Глава первая.

Возвышение в квадрат одночленных алгебраических выражений.

152. Определение степени. Напомним, что произведение двух одинаковых чисел аа называется второю степенью (или квадратом ) числа а , произведение трех одинаковых чисел ааа называется третьей степенью (или кубом ) числа а ; вообще произведение n одинаковых чисел аа... а называется n -ю степенью числа а . Действие, посредством которого находится степень данного числа, называется возвышением в степень (вторую, третью и т. д.). Повторяющийся сомножитель называется основанием степени, а число одинаковых сомножителей называется показателем степени.

Сокращенно степени обозначаются так: а 2 , а 3 , а 4 ... и т. д.

Мы сначала будем говорить о простейшем случае возвышения в степень, именно о возвышении в квадрат ; а пoсле рассмотрим возвышение и в другие степени.

153. Правило знаков при возвышении в квадрат. Из правила умножения относительных чисел следует, что:

(+2) 2 =(+2) (+2) = + 4; (+ 1 / 3) 2 =(+ 1 / 3)(+ 1 / 3) = + 1 / 9 ;

(-2) 2 =(-2) (-2) = + 4; (- 1 / 3) 2 =(- 1 / 3)(- 1 / 3) = + 1 / 9

(+a) 2 =(+a) (+a) = +a 2

(-a) 2 =(-a) (-a) = +a 2

Значит, квадрат всякого относительного числа есть число положительное.

154. Возвышение в квадрат произведения, степени и дроби.

а) Пусть требуется возвысить в квадрат произведение нескольких сомножителей, напр. аbс . Это значит, что требуется аbс умножить на аbс . Но чтобы умножить на произведение аbс , можно умножить множимое на а , результат умножить на b и что получатся умножить еще на с .

(аbс) 2 = (аbс) (аbс) = (аbс) аbс = аbсаbс

(мы отбросили последние скобки, так как от этого смысл выражения не изменяется). Теперь, пользуясь сочетательным свойством умножения (отдел1 § 34, б), сгруппируем сомножители так:

(аа) (bb) (сс),

что можно сокращенно написать: а 2 b 2 с 2 .

Значит, чтобы возвысить произведение в квадрат, можно возвысить в квадрат каждый сомножитель отдельно
(Для сокращения речи правило это, как и последующее, выражено не полно; надо было бы еще добавить: „и полученные результаты перемножить". Добавление ото само собой подразумевается..)

Таким образом:

(3 / 4 xy) 2 = 9 / 16 x 2 y 2 ; (- 0,5mn) 2 = + 0,25m 2 n 2 ; и т. п.

б) Пусть требуется какую-нибудь степень, напр. a 3 , возвысить в квадрат. Это можно выполнить так:

(а 3) 2 = а 3 а 3 = а 3+3 = а 6 .

Подобно этому: (х 4) 2 = x 4 x 4 = x 4+4 = x 8

Значит, чтобы возвысить степень в квадрат, можно показатель степени умножить на 2 .

Таким образом, применяя эти два правила, будем, напр., иметь:

(- 3 3 / 4 a x 2 y 3) 2 = (- 3 3 / 4) 2 a 2 (x 2) 2 (у 3) 2 = 225 / 2 a 2 x 4 y 6

в) Пусть требуется возвысить в квадрат какую-нибудь дробь a / b . Тогда, применяя правило умножения дроби на дробь, получим:

Значит, чтобы возвысить в квадрат дробь, можно возвысить в квадрат отдельно числитель и знаменатель.

Пример.

Глава вторая.

Возвышение в квадрат многочлена.

155. Вывод формулы. Пользуясь формулой (отдел2 глава3 § 61):

(а + b) 2 = a 2 + 2аb + b 2 ,

мы можем возвысить в квадрат трехчлен a + b + с , рассматривая его как двучлен (а + b) + с :

(а + b +c) 2 = [(а + b) + c ] 2 = (а + b) 2 + 2(а + b)c + c 2 = a 2 + 2аb + b 2 + 2(а + b)c + c 2

Таким образом, с прибавлением к двучлену а + b третьего члена с после возвышения в квадрат прибавились 2 члена: 1) удвоенное произведение суммы первых двух членов на третий член и 2) квадрат третьего члена. Приложим теперь к трехчлену а + b + с еще четвертый член d и возвысим четырехчлен а + b + с + d в квадрат, принимая сумму а + b + с за один член.

(а + b +c + d) 2 = [(а + b + c) + d ] 2 = (а + b +c) 2 + 2(а + b + c)d + d 2

Подставив вместо (а + b +c) 2 то выражение, которое мы получили выше, найдем:

(а + b +c + d) 2 = a 2 + 2аb + b 2 + 2(а + b)c + c 2 + 2(а + b + c)d + d 2

Мы опять замечаем, что с прибавлением нового члена к возвышаемому многочлену в квадрате его прибавляются 2 члена: 1) удвоенное произведение суммы прежних членов на новый член и 2) квадрат нового члена. Очевидно, что такое прибавление двух членов будет идти и дальше по мере прибавления новых членов к возвышаемому многочлену. Значит:

Квадрат многочлена равен: квадрату 1-го члена, плюс удвоенное произведение 1-го члена на 2-й, плюс квадрат 2-го члена, плюс удвоенное произведение суммы первых двух членов на 3-й, плюс квадрат 3-го члена, плюс удвоенное произведение суммы первых трех членов на 4-й, плюс квадрат 4-го члена, и т. д. Конечно, члены многочлена могут быть и отрицательными.

156. Замечание о знаках. В окончательном результате со знаком плюс окажутся, во-первых, квадраты всех членов многочлена и, во-вторых, те удвоенные произведения, которые произошли от умножения членов с одинаковыми знаками.

Пример.

157. Сокращенное возвышение в квадрат целых чисел . Пользуясь формулою квадрата многочлена, можно возвышать в квадрат всякое целое число иначе, чем обыкновенным умножением. Пусть, напр., требуется возвысить в квадрат 86 . Разложим это число на разряды:

86 = 80 + 6 = 8 дес.+ 6 ед.

Теперь по формуле квадрата суммы двух чисел можем написать:

(8 дес.+ 6 ед.) 2 =(8 дес.) 2 + 2(8 дес.) (6 ед.) + (6 ед.) 2 .

Чтобы быстрее вычислить эту сумму, примем во внимание, что квадрат десятков составляет сотни (но могут быть и тысячи); напр. 8 дес . в квадрате образуют 64 сотни , так как 80 2 = б400 ; произведение десятков на единицы составляет десятки (но могут быть и сотни), напр. 3 дес. 5 ед. = 15 дес, так как 30 5 = 150; и квадрат единиц составляет единицы (но могут быть и десятки), напр. 9 ед. в квадрате = 81 ед. Поэтому вычисление всего удобнее расположить так:

т. е. мы пишем сначала квадрат первой цифры (сотни); под этим числом пишем удвоенное произведение первой цифры на вторую (десятки), наблюдая при этом, чтобы последняя цифра этого произведения стояла на одно место правее последней цифры верхнего числа; далее, снова отступив последней цифрой на одно место вправо, ставим квадрат второй цифры (единицы); и все написанные числа складываем в одну сумму. Конечно, можно было бы дополнить эти числа надлежащим количеством нулей, т. е. написать так:

но это бесполезно, если только будем правильно подписывать числа друг под другом, отступая каждый раз (последней цифрой) на одно место вправо.

Пусть еще требуется возвысить в квадрат 238 . Так как:

238 = 2 сот. + 3 дес. + 8 ед. , то

Но сотни в квадрате дают десятки тысяч (напр., 5 сот. в квадрате будет 25 дес. тысяч, так как 500 2 = 250 000), произведение сотен на десятки дает тысячи (напр. 500 30= 15 000) и т. д.

Примеры.

Глава третья.

у = х 2 и у = ах 2 .

158. График функции у = х 2 . Проследим, как при изменении возвышаемого числа х изменяется квадрат его х 2 (напр., как при изменении стороны квадрата изменяется его площадь). Для этого предварительно обратим внимание на следующие особенности функции у = х 2 .

а) При всяком значении х функция всегда возможна и всегда получает только одно определенное значение. Напр, при х = - 10 функция будет (-10) 2 = 100 , при
х =1000 функция будет 1000 2 =1 000 000 , и т. п.

б) Так как (-х ) 2 = х 2 , то при двух значениях х , отличающихся только знаками, получаются два одинаковые положительные значения у ; напр, при х = - 2 и при х = + 2 значение у будет одно и то же, именно 4 . Отрицательных значений для у никогда не получается.

в) Если абсолютная величина х неограниченно увеличивается, то и у неограниченно увеличивается. Так, если для х будем давать ряд неограниченно возрастающих положительных значений: 1, 2, 3, 4... или ряд неограниченно убывающих отрица тельных значений: -1, -2, -3, -4..., то для у получим ряд неограниченно возрастающих значений: 1, 4, 9, 16, 25... Эти кратко выражают, говоря, что при x = + ∞ и при x = - ∞ функция у делается + ∞ .

г) х у . Так, если значению х = 2 , дадим приращение, положим, 0,1 (т. е. вместо х = 2 возьмем х = 2,1 ), то у вместо 2 2 = 4 сделается равным

(2 + 0,1) 2 = = 2 2 + 2 2 0,1 + 0,1 2 .

Значит, у увеличится на 2 2 0,1 + 0,1 2 = 0,41 . Если тому же значению х дадим еще меньшее приращение, положим, 0,01 , то у сделается равным

(2 + 0,01) 2 = = 2 2 + 2 2 0,01 + 0,01 2 . .

Значит, тогда у увеличится на 2 2 0,01 + 0,01 2 = 0,0401 , т. е. увеличится меньше, чем прежде. Вообще, чем на меньшую дробь мы увеличим х , тем на меньшее число увеличится у . Таким образом, если представим себе, что х увеличивается (положим от значения 2) непрерывно , переходя через все значения, большие 2, то у будет увеличиватьcя тоже непрерывно, переходя через все значения, большие 4.

Заметив все эти свойства, составим таблицу значений функции у = х 2 , напр., такую:

Изобразим теперь эти значения на чертеже в виде точек, абсциссы которых будут выписанные значения х , а ординаты соответствующие значения у (на чертеже за единицу длины мы приняли сантиметр); полученные точки обведем кривою. Кривая эта называется параболой .

Рассмотрим некоторые ее свойства.

а) Парабола есть кривая непрерывная , так как при не прерывном изменении абсциссы х (как в положительном направлении, так и в отрицательном) ордината, как мы видели сейчас, изменяется тоже непрерывно.

б) Вся кривая расположена по одну сторону от оси x -ов, именно по ту сторону, по какую лежат положительные значения ординат.

в) Парабола подразделяется осью у -ов на две части (ветви). Точка О , в которой эти ветви сходятся, называется вершиною параболы. Эта точка есть единственная общая у параболы и оси x -ов; значит, в этой точке парабола касается оси x -ов.

г) Обе ветви бесконечны, так как х и у могут увеличиваться беспредельно. Ветви поднимаются от оси x -ов неограниченно вверх, удаляясь в то же время неограниченно от оси y -ов вправо и влево.

д) Ось y -ов служит для параболы осью симметрии, так что, перегнув чертеж по этой оси так, чтобы левая половина чертежа упала на правую, мы увидим, что обе ветви совместятся; напр, точка с абсциссой - 2 и с ординатой 4 совместитcя с точкой, имеющей абоциссу +2 и ту же ординату 4.

е) При х = 0 ордината тоже равна 0. Значит, при х = 0 функция имеет наименьшее значение из всех возможных. Наибольшего значения функция не имеет, так как ординаты кривой увеличиваются беспредельно.

159. График функции вида у = ах 2 . Предположим сначала, что а есть число положительное. Возьмем, напр., такие 2 функции:

1) y = 1 1 / 2 x 2 ; 2) y = 1 / 3 x 2

Составим таблицы значений этих функции, напр., такие:

Нанесем все эти значения на чертеж и проведем кривые. Для сравнения мы поместили на том же чертеже (прерывистой линией) еще график функции:

3) y = x 2

Из чертежа видно, что при одной и той же абсциссе ордината 1-й кривой в 1 1 / 2 , раза больше, а ордината 2-й кривой в 3 раза меньше, чем ордината 3-й кривой. Вследствие этого все такие кривые имеют общий характер: бесконечные непрерывные ветви, ось симметрии и пр., только при а > 1 ветви кривой более приподняты вверх, а при a < 1 они более отогнуты книзу, чем у кривой y= x 2 . Все такие кривые называются параболамми .

Предположим теперь, что коэффициент а будет число отрицательное. Пусть, напр., y = - 1 / 3 x 2 . Сравнивая эту функцию с такой: y = + 1 / 3 x 2 замечаем, что при одном и том же значении х обе функции имеют одну и ту же абсолютную величину, но противоположны по знаку. Поэтому на чертеже для функции y = - 1 / 3 x 2 получится такая же парабола, как и для функции y = 1 / 3 x 2 только расположенная под осью х -ов симметрично с параболой y = 1 / 3 x 2 . В этом случае все значения функции отрицательны, кроме одного, равного нулю при х = 0 ; это последнее значение является наибольшим из всех.

Замечание. Если зависимость между двумя переменными величинами у и х выражается равенством: у = ах 2 , где а какое-нибудь постоянное число, то можно сказать, что величина у пропорциональна квадрату величины х , так как с увеличением или уменьшением х в 2 раза, в 3 раза и т. д. величина у увеличивается или уменьшается в 4 раза, в 9 раз, в 16 раз и т. д. Напр, площадь круга равна π R 2 , где R есть радиус круга и π постоянное число (равное приблизительно 3,14); поэтому можно сказать, что площадь круга пропорциональна квадрату его радиуса..

Глава четвертая.

Возвышение в куб и в другие степени одночленных алгебраических выражений.

160. Правило знаков при возвышении в степень. Из правила умножения относительных чисел следует, что

(-5) 3 = (-5)(-5)(-5) = -125;

(- 1 / 2 ) 4 = (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 )=+ 1 / 16 ;

(- 1) 5 = (- 1) (- 1) (- l) (-1) (-1) = - l;

(- 1) 6 = (- 1) (- 1) (- l) (-1) (-1) (-1) = +l; и т. п.

Значит, от возвышения отрицательного числа в степень с четным показателем получается положительное число, а от возвышения его в степень с нечетным показателем получается отрицательное число.

161. Возвышение в степень произведения, степени и дроби. При возвышении произведения степени и дроби в какую-нибудь степень мы можем поступать так же, как и при возвышении в квадрат (). Так:

(аbс) 3 = (аbс)(аbс)(аbс) = аbс аbс аbс = (ааа)(bbb)(ссс) = a 3 b 3 с 3 ;

Глава пятая.

Графическое изображение функций: у = х 3 и у = ах 3 .

162. График функции у = х 3 . Рассмотрим, как при изменении возвышаемого числа изменяется куб его (напр., как при изменении ребра куба изменяется его объем). Для этого предварительно укажем следующие особенности функции у = х 3 (напоминающие свойства функции у = х 2 , рассмотренные нами раньше, ):

а) При всяком значении х функция у = х 3 возможна и имеет единственное значение; так, (+ 5) 3 = +125 и никакому другому числу куб числа + 5 равняться не может. Подобно этому (- 0,1) 3 = - 0,001 и никакому другому числу куб числа -0,1 равняться не может.

б) При двух значениях х , отличающихся только знаками, функция х 3 получает значения, также отличающиеся друг от друга только знаками; так, при х = 2 функция х 3 равна 8, а при х = - 2 она равна -8 .

в) При возрастании х функция х 3 возрастает и притом быстрее, чем х , и даже быстрее, чем х 2 ; так при

х = - 2, -1, 0, +1, + 2, +3, + 4. .. х 3 будет = -8, - 1, 0, +1, + 8, +27, + 64 ...

г) Очень малому приращению переменного числа х соответствует и очень малое приращение функции х 3 . Так, если значение х = 2 увеличим на дробь 0,01 , т. е. если вместо х = 2 возьмем x = 2,01 , то функция у будет не 2 3 (т. е. не 8 ), а 2,01 3 , что составит 8,120601 . Значит, функция эта увеличится тогда на 0,120601 . Если значение х = 2 увеличим еще меньше, напр, на 0,001 , то х 3 сделается равным 2,001 3 , что составит 8,012006001 , и, значит, у увеличится только на 0,012006001 . Мы видим, таким образом, что если приращение переменного числа х будет все меньше и меньше, то и приращение х 3 будет все меньше и меньше.

Заметив это свойство функции у = х 3 , начертим ее график. Для этого предварительно составим таблицу значений этой функции, напр., такую:

163. График функции у = aх 3 . Возьмем такие две функции:

1) у = 1 / 2 х 3 ; 2) у = 2 х 3

Если сравним эти функции с более простой: у = х 3 , то заметим, что при одном и том же значении х первая функция получает значения вдвое меньшие, а вторая вдвое большие, чем функция у = aх 3 , во вcем остальном эти три функции сходны между собой. Графики их изображены для сравнения на одном и том же чертеже. Кривые эти называются параболами 3-й степени .

Глава шестая.

Основные свойства извлечения корня.

164. Задачи.

а) Найти сторону квадрата, которого площадь равнялась бы площади прямоугольника с основанием 16 см и с высотою 4 см.

Обозначив сторону искомого квадрата буквою х (см), получим такое уравнение:

х 2 =16 4, т. е. х 2 = 64.

Мы видим таким образом, что х есть такое число, которое, будучи возвышено во вторую степень, дает в результате 64. Такое число называется корнем второй степени из 64. Оно равно + 8 или - 8, так как (+ 8) 2 = 64 и (- 8) 2 = 64. Отрицательное число - 8 для нашей задачи не годится, так как сторона квадрата должна выразиться обыкновенным арифметическим числом.

б) Свинцовый кусок, весящий 1 кг 375 г (1375 г), имеет форму куба. Как велико ребро этого куба, если известно, что 1 куб. см свинца весит 11 граммов?

Пусть длина ребра куба будет х см. Тогда его объем будет равен х 3 куб. см, а вес его окажется 11 х 3 г.

11х 3 = 1375; х 3 = 1375: 11 = 125.

Мы видим таким образом, что х есть такое число, которое, будучи возвышено в третью степень, составляет 125 . Такое число называется корнем третьей степени из 125. Оно, как нетрудно догадаться, равно 5, так как 5 3 = 5 5 5 = 125. Значит, ребро куба, о котором говорится в задаче, имеет длину в 5 см.

165. Определение корня. Корнем второй степени (или квадратным) из числа а называется такое число, которого квадрат равняется а . Так, квадратный корень из 49 есть 7, а также и - 7, так как 7 2 = 49 и (- 7) 2 = 49. Корнем третьей степени (кубичным) из числа а называется такое число, которого куб равняется а . Так, кубичный корень из -125 есть - 5, так как (- 5) 3 =(-5)(-5)(-5)= -125.

Вообще корнем n -ой степени из числа а называется такое число, которого n -ая степень равна а .

Число n , означающее, какой степени находится корень, называется показателем корня .

Корень обозначается знаком √ (знак радикала, т. е. знак корня). Латинское слово radix означает корень. Знак √ впервые введен в XV столетии. . Под горизонтальной чертой его пишут то число, из которого корень отыскивается (подкоренное число), а над отверстием угла ставят показатель корня. Так:

корень кубичный из 27 обозначается..... 3 √27 ;

корень четвертой степени из 32 обозначается... 3 √32 .

Показатель квадратного корня принято не писать вовсе, напр.

вместо 2 √16 пишут √16 .

Действие, посредством которого отыскивается корень, называется извлечением корня; оно обратно возвышению в степень, так как посредством этого действия отыскивается то, что дано при возвышении в степень, именно основание стенени, а дано то, что при возвышении в степень отыскивается, именно сама степень. Поэтому правильность извлечения корня мы можем всегда поверять возвышением в степень. Напр., чтобы проверить

равенство: 3 √125 = 5, достаточно 5 возвысить в куб: получив подкоренное число 125, мы заключаем, что корень кубичный из 125 извлечен правильно.

166. Арифметический корень. Корень называется арифметическим, если он извлекается из положительного числа и сам представляет собою положительное число. Напр., арифметический квадратный корень из 49 есть 7, тогда как число - 7, которое тоже есть квадратный корень из 49, нельзя назвать арифметическим.

Укажем следующие два свойства арифметического корня.

а) Пусть требуется найти арифметический √49 . Такой корень будет 7, так как 7 2 = 49. Зададимся вопросом, нельзя ли подыскать какое-нибудь другое положительное число х , которое тоже было бы √49 . Предположим, что такое число существует. Тогда оно должно быть либо меньше 7, либо больше 7. Если допустим, что x < 7, то тогда и х 2 < 49 (с уменьшением множимого и множителя произведение уменьшается); если же допустим, что x >7, то тогда и х 2 >49. Значит, никакое положительное число, ни меньшее 7, ни большее 7, не может равняться √49 . Таким образом арифметический корень данной степени из данного числа может быть только один.

К другому заключению мы пришли бы, если бы говорили не о положительном значении корня, а о каком-нибудь; так, √49 равен и числу 7, и числу - 7, так как и 7 2 = 49 и (- 7) 2 = 49.

б) Возьмем какие-нибудь два неравные положительные числа, напр. 49 и 56. Из того, что 49 < 56, мы можем заключить, что и √49 < √56 (если только знаком √ будем обозначать арифметический квадратный корень). Действительно: 7 < 8. Подобно этому из того, что 64 < l25, мы можем заключить, что и 3 √64 < 3 √125

Действительно: 3 √64 = 4 и 3 √125 = 5 и 4 < 5. Вообще меньшему положительному числу соответствует и меньший арифметическии корень (той же степени).

167. Алгебраический корень. Корень называется алгебраическим , если не требуется, чтобы он извлекался из положительного числа и чтобы сам был положительный. Таким образом, если под выражением n √a разумеется алгебраический корень n -й степени, то это значит, что число а может быть и положительное и отрицательное, и самый корень может быть и положительным и отрицательным.

Укажем следующие 4 свойства алгебраического корня.

а) Корень нечетном степеци из положительного числа есть положительное число .

Так, 3 √8 должен быть числом положительным (он равен 2), так как отрицательное число, возвышенное в степень с нечетным показателем, дает отрицательное число.

б) Корень нечетной степени из отрицательною числа есть отрицательное число.

Так, 3 √-8 должен быть отрицательным числом (он равен -2), так как положительное число, возвышенное в какую бы то ни было степень, дает положительное число, а не отрицательное.

в) Корень четной степени из положительного числа имеет два значения с противоположными знаками и с одинаковой абсолютной величиной.

Так, √+4 = + 2 и √+4 = - 2 , потому что (+ 2 ) 2 = + 4 и (- 2 ) 2 = + 4 ; точно так же 4 √+81 = + 3 и 4 √+81 = - 3 , потомуу что обе степени (+3) 4 и (-3) 4 равны одному и тому же числу. Двойное значение корня обозначается обыкновенно постановкою двух знаков перед абсолютной величиной корня; так пишут:

√4 = ± 2 ; √a 2 = ± a ;

г) Корень четной степени из отрицательного числа не может равняться никакому ни положительному, ни отрицательному числу , так как и то и другое после возвышения в степень с четным показателем дает положительное число, а не отрицательное. Напр., √-9 не равен ни +3, ни -3 и никакому иному числу.

Корень четной степени из отрицательного числа принято называть мнимым числом; относительные же числа называются вещественными , или действительными , числами.

168. Извлечение корня из произведения, из степени и из дроби.

а) Пусть надо извлечь квадратный корень из произведения аbс . Если бы требовалось произведение возвысить в квадрат, то, как мы видели (), можно возвысить в квадрат каждый сомножитель отдельно. Так как извлечение корня есть действие, обратное возвышению в степень, то надо ожидать, что и для извлечения корня из произведения можно извлечь его из каждого сомножителя отдельно, т. е. что

√abc = √a √b √c .

Чтобы убедиться в верности этого равенства, возвысим правую часть его в квадрат (по теореме: чтобы возвысить в степень произведение...):

(√a √b √c ) 2 = (√a ) 2 (√b ) 2 (√c ) 2

Но, согласно определению корня,

(√a ) 2 = a , (√b ) 2 = b, (√c ) 2 = c

Следовательно

(√a √b √c ) 2 = аbс .

Если же квадрат произведения √a √b √c равен аbс , то это значит, что произведение это равно квадратному корню из abc .

Подобно этому:

3 √abc = 3 √a 3 √b 3 √c ,

(3 √a 3 √b 3 √c ) 3 = (3 √a ) 3 (3 √b ) 3 (3 √c ) 3 = abc

Значит, чтобы извлечь корень из произведения, достаточно извлечь его из каждого сомножители отдельно.

б) Легко убедиться поверкою, что следующие равенства верны:

√a 4 = а 2 , потому что (a 2 ) 2 = а 4 ;

3 √x 12 = x 4 , „ (x 4 ) 3 = x 12 ; и т. п.

Значит, чтобы извлечь корень из степени, показатель которой делится на показатель корня, можно разделить показатель степени на показатель корня.

в) Верны будут также и следующие равенства:

Значит, чтобы извлечь корень из дроби, можно изелень сю из числителя и знаменателя отоельно.

Заметим, что в этих истинах предполагается, что речь идет о корнях арифметических.

Примеры .

1) √9a 4 b 6 = √9 √a 4 √b 6 = 3а 2 b 3 ;

2) 3 √125 a 6 x 9 = 3 √125 3 √a 6 3 √x 9 = 5а 2 x 3

Замечание Если искомый корень четной степени и предполагается алгебраический, то перед найденным результатом надо поставить двойной знак ± Так,

√9x 4 = ± 3x 2 .

169. Простейшие преобразования радикалов,

а) Вынесение множителей за знак радикала. Если подкоренное выражение разлагается на такие множители, что из некоторых из них можно извлечь корень, то такие множители, по извлечении из них корня, могут быть написаны перед знаком радикала (могут быть вынесены за знак радикала).

1) √a 3 = √a 2 a = √a 2 √a = а √a .

2) √24 a 4 x 3 = √4 6 a 4 x 2 x = 2a 2 x √6x

3) 3 √16 x 4 = 3 √8 2 x 3 x = 2x 3 √2 x

б) Подведение множителей под знак радикала. Иногда бывает полезно, наоборот, подвести под знак радикала множители, стоящие перед ним; для этого достаточно возвысить такие множители в степень, показатель которой равен показателю радикала, а затем написать множителями под знаком радикала.

Примеры.

1) а 2 √a = √(а 2 ) 2 a = √а 4 a = √a 5 .

2) 2x 3 √x = 3 √(2x ) 3 x = 3 √8x 3 x = 3 √8x 4 .

в) Освобождение подкоренного выражения от знаменателей. Покажем это на следующих примерах:

1) Преобразуем дробь так, чтобы из знаменателя можно было извлечь квадратный корень. Для этого умножим оба члена дроби на 5:

2) Умножим оба члена дроби на 2 , на а и на х , т. е. на 2ах :

Замечание. Если требуется извлечь корень из алгебраической суммы, то было бы ошибочно извлечь его из каждого слагаемого отдельно. Напр.√9 + 16 = √25 = 5 , тогда как
√9 + √16 = 3 + 4 = 7 ; значит, действие извлечения корня по отношению к сложению (и вычитанию) не обладает распределительным свойством (как и возвышение в степень, отдел 2 глава 3 § 61, замечание).

1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они являются параллельными:

Если a ||c и b ||c , то a ||b .

2. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны:

Если a ⊥c и b ⊥c , то a ||b .

Остальные признаки параллельности прямых основаны на углах, образующихся при пересечении двух прямых третьей.

3. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны:

Если ∠1 + ∠2 = 180°, то a ||b .

4. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны:

Если ∠2 = ∠4, то a ||b .

5. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны:

Если ∠1 = ∠3, то a ||b .

Свойства параллельных прямых

Утверждения, обратные признакам параллельности прямых, являются их свойствами. Они основаны на свойствах углов, образованных пересечением двух параллельных прямых третьей прямой.

1. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, сумма образованных ими внутренних односторонних углов равна 180°:

Если a ||b , то ∠1 + ∠2 = 180°.

2. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими соответственные углы равны:

Если a ||b , то ∠2 = ∠4.

3. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими накрест лежащие углы равны:

Если a ||b , то ∠1 = ∠3.

Следующее свойство является частным случаем для каждого предыдущего:

4. Если прямая на плоскости перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой:

Если a ||b и c ⊥a , то c ⊥b .

Пятое свойство - это аксиома параллельности прямых:

5. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.

Они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Параллельность прямых на письме обозначают так: AB || С E

Возможность существования таких прямых доказывается теоремой.

Теорема.

Через всякую точку, взятую вне данной прямой, можно провести параллельную этой прямой .

Пусть AB данная прямая и С какая-нибудь точка, взятая вне ее. Требуется доказать, что через С можно провести прямую, параллельную AB . Опустим на AB из точки С перпендикуляр С D и затем проведем С E ^ С D , что возможно. Прямая CE параллельна AB .

Для доказательства допустим противное, т.е., что CE пересекается с AB в некоторой точке M . Тогда из точки M к прямой С D мы имели бы два различных перпендикуляра M D и MС , что невозможно. Значит, CE не может пересечься с AB , т.е. С E параллельна AB .

Следствие.

Два перпендикуляра (С E и DB ) к одной прямой (С D ) параллельны.

Аксиома параллельных линий.

Через одну и ту же точку нельзя провести двух различных прямых, параллельных одной и той же прямой.

Так, если прямая С D , проведенная через точку С параллельна прямой AB , то всякая другая прямая С E , проведенная через ту же точку С , не может быть параллельна AB , т.е. она при продолжении пересечется с AB .

Доказательство этой не вполне очевидной истины оказывается невозможным. Ее принимают без доказательства, как необходимое допущение (postulatum).

Следствия.

1. Если прямая (С E ) пересекается с одной из параллельных (СВ ), то она пересекается и с другой (AB ), потому что в противном случае через одну и ту же точку С проходили бы две различные прямые, параллельные AB , что невозможно.

2. Если каждая из двух прямых (A и B ) параллельны одной и той же третьей прямой (С ) , то они параллельны между собой.

Действительно, если предположить, что A и B пересекаются в некоторой точке M , то тогда через эту точку проходили бы две различные прямые, параллельные С , что невозможно.

Теорема .

Если прямая перпендикулярна к одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой параллельной .

Пусть AB || С D и EF ^ AB .Требуется доказать, что EF ^ С D .

Перпендикуляр E F , пересекаясь с AB , непременно пересечет и С D . Пусть точка пересечения будет H .

Предположим теперь, что С D не перпендикулярна к EH . Тогда какая-нибудь другая прямая, например HK , будет перпендикулярна к EH и, следовательно через одну и ту же точку H будут проходить две прямые параллельные AB : одна С D , по условию, а другая HK по доказанному раньше. Так как это невозможно, то нельзя допустить, что СВ была не перпендикулярна к EH .

В этой статье мы расскажем о параллельных прямых, дадим определения, обозначим признаки и условия параллельности. Для наглядности теоретического материала будем использовать иллюстрации и решение типовых примеров.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

Параллельные прямые на плоскости – две прямые на плоскости, не имеющие общих точек.

Определение 2

Параллельные прямые в трехмерном пространстве – две прямые в трехмерном пространстве, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.

Необходимо обратить внимание, что для определения параллельных прямых в пространстве крайне важно уточнение «лежащие в одной плоскости»: две прямые в трехмерном пространстве, не имеющие общих точек и не лежащие в одной плоскости, являются не параллельными, а скрещивающимися.

Чтобы обозначить параллельность прямых, общепринято использовать символ ∥ . Т.е., если заданные прямые a и b параллельны, кратко записать это условие нужно так: a ‖ b . Словесно параллельность прямых обозначается следующим образом: прямые a и b параллельны, или прямая а параллельна прямой b , или прямая b параллельна прямой а.

Сформулируем утверждение, играющее важную роль в изучаемой теме.

Аксиома

Через точку, не принадлежащую заданной прямой проходит единственная прямая, параллельная заданной. Это утверждение невозможно доказать на базе известных аксиом планиметрии.

В случае, когда речь идет о пространстве, верна теорема:

Теорема 1

Через любую точку пространства, не принадлежащую заданной прямой, будет проходить единственная прямая, параллельная заданной.

Эту теорему просто доказать на базе вышеуказанной аксиомы (программа геометрии 10 - 11 классов).

Признак параллельности есть достаточное условие, при выполнении которого гарантирована параллельность прямых. Иначе говоря, выполнения этого условия достаточно, чтобы подтвердить факт параллельности.

В том числе, имеют место необходимые и достаточные условия параллельности прямых на плоскости и в пространстве. Поясним: необходимое – значит то условие, выполнение которого необходимо для параллельности прямых; если оно не выполнено – прямые не являются параллельными.

Резюмируя, необходимое и достаточное условие параллельности прямых – такое условие, соблюдение которого необходимо и достаточно, чтобы прямые были параллельны между собой. С одной стороны, это признак параллельности, с другой – свойство, присущее параллельным прямым.

Перед тем, как дать точную формулировку необходимого и достаточного условия, напомним еще несколько дополнительных понятий.

Определение 3

Секущая прямая – прямая, пересекающая каждую из двух заданных несовпадающих прямых.

Пересекая две прямые, секущая образует восемь неразвернутых углов. Чтобы сформулировать необходимое и достаточное условие, будем использовать такие типы углов, как накрест лежащие, соответственные и односторонние. Продемонстрируем их на иллюстрации:

Теорема 2

Если две прямые на плоскости пересекаются секущей, то для параллельности заданных прямых необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равными, либо были равными соответственные углы, либо сумма односторонних углов была равна 180 градусам.

Проиллюстрируем графически необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости:

Доказательство указанных условий присутствует в программе геометрии за 7 - 9 классы.

В общем, эти условия применимы и для трехмерного пространства при том, что две прямые и секущая принадлежат одной плоскости.

Укажем еще несколько теорем, часто используемых при доказательстве факта параллельности прямых.

Теорема 3

На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Этот признак доказывается на основе аксиомы параллельности, указанной выше.

Теорема 4

В трехмерном пространстве две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Доказательство признака изучается в программе геометрии 10 класса.

Дадим иллюстрацию указанных теорем:

Укажем еще одну пару теорем, являющихся доказательством параллельности прямых.

Теорема 5

На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

Сформулируем аналогичное для трехмерного пространства.

Теорема 6

В трехмерном пространстве две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

Проиллюстрируем:

Все указанные выше теоремы, признаки и условия позволяют удобно доказать параллельность прямых методами геометрии. Т.е., чтобы привести доказательство параллельности прямых, можно показать, что равны соответственные углы, или продемонстрировать факт, что две заданные прямые перпендикулярны третьей и т.д. Но отметим, что зачастую для доказательства параллельности прямых на плоскости или в трехмерном пространстве удобнее использовать метод координат.

Параллельность прямых в прямоугольной системе координат

В заданной прямоугольной системе координат прямая определяется уравнением прямой на плоскости одного из возможных видов. Так и прямой линии, заданной в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве, соответствуют некоторые уравнения прямой в пространстве.

Запишем необходимые и достаточные условия параллельности прямых в прямоугольной системе координат в зависимости от типа уравнения, описывающего заданные прямые.

Начнем с условия параллельности прямых на плоскости. Оно базируется на определениях направляющего вектора прямой и нормального вектора прямой на плоскости.

Теорема 7

Чтобы на плоскости две несовпадающие прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы заданных прямых были коллинеарными, или были коллинеарными нормальные векторы заданных прямых, или направляющий вектор одной прямой был перпендикулярен нормальному вектору другой прямой.

Становится очевидно, что условие параллельности прямых на плоскости базируется на условии коллинеарности векторов или условию перпендикулярности двух векторов. Т.е., если a → = (a x , a y) и b → = (b x , b y) являются направляющими векторами прямых a и b ;

и n b → = (n b x , n b y) являются нормальными векторами прямых a и b , то указанное выше необходимое и достаточное условие запишем так: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y или n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y или a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , где t – некоторое действительное число. Координаты направляющих или прямых векторов определяются по заданным уравнениям прямых. Рассмотрим основные примеры.

  1. Прямая a в прямоугольной системе координат определяется общим уравнением прямой: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; прямая b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Тогда нормальные векторы заданных прямых будут иметь координаты (А 1 , В 1) и (А 2 , В 2) соответственно. Условие параллельности запишем так:

A 1 = t · A 2 B 1 = t · B 2

  1. Прямая a описывается уравнением прямой с угловым коэффициентом вида y = k 1 x + b 1 . Прямая b - y = k 2 x + b 2 . Тогда нормальные векторы заданных прямых будут иметь координаты (k 1 , - 1) и (k 2 , - 1) соответственно, а условие параллельности запишем так:

k 1 = t · k 2 - 1 = t · (- 1) ⇔ k 1 = t · k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Таким образом, если параллельные прямые на плоскости в прямоугольной системе координат задаются уравнениями с угловыми коэффициентами, то угловые коэффициенты заданных прямых будут равны. И верно обратное утверждение: если несовпадающие прямые на плоскости в прямоугольной системе координат определяются уравнениями прямой с одинаковыми угловыми коэффициентами, то эти заданные прямые параллельны.

  1. Прямые a и b в прямоугольной системе координат заданы каноническими уравнениями прямой на плоскости: x - x 1 a x = y - y 1 a y и x - x 2 b x = y - y 2 b y или параметрическими уравнениями прямой на плоскости: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y и x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Тогда направляющие векторы заданных прямых будут: a x , a y и b x , b y соответственно, а условие параллельности запишем так:

a x = t · b x a y = t · b y

Разберем примеры.

Пример 1

Заданы две прямые: 2 x - 3 y + 1 = 0 и x 1 2 + y 5 = 1 . Необходимо определить, параллельны ли они.

Решение

Запишем уравнение прямой в отрезках в виде общего уравнения:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Мы видим, что n a → = (2 , - 3) - нормальный вектор прямой 2 x - 3 y + 1 = 0 , а n b → = 2 , 1 5 - нормальный вектор прямой x 1 2 + y 5 = 1 .

Полученные векторы не являются коллинеарными, т.к. не существует такого значения t , при котором будет верно равенство:

2 = t · 2 - 3 = t · 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t · 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Таким образом, не выполняется необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости, а значит заданные прямые не параллельны.

Ответ: заданные прямые не параллельны.

Пример 2

Заданы прямые y = 2 x + 1 и x 1 = y - 4 2 . Параллельны ли они?

Решение

Преобразуем каноническое уравнение прямой x 1 = y - 4 2 к уравнению прямой с угловым коэффициентом:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Мы видим, что уравнения прямых y = 2 x + 1 и y = 2 x + 4 не являются одинаковыми (если бы было иначе, прямые были бы совпадающими) и угловые коэффициенты прямых равны, а значит заданные прямые являются параллельными.

Попробуем решить задачу иначе. Сначала проверим, совпадают ли заданные прямые. Используем любую точку прямой y = 2 x + 1 , например, (0 , 1) , координаты этой точки не отвечают уравнению прямой x 1 = y - 4 2 , а значит прямые не совпадают.

Следующим шагом определим выполнение условия параллельности заданных прямых.

Нормальный вектор прямой y = 2 x + 1 это вектор n a → = (2 , - 1) , а направляющий вектором второй заданной прямой является b → = (1 , 2) . Скалярное произведение этих векторов равно нулю:

n a → , b → = 2 · 1 + (- 1) · 2 = 0

Таким образом, векторы перпендикулярны: это демонстрирует нам выполнение необходимого и достаточного условия параллельности исходных прямых. Т.е. заданные прямые параллельны.

Ответ: данные прямые параллельны.

Для доказательства параллельности прямых в прямоугольной системе координат трехмерного пространства используется следующее необходимое и достаточное условие.

Теорема 8

Чтобы две несовпадающие прямые в трехмерном пространстве были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы направляюще векторы этих прямых были коллинеарными.

Т.е. при заданных уравнениях прямых в трехмерном пространстве ответ на вопрос: параллельны они или нет, находится при помощи определения координат направляющих векторов заданных прямых, а также проверки условия их коллинеарности. Иначе говоря, если a → = (a x , a y , a z) и b → = (b x , b y , b z) являются направляющими векторами прямых a и b соответственно, то для того, чтобы они были параллельны, необходимо существование такого действительного числа t , чтобы выполнялось равенство:

a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y a z = t · b z

Пример 3

Заданы прямые x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 и x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ . Необходимо доказать параллельность этих прямых.

Решение

Условиями задачи заданы канонические уравнения одной прямой в пространстве и параметрические уравнения другой прямой в пространстве. Направляющие векторы a → и b → заданных прямых имеют координаты: (1 , 0 , - 3) и (2 , 0 , - 6) .

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , то a → = 1 2 · b → .

Следовательно, необходимое и достаточное условие параллельности прямых в пространстве выполнено.

Ответ: параллельность заданных прямых доказана.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Понятие параллельных прямых

Определение 1

Параллельные прямые – прямые, которые лежат в одной плоскости, не совпадают и не имеют общих точек.

Если у прямых есть общая точка, тогда они пересекаются .

Если все точки прямых совпадают , то имеем по сути одну прямую.

Если прямые лежат в разных плоскостях, то условий их параллельности несколько больше.

При рассмотрении прямых на одной плоскости можно дать следующее определение:

Определение 2

Две прямые на плоскости называют параллельными , если они не пересекаются.

В математике параллельные прямые принято обозначать с помощью знака параллельности « $\parallel$ ». Например, тот факт, что прямая $c$ параллельна прямой $d$ обозначается следующим образом:

$c \parallel d$.

Зачастую рассматривается понятие параллельных отрезков.

Определение 3

Два отрезка называют параллельными , если они лежат на параллельных прямых.

Например, на рисунке параллельными являются отрезки $AB$ и $CD$, т.к. они принадлежат параллельным прямым:

$AB \parallel CD$.

Вместе с тем, отрезки $MN$ и $AB$ или $МN$ и $CD$ параллельными не являются. Этот факт можно записать с помощью символов следующим образом:

$MN ∦ AB$ и $MN ∦ CD$.

Аналогичным образом определяется параллельность прямой и отрезка, прямой и луча, отрезка и луча или двух лучей.

Историческая справка

С греческого языка понятие «параллелос» переводится «рядом идущий» или «проведенный друг возле друга». Этот термин использовался в древней школе Пифагора еще до того, как параллельные прямые получили свое определение. Согласно историческим фактам Евклидом в $III$ в. до н.э. в его трудах все же был раскрыт смысл понятия параллельных прямых.

В древности знак для обозначения параллельных прямых имел отличный вид того, что мы используем в современной математике. Например, древнегреческим математиком Паппом в $III$ в. н.э. параллельность обозначалась с помощью знака равенства. Т.е. тот факт, что прямая $l$ параллельна прямой $m$ ранее обозначался «$l=m$». Позднее для обозначения параллельности прямых стали использовать привычный нам знак «$\parallel$, а знак равенства стали использовать для обозначения равенства чисел и выражений.

Параллельные прямые в жизни

Зачастую мы не замечаем, что в обычной жизни нас окружает огромное число параллельных прямых. Например, в нотной тетради и сборнике песен с нотами нотный стан выполнен с помощью параллельных линий. Также параллельные линии встречаются и в музыкальных инструментах (например, струны арфы, гитары, клавиши фортепиано и т.п.).

Электрические провода, которые расположены вдоль улиц и дорог, также проходят параллельно. Рельсы линий метро и железных дорог располагаются параллельно.

Кроме быта параллельные линии можно встретить в живописи, в архитектуре, при строительстве зданий.

Параллельные прямые в архитектуре

На представленных изображениях архитектурные сооружения содержат параллельные прямые. Использование параллельности прямых в строительстве помогает увеличить срок службы таких сооружений и придает им необычайную красоту, привлекательность и величие. Линии электропередач также умышленно проводятся параллельно, чтобы избежать их пересечения или соприкосновения, что привело бы к замыканию, перебоям и отсутствию электричества. Чтобы поезд мог беспрепятственно перемещаться рельсы также выполнены параллельными линиями.

В живописи параллельные линии изображают сводящимися в одну линию или близкими к тому. Такой прием называется перспективой, которая следует из иллюзии зрения. Если долго смотреть вдаль, то параллельные прямые будут похожи на две сходящиеся линии.