подключен резистор c сопротивлением R =5∙10 6 Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе U 0 =16 кв. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кв.) за время, определяемое выражением (c), где a =0,7 - постоянная. Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 21 c?

Ответ: 2

32. Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону v(t)= 5sinπt (см/c), где t - время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 2,5 см/c? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Ответ: 0,67

33. Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону v(t )=0,5sinπt , где t - время в секундах. Кинетическая энергия груза, измеряемая в джоулях, вычисляется по формуле , где m - масса груза (в кг), v - скорость груза (в м/c). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее 5∙10 -3 Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых .

Ответ: 0,5

34. Небольшой мячик бросают под острым углом a к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле (м), где v 0 g - ускорение свободного падения (считайте g=10). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной 20 м?

Ответ:15

35. Небольшой мячик бросают под острым углом a к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полете мячика, выраженная в метрах, определяется формулой , где v 0 =20 м/c - начальная скорость мяча, а g - ускорение свободного падения (считайте g =10). При каком наименьшем значении угла a (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 4 м на расстоянии 1 м?

Ответ: 30

36. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону U=U 0 sin(ωt+φ), где t - время в секундах, амплитуда U 0 =2, частота ω=120°/c, фаза φ= -30°. Датчик настроен так, что, если напряжение в нем не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Ответ: 50

37. Некоторая компания продает свою продукцию по цене p =500 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют v =300 руб., постоянные расходы предприятия f =700000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле π(q)=q(p-v)-f . Определите наименьший месячный объем производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 300000 руб.

Ответ: 5000

38. Зависимость объем спроса q (тыс. руб.) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задается формулой q =100-10p . Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p)=q∙p. Определите наибольшую цену p , при которой месячная выручка r (p ) составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Ответ: 6

39. Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности In , оперативности Op , объективности публикаций Tr , а также качества сайта Q . Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 5-балльной шкале целыми числами от -2 до 2. Аналитики, составляющие формулу рейтинга, считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций - впятеро дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид . Если по всем четырем показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число А, при котором это условие будет выполняться.

Ответ: 10

40. Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности In , оперативности Op , объективности публикаций Tr , а также качества сайта Q. Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 5-балльной шкале целыми числами от 1 до 5. Аналитики, составляющие формулу рейтинга, считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций - вдвое дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид . Каким должно быть число А, чтобы издание, у которого все оценки наибольшие, получило бы рейтинг 1?

Ответ: 35

41. Рейтинг R интернет-магазина вычисляется по формуле , где r пок - средняя оценка магазина покупателями (от 0 до 1), r экс - оценка магазина экспертами (от 0 до 0,7) и K - число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина «Бета», если число покупателей, оставивших отзыв о магазине, равно 20, их средняя оценка равна 0,65, а оценка экспертов равна 0,37.

Ответ: 0,625

42. Рейтинг R интернет-магазина вычисляется по формуле г де, , r экс - средняя оценка, данная экспертами, r пок - средняя оценка, данная покупателями, K - число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно 24, их средняя оценка равна 0,86, а оценка экспертов равна 0,11.

Ответ: 0,71

43. Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью v 0 =57 км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением a =12 км/ч 2 . Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением . Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее, чем в 30 км от города. Ответ выразите в минутах.

Ответ: 30

44. Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью v 0 =20 м/с, начал торможение с постоянным ускорением a =5 м/с 2 . За t – секунд после начала торможения он прошёл путь (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 30 метров. Ответ выразите в секундах.

Ответ: 2

45. Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a км/ч 2 . Скорость v вычисляется по формуле , где l - пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав один километр, приобрести скорость 100 км/ч. Ответ выразите в км/ч 2 .

Ответ: 5000

46. Автомобиль, масса которого равна m = 2160 кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение t секунд остаeтся неизменным, и проходит за это время путь S =500 метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно . Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдeт указанный путь, если известно, что сила F , приложенная к автомобилю, не меньше 2400 Н. Ответ выразите в секундах.

Ответ: 30

47. Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление P (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле , где m = 1200 кг – общая масса навеса и колонны, D – диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения g =10 м/с 2 , а π=3, определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше 400 000 Па. Ответ выразите в метрах.

Ответ: 0,2

48. Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неe проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку, (в Нм) определяется формулой , где I = 2 A – сила тока в рамке, B = 310 -3 Тл – значение индукции магнитного поля, l = 0,5 м – размер рамки, N = 1000 – число витков провода в рамке, a – острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла a (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент M был не меньше 0,75 Нм?

Ответ: 30 °

49. Очень лeгкий заряженный металлический шарик зарядом q = 210 -6 Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет v =5 м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции B которого лежит в той же плоскости и составляет угол a с направлением движения шарика. Значение индукции поля B =410 -3 Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная F л =q v B sin α (Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла a ϵ шарик оторвeтся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила F л была не менее чем 210 -8 Н? Ответ дайте в градусах.

Ответ: 30 °

50. Плоский замкнутый контур площадью S =0,5 м 2 находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой ε i = a S cos α , где α – острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, a = 410 -4 Тл/с – постоянная, S – площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в м). При каком минимальном угле α (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать 10 -4 В?

Ответ: 60 °

51. Два тела массой m = 2 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью v = 10 м/с под углом 2α друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении вычисляется по формуле Q = m v 2 sin 2 α. Под каким наименьшим углом 2α (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 50 джоулей?

Ответ: 60 °

52. Катер должен пересечь реку шириной L =100 м и со скоростью течения u =0,5 м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением , где a – острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом a (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 200 с?

Ответ: 45 °

53. Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью v =3 м/с под острым углом a к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью (м/с), где m =80 кг – масса скейтбордиста со скейтом, а M =400 кг – масса платформы. Под каким максимальным углом a (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?

Ответ: 60 °

54. Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу m =1260 тонн, представляют собой две пустотелые балки длиной l =18 метров и шириной s метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой , где m – масса экскаватора (в тоннах), l – длина балок в метрах, s – ширина балок в метрах, g – ускорение свободного падения (считайте g=10 м/с 2 ). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление p не должно превышать 140 кПа. Ответ выразите в метрах .

Ответ: 2,5

55. При нормальном падении света с длиной волны λ=400 нм на дифракционную решeтку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол φ (отсчитываемый от перпендикуляра к решeтке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума k связаны соотношением d sin φ = k λ. Под каким минимальным углом φ (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решeтке с периодом, не превосходящим 1600 нм?

Ответ: 30 °

2