Наибольшим общим делителем двух натуральных чисел называют:
Наибольший общий делитель двух чисел есть наибольшее число, на которое делятся данные два числа.
Наибольший общий делитель обозначают как НОД.
Как найти наибольший общий делитель?
Посмотрим на примерах нахождение наибольшего общего делителя.
Наибольший общий делитель 6 и 9
Наибольший общий делитель 6 и 9.
Для нахождения наибольшего общего делителя чисел 6 и 9 разложим их на множители:
6 = 2 * 3
9 = 3 * 3
НОД, наибольший общий делитель, чисел 6 и 9 есть число 3.
Записывем НОД так:
НОД(9, 6) = 3
Найдите наибольший общий делитель 6 и 15
Найдите наибольший общий делитель 6 и 15.
Для нахождения наибольшего общего делителя чисел 6 и 15 разложим их на множители:
6 = 2 * 3
15 = 3 * 5
Смотрим, какие множители совпадают. Здесь это только множитель 3.
НОД, наибольший общий делитель, чисел 6 и 15 есть число 3.
Записывем ответ НОД:
НОД(15, 6) = 3
Найдите наибольший общий делитель 75 и 45
Найдите наибольший общий делитель 75 и 45.
Для нахождения наибольшего общего делителя чисел 75 и 45 разложим их на множители.
В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей »). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.
Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.
Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе - знаменателем.
Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.
Обозначение:
Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.
В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь - ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.
По определению имеем:
Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей
Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные - и только затем умножать по схемам, изложенным выше.
Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:
- Плюс на минус дает минус;
- Минус на минус дает плюс.
До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:
- Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить - тот, которому не нашлось пары;
- Если минусов не осталось, операция выполнена - можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.
Задача. Найдите значение выражения:
Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:
Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).
Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.
Сокращение дробей «на лету»
Умножение - весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей - это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:
Задача. Найдите значение выражения:
По определению имеем:
Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.
Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.
Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:
Так делать нельзя!
Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.
Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:
Правильное решение:
Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.
Умножение и деление дробей.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Эта операция гораздо приятнее сложения-вычитания ! Потому что проще. Напоминаю: чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители (это будет числитель результата) и знаменатели (это будет знаменатель). То есть:
Например:
Всё предельно просто . И, пожалуйста, не ищите общий знаменатель! Не надо его здесь…
Чтобы разделить дробь на дробь, нужно перевернуть вторую (это важно!) дробь и их перемножить, т.е.:
Например:
Если попалось умножение или деление с целыми числами и дробями - ничего страшного. Как и при сложении, делаем из целого числа дробь с единицей в знаменателе - и вперёд! Например:
В старших классах часто приходится иметь дело с трехэтажными (а то и четырехэтажными!) дробями. Например:
Как эту дробь привести к приличному виду? Да очень просто! Использовать деление через две точки:
Но не забывайте о порядке деления! В отличие от умножения, здесь это очень важно! Конечно, 4:2, или 2:4 мы не спутаем. А вот в трёхэтажной дроби легко ошибиться. Обратите внимание, например:
В первом случае (выражение слева):
Во втором (выражение справа):
Чувствуете разницу? 4 и 1/9!
А чем задается порядок деления? Или скобками, или (как здесь) длиной горизонтальных черточек. Развивайте глазомер. А если нет ни скобок, ни черточек, типа:
то делим-умножаем по порядочку, слева направо !
И еще очень простой и важный приём. В действиях со степенями он вам ох как пригодится! Поделим единицу на любую дробь, например, на 13/15:
Дробь перевернулась! И так бывает всегда. При делении 1 на любую дробь, в результате получаем ту же дробь, только перевернутую.
Вот и все действия с дробями. Вещь достаточно простая, но ошибок даёт более, чем достаточно. Примите к сведению практические советы, и их (ошибок) будет меньше!
Практические советы:
1. Самое главное при работе с дробными выражениями - аккуратность и внимательность! Это не общие слова, не благие пожелания! Это суровая необходимость! Все вычисления на ЕГЭ делайте как полноценное задание, сосредоточенно и чётко. Лучше написать две лишние строчки в черновике, чем накосячить при расчёте в уме.
2. В примерах с разными видами дробей - переходим к обыкновенным дробям.
3. Все дроби сокращаем до упора.
4. Многоэтажные дробные выражения сводим к обыкновенным, используя деление через две точки (следим за порядком деления!).
5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.
Вот вам задания, которые нужно обязательно прорешать. Ответы даны после всех заданий. Используйте материалы этой темы и практические советы. Прикиньте, сколько примеров вы смогли решить правильно. С первого раза! Без калькулятора! И сделайте верные выводы...
Помните – правильный ответ, полученный со второго (тем более – третьего) раза – не считается! Такова суровая жизнь.
Итак, решаем в режиме экзамена ! Это уже подготовка к ЕГЭ, между прочим. Решаем пример, проверяем, решаем следующий. Решили все - проверили снова с первого по последний. И только потом смотрим ответы.
Вычислить:
Порешали?
Ищем ответы, которые совпадают с вашими. Я специально их в беспорядке записал, подальше от соблазна, так сказать... Вот они, ответы, через точку с запятой записаны.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
А теперь делаем выводы. Если всё получилось - рад за вас! Элементарные вычисления с дробями - не ваша проблема! Можно заняться более серьёзными вещами. Если нет...
Значит, у вас одна из двух проблем. Или обе сразу.) Нехватка знаний и (или) невнимательность. Но... Это решаемые проблемы.
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
6 класс
ТЕМА : «Деление обыкновенных дробей», 6 класс.
ЦЕЛЬ УРОКА : Обобщить и систематизировать теоретические и практические
знания, умения, и навыки учащихся. Организовать работу по
ликвидации пробелов в знаниях учащихся. Улучшить, расширить
и углубить знания учащихся по теме.
ТИП УРОКА : Урок обобщения и систематизации знаний, умений и навыков.
Оборудование : На доске тема, цель, план урока.
ХОД УРОКА.
У каждого ученика на парте лежит «Листок контроля»
1. домашняя работа –
2. вопросы по повторению –
3. устный счет –
4. работа в классе –
1. Проверка домашней работы:
а) работа в парах по вопросам:
1) Сложение, вычитание обыкновенных дробей;
2) Как умножить дробь на дробь;
3) Умножение двух дробей;
4) Умножение смешанных дробей;
5) Правило деления дробей;
6) Деление смешанных дробей;
7) Что наз. сокращением дробей.
б) проверка домашнего задания по готовому решению на доске:
№ 620 (а), 624, 619 (г).
Цель: выявить степень усвоения домашнего задания. Определить типичные недостатки.
Оценки выставить в листок контроля
Объявить цель урока : Обобщить и систематизировать знания, умения и навыки по
теме: «Деление обыкновенных дробей».
Теорию повторили, проверим знания на практике.
2. Устный счет.
а) По карточкам: 1) Сократить дробь: ; ; ; …
2) Обратить в неправильную дробь: ; ; …
3) Выделить целую часть: ; ; …
б) Числовая лесенка. Кто быстрее доберется до 6-го этажа, тот узнает:
построения геометрии (Евклид)
2 вариант – человека, который хотел быть и юристом, и офицером, и философом, но
стал математиком (Декарт)
л 0,1: ½ 0,4: 0,1 а
и д д е л к к а в р е т
Оценки в листок контроля, за: 2" - «5», 3" - «4», 4" - «3».
Кто выполнил «лесенку», делает в тетрадях № 606. Первый из учеников на крыле доски делает № 606. Затем проверяет класс.
3.
а) № 581 (б,г), 587 (с комментированием), 591 (л,м,к), 600, 602, 593 (г,к,д,и)
Задание выполняются в тетрадях и на доске.
б) решить задачу: За кг конфет заплатили тыс. рублей. Сколько стоят
Кг таких конфет?
4.
№ 1 . Выполнить действия:
: ответы: 1) 2) 3) 4) .
№ 2 . Представить дробь в виде обыкновенной дроби и выполнить действия:
0,375: ответы: 1) 2) 3) 4)
№ 3 . Решите уравнение: ответы: 1) 2) 3) 4) 2
№ 4 . В первый день турист прошел всего пути, а во второй – остальную часть. Во
сколько раз больше часть дороги, пройденная туристом в первый день, чем во
второй? Ответы: 1) 2) 5 3) 4)
№ 5. Представить в виде дроби:
: ответ: 1) 2) 3) 4)
Проверить решение по шаблону: №1 -4; №2 – 1; №3 – 4; №4 – 4; №5 – 3.
Оценки выставить в листок контроля.
Собрать листки контроля. Подвести итоги. Объявить оценки за урок.
5. Итог урока:
Какие основные правила мы сегодня повторили?
6. Домашнее задание:
№ 619 (в), 620 (б), 627, индивидуальное задание № 617 (а,д,ж).
Скачать:
Предварительный просмотр:
МОУ «Гимназия №7»
г. Торжок Тверской обл.
ОТКРЫТЫЙ УРОК ПО ТЕМЕ:
«ДЕЛЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ»
6 класс
Открытый урок на городском МО г. Торжка
(аттестация, 2001г.)
Учитель математики: Уфимцева Н.А.
2001 г.
ТЕМА : « Деление обыкновенных дробей», 6 класс.
ЦЕЛЬ УРОКА : Обобщить и систематизировать теоретические и практические
Знания, умения, и навыки учащихся. Организовать работу по
Ликвидации пробелов в знаниях учащихся. Улучшить, расширить
И углубить знания учащихся по теме.
ТИП УРОКА : Урок обобщения и систематизации знаний, умений и навыков.
Оборудование : На доске тема, цель, план урока.
ХОД УРОКА.
У каждого ученика на парте лежит «Листок контроля»
- домашняя работа –
- вопросы по повторению –
- устный счет –
- работа в классе –
- самостоятельная работа –
- Проверка домашней работы:
А) работа в парах по вопросам:
1) Сложение, вычитание обыкновенных дробей;
2) Как умножить дробь на дробь;
3) Умножение двух дробей;
4) Умножение смешанных дробей;
5) Правило деления дробей;
6) Деление смешанных дробей;
7) Что наз. сокращением дробей.
Б) проверка домашнего задания по готовому решению на доске:
№ 620 (а), 624, 619 (г).
Цель : выявить степень усвоения домашнего задания. Определить типичные недостатки.
Оценки выставить в листок контроля
Объявить цель урока : Обобщить и систематизировать знания, умения и навыки по
Теме: «Деление обыкновенных дробей».
Теорию повторили, проверим знания на практике.
- Устный счет.
А) По карточкам: 1) Сократить дробь: ; ; ; …
2) Обратить в неправильную дробь: ; ; …
3) Выделить целую часть: ; ; …
Б) Числовая лесенка. Кто быстрее доберется до 6-го этажа, тот узнает:
Построения геометрии (Евклид)
2 вариант – человека, который хотел быть и юристом, и офицером, и философом, но
Стал математиком (Декарт)
Д т
И р
Л 0,1: ½ 0,4: 0,1 а
К к
В е
Е д
3 2 4 5
И д д е л к к а в р е т
Оценки в листок контроля, за: 2" - «5», 3" - «4», 4" - «3».
Кто выполнил «лесенку», делает в тетрадях № 606. Первый из учеников на крыле доски делает № 606. Затем проверяет класс.
- Повторение и систематизация основных теоретических положений:
а) № 581 (б,г), 587 (с комментированием), 591 (л,м,к), 600, 602, 593 (г,к,д,и)
Задание выполняются в тетрадях и на доске.
Б) решить задачу: За кг конфет заплатили тыс. рублей. Сколько стоят
Кг таких конфет?
- Самостоятельная работа. Цель: проверить усвоение данной темы.
№ 1 . Выполнить действия:
: ответы: 1) 2) 3) 4) .
№ 2 . Представить дробь в виде обыкновенной дроби и выполнить действия:
0,375: ответы: 1) 2) 3) 4)
№ 3 . Решите уравнение: ответы: 1) 2) 3) 4) 2
№ 4 . В первый день турист прошел всего пути, а во второй – остальную часть. Во
Сколько раз больше часть дороги, пройденная туристом в первый день, чем во
Второй? Ответы: 1) 2) 5 3) 4)
№ 5. Представить в виде дроби:
: ответ: 1) 2) 3) 4)
Проверить решение по шаблону: №1 -4; №2 – 1; №3 – 4; №4 – 4; №5 – 3.
Оценки выставить в листок контроля.
Собрать листки контроля. Подвести итоги. Объявить оценки за урок.
- Итог урока:
Какие основные правила мы сегодня повторили?
- Домашнее задание:
№ 619 (в), 620 (б), 627, индивидуальное задание № 617 (а,д,ж)
КУРСОВАЯ РАБОТА
ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗИ
ПО ТЕМЕ
« ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ»
Творческая группа кафедры математиков
«Гимназия № 3» г. Удомля.
Урок № 3-4 разработан учителем математики
Уфимцевой Н.А.
2000 г.
МОУ «Гимназия №7»
г. Торжок Тверской обл.
ОТКРЫТЫЙ УРОК
Умножение десятичных дробей
Десятичная форма записи позволяет выполнять умножение дробей практически по тем же правилам, по которым умножают натуральные числа. Отличие заключается в том, что необходимо определять место запятой в полученном произведении.
Поясним сказанное на примере; вычислим произведение 2,5 1,02.
Перенесем запятую в первом множителе на одну цифру вправо, а во втором-на две цифры вправо. Тем самым первый множитель увеличится в 10 раз, второй-в 10 2 = 100 раз, а произведение-в 10 100 = 1000 раз.
Определим произведение натуральных чисел 25 и 102:
25 102 = 2550.
Это число в 1000 раз больше, чем требуемое произведение. Поэтому необходимо число 2550 уменьшить в 1000= 10 3 раз, т. е. перенести в этом числе запятую влево на 3 цифры. Таким образом,
2,5 1,02 = 2,550 = 2,55.
Можно рассуждать по-другому:
Таким образом, чтобы перемножить две десятичные дроби9 достаточно, не обращая внимания на запятые, перемножить их как натуральные числа9 а затем в полученном произведении справа отделить запятой столько цифр, сколько их было после запятых в обоих множителях вместе.
Например,
Деление десятичных дробей
Рассмотрим пример деления десятичной дроби на натуральное число.
Пример . Вычислить 46,8: 2.
Решение . 4 десятка делим на 2-получаем цифру частного 2 (2 десятка).
6 единиц делим на 2 - получаем цифру частного 3 (3 единицы).
Деление целой части закончено-отделяем в частном целую часть запятой.
8 десятых делим на 2 - получаем цифру частного 4 (4 десятых). Остаток равен 0-деление закончено.
Деление десятичной дроби на десятичную дробь сводится к делению на натуральное число переносом запятых в делимом и делителе на столько цифр вправо, чтобы делитель стал натуральным числом.
Пример . Вычислить 4,42:0,2.
Решение . Так как в делителе одна цифра после запятой, то достаточно перенести запятые в делимом и делителе на 1 цифру вправо. Тем самым делимое и делитель увеличиваются в 10 раз, поэтому частное не изменится. При этом делитель будет натуральным числом.
Можно рассуждать и таким образом:
Но не всегда получается точный результат при делении десятичных дробей. Чаще приходится довольствоваться приближенным частным.
Пример . Найти частное 1,723:0,03.
Решение . Освободимся от запятой в делителе: 1,723:0,03= 172,3:3. Выполним деление.
Начиная с разряда сотых, цифра 3 в частном повторяется без конца, потому что остаток, начиная с третьего этапа процесса деления, все время равен одному и тому же числу 1.
Если оставить у частного первые две цифры после запятой, то получится приближенное равенство: 172,3:3 ≈ 57,43.
