1. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

Если это уравнение можно разрешить относительно та его можно записать в виде

В этом случае мы говорим, что дифференциальное уравнение разрешено относительно производной. Для такого уравнения справедлива следующая теорема, которая называется теоремой о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. Теорема. Если в уравнении

функция и ее частная производная по у непрерывны в некоторой области D на плоскости содержащей некоторую точку , то существует единственное решение этого уравнения

удовлетворяющее условию при

Эта теорема будет доказана в § 27 гл. XVI.

Геометрический смысл теоремы заключается в том, что существует и притом единственная функция график которой проходит через точку

Из только что высказанной теоремы вытекает, что уравнение имеет бесконечное число различных решений (например, решение, график которого проходит через точку другое решение, график которого проходит через точку и т. д., если только эти точки лежат в области

Условие, что при функция у должна равняться заданному числу называется начальным условием. Оно часто записывается в виде

Определение 1. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция

которая зависит от одной произвольной постоянной С и удовлетворяет следующим условиям:

а) она удовлетворяет дифференциальному уравнению при любом конкретном значении постоянной С;

б) каково бы ни было начальное условие при можно найти такое значение , что функция удовлетворяет данному начальному условию. При этом предполагается, что значения принадлежат к той области изменения переменных х и у, в которой выполняются условия теоремы существования и единственности решения.

2. В процессе разыскания общего решения дифференциального уравнения мы нередко приходим к соотношению вида

не разрешенному относительно у. Разрешив это соотношение относительно у, получаем общее решение. Однако выразить у из соотношения (2) в элементарных функциях не всегда оказывается возможным; в таких случаях общее решение оставляется в неявном виде. Равенство вида неявно задающее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение 2. Частным решением называется любая функция которая получается из общего решения , если в последнем произвольной постоянной С придать определенное значение Соотношение называется в этом случае частным интегралом уравнения.

Пример 1. Для уравнения первого порядка

общим решением будет семейство функции это можно проверить простой подстановкой в уравнение.

Найдем частное решение, удовлетворяющее следующему начальному условию: при Подставляя эти значения в формулу получим или Следовательно, искомым частным решением будет функция

С точки зрения геометрической общий интеграл представляет собой семейство кривых на координатной плоскости, зависящее от одной произвольной постоянной С (или, как говорят, от одного параметра С).

Эти кривые называются интегральными кривыми данного дифференциального уравнения. Частному интегралу соответствует одна кривая этого семейства, проходящая через некоторую заданную точку плоскости.

Так, в последнем примере общий интеграл геометрически изображается семейством гипербол а частный интеграл, определенный указанным начальным условием, изображается одной из этих гипербол, проходящей через точку На рис. 251 изображены кривые семейства, соответствующие некоторым значениям параметра: и т. д.

Чтобы сделать рассуждения более наглядными, мы будем в дальнейшем называть решением уравнения не только функцию удовлетворяющую уравнению, но и соответствующую интегральную кривую. В связи с этим мы будем говорить, например, о решении, проходящем через точку .

Замечание. Уравнение не имеет решения, проходящего через точку, лежащую на оси рис. 251), так как правая часть уравнения при не определена и, следовательно, не является непрерывной.

Решить или, как часто говорят, проинтегрировать дифференциальное уравнение - значит:

а) найти его общее решение или общий интеграл (если начальные условия не заданы) или

б) найти то частное решение уравнения, которое удовлетворяет заданным начальным условиям (если таковые имеются).

3. Дадим геометрическую интерпретацию дифференциального уравнения первого порядка.

Пусть дано дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной:

и пусть есть общее решение данного уравнения. Это общее решение определяет семейство интегральных кривых на плоскости

Уравнение (Г) для каждой точки М с координатами х и у определяет значение производной т. е. угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Таким образом, дифференциальное уравнение (Г) дает совокупность направлений или, как говорят, определяет поле направлений на плоскости

Следовательно, с геометрической точки зрения задача интегрирования дифференциального уравнения заключается в нахождении кривых, направление касательных к которым совпадает с направлением поля в соответствующих точках.

Для дифференциального уравнения (1) геометрическое место точек, в которых выполняется соотношение называется изоклиной данного дифференциального уравнения.

При различных значениях k получаем различные изоклины. Уравнение изоклины, соответствующей значению k, будет, очевидно, Построив семейство изоклин, можно приближенно построить семейство интегральных кривых. Говорят, что, зная изоклины, можно качественно определить расположение интегральных кривых на плоскости.

Конспект лекций по

дифференциальным уравнениям

Дифференциальные уравнения

Введение

При изучении некоторых явлений часто возникает ситуация, когда процесс не удаётся описать с помощью уравнения y=f(x) или F(x;y)=0. Помимо переменной х и неизвестной функции, в уравнение входит производная этой функции.

Определение: Уравнение, связывающее переменную х, неизвестную функцию y(x) и её производные называется дифференциальным уравнением . В общем виде дифференциальное уравнение выглядит так:

F(x;y(x);;;...;y (n))=0

Определение: Порядком дифференциального уравнения называется порядок входящей в него старшей производной.

–дифференциальное уравнение 1 порядка

–дифференциальное уравнение 3 порядка

Определение: Решением дифференциального уравнения является функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Дифференциальные уравнения 1 порядка

Определение: Уравнение вида =f(x;y) или F(x;y;)=0называется дифференциальным уравнением 1 порядка.

Определение: Общим решением дифференциального уравнения 1 порядка называется функция y=γ(x;c), где (с –const), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Геометрически на плоскости общим решением соответствует семейство интегральных кривых, зависящих от параметра с.

Определение: Интегральная кривая, проходящая через точку плоскости с координатами (х 0 ;y 0) соответствует частному решению дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию:

Теорема о существовании единственности решения дифференциального уравнения 1 порядка

Дано дифференциальное уравнение 1 порядка
и функцияf(x;y) непрерывна вместе с частными производными в некоторой области D плоскости XOY, тогда через точку М 0 (х 0 ;y 0)D проходит единственная кривая соответствующая частному решению дифференциального уравнения соответствующему начальному условию y(x 0)=y 0

Через точку плоскости с данными координатами проходит 1 интегральная кривая.

Если не удаётся получить общее решение дифференциального уравнения 1 порядка в явном виде, т.е
, то его можно получить в неявном виде:

F(x; y; c) =0 – неявный вид

Общее решение в таком виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

По отношению к дифференциальному уравнению 1 порядка ставится 2 задачи:

1)Найти общее решение (общий интеграл)

2)Найти частное решение (частный интеграл) удовлетворяющее заданному начальному условию. Эту задачу называют задачей Коши для дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Уравнения вида:
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Подставим

умножим на dx

разделим переменные

разделим на

Замечание: обязательно нужно рассматривать частный случай, когда

переменные разделены

проинтегрируем обе части уравнения

- общее решение

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными можно записать в виде:

Отдельный случай
!

Проинтегрируем обе части уравнения:

1)

2)
нач. условия:

Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка

Определение: Функция
называется однородной порядкаn, если

Пример: - однородная функция порядкаn=2

Определение: Однородная функция порядка 0 называется однородной .

Определение: Дифференциальное уравнение
называется однородным, если
- однородная функция, т.е

Таким образом однородное дифференциальное уравнение может быть записано в виде:

С помощью замены , гдеt – функция переменной х, однородное дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

- подставим в уравнение

Переменные разделены, проинтегрируем обе части уравнения

Сделаем обратную замену, подставив вместо , получим общее решение в неявном виде.

Однородное дифференциальное уравнение может быть записано в дифференциальной форме.

M(x;y)dx+N(x;y)dy=0, где M(x;y) и N(x;y) – однородные функции одинакового порядка.

Разделим на dx и выразим

1)

Инструкция

Если уравнение представлено в виде: dy/dx = q(x)/n(y), относите их к категории дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Их можно решить, записав условие в дифференциалах по следующей : n(y)dy = q(x)dx. Затем проинтегрируйте обе части. В некоторых случаях решение записывается в виде интегралов, взятых от известных функций. К примеру, в случае dy/dx = x/y, получится q(x) = x, n(y) = y. Запишите его в виде ydy = xdx и проинтегрируйте. Должно получиться y^2 = x^2 + c.

К линейным уравнениям относите уравнения «первой ». Неизвестная функция с ее производными входит в подобное уравнение лишь в первой степени. Линейное имеет вид dy/dx + f(x) = j(x), где f(x) и g(x) – функции, зависящие от x. Решение записывается с помощью интегралов, взятых от известных функций.

Учтите, что многие дифференциальные уравнения - это уравнения второго порядка (содержащие вторые производные) Таким, например, является уравнение простого гармонического движения, записанное в виде общей : md 2x/dt 2 = –kx. Такие уравнения имеют, в , частные решения. Уравнение простого гармонического движения является примером достаточно важного : линейных дифференциальных уравнений, у которых имеется постоянный коэффициент.

Если в условиях задачи лишь одно линейное уравнение, значит, вам даны дополнительные условия, благодаря которым можно найти решение. Внимательно прочитайте задачу, чтобы найти эти условия. Если переменными х и у обозначены расстояние, скорость, вес – смело ставьте ограничение х≥0 и у≥0. Вполне возможно, под х или у скрывается количество , яблок, и т.д. – тогда значениями могут быть только . Если х – возраст сына, понятно, что он не может быть старше отца, поэтому укажите это в условиях задачи.

Источники:

• как решить уравнение с одной переменной

Задачи на дифференциальное и интегральное исчисление являются важными элементами закрепления теории математического анализа, раздела высшей математики, изучаемой в вузах. Дифференциальное уравнение решается методом интегрирования.

Инструкция

Дифференциальное исчисление исследует свойства . И наоборот, интегрирование функции позволяет по данным свойствам, т.е. производным или дифференциалам функции найти ее саму. В этом и заключается решение дифференциального уравнения.

Любое является соотношением между неизвестной величиной и известными данными. В случае дифференциального уравнения роль неизвестного играет функция, а роль известных величин – ее производные. Кроме этого, соотношение может содержать независимую переменную:F(x, y(x), y’(x), y’’(x),…, y^n(x)) = 0, где x – неизвестная переменная, y(x) – функция, которую нужно определить, порядок уравнения – это максимальный порядок производной (n).

Такое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Если же в соотношении несколько независимых переменных и частные производные (дифференциалы) функции по этим переменным, то уравнение называется дифференциальным уравнением с частными производными и имеет вид:x∂z/∂y - ∂z/∂x = 0, где z(x, y) – искомая функция.

Итак, чтобы научиться решать дифференциальные уравнения, необходимо уметь находить первообразные, т.е. решать задачу, обратную дифференцированию. Например:Решите уравнение первого порядка y’ = -y/x.

РешениеЗамените y’ на dy/dx: dy/dx = -y/x.

Приведите уравнение к виду, удобному для интегрирования. Для этого умножьте обе части на dx и разделите на y:dy/y = -dx/x.

Проинтегрируйте:∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - ln |x| + C.

Это решение называется общим дифференциального уравнения. С – это константа, множество значений которой определяет множество решений уравнения. При любом конкретном значении С решение будет единственным. Такое решение является частным решением дифференциального уравнения.

Решение большинства уравнений высших степеней не имеет четкой формулы, как нахождение корней квадратного уравнения . Однако существует несколько способов приведения, которые позволяют преобразовать уравнение высшей степени к более наглядному виду.

Инструкция

Наиболее распространенным методом решения уравнений высших степеней является разложение . Этот подход представляет собой комбинацию подбора целочисленных корней, делителей свободного члена, и последующее деление общего многочлена на вида (x – x0).

Например, решите уравнение x^4 + x³ + 2·x² – x – 3 = 0.Решение.Свободным членом данного многочлена является -3, следовательно, его целочисленными делителями могут быть числа ±1 и ±3. Подставьте их по очереди в уравнение и выясните, получится ли тождество:1: 1 + 1 + 2 – 1 – 3 = 0.

Второй корень x = -1. Поделите на выражение (x + 1). Запишите получившееся уравнение (x - 1)·(x + 1)·(x² + x + 3) = 0. Степень понизилась до второй, следовательно, уравнение может иметь еще два корня. Чтобы найти их, решите квадратное уравнение:x² + x + 3 = 0D = 1 – 12 = -11

Дискриминант – отрицательная величина, значит, действительных корней у уравнения больше нет. Найдите комплексные корни уравнения:x = (-2 + i·√11)/2 и x = (-2 – i·√11)/2.

Другой метод решения уравнения высшей степени – замена переменных для приведения его к квадратному. Такой подход используется, когда все степени уравнения четные, например:x^4 – 13·x² + 36 = 0

Теперь найдите корни исходного уравнения:x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

Совет 10: Как определить окислительно-восстановительные уравнения

Химическая реакция – это процесс превращения веществ, протекающий с изменением их состава. Те вещества, которые вступают в реакцию, называются исходными, а те, которые образуются в результате этого процесса – продуктами. Бывает так, что в ходе химической реакции элементы, входящие в состав исходных веществ, изменяют свою степень окисления. То есть они могут принять чужие электроны и отдать свои. И в том, и в другом случае меняется их заряд. Такие реакции называются окислительно-восстановительными.

В некоторых задачах физики непосредственную связь между величинами, описывающими процесс, установить не удается. Но существует возможность получить равенство, содержащее производные исследуемых функций. Так возникают дифференциальные уравнения и потребность их решения для нахождения неизвестной функции.

Эта статья предназначена тем, кто столкнулся с задачей решения дифференциального уравнения, в котором неизвестная функция является функцией одной переменной. Теория построена так, что с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях, вы сможете справиться со своей задачей.

Каждому виду дифференциальных уравнений поставлен в соответствие метод решения с подробными пояснениями и решениями характерных примеров и задач. Вам остается лишь определить вид дифференциального уравнения Вашей задачи, найти подобный разобранный пример и провести аналогичные действия.

Для успешного решения дифференциальных уравнений с Вашей стороны также потребуется умение находить множества первообразных (неопределенные интегралы) различных функций. При необходимости рекомендуем обращаться к разделу .

Сначала рассмотрим виды обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые могут быть разрешены относительно производной, далее перейдем к ОДУ второго порядка, следом остановимся на уравнениях высших порядков и закончим системами дифференциальных уравнений.

Напомним, что , если y является функцией аргумента x .

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида .

Запишем несколько примеров таких ДУ .

Дифференциальные уравнения можно разрешить относительно производной, произведя деление обеих частей равенства на f(x) . В этом случае приходим к уравнению , которое будет эквивалентно исходному при f(x) ≠ 0 . Примерами таких ОДУ являются .

Если существуют значения аргумента x , при которых функции f(x) и g(x) одновременно обращаются в ноль, то появляются дополнительные решения. Дополнительными решениями уравнения при данных x являются любые функции, определенные для этих значений аргумента. В качестве примеров таких дифференциальных уравнений можно привести .

Дифференциальные уравнения второго порядка.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

ЛОДУ с постоянными коэффициентами является очень распространенным видом дифференциальных уравнений. Их решение не представляет особой сложности. Сначала отыскиваются корни характеристического уравнения . При различных p и q возможны три случая: корни характеристического уравнения могут быть действительными и различающимися , действительными и совпадающими или комплексно сопряженными . В зависимости от значений корней характеристического уравнения, записывается общее решение дифференциального уравнения как , или , или соответственно.

Для примера рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами . Корнями его характеристического уравнения являются k 1 = -3 и k 2 = 0 . Корни действительные и различные, следовательно, общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами имеет вид


Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

Общее решение ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y ищется в виде суммы общего решения соответствующего ЛОДУ и частного решения исходного неоднородного уравнения, то есть, . Нахождению общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами , посвящен предыдущий пункт. А частное решение определяется либо методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x) , стоящей в правой части исходного уравнения, либо методом вариации произвольных постоянных.

В качестве примеров ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами приведем


Разобраться в теории и ознакомиться с подробными решениями примеров мы Вам предлагаем на странице линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка .

Частным случаем дифференциальных уравнений этого вида являются ЛОДУ и ЛНДУ с постоянными коэффициентами.

Общее решение ЛОДУ на некотором отрезке представляется линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y 1 и y 2 этого уравнения, то есть, .

Главная сложность заключается именно в нахождении линейно независимых частных решений дифференциального уравнения этого типа. Обычно, частные решения выбираются из следующих систем линейно независимых функций:


Однако, далеко не всегда частные решения представляются в таком виде.

Примером ЛОДУ является .

Общее решение ЛНДУ ищется в виде , где - общее решение соответствующего ЛОДУ, а - частное решение исходного дифференциального уравнения. О нахождении мы только что говорили, а можно определить, пользуясь методом вариации произвольных постоянных.

В качестве примера ЛНДУ можно привести .

Дифференциальные уравнения высших порядков.

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

Порядок дифференциального уравнения , которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1 порядка, может быть понижен до n-k заменой .

В этом случае , и исходное дифференциальное уравнение сведется к . После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене и определить неизвестную функцию y .

Например, дифференциальное уравнение после замены станет уравнением с разделяющимися переменными , и его порядок с третьего понизится до первого.

Уравнение первого порядка вида a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x) называется линейным дифференциальным уравнением. Если b(x) ≡ 0 то уравнение называется однородным , в противном случае - неоднородным . Для линейного дифференциального уравнения теорема существования и единственности имеет более конкретный вид.

Назначение сервиса . Онлайн калькулятор можно использовать для проверки решения однородных и неоднородных линейных дифференциальных уравнений вида y"+y=b(x) .

=

Использовать замену переменных y=u*v
Использовать метод вариации произвольной постоянной
Находить частное решение при y() = .

Для получения решения исходное выражение необходимо привести к виду: a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x) . Например, для y"-exp(x)=2*y это будет y"-2*y=exp(x) .

Теорема . Пусть a 1 (x) , a 0 (x) , b(x) непрерывны на отрезке [α,β], a 1 ≠0 для ∀x∈[α,β]. Тогда для любой точки (x 0 , y 0), x 0 ∈[α,β], существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее условию y(x 0) = y 0 и определенное на всем интервале [α,β].
Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение a 1 (x)y"+a 0 (x)y=0 .
Разделяя переменные, получаем , или, интегрируя обе части, Последнее соотношение, с учетом обозначения exp(x) = e x , записывается в форме

Попытаемся теперь найти решение уравнения в указанном виде, в котором вместо константы C подставлена функция C(x) то есть в виде

Подставив это решение в исходное, после необходимых преобразований получаем Интегрируя последнее, имеем

где C 1 - некоторая новая константа. Подставляя полученное выражение для C(x), окончательно получаем решение исходного линейного уравнения
.

Пример . Решить уравнение y" + 2y = 4x . Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y" + 2y = 0 . Решая его, получаем y = Ce -2 x . Ищем теперь решение исходного уравнения в виде y = C(x)e -2 x . Подставляя y и y" = C"(x)e -2 x - 2C(x)e -2 x в исходное уравнение, имеем C"(x) = 4xe 2 x , откуда C(x) = 2xe 2 x - e 2 x + C 1 и y(x) = (2xe 2 x - e 2 x + C 1)e -2 x = 2x - 1 + C 1 e -2 x - общее решение исходного уравнения. В этом решении y 1 (x) = 2x-1 - движение объекта под действием силы b(x) = 4x, y 2 (x) = C 1 e -2 x -собственное движение объекта.

Пример №2 . Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка y"+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x.
Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных: y=u v, y" = u"v + uv".
3u v tg(3x)+u v"+u" v = 2cos(3x)/sin 2 2x или u(3v tg(3x)+v") + u" v= 2cos(3x)/sin 2 2x
Решение состоит из двух этапов:
1. u(3v tg(3x)+v") = 0
2. u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
1. Приравниваем u=0, находим решение для 3v tg(3x)+v" = 0
Представим в виде: v" = -3v tg(3x)

Интегирируя, получаем:

ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. Зная v, Находим u из условия: u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" = 2/sin 2 2x
Интегирируя, получаем:
Из условия y=u v, получаем:
y = u v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) или y = C cos(3x)-cos(2x) ctg(3x)