Формулы по статистике
Тема 1: Группировка статистических данных
Определение числа групп (если группи-ка по непрер. приз-ку или дискрет. со многими знач-ями)
Определение величины равного интервала :
Тема 2: Абсолютные и относительные величины
Относительные величины :
1) относит. вел-на структуры :
2) относит. вел-на планового задания :
3) относит. вел-на выполнения плана :
4) относит. вел-на динамики или темп роста :
5) относит. вел-на сравнения
6) относит. вел-на интенсивности (пример: фондоотдача = объем/стоимость (один год))
Тема 3: Средние величины и показатели вариации
Средняя арифметическая
простая :
взвешенная :
Средняя гармоническая
простая :
взвешенная : , сумма значений признака по группе
Свойства средн. арифметической:
если каждую вари-ту х умен-ть или увел-ть на одно и то же число, то ср. вел-на умен-ется или увел-ется на это же число;
если каждую вари-ту х умен-ть или увел-ть в одно и то же число раз, то ср. вел-на умен-ется или увел-ется в одно и то же число раз;
если каждую частоту f умен-ть или увел-ть в одно и то же число раз, то ср. вел-на не изменится.
Ср. вел-на зависит от вар-ты х и структуры совок-сти , кот. харак-ется долями d .
Ряд распределения имеет 3 центра :
1) ср. аримет-кое ;
2) мода – наиболее часто встречающаяся вар-та ;
3) медиана – вар-та, стоящая в середине ряда распре-ния. Сначала находят N медианы, кот. равен n/2, если число еди-ц совок-сти n – чётное, или , если число еди-ц совок-сти нечетное .
Осн. пока-ли вариации :
1)
размах
вариации
:
2) ср. линейное отклонение (ср. арифм-кая из абсолют. откл-ний отдел. значений)
Для несгруппир. данных:
Для
сгруппир. данных:
3) ср. квадратическое отклонение (хар-ет ср. абсол. откл-ние вар-ты от ср. вел-ны)
Для
несгруппир. данных
:
Для
сгруппир. данных
:
4) Дисперсия – квадрат среднеквадр-ного откл-ния
Для
несгруппир. данных
:
Для
сгруппир. данных
:
Общая
дисперсия:
(для сгрупп.) 
(для несгрупп.)
– ср. вел-на резул. приз-ка в сово-сти, - частота (в совокупности!)
Внутригрупповая
дисперсия:
- кол-во вариант в группе i
Междугрупповая
дисперсия:
- кол-во вариант в группе i
Правило
сложения дисперсий:
Не имеет еди-ц измерения.
5) Коэффициент вариации хар-ет ср. относит. откл-ние вар-ты от ср. вел-ны.
Способ моментов
Часто мы сталкиваемся с расчетом средней арифметической упрощенным способом.
В этом случае используются свойства средней величины. Метод упрощенного расчета называется способом моментов, либо способом отсчета от условного нуля.
Способ моментов предполагает следующие действия :
1) Выбирается начало отсчета (из х ) – условный нуль (A ). Обычно как можно ближе к середине распре-ния.
2) Находятся отклонения вариантов от условного нуля ().
4) Если эти отклонения содержат общий множитель (k ), то рассчитанные
отклонения делятся на этот множитель.
Способ моментов :
Средняя:
Дисперсия:
Тема 4: Выборочное наблюдение
Обозначения в теории выборки:
|
N – числи-ль генер. выборки |
n – числи-ль генер. выборки |
|
Генер. средняя (оценивают) |
– выбор. средняя (рассчитывают) |
|
p – генер. доля (оценивают) |
w – выбор. доля (рассчитывают) |
|
P (t ) – задаваемый уровень веро-сти |
|
Генер. средняя: с задан. уровнем вероя-сти P(t)
– ошибка выборки для ср. вел-ны
, t – критерий надеж-сти, его вел-на зав-т от уровня задан. вероя-сти P(t)
Если 1) P (t ) = 0,683, то t =1 ; 2) P (t ) = 0,954, то t =2 ; 3) P (t ) = 0,997, то t =3
– среднеквадр. ошибка выборки
– верна для повторного отбора в выборке.
- для бесповторного отбора
Доказано: с задан. уровнем вероя-сти P(t)
– ошибка выборки для доли
, – среднеквадр. ошибка выборки для доли
–для повторного отбора
- для бесповторного отбора
Тема 5: Ряды динамики
Аналит. пока-ли:
1) Абсолют. прирост (разница уровней)
(цепной) ; (базисный)
2) Темп роста (отношение уровней)
(цепной) ; (базисный)
3) Темп прироста
(цепной) ; 
(базисный)
4) Абсолютное значение 1% прироста
(цепной) ; 
(базисный)
Средние показатели:
1) ср. уровни динам. ряда ;
2) ср. аналитич. показ-ли динам. ряда .
Расчет ср. уровня зав-т от вида РД:
а) для интерв. РД с равн. периодами вре-ни – ср. арифмет. простая
б) для интерв. РД с неравн. периодами вре-ни – ср. арифмет. взвешенная
в) для моментных РД с равноотстоящими датами – ср. хронологическая
г) для моментных РД с неравноотстоящими датами – ср. арифмет. взвешенная
Расчет ср. аналит. показ-лей:
а)
ср.
абсолют. прирост
б) ср. темп роста
в)
ср.
темп прироста
Смыкание РД
Для проведения смыкания РД в смыкаемых рядах находится временной момент (дата, период), когда им-ся сведения об изучаемом признаке как в прежних, так и в новых условиях. Рассчитывается коэфф-т, дальнейш. расчеты – по сомкнутом. ряду.
В ходе обработки РД важн. задачей яв-ся выявление основ. тенденции раз-тия явления (тренда) и сглаживание случ. колебаний. Для решения этой задачи сущ-ют особые способы, кот. наз-ют методами выравнивания.
3 основн. способа обработки динамического ряда:
а) укрупнение интервалов РД и расчет средних для кажд. укрупненного интервала;
(переход от менее продолжит.инт-лов к более продолжит. Средняя, рассчитанная по укрупненным инт-лам, позволяет выявить направление и характер (ускорение или замедление) основ. тенденции развития. Средняя рассчитывается по формулам простой средней арифметической.
б) метод скользящей средней;
(вычисл-ся ср. уровень из опред. числа, обычно нечетного, первых по счету уровней ряда. Затем - из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее - начиная с третьего и т. д. Т/о, средняя как бы «скользит» по временному ряду от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень в начале и добавляя один следующий.
в) аналитическое выравнивание.
Сезонные колебания и волны
Индексами сезонности яв-ся процентные отношения фактических внутригодовых уровней к постоянной или переменной средней. Совокупность этих показателей отражает сезонную волну.
Для выявления сезон. колебаний обычно испо-ют данные за несколько лет, распределенные по месяцам. Для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня, например за 3 года ( ), затем из них вычисляется средний уровень для всего ряда ( ), далее определяется процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда:
где - средний уровень для каждого месяца;
Среднемесячный уровень для всего ряда.
Для наглядного представления сезонной волны индексы сезонности изображают в виде графиков.
Индивидуальные индексы:
|
себестоимости |
стоимости |
денежных затрат |
затрат труда |
||
|
i q |
i p |
i z |
i pq |
i qz |
i qt |
Общие индексы:
|
Общий индекс физического объема (как в среднем изм-лось кол-во товаров на рынке) | |
|
Абсолютное изм-ние стои-сти за счет изм-ния кол-ва товаров |
|
|
Общий индекс цен (агрегатный) (как в среднем изм-лись цены на рынке) | |
|
Абсолютное изм-ние стои-сти за счет изм-ния цен |
|
|
Общий индекс товарооборота (стоимости) общ. относит. изме-ния стои-сти товаров на рынке |
|
|
Общ. абсолют. изм-ние стои-сти товаров на рынке |
|
|
Взаимосвязь индексов |
I pq = I p I q |
|
Общий индекс себестоимости | |
|
Общий индекс физич. объема (по себестоимости) | |
|
Взаимосвязь между индексами | |
|
Общий индекс затрат на производство |
Ключевые вопросы: определение, предпосылки модели, понятие и формулы моментов, алгоритм расчёта оценок, применение в нормальном распределении, дискуссия о типе и количестве моментов, достоинства и недостатки подхода .
Метод моментов – один из наиболее известных и популярных методов статистического оценивания параметров вероятностных распределений.
Основные предпосылки модели метода моментов следующие:
Суть метода моментов заключается в вычислении того количества теоретических и выборочных моментов случайной величины, которое равно числу исследуемых нами параметров. После вычисления соответствующие друг другу теоретические и выборочные моменты приравниваются, и исходя из получившегося уравнения осуществляется вычисление оценки параметра.
Формула теоретических моментов выглядит так: где μ’ k – есть k-й теоретический момент величины Y.
Формула выборочных моментов выглядит так: где m’ k – есть k-й выборочный момент величины Y.
После этого приравниванием μ’ k = m’ k добиваемся вычисления значений параметров.
Рассмотрим в качестве примера нормальное распределение. Нахождение оценок параметров по методу моментов выглядит следующим образом.
Следует заметить, что в уравнения также допустимо включать и такие экзотические виды моментов, как асимметрию и эксцесс, но это необходимо только в специализированных исследованиях. Статистическая практика чаще всего не выходит за рамки обозначенного выше алгоритма, поскольку число подлежащих исследованию параметров обыкновенно не превышает 4.
В качестве достоинств метода моментов следует обозначить, во-первых, то, что его вычислительная реализация сравнительно проста, а, во-вторых, то, что оценки, полученные в качестве решений системы, являются функциями от выборочных моментов, что упрощает исследование статистических свойств оценок данного метода. При больших n распределение оценки такого рода асимптотически нормально, среднее значение отличается от истинного на величину, приблизительно равную n -1 , а стандартное отклонение асимптотически равно cn (-1/2) , где c – определённая числовая константа. Фишер в своё время доказал, однако, что асимптотическая эффективность оценок по методу моментов всегда оказывается меньше 1, и поэтому данный метод уступает, например, методу максимального правдоподобия. Впрочем, иногда в статистических исследованиях оценки, полученные по методу моментов, принимаются в качестве первого приближения, по которым можно определять другими методами оценки более высокой эффективности.
В другом изложении:
Введём сначала следующие определения:
Определение 9 . Начальный момент порядка k случайной величины x определяется равенством: m k = M(x k).
В частности, m 1 = M(x) – обычное мат. ожидание, m 2 = M(x 2).
Определение 10 . Центральный момент порядка k случайной величины x определяется равенством: a k = M((x–Mx) k).
В частности, a 2 = D(x) – дисперсия случайной величины.
Эти моменты называют теоретическими . По данным наблюдений можно вычислить соответствующие эмпирические моменты:
Определение 11
. Начальный эмпирический момент порядка k
случайной величины x определяется равенством 
В частности, 
– выборочное среднее.
Определение 12
. Центральный эмпирический момент порядка k
случайной величины x определяется равенством: 
В частности, 
– выборочная дисперсия.
Метод моментов построения точечных оценок неизвестных параметров состоит в приравнивании теоретических моментов рассматриваемого распределения соответствующим эмпирическим моментам того же распределения.
Пусть даны: случайная величина ξ, выборка объема n x 1 , x 2 ,…, x n . Необходимо построить оценки неизвестных параметров q * 1, q * 2 ,…,q * k . Описание метода моментов (ММ) разобьём на этапы:
1. Выписываем первые к моментов μ 1, μ 2, … μ n
2. Вычисляем по выборке соответствующие им эмпирические (выборочные) моменты.
3. С оставляем систему уравнений μ i = m i и решаем ее относительно неизвестных параметров.
Замечание 1. Иногда вместо начальных моментов μ i , m i удобно использовать центральные моменты α i , a i .
Замечание 2 . Если на третьем этапе получилась неразрешимая система, то на первом шаге надо добавить новые моменты.
Найдем методом моментов оценки параметров нескольких важнейших распределений.
Признаки единиц статистических совокупностей различны по своему значению, например, заработная плата рабочих одной профессии какого-либо предприятия не одинакова за один и тот же период времени, различны цены на рынке на одинаковую продукцию, урожайность сельскохозяйственных культур в хозяйствах района и т.д. Поэтому, чтобы определить значение признака, характерное для всей изучаемой совокупности единиц, рассчитывают средние величины.
Средняя величина
–
это обобщающая характеристика множества индивидуальных значений некоторого количественного признака.
Совокупность, изучаемая по количественному признаку, состоит из индивидуальных значений; на них оказывают влияние, как общие причины, так и индивидуальные условия. В среднем значении отклонения, характерные для индивидуальных значений, погашаются. Средняя, являясь функцией множества индивидуальных значений, представляет одним значением всю совокупность и отражает то общее, что присуще всем ее единицам.
Средняя, рассчитываемая для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц, называется типической средней . Например, можно рассчитать среднемесячную заработную плату работника той или иной профессиональной группы (шахтера, врача библиотекаря). Разумеется, уровни месячной заработной платы шахтеров в силу различия их квалификации, стажа работы, отработанного за месяц времени и многих других факторов отличаются друг от друга, так и от уровня средней заработной платы. Однако в среднем уровне отражены основные факторы, которые влияют на уровень заработной платы, и взаимно погашаются различия, которые возникают вследствие индивидуальных особенностей работника. Средняя заработная плата отражает типичный уровень оплаты труда для данного вида работников. Получению типической средней должен предшествовать анализ того, насколько данная совокупность качественно однородна. Если совокупность состоит их отдельных частей, следует разбить ее на типические группы (средняя температура по больнице).
Средние величины, используемые в качестве характеристик для неоднородных совокупностей, называются системными средними . Например, средняя величина валового внутреннего продукта (ВВП) на душу населения, средняя величина потребления различных групп товаров на человека и другие подобные величины, представляющие обобщающие характеристики государства как единой экономической системы.
Средняя должна вычисляться для совокупностей, состоящих из достаточно большого числа единиц. Соблюдение этого условия необходимо для того, чтобы вошел в силу закон больших чисел, в результате действия которого случайные отклонения индивидуальных величин от общей тенденции взаимно погашаются.
Виды средних и способы их вычисления
Выбор вида средней определяется экономическим содержанием определенного показателя и исходных данных. Однако любая средняя величина должна вычисляться так, чтобы при замене ею каждой варианты осредняемого признака не изменился итоговый, обобщающий, или, как его принято называть, определяющий показатель
, который связан с осредняемым показателем. Например, при замене фактических скоростей на отдельных отрезках пути их средней скоростью не должно измениться общее расстояние, пройденное транспортным средством за одно и тоже время; при замене фактических заработных плат отдельных работников предприятия средней заработной платой не должен измениться фонд заработной платы. Следовательно, в каждом конкретном случае в зависимости от характера имеющихся данных, существует только одно истинное среднее значение показателя, адекватное свойствам и сущности изучаемого социально-экономического явления.
Наиболее часто применяются средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая и средняя кубическая.
Перечисленные средние относятся к классу степенных
средних и объединяются общей формулой:
,
где – среднее значение исследуемого признака;
m – показатель степени средней;
– текущее значение (варианта) осредняемого признака;
n – число признаков.
В зависимости от значения показателя степени m различают следующие виды степенных средних:
при m = -1 – средняя гармоническая ;
при m = 0 – средняя геометрическая ;
при m = 1 – средняя арифметическая ;
при m = 2 – средняя квадратическая ;
при m = 3 – средняя кубическая .
При использовании одних и тех же исходных данных, чем больше показатель степени m в вышеприведенной формуле, тем больше значение средней величины:
.
Это свойство степенных средних возрастать с повышением показателя степени определяющей функции называется правилом мажорантности средних
.
Каждая из отмеченных средних может приобретать две формы: простую
и взвешенную
.
Простая форма средней
применяется, когда средняя вычисляется по первичным (несгруппированными) данным. Взвешенная форма
– при расчете средней по вторичным (сгруппированным) данным.
Средняя арифметическая
Средняя арифметическая применяется, когда объем совокупности представляет собой сумму всех индивидуальных значений варьирующего признака. Следует отметить, что если вид средней величины не указывается, подразумевается средняя арифметическая. Ее логическая формула имеет вид:
Средняя арифметическая простая
рассчитывается по несгруппированным данным
по формуле:
или ,
где – отдельные значения признака;
j – порядковый номер единицы наблюдения, которая характеризуется значением ;
N – число единиц наблюдения (объем совокупности).
Пример.
В лекции «Сводка и группировка статистических данных» рассматривались результаты наблюдения стажа работы бригады из 10 человек. Рассчитаем средний стаж работы рабочих бригады. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.
По формуле средней арифметической простой вычисляются также средние в хронологическом ряду
, если интервалы времени, за которое представлены значения признака, равны.
Пример.
Объем реализованной продукции за первый квартал составил 47 ден. ед., за второй 54, за третий 65 и за четвертый 58 ден. ед. Среднеквартальный оборот составляет (47+54+65+58)/4 = 56 ден. ед.
Если в хронологическом ряду приведены моментные показатели, то при вычислении средней они заменяются полусуммами значений на начало и конец периода.
Если моментов больше двух и интервалы между ними равны, то средняя вычисляется по формуле средней хронологической
,
где n- число моментов времени
В случае, когда данные сгруппированы по значениям признака
(т. е. построен дискретный вариационный ряд распределения) средняя арифметическая взвешенная
рассчитывается с использовании либо частот , либо частостей наблюдения конкретных значений признака , число которых (k) значительно меньше числа наблюдений (N) .
,
,
где k – количество групп вариационного ряда,
i – номер группы вариационного ряда.
Поскольку , а , получаем формулы, используемые для практических расчетов:
и
Пример.
Рассчитаем средний стаж рабочих бригад по сгруппированному ряду.
а) с использованием частот:
б) с использованием частостей:
В случае, когда данные сгруппированы по интервалам
, т.е. представлены в виде интервальных рядов распределения, при расчете средней арифметической в качестве значения признака принимают середину интервала, исходя из предположения о равномерном распределении единиц совокупности на данном интервале. Расчет ведется по формулам:
и
где - середина интервала: ,
где и – нижняя и верхняя границы интервалов (при условии, что верхняя граница данного интервала совпадает с нижней границей следующего интервала).
Пример.
Рассчитаем среднюю арифметическую интервального вариационного ряда, построенного по результатам исследования годовой заработной платы 30 рабочих (см. лекцию «Сводка и группировка статистических данных»).
Таблица 1 – Интервальный вариационный ряд распределения.
Интервалы, грн. |
Частота, чел. |
Частость, |
Середина интервала, |
||
600-700 |
3 |
0,10 |
(600+700):2=650 |
1950 |
65 |
грн. или 
грн.
Средние арифметические, вычисленные на основе исходных данных и интервальных вариационных рядов, могут не совпадать из-за неравномерности распределения значений признака внутри интервалов. В этом случае для более точного вычисления средней арифметической взвешенной следует использовать не средины интервалов, а средние арифметические простые, рассчитанные для каждой группы (групповые средние
). Средняя, вычисленная по групповым средним с использованием взвешенной формулы расчета, называется общей средней
.
Средняя арифметическая обладает рядом свойств.
1. Сумма отклонений вариант от средней равна нулю:
.
2. Если все значения вариант увеличиваются или уменьшаются на величину А, то и средняя величина увеличивается или уменьшается на ту же величину А:
3. Если каждую варианту увеличить или уменьшить в В раз, то средняя величина также увеличится или уменьшатся в то же количество раз:
или 
4. Сумма произведений вариант на частоты равна произведению средней величины на сумму частот:
5. Если все частоты разделить или умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая не изменится:
6) если во всех интервалах частоты равны друг другу, то средняя арифметическая взвешенная равна простой средней арифметической:
,
где k – количество групп вариационного ряда.
Использование свойств средней позволяет упростить ее вычисление.
Допустим, что все варианты (х) сначала уменьшены на одно и то же число А, а затем уменьшены в В раз. Наибольшее упрощение достигается, когда в качестве А выбирается значение середины интервала, обладающего наибольшей частотой, а в качестве В – величина интервала (для рядов с одинаковыми интервалами). Величина А называется началом отсчета, поэтому этот метод вычисления средней называется спосо
бом отсчета от условного нуля
или способом моментов
.
После такого преобразования получим новый вариационный ряд распределения, варианты которого равны . Их средняя арифметическая, называемая моментом первого порядка,
выражаетсяформулой и согласно второго и третьего свойств средней арифметической равна средней из первоначальных вариант, уменьшенной сначала на А, а потом в В раз, т. е. .
Для получения действительной средней
(средней первоначального ряда)нужно момент первого порядка умножить на В и прибавить А:
Расчет средней арифметической по способу моментов иллюстрируется данными табл. 2.
Таблица 2 – Распределение работников цеха предприятия по стажу работы
Стаж работников, лет |
Количество работников |
Середина интервала |
|||
0 – 5 |
12 |
2,5 |
15 |
3 |
36 |
Находим момент первого порядка 
. Затем, зная, что А=17,5, а В=5, вычисляем средний стаж работы работников цеха:
лет
Средняя гармоническая
Как было показано выше, средняя арифметическая применяется для расчета среднего значения признака в тех случаях, когда известны его варианты x и их частоты f.
Если статистическая информация не содержит частот f по отдельным вариантам x совокупности, а представлена как их произведение , применяется формула средней гармонической взвешенной
. Чтобы вычислить среднюю, обозначим , откуда . Подставив эти выражения в формулу средней арифметической взвешенной, получим формулу средней гармонической взвешенной:
,
где - объем (вес) значений признака показателя в интервале с номером i (i=1,2, …, k).
Таким образом, средняя гармоническая применяется в тех случаях, когда суммированию подлежат не сами варианты, а обратные им величины: 
.
В тех случаях, когда вес каждой варианты равен единице, т.е. индивидуальные значения обратного признака встречаются по одному разу, применяется средняя гармоническая простая
:
,
где – отдельные варианты обратного признака, встречающиеся по одному разу;
N – число вариант.
Если по двум частям совокупности численностью и имеются средние гармонические, то общая средняя по всей совокупности рассчитывается по формуле:
и называется взвешенной гармонической средней из групповых средних
.
Пример.
В ходе торгов на валютной бирже за первый час работы заключены три сделки. Данные о сумме продажи гривны и курсе гривны по отношению к доллару США приведены в табл. 3 (графы 2 и 3). Определить средний курс гривны по отношению к доллару США за первый час торгов.
Таблица 3 – Данные о ходе торгов на валютной бирже
Средний курс доллара определяется отношением суммы проданных в ходе всех сделок гривен к сумме приобретенных в результате этих же сделок долларов. Итоговая сумма продажи гривны известна из графы 2 таблицы, а количество купленных в каждой сделке долларов определяется делением суммы продажи гривны к ее курсу (графа 4). Всего в ходе трех сделок куплено 22 млн. дол. Значит, средний курс гривны за один доллар составил
.
Полученное значение является реальным, т.к. замена им фактических курсов гривны в сделках не изменит итоговой суммы продаж гривны, выступающей в качестве определяющего показателя
: млн. грн.
Если бы для расчета была использована средняя арифметическая, т.е. 
гривны, то по обменному курсу на покупку 22 млн. дол. нужно было бы затратить 110,66 млн. грн., что не соответствует действительности.
Средняя геометрическая
Средняя геометрическая используется для анализа динамики явлений и позволяет определить средний коэффициент роста. При расчете средней геометрической индивидуальные значения признака представляют собой относительные показатели динамики, построенные в виде цепных величин, как отношения каждого уровня к предыдущему.
Средняя геометрическая простая рассчитывается по формуле:
,
где – знак произведения,
N – число осредняемых величин.
Пример.
Количество зарегистрированных преступлений за 4 года возросло в 1,57 раза, в т. ч. за 1-й – в 1,08 раза, за 2-й – в 1,1 раза, за 3-й – в 1,18 и за 4-й – в 1,12 раза. Тогда среднегодовой темп роста количества преступлений составляет: , т.е. число зарегистрированных преступлений ежегодно росло в среднем на 12%.
1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4
1
3
4
1
1
3,24
0,64
0,04
1
1,96
3,24
1,92
0,16
1
1,96
Для расчета средней квадратической взвешенной определяем и заносим в таблицу и . Тогда средняя величина отклонений длины изделий от заданной нормы равна:
Средняя арифметическая в данном случае была бы непригодна, т.к. в результате мы получили бы нулевое отклонение.
Применение средней квадратической будет рассмотрено далее в показателях вариации.
Пусть, как и прежде, - исследуемая -мерная случайная величина, подчиняющаяся закону распределения где функция - плотность вероятности, если непрерывна, и вероятность если дискретна, зависит от некоторого, вообще говоря, многомерного параметра . И пусть мы хотим оценить неизвестное значениехэтого параметра, т. е. построить оценку 0 по имеющейся в нашем распоряжении выборке, состоящей из независимых наблюдений где
Метод моментов заключается в приравнивании определенного количества выборочных моментов к соответствующим теоретическим (т. е. вычисленным с использованием функции моментам исследуемой случайной величины, причем последние, очевидно, являются функциями от неизвестных параметров Рассматривая количество моментов, равное числу k подлежащих оценке параметров, и решая полученные уравнения относительно этих параметров, мы получаем искомые оценки. Таким образом, оценки по методу моментов неизвестных параметров являются решениями системы уравнений:
(очевидно, если анализируемая случайная величина дискретна, интегралы в левых частях (8.25) следует заменить соответствующими суммами типа
Число уравнений в системе (8.25) должно быть равным числу k оцениваемых параметров. Вопрос о том, какие именно моменты включать в систему (8.25) (начальные, центральные или их некоторые модификации типа коэффициентов асимметрии или эксцесса), следует решать, руководствуясь конкретными целями исследования и сравнительной простотой формы зависимости альтернативных теоретических характеристик от оцениваемых параметров . В статистической практике дело редко доходит даже до моментов четвертого порядка (исключение составляет, пожалуй, практика эксплуатации так называемой «системы кривых Пирсона», см., например, , однако этот чисто формальный аппарат подгонки эмпирического распределения под одну из теоретических кривых практически не в состоянии, с нашей точки зрения, решать сколь-нибудь интересные задачи содержательного статистического анализа данных).
К достоинствам метода моментов следует отнести его сравнительно простую вычислительную реализацию, а также то, что оценки, полученные в качестве решений системы (8.25), являются функциями от выборочных моментов. Это упрощает исследование статистических свойств оценок метода моментов: можно показать (см. ), что при довольно общих условиях распределение оценки такого рода при больших асимптотически-нормально, среднее значение такой оценки отличается от истинного значения параметра на величину порядка , а стандартное
отклонение асимптотически имеет вид , где с - некоторая постоянная величина.
В то же время, как показал Р. Фишер (см. ), асимптотическая эффективность оценок, полученных методом моментов, оказывается, как правило, меньше единицы, и в этом отношении они уступают оценкам, полученным методом максимального правдоподобия. Тем не менее метод моментов часто очень удобен на практике. Иногда оценки, получаемые с помощью метода моментов, принимаются в качестве первого приближения, по которому можно определять другими методами оценки более высокой эффективности.
Вернемся к нашим примерам.
В примере 8.3 в качестве системы (8.25) имеем:
что дает уже знакомые нам по методу максимального правдоподобия оценки для параметров:
Нормальное распределение, так же как и распределение Пуассона (в чем легко убедиться, обратившись к примеру 8.4), относится к тем редким случаям, когда оценки по методу моментов совпадают с оценками по методу максимального правдоподобия.
Построение системы (8.25) в примере 8.5 дает:
Откуда легко получаем оценки:
Можно сравнить асимптотическую эффективность оценок, полученных методом максимального правдоподобия и методом моментов: учитывая, что дисперсия оценок (8.26) как дисперсия функций выборочных моментов имеет порядок (см. ), и принимая во внимание соотношение (8.22), в соответствии с которым дисперсии оценок по методу максимального правдоподобия тех же параметров имеют порядок получаем, что эффективность в сравнении с эффективностью и стремится к нулю при
Реализация метода моментов в примере 8.6 дает
В процессе вычисления средней арифметической и использования ее в анализе социально-экономических процессов может оказаться полезным знание ряда ее математических свойств, которые мы приведем без развернутых доказательств.
Свойство 1. Средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной: при
Свойство 2. Алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю: 
для несгруппированных данных и 
для рядов распределения.
Это свойство означает, что сумма положительных отклонений равна сумме отрицательных отклонений, т.е. все отклонения, обусловленные случайными причинами взаимно погашаются.
Свойство 3. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической есть число минимальное: 
для несгруппировочных данных и 
для рядов распределения. Это свойство означает, что сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической всегда меньше суммы отклонений вариантов признака от любого другого значения, даже мало отличающегося от средней.
Второе и третье свойство средней арифметической применяются для проверки правильности расчета средней величины; при изучении закономерностей изменения уровней ряда динамики; для нахождения параметров уравнения регрессии при изучении корреляционной связи между признаками.
Все три первых свойства выражают сущностные черты средней как статистической категории.
Следующие свойства средней рассматриваются как вычислительные, поскольку они имеют некоторое прикладное значение.
Свойство 4. Если все веса (частоты) разделить на какое-либо постоянное число d, то средняя арифметическая не изменится, поскольку это сокращение в равной степени коснется и числителя и знаменателя формулы расчета средней.
Из этого свойства вытекают два важных следствия.
Следствие 1. Если все веса равны между собой, то вычисление средней арифметической взвешенной можно заменить вычислением средней арифметической простой.
Следствие 2. Абсолютные значения частот (весов) можно заменять их удельными весами.
Свойство 5. Если все варианты разделить или умножить на какое-либо постоянное число d, то средняя арифметическая уменьшиться или увеличиться в d раз.
Свойство 6. Если все варианты уменьшить или увеличить на постоянной число A, то и со средней произойдут аналогичные изменения.
Прикладные свойства средней арифметической можно проиллюстрировать, применив способ расчета средней от условного начала (способ моментов).
Средняя арифметическая способом моментов вычисляется по формуле:
где А – середина какого-либо интервала (предпочтение отдается центральному);
d – величина равновеликого интервала, или наибольший кратный делитель интервалов;
m 1 – момент первого порядка.
Момент первого порядка определяется следующим образом:
.
Технику применения этого способа расчета проиллюстрируем по данным предшествующего примера.
Таблица 5.6
| Стаж работы, лет | Число рабочих | Середина интервала x | |||
| до 5 | 2,5 | -10 | -2 | -28 | |
| 5-10 | 7,5 | -5 | -1 | -22 | |
| 10-15 | 12,5 | ||||
| 15-20 | 17,5 | +5 | +1 | +25 | |
| 20 и выше | 22,5 | +10 | +2 | +22 | |
| Итого | Х | Х | Х | -3 |
Как видно из расчетов, приведенных в табл. 5.6 из всех вариантов вычитается одно из их значений 12,5, которое приравнивается нулю и служит условным началом отсчета. В результате деления разностей на величину интервала – 5 получают новые варианты.
Согласно итогу табл. 5.6 имеем: 
.
Результат вычислений по способу моментов аналогичен результату, который был получен применением основного способа расчета по средней арифметической взвешенной.
