Преобразование Фурье (§ 1.5) можно рассматривать как линейное преобразование с ядром

Найдем его дискретное представление по базису

для сигналов с ограниченным на интервале спектром, для которых справедливо представление

Преобразование Фурье такого сигнала равно

Рассмотрим теперь периодический сигнал

Его спектр равен

где -отсчеты спектра сигнала взятого на отрезке (см. табл. 1.2, строка 19). Если Т достаточно велико, а сигнал достаточно быстро спадает до нуля на этом интервале, так что его искажениями в сумме (3.60) за счет наложения периодов можно пренебречь, то Отсюда

причем суммирование по к проводится в пределах

Значения Т и можно всегда выбрать так, чтобы величина была целой. Обозначим ее N. Обозначим также

Здесь выбрано так, чтобы суммирование в (3.62) могло производиться по к от 0 до Тогда получим

Это соотношение называется дискретным преобразованием Фурье

Дискретное преобразование Фурье обратимо:

Его ядро - матрица

является дискретным представлением ядра непрерывного преобразования Фурье.

Формула (3.65) является аналогом (3.3). Отметим, что ее можно получить сразу из (3.3) для базиса

Коэффициенты последовательности приближенно равны отсчетам спектра сигнала периодически продолженного с периодом Т, взятым с шагом Такова связь ДПФ с непрерывным преобразованием Фурье. Из предположения ограниченной протяженности сигнала вытекает, что для его спектра справедлива теорема отсчетов и что, следовательно, он может быть восстановлен по величинам - коэффициентам ДПФ отсчетов сигнала.

Наиболее употребительные свойства одномерного ДПФ приведены в табл. 3.1. Для удобства сопоставления их со свойствами непрерывного преобразования Фурье в правой колонке табл. 3.1 указаны номера соответствующих строк табл. 1.2. Главное отличие ДПФ от

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

Продолжение табл. 3.1 (см. скан)

непрерывного преобразования Фурье - цикличность, или периодичность: номера отсчетов последовательности и ее ДПФ отсчитываются по модулю N, т. е. как бы по кругу; число точек в цикле равно N (табл. 3.1, строка 2).

По аналогии с одномерным ДПФ, применив двумерную теорему отсчетов к двумерным сигналам и спектрам, можно получить двумерное ДПФ. Обычно используется только такое двумерное ДПФ, которое вытекает из двумерной теоремы отсчетов в прямоугольных координатах:

Оно удобно тем, что факторизуется на два одномерных ДПФ, т. е. является разделимым.

Обратное двумерное ДПФ записывается как

Некоторые свойства двумерного ДПФ приведены в табл. 3.2. Для двумерного ДПФ характерна двумерная цикличность (периодичность). Можно считать, что коэффициенты двумерного ДПФ - это отсчеты двумерного непрерывного спектра сигнала, периодически размноженного на плоскости в прямоугольной системе координат, как на рис. 3.4, а.

Современную технику связи невозможно представить без спектрального анализа. Представление сигналов в частотной области необходимо как для анализа их характеристик, так и для анализа блоков и узлов приемопередатчиков систем радиосвязи. Для преобразования сигналов в частотную область применяется прямое преобразование Фурье. Обобщенная формула прямого преобразования Фурье записывается следующим образом:

Как видно из этой формулы для частотного анализа производится вычисление корреляционной зависимости между сигналом, представленным во временной области и комплексной экспонентой с заданной частотой. При этом по формуле Эйлера комплексная экспонента разлагается на реальную и мнимую часть:

(2)

Сигнал, представленный в частотной области можно снова перевести во временное представление при помощи обратного преобразования Фурье. Обобщенная формула обратного преобразования Фурье записывается следующим образом:

(3)

В формуле прямого преобразования Фурье используется интегрирование по времени от минус бесконечности до бесконечности. Естественно это является математической абстракцией. В реальных условиях мы можем провести интегрирование от данного момента времени, который мы можем обозначить за 0, до момента времени T. Формула прямого преобразования Фурье при этом будет преобразована к следующему виду:

(4)

В результате существенно меняются свойства преобразования Фурье . Спектр сигнала вместо непрерывной функции становится дискретным рядом значений . Теперь минимальной частотой и одновременно шагом частотных значений спектра сигнала становится:

, (5)

Только функции sin и cos c частотами k/T будут взаимно ортогональны, а это является непременным условием преобразования Фурье. Набор первых функций разложения в ряд Фурье приведен на рисунке 1. При этом длительность функций совпадает с длительностью анализа T .


Рисунок 1. Функции разложения в ряд Фурье

Теперь спектр сигнала будет выглядеть так, как это показано на рисунке 2.



Рисунок 2. Спектр функции x (t ) при анализе на ограниченном интервале времени

В данном случае формула вычисления прямого преобразования Фурье (4) преобразуется к следующему виду:

(6)

Формула обратного преобразования Фурье для случая определения спектра на ограниченном отрезке времени будет выглядеть следующим образом:

(7)

Подобным образом можно определить формулу прямого преобразования Фурье для цифровых отсчетов сигнала. Учитывая, что вместо непрерывного сигнала используются его цифровые отсчеты, в выражении (6) интеграл заменяется на сумму. В данном случае длительность анализируемого сигнала определяется количеством цифровых отсчетов N . Преобразование Фурье для цифровых отсчетов сигнала называется дискретным преобразованием Фурье и записывается следующим образом:

(8)

Теперь рассмотрим как изменились свойства дискретного преобразования Фурье (ДПФ) по сравнению с прямым преобразованием Фурье на ограниченном интервале времени. Когда мы рассматривали дискретизацию аналогового сигнала, мы выяснили, что спектр входного сигнала должен быть ограничен по частоте. Это требование ограничивает количество дискретных составляющих спектра сигнала. Первоначально может показаться, что мы можем ограничить спектр сигнала частотой f д /2, что соответствует количеству частотных составляющих K = N /2 . Однако это не так. Несмотря на то, что спектр сигнала для действительных отсчетов сигнала для положительных частот и отрицательных частот симметричен относительно 0, отрицательные частоты могут потребоваться для некоторых алгоритмов работы со спектрами, например, для . Еще больше отличие получается при выполнении дискретного преобразования Фурье над комплексными отсчетами входного сигнала. В результате для полного описания спектра цифрового сигнала требуется N частотных отсчетов (k = 0, ..., N/2 ).

Многие сигналы удобно анализировать, раскладывая их на синусоиды (гармоники). Тому есть несколько причин. Например, подобным образом работает человеческое ухо. Оно раскладывает звук на отдельные колебания различных частот. Кроме того, можно показать, что синусоиды являются "собственными функциями" линейных систем (т.к. они проходят через линейные системы, не изменяя формы, а могут изменять лишь фазу и амплитуду). Еще одна причина в том, что теорема Котельникова формулируется в терминах спектра сигнала.

Преобразование Фурье (Fourier transform) - это разложение функций на синусоиды (далее косинусные функции мы тоже называем синусоидами, т.к. они отличаются от "настоящих" синусоид только фазой). Существует несколько видов преобразования Фурье.

1. Непериодический непрерывный сигнал можно разложить в интеграл Фурье.

2. Периодический непрерывный сигнал можно разложить в бесконечный ряд Фурье.

3. Непериодический дискретный сигнал можно разложить в интеграл Фурье.

4. Периодический дискретный сигнал можно разложить в конечный ряд Фурье.

Компьютер способен работать только с ограниченным объемом данных, следовательно, реально он способен вычислять только последний вид преобразования Фурье. Рассмотрим его подробнее.

Комплексное ДПФ

До сих пор мы рассматривали ДПФ от действительных сигналов. Обобщим теперь ДПФ на случай комплексных сигналов. Пусть x[n], n=0,…,N-1 - исходный комплексный сигнал, состоящий из N комплексных чисел. Обозначим X[k], k=0,…N-1 - его комплексный спектр, также состоящий из N комплексных чисел. Тогда справедливы следующие формулы прямого и обратного преобразований Фурье:

Если по этим формулам разложить в спектр действительный сигнал, то первые N/2+1 комплексных коэффициентов спектра будут совпадать со спектром "обычного" действительного ДПФ, представленным в "комплексном" виде, а остальные коэффициенты будут их симметричным отражением относительно половины частоты дискретизации. Для косинусных коэффициентов отражение четное, а для синусных - нечетное.

Двумерное ДПФ

Для изображений, представляющих собой двумерный сигнал, спектром является также двумерный сигнал. Базисные функции преобразования Фурье имеют вид:

причем фазы также могут быть различны. На изображении каждая из этих базисных функций представляют собой волну определенной частоты, определенной ориентации и определенной фазы.

Здесь N 1 xN 2 - размер исходного сигнала, он же - размер спектра. k 1 и k 2 - это номера базисных функций (номера коэффициентов двумерного ДПФ, при которых эти функции находятся). Поскольку размер спектра равен размеру исходного сигнала, то k 1 = 0,…,N 1 -1; k 2 = 0,…,N 2 -1.

n 1 и n 2 - переменные-аргументы базисных функций. Поскольку область определения базисных функций совпадает с областью определения сигнала, то n 1 = 0,…,N 1 -1; n 2 = 0,…,N 2 -1.

Двумерное ДПФ (в комплексной форме) определяется следующими формулами (здесь x - исходный сигнал, а X - его спектр):

Непосредственное вычисление двумерного ДПФ по приведенным формулам требует огромных вычислительных затрат. Однако можно доказать, что двумерное ДПФ обладает свойством сепарабельности, т.е. его можно вычислить последовательно по двум измерениям.

Для вычисления двумерного ДПФ достаточно вычислить одномерные комплексные ДПФ всех строк изображения, а затем вычислить в результирующем "изображении" одномерные комплексные ДПФ всех столбцов.

При этом результаты всех одномерных комплексных ДПФ нужно записывать на место исходных данных для этих ДПФ. Например, при вычислении одномерного ДПФ первой строки изображения нужно результат ДПФ записать в первую строку этого изображения (он имеет тот же размер). Для этого нужно каждый "пиксель" хранить в виде комплексного числа.

Таким образом, эффективный алгоритм вычисления ДПФ изображения заключается в вычислении одномерных БПФ сначала от всех строк, а потом - от всех столбцов изображения.

Обозначим через

двумерное поле (двумерный сигнал), описывающее дискретное изображение размера строк и столбцов. Вне указанных границ этот сигнал не определен. Выполним периодическое продолжение данного финитного сигнала, введя двумерный периодический сигнал

. (3.21)

Если сигнал существует только внутри прямоугольника со сторонами элементов (рис. 3.4.а), то сигнал определен на всей плоскости и является на ней прямоугольно-периодическим (рис. 3.4.б).

Рис. 3.4. Реальное (а) и периодически продолженное (б) изображения

Любой периодический сигнал может быть представлен в виде ряда Фурье, но, в отличие от одномерных сигналов, двумерные описываются двумерным рядом Фурье, имеющим вид:

Базисные функции этого двумерного представления - двумерные комплексные экспоненты (иногда называемые комплексными синусоидами)

(3.23)

имеющие, как и сигнал , прямоугольную периодичность с тем же периодом . Здесь (,) - двумерный номер базисной функции, а величины имеют смысл пространственных частот. Иногда пространственными частотами называют целочисленные величины и .

Коэффициенты Фурье ряда (3.22) образуют двумерный частотный спектр сигнала и определяются формулой прямого преобразования Фурье:

(3.24)

Выражение (3.22), восстанавливающее сигнал по его спектру , является обратным преобразованием Фурье. В справедливости преобразований (3.22) и (3.24), называемых двумерным ДПФ, можно убедиться, подставив (3.24) в (3.22) и приведя правую часть полученного равенства к значению левой, т.е. к .

Заметим, что для точного представления дискретного сигнала с двумерным периодом элементов согласно формулам БПФ достаточно конечного числа базисных функций (3.23) - ряд (3.22) является конечным. Это и понятно, поскольку сам представляемый сигнал содержит в одном периоде конечное число точек, т.е. имеет конечное число степеней свободы. Ясно, что число степеней свободы в спектре не может отличаться от числа степеней свободы в самом сигнале.

Остановимся на наиболее существенных свойствах двумерного дискретного спектра Фурье. Вычислим спектральные коэффициенты (3.24) в частотных точках :

Поскольку при любых целых значениях и последний множитель в полученном выражении равен единице, то отсюда имеем равенство:

,

означающее прямоугольную периодичность двумерного ДПФ. Следовательно, картина двумерного ДПФ подобна картине двумерного периодически продолженного сигнала, качественно показанной на рис. 3.4.б (если на ней пространственные координаты заменить частотными ). Однако необходимо иметь в виду, что спектральные коэффициенты , как это следует из (3.24), являются комплексными числами, в том числе и при вещественном сигнале . Но тогда возникает вопрос. Общее количество спектральных компонент, как установлено, равно . Комплексное число эквивалентно паре вещественных чисел - действительной и мнимой частям при алгебраическом или модулю и фазе при экспоненциальном представлении. Следовательно, полный спектр описывается вещественными числами, что вдвое превышает размерность самого сигнала . В этом, на первый взгляд, содержится противоречие. Оно находит свое разъяснение при дальнейшем изучении свойств двумерного ДПФ.

Преобразуем соотношение (3.25) следующим образом. Во-первых, вместо частот подставим частоты . Во-вторых, выполним комплексное сопряжение обеих частей, что не нарушит равенства. В результате нетрудно получить выражение:

,

которым устанавливается однозначная связь между спектральными коэффициентами в двух различных точках спектрального прямоугольника . Полученным соотношением и снимается противоречие, поскольку количество независимых спектральных коэффициентов уменьшается благодаря данной спектральной симметрии в два раза. Согласно установленному свойству, спектрально-сопряженной зависимостью связаны между собой спектральные коэффициенты, принадлежащие левому верхнему и правому нижнему углам прямоугольника . Аналогично также связаны между собой коэффициенты Фурье из правого верхнего и левого нижнего участков спектрального прямоугольника .

В заключение данного пункта укажем, что при практическом применении двумерного ДПФ - как прямого, так и обратного, совсем не требуется оперировать периодическими сигналами и спектрами, как это предполагается, казалось бы, преобразованиями (3.22) и (3.24). От этой необходимости избавляют сами соотношения (3.22) и (3.24). В самом деле, прямое преобразование Фурье (3.24) содержит в правой части значения периодически продолженного сигнала лишь в пределах одного “главного” прямоугольника . Но в этих пределах исходный и периодически продолженный сигналы полностью совпадают, что дает возможность использовать в формуле (3.24) исходный сигнал . Аналогичные пояснения можно сделать и относительно обратного преобразования (3.22), откуда следует, что практически в процессе вычислений оперировать следует “основным” участком спектра, относящимся к спектральной области .

Из сделанных пояснений, имеющих лишь исключительно вычислительное значение, не следует делать вывода об искусственности и ненужности рассмотренных математических моделей периодических полей. При обработке изображений возникают многочисленные задачи, правильное толкование и решение которых возможно только на основе этих математических интерпретаций. Одной из таких важнейших задач является цифровая двумерная фильтрация в спектральной области, осуществление которой связано с выполнением так называемой циклической свертки.

В радиотехнике часто применяется понятие свертки двух сигналов. Так, например, сигнал на выходе четырехполюсника можно найти с помощью свертки входного сигнала и импульсной характеристики четырехполюсника. Поскольку были рассмотрены дискретные и цифровые сигналы, то определим понятие свертки для дискретных сигналов , или дискретной свертки.

Пусть имеется дискретный сигнал х Д (t) , состоящий из N отсчетов х к , и дискретный сигнал у д (Г), состоящий из N отсчетов у к, тогда дискретной сверткой этих двух сигналов называется сигнал z A (t) , для которого

Дискретные сигналы получили широкое распространение при создании систем с импульсной модуляцией.

Устройство дискретизации в простейшем случае представляет собой стробируемый каскад (ключ), открывающийся на время т и с периодом А (рис. 4.7).


Рис. 4.

Интервал дискретизации А может быть постоянным (равномерная дискретизация) или переменным (адаптивная дискретизация). Наиболее распространенной формой дискретизации является равномерная, в основе которой лежит теорема Котельникова.

Импульсный модулятор - это устройство с двумя входами, на один из которых подается аналоговый сигнал, а на второй поступают короткие синхронизирующие импульсы с периодом повторения А. При этом в момент поступления синхроимпульса происходит измерение мгновенного значения сигнала лс(г). На выходе модулятора возникает последовательность импульсов, каждый из которых имеет площадь, пропорциональную соответствующему отсчетному значению аналогового сигнала (рис. 4.7).

Сигнал Хмпн (t ) на выходе импульсного модулятора называют модулированной импульсной последовательностью (МИП). Математически МИП записывается так

а спектральная плотность МИП выражается через спектральную плотность аналогового сигнала следующим образом:

Модель дискретного сигнала предполагает, что отсчетные значения аналогового сигнала могут быть получены в неограниченном числе точек на оси времени. Практически же обработка всегда ведется на конечном интервале времени.

Рассмотрим особенности спектрального представления дискретного сигнала, заданного на интервале своими отсчетами x 0 ,x x ,...,x N _ x . Полное число отсчетов N - Т / А.

Методика изучения таких дискретных сигналов состоит в том, что полученная выборка отсчетных значений мысленно повторяется бесконечное число раз. В результате сигнал становится периодическим (рис. 4.8).

Сопоставив такому сигналу математическую модель, можно воспользоваться разложением в ряд Фурье и найти соответствующие амплитудные коэффициенты. Совокупность этих коэффициентов образует спектр дискретного периодического сигнала.


Рис. 4.8.

Запишем модель ограниченного периодического сигнала в виде последовательности дельта-импульсов:

Разложим сигнал Хмип (0 в ряд Фурье:

здесь замена переменных? = f / А. Окончательно получаем

Эта формула определяет последовательность коэффициентов, образующих дискретное преобразование Фурье (ДПФ) рассматриваемого сигнала.

ДПФ обладает следующими свойствами:

1. ДПФ есть линейное преобразование, т. е. если z k = а х к + /? у к, то

С"Z П ~ ^ С Х п Р Су п .

2. Число различных коэффициентов Cq,Ci,...,C n _i равно числу N отсчетов за период, при n = N коэффициент C N = С 0 .

3. С 0 является средним значением всех отсчетов С 0 = - ^х к.

N к =о

  • 4. Если N- четное число, то С N = -^(-1) к х к.
  • 7 ^ ?=о
  • 5. Если отсчеты х к - вещественные числа и N - четное число, то C N = C* N , / = 0; Л/7 2 -1.
  • -+i - -i
  • 6. Если y k =x k+m , m = l;JV-l,TO C, t =C, * e ~ j2rrkm,N .
  • 2 tf-l
  • 7. Если z k = - > T0 C z к =C X k C y k

iy/ i =0

ДПФ применяется для вычисления спектров функций, заданных таблицами или графиками, обработки экспериментальных данных, нахождения сигнала на выходе дискретного фильтра и т. д.

Если на основе отсчетов x 0 ,x l ,...,x N _ l некоторого сигнала найдены коэффициенты ДПФ C 0 ,Ci,... 9 C n/2 , то по ним можно восстановить аналоговый сигнал с ограниченным спектром x(t). Ряд Фурье такого сигнала имеет вид (при четном N)

где |Q| - модуль коэффициентов ДПФ; =arg - фазовый угол (аргумент)

коэффициентов ДПФ. Частота первой гармоники: f= - / в = - = -/i- нечетном N последнее слагаемое в формуле (4.17) равно:

Для вычисления дискретных отсчетов х к по имеющимся коэффициентам ДПФ существует следующая формула:

Эта формула носит название обратного дискретного преобразования Фурье {ОДПФ).