Весь массив особей определенной категории называется генеральной совокупностью. Объем генеральной совокупности определяется задачами исследования.

Если изучается какой-нибудь вид диких животных или растений, то генеральной совокупностью будут все особи этого вида. В данном случае объем генеральной совокупности будет очень большой и при расчетах он принимается за бесконечно большую величину.

Если изучается действие какого-нибудь агента на растения и животных определенной категории, то генеральной совокупностью будут все растения и животные той категории (вида, пола, возраста, хозяйственного назначения), к которой относились подопытные объекты. Это уже не очень большое количество особей, но еще недоступное для сплошного изучения.

Не всегда объем генеральной совокупности недоступен для сплошного исследования. Иногда изучаются небольшие совокупности, например, определяется средний удой или средний настриг шерсти у группы животных, закрепленных за определенным работником. В таких случаях генеральной совокупностью будет совсем небольшое количество особей, которые все исследуются. Небольшая генеральная совокупность встречается также при исследовании растений или животных, имеющихся в какой-нибудь коллекции, с целью характеристики определенной группы в данной коллекции.

Характеристики групповых свойств ( и т. д.), относящиеся ко всей генеральной совокупности, называются генеральными параметрами.

Выборка – группа объектов, отличающихся тремя особенностями:

1 это часть генеральной совокупности;

2 отобранная в случайном порядке, определенным образом;

3 исследуемая для характеристики всей генеральной совокупности.

Для того чтобы по выборке можно было получить достаточно точную характеристику всей генеральной совокупности, необходимо организовать правильный отбор объектов из генеральной совокупности.

Теорией и практикой разработано несколько систем отбора особей в выборку. В основу всех этих систем положено стремление обеспечить максимальную возможность выбора любого объекта из генеральной совокупности. Тенденциозность, предвзятость при отборе объектов для выборочного исследования препятствуют получению правильных общих выводов, делают результаты выборочного исследования непоказательными для всей генеральной совокупности, т. е. нерепрезентативными.

Для получения правильной, неискаженной характеристики всей генеральной совокупности необходимо стремиться обеспечить возможность отбора в выборку любого объекта из любой части генеральной совокупности. Это основное требование должно выполняться тем строже, чем более изменчив изучаемый признак. Вполне понятно, что при разнообразии, приближающемся к нулю, например в случае изучения цвета волос или перьев некоторых видов, любой способ отбора выборки даст репрезентативные результаты.

В различных исследованиях применяются следующие способы отбора объектов в выборку.

4 Случайный повторный отбор, при котором объекты изучения отбираются из генеральной совокупности без предварительного учета развития у них изучаемого признака, т. е. в случайном (для данного признака) порядке; после отбора каждый объект изучается и затем возвращается в свою генеральную совокупность, так что любой объект может попасть повторно в выборку. Такой способ отбора равносилен отбору из бесконечно большой генеральной совокупности, для которого разработаны основные показатели взаимоотношений между выборочными и генеральными величинами.

5 Случайный бесповторный отбор, при котором объекты, отобранные, как и при предыдущем способе, случайно, не возвращаются в генеральную совокупность и не могут повторно попасть в выборку. Это наиболее распространенный способ организации выборки; он равносилен отбору из большой, но ограниченной генеральной совокупности, что учитывается при определении генеральных показателей по выборочным.

6 Механический отбор, при котором производится отбор объектов из отдельных частей генеральной совокупности, причем эти части предварительно намечаются механически по квадратам опытного поля, по случайным группам животных, взятых из разных ареалов популяции и т. д. Обычно намечается столько таких частей, сколько предполагается взять объектов для изучения, поэтому число частей бывает равно численности выборки. Механический отбор иногда осуществляется выбором для изучения особей через определенное число, например при пропускании животных через раскол и отборе каждого десятого, сотого и т. д., или при взятии укоса через каждые 100 или 200 м, или отборе одного объекта через каждые встретившиеся 10, 100 и т. д. экземпляров при исследовании всей популяции.

8 Серийный (гнездовой) отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части – серии, некоторые из них исследуются целиком. Применяется этот способ с успехом в тех случаях, когда исследуемые объекты достаточно равномерно распределены в определенном объеме или на определенной территории. Например, при исследовании зараженности воздуха или воды микроорганизмами берут пробы, которые подвергаются сплошному исследованию. В некоторых случаях гнездовым способом могут быть обследованы также сельскохозяйственные объекты. При изучении выходов мяса и других продуктов переработки мясной породы скота в выборку можно взять всех животных этой породы, поступивших на два-три мясокомбината. При изучении величины яйца в колхозном птицеводстве можно в нескольких колхозах провести изучение этого признака у всего поголовья кур.

Характеристики групповых свойств (μ, s и т. д.), полученные для выборки, называются выборочными показателями.

Репрезентативность

Непосредственное изучение группы отобранных объектов дает, прежде всего, первичный материал и характеристику самой выборки.

Все выборочные данные и сводные показатели имеют значение в качестве первичных фактов, вскрытых исследованием и подлежащих тщательному рассмотрению, анализу и сопоставлению с результатами других работ. Но этим не ограничивается процесс извлечения информации, заложенный в первичных материалах исследования.

То обстоятельство, что объекты отбирались в выборку специальными приемами и в достаточном количестве, делает результаты изучения выборки показательными не только для самой выборки, но также и для всей генеральной совокупности, из которой взята эта выборка.

Выборка при определенных условиях становится более или менее точным отражением всей генеральной совокупности. Это свойство выборки называется репрезентативностью, что означает представительность с определенной точностью и надежностью.

Как и всякое свойство, репрезентативность выборочных данных может быть выражена в достаточной или в недостаточной степени. В первом случае в выборке получаются достоверные оценки генеральных параметров, во втором – недостоверные. Важно помнить, что получение недостоверных оценок не умаляет значения выборочных показателей для характеристики самой выборки. Получение же достоверных оценок расширяет область применения достижений, полученных при выборочном исследовании.

Генеральная совокупность – совокупность элементов, удовлетворяющих неким заданным условиям; именуется также изучаемой совокупностью. Генеральная совокупность (Universe) - все множество объектов (субъектов) исследования, из которого выбираются (могут выбираться) объекты (субъекты) для обследования (опроса).

ВЫБОРКА или выборочная совокупность (Sample) - это множество объектов (субъектов), отобранных специальным образом для обследования (опроса). Любые данные, полученные на основании выборочного обследования (опроса), имеют вероятностный характер. На практике это означает, что в ходе исследования определяется не конкретное значение, а интервал, в котором определяемое значение находится.

Характеристики выборки:

Качественная характеристика выборки – что именно мы выбираем и какие способы построения выборки мы для этого используем.

Количественная характеристика выборки – сколько случаев выбираем, другими словами объём выборки.

Необходимость выборки:

Объект исследования очень обширный. Например, потребители продукции глобальной компании – огромное количество территориально разбросанных рынков.

Существует необходимость в сборе первичной информации.

Объём выборки - число случаев, включённых в выборочную совокупность.

Зависимые и независимые выборки.

При сравнении двух (и более) выборок важным параметром является их зависимость. Если можно установить гомоморфную пару (то есть, когда одному случаю из выборки X соответствует один и только один случай из выборки Y и наоборот) для каждого случая в двух выборках (и это основание взаимосвязи является важным для измеряемого на выборках признака), такие выборки называются зависимыми .

В случае, если такая взаимосвязь между выборками отсутствует, то эти выборки считаются независимыми.

Типы выборки.

Выборки делятся на два типа:

Вероятностные;

Не вероятностные;

Репрезентативная выборка - выборочная совокупность, в которой основные характеристики совпадают с характеристиками генеральной совокупности. Только для этого типа выборки результаты обследования части единиц (объектов) можно распространять на всю генеральную совокупность. Необходимое условие для построения репрезентативной выборки - наличие информации о генеральной совокупности, т.е. либо полный список единиц (субъектов) генеральной совокупности, либо информация о структуре по характеристикам, существенно влияющим на отношение к предмету исследования.

17. Дискретный вариационный ряд, ранжирование, частота, частность.

Вариационным рядом (статистическим рядом) – называется последовательность вариант, записанных в порядке возрастания и соответствующих им весов.

Вариационный ряд может быть дискретным (выборка значений дискретной случайной величины) и непрерывным (интервальным) (выборка значений непрерывной случайной величины).

Дискретный вариационный ряд имеет вид:

Наблюдаемые значения случайной величины х1, х2, …, хk называются вариантами, а изменение этих значений называются варьированием.

Выборка (выборочная совокупность) – совокупность наблюдений, отобранных случайным образом из генеральной совокупности.

Число наблюдений в совокупности называется ее объемом.

N – объем генеральной совокупности.

n – объем выборки(сумма всех частот ряда).

Частотой варианты хi называется число ni (i=1,…,k), показывающее, сколько раз эта варианта встречается в выборке.

Частостью (относительной частотой, долей) варианты хi (i=1,…,k) называется отношение ее частоты ni к объему выборки n.
wi =ni /n

Ранжирование опытных данных - операция, заключающаяся в том, что результаты наблюдений над случайной величиной, т. е. наблюдаемые значения случайной величины, располагают в порядке неубывания.

Дискретным вариационным рядом распределения называется ранжированная совокупность вариантов хi с соответствующими им частотами или частностями.

В математической статистике выделяют два фундаментальных понятия: генеральная совокупность и выборка.
Совокупностью - называется практически счетное множество некоторых объектов или элементов, интересующих исследователя;
Свойством совокупности называется реальное или воображаемое качество, присущее некоторым всем ее элементам. Свойство может быть случайным или неслучайным.
Параметром совокупности называется свойство, которое можно квантифицировать в виде константы или переменной величины.
Простая совокупность характеризуется:
отдельным свойством (например: все студенты России);
отдельным параметром в виде константы или переменной (Все студенты женского пола);
системой непересекающихся (несовместных) свойств, к примеру: Все учителя и ученики школ г. Владивостока.
Сложная совокупность характеризуется:
системой, хотя бы частично пересекающихся свойств (Студенты психологического и математических факультетов ДВГУ, окончивших школу с золотой медалью);
системой параметров независимых и зависимых в совокупности; при комплексном исследовании личности.
Гомогенной или однородной называется совокупность, все характеристики которой присущи каждому ее элементу;
Гетерогенной или неоднородной называется совокупность, характеристики которой сосредоточены в отдельных подмножествах элементов.
Важным параметром является объем совокупности - количество образующих ее элементов. Величина объема зависит от того, как определена сама совокупность, и какие вопросы нас конкретно интересуют. Допустим нас интересует эмоциональное состояние студента 1-го курса в период сдачи конкретного экзамена в сессию. Тогда генеральная совокупность исчерпывается в течении получаса. Если нас интересует эмоциональное состояние всех студентов 1-го курса, то совокупность будет гораздо больше, и еще больше, если взять эмоциональное состояние всех студентов 1-го курса данного вуза и т.д. Понятно, что совокупности большого объема можно исследовать только выборочным путем.
Выборкой называется некоторая часть генеральной совокупности, то, что непосредственно изучается.
Выборки классифицируются по репрезентативности, объему, способу отбора и схеме испытаний.
Репрезентативная - выборка адекватно отображающая генеральную совокупность в качественном и количественном отношениях. Выборка должна адекватно отображать генеральную совокупность, иначе результаты не совпадут с целями исследования.
Репрезентативность зависит от объема, чем больше объем, тем выборка репрезентативней. По способу отбора.
Случайная - если элементы отбираются случайным образом. Так как большинство методов математической статистики основывается на понятии случайной выборки, то естественно выборка должна быть случайной.
Неслучайная выборка:
механический отбор, когда вся совокупность делится на столько частей, сколько единиц планируется в выборке и затем из каждой части отбирается один элемент;
типический отбор - совокупность делится на гомогенные части, и из каждой осуществляется случайная выборка;
серийный отбор - совокупность делят на большое число разновеликих серий, затем делают выборку одной какой-либо серии;
комбинированный отбор - сочетаются рассматриваемые виды отбора, на разных этапах.
По схеме испытаний - выборки могут быть независимые и зависимые. По объему выборки делят на малые и большие. К малым относят выборки, в которых число элементов n 200 и средняя выборка удовлетворяет условию 30Малые выборки используются при статистическом контроле известных свойств уже изученных совокупностей.
Большие выборки используются для установки неизвестных свойств и параметров совокупности.

Еще по теме 1.3. Генеральная совокупность и выборка:

  1. 7.2 Характеристики выборочной и генеральной совокупности
  2. 1.6. Точечная и интервальная оценки коэффициентов корреляции нормально распределенной генеральной совокупности

Генеральная совокупность – множество тех людей, сведения о которых стремится получить социолог в своем исследовании. В зависимости от того, насколько широкой будет тема исследования, настолько же широка будет генеральная совокупность.

Выборочная совокупность – уменьшенная модель генеральной совокупности; те, кому социолог раздает анкеты, кого называют респондентами, кто, наконец, представляет собой объект социологического исследования.

Кого именно относить к генеральной совокупности, определяют цели исследования, а кого включать в выборочную совокупность решают математические методы. Если социолог намеревается взглянуть на афганскую войну глазами ее участников, в генеральную совокупность войдут все воины-афганцы, но опрашивать ему придется небольшую часть – выборочную совокупность. Для того чтобы выборка точно отражала генеральную совокупность, социолог придерживается правила: любой воин-афганец, независимо от места жительства, места работы, состояния здоровья и других обстоятельств, должен иметь одинаковую вероятность попасть в выборочную совокупность.

Как только социолог определился с тем, кого он хочет опросить, он определил основу выборки . После чего решается вопрос о типе выборки.

Выборки делятся на три больших класса:

а) сплошные (переписи, референдумы). Опрашиваются все единицы из генеральной совокупности;

б) случайные ;

в) неслучайные.

Случайный и неслучайный типы выборки в свою очередь подразделяются на несколько видов.

К случайным относят:

1) вероятностную;

2) систематическую;

3) районированную (стратифицированную);

4) гнездовую.

К неслучайным относят:

1) «стихийную»;

2) квотную;

3) метод «основного массива».

Полный и точный перечень единиц выборочной совокупности образует основу выборки . Элементы, предназначенные для отбора, называются единицами отбора . Единицы отбора могут совпадать с единицами наблюдения, поскольку единицей наблюдения считается элемент генеральной совокупности, с которого непосредственно ведется сбор информации. Обычно единица наблюдения – это отдельный человек. Отбор из списка лучше всего производить, нумеруя единицы и используя таблицу случайных чисел, хотя часто используется квази-случайный метод, когда из перечня простого берется каждый n-й элемент.

Если основа выборки включает список единиц отбора, то структура выборки подразумевает их группирование по каким-то важным признакам, например, распределение индивидов по профессии, квалификации, полу или возрасту. Если в генеральной совокупности, к примеру, 30% молодежи, 50% людей среднего возраста и 20% пожилых, то и в выборочной совокупности должны соблюдаться те же самые процентные пропорции трех возрастов. К возрастам могут добавиться классы, пол, национальность и т.д. Для каждой устанавливаются процентные пропорции в генеральной и выборочной совокупности. Таким образом, структура выборки – процентные пропорции признаков объекта, на основании которых составляется выборочная совокупность.

Если тип выборки говорит о том, как попадают люди в выборочную совокупность, то объем выборки сообщает о том, какое их количество попало сюда.

Объем выборки – количество единиц выборочной совокупности. Поскольку выборочная совокупность – это часть генеральной совокупности, отобранной с помощью специальных методов, ее объем всегда меньше объема генеральной. Поэтому так важно, чтобы часть не искажала представления о целом, то есть репрезентировала его.

На достоверность данных влияют не количественные характеристики выборочной совокупности (ее объем), а качественные характеристики генеральной совокупности – степень ее однородности. Расхождение между генеральной и выборочной совокупностью называется ошибкой репрезентативности , допустимое отклонение – 5%.

Вот некоторые способы избежать ошибки:

    каждая единица генеральной совокупности должна иметь равную вероятность попасть в выборку;

    отбор желательно производить из однородных совокупностей;

    надо знать характеристики генеральной совокупности;

    при составлении выборочной совокупности надо учитывать случайные и систематические ошибки.

Если выборочная совокупность (выборка) составлена правильно, то социолог получает надежные результаты, характеризующие всю генеральную совокупность.

Каковы же основные методы выборки ?

Метод механической выборки , когда из общего списка генеральной совокупности через равные промежутки отбирается необходимое число респондентов (например, каждый 10-й).

Метод серийной выборки . При этом генеральная совокупность разбивается на однородные части и из каждой пропорционально отбираются единицы анализа (например, по 20% мужчин и женщин на предприятии).

Метод гнездовой выборки . В качестве единиц отбора выступают не отдельные респонденты, а группы с последующим сплошным исследованием в них. Данная выборка будет представительна, если состав групп схож (например, по одной группе студентов из каждого потока какого-нибудь факультета вуза).

Метод основного массива – опрос 60–70% генеральной совокупности.

Метод квотной выборки . Наиболее сложный метод, требующий определения не менее четырёх признаков, по которым проводится отбор респондентов. Применяется обычно при большой генеральной совокупности.

Это наука, которая, основываясь на методах теории вероятностей, занимается систематизацией и обработкой статистических данных для получения научных и практических выводов.

Статистическими данными называются сведения о числе объектов, обладающих теми или иными признаками.

Группа объектов, объединенных по некоторому качественному или количественному признаку, называется статистической совокупностью . Объекты, входящие в совокупность, называются её элементами, а их общее число - ее объемом.

Генеральной совокупностью называется множество всех мыслимо возможных наблюдений, которые могли бы быть сделаны при данном реальном комплексе условий или более строго: генеральной совокупностью называется случайная величина x и связанное с ней вероятностное пространство {W,Á,Р}.

Распределение случайной величины x называют распределением генеральной совокупности (говорят, например, о нормально распределенной или просто нормальной генеральной совокупности).

Например, если производится ряд независимых измерений случайной величины x, то генеральная совокупность теоретически бесконечна (т.е. генеральная совокупность - абстрактное, условно - математическое понятие); если же проверяется число дефектных изделий в партии из N изделий, то эту партию рассматривают как конечную генеральную совокупность объема N.

В случае социально-экономических исследований генеральной совокупностью объема N может быть население какого-то города, региона или страны, а измеряемыми признаками - доходы, расходы или объем сбережений отдельно взятого человека. Если какой-то признак имеет качественный характер (например, пол, национальность, социальное положение, род деятельности и т.п.), но принадлежит к конечному множеству вариантов, то он может быть также закодирован числом (как это часто делают в анкетах).

Если число объектов N достаточно велико, то провести сплошное обследование затруднительно, а иногда физически невозможно (например, проверить качество всех патронов). Тогда случайным образом отбирают из всей генеральной совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению.

Выборочной совокупностью или просто выборкой объема n называется последовательность х 1 , х 2 , …, х n независимых одинаково распределенных случайных величин, распределение каждой из которых совпадает с распределением случайной величины x.

Например, результаты n первых измерений случайной величины x принято рассматривать как выборку объема n из бесконечной генеральной совокупности. Полученные данные называют наблюдениями случайной величины x, а также говорят, что случайная величина x "принимает значения" х 1 , х 2 , …, х n .


Основная задача математической статистики - сделать научно обоснованные выводы о распределении одной или более неизвестных случайных величин или их взаимосвязи между собой. Метод, состоящий в том, что на основании свойств и характеристик выборки делаются заключения о числовых характеристиках и законе распределения случайной величины (генеральной совокупности) называется выборочным методом.

Для того, чтобы характеристики случайной величины, полученные выборочным методом, были объективны, необходимо, чтобы выборка была репрезентативной, т.е. достаточно хорошо представляла исследуемую величину. В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществить случайно, т.е. все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность попасть в выборку. Для этого существуют различные виды отбора выборки.

1. Простым случайным отбором называется отбор, при котором объекты извлекаются по одному из всей генеральной совокупности.

2. Стратифицированный (расслоенный ) отбор заключается в том, что исходная генеральная совокупность объема N подразделяется на подмножества (страты) N 1 , N 2 ,…,N k , так что N 1 + N 2 +…+ N k = N. Когда страты определены, из каждого из них извлекается простая случайная выборка объема n 1 , n 2 , …, n k . Частным случаем стратифицированного отбора является типический отбор, при котором объекты отбирают не из всей генеральной совокупности, а из каждой типической ее части.

Комбинированный отбор сочетает в себе сразу несколько видов отбора, образующих различные фазы выборочного обследования. Существуют и другие методы организации выборки.

Выборка называется повторной , если отобранный объект перед выбором следующего возвращается в генеральную совокупность. Выборка называется бесповторной , если отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается. Для конечной генеральной совокупности случайный отбор без возвращения приводит на каждом шаге к зависимости отдельных наблюдений, случайный равновозможный выбор с возвращением - к независимости наблюдений. На практике обычно имеют дело с бесповторными выборками. Тем не менее, когда объем генеральной совокупности N во много раз больше, чем объем выборки n (например, в сотни или тысячи раз), зависимостью наблюдений можно пренебречь.

Таким образом, случайная выборка х 1 , х 2 , …, х n - это результат последовательных и независимых наблюдений над случайной величиной ξ, представляющую генеральную совокупность, и все элементы выборки имеют тоже распределении, что исходная случайная величина x.

Функцию распределения F x (х) и другие числовые характеристики случайной величины x будем называть теоретическими, в отличие от выборочных характеристик , которые определяются по результатам наблюдений.

Пусть выборка х 1 , х 2 , …, х к есть результат независимых наблюдений случайной величины x, причем х 1 наблюдалось n 1 раз, х 2 - n 2 раза, …, х к - n к раз, так что n i = n - объем выборки. Число n i , показывающее, сколько раз появилось значение х i в n наблюдениях, называется частотой данного значения, а отношение n i /n = w i - относительной частотой . Очевидно, что числа w i рациональны и .

Статистическая совокупность, расположенная в порядке возрастания признака, называется вариационным рядом . Его члены обозначают x (1) , x (2), … x (n) и называют вариантами . Вариационный ряд называется дискретным , если его члены принимают конкретные изолированные значения. Статистическим распределением выборки дискретной случайной величины x называется перечень вариант и соответствующих им относительных частот w i . Полученная таблица называется статистическим рядом.

X (1) x (2) ... x k(k)
ω 1 ω 2 ... ω k

Наибольшее и наименьшее значения вариационного ряда обозначают x min и x max и называют крайними членами вариационного ряда.

Если изучается непрерывная случайная величина, то группировка заключается в разбиении интервала наблюдаемых значений на k частичных интервалов равной длины h, и подсчете числа попаданий наблюдений в эти интервалы. Полученные числа принимают за частоты n i (для некоторой новой, уже дискретной случайной величины). В качестве новых значений вариант x i обычно берутся середины интервалов (либо в таблице указываются сами интервалы). Согласно формуле Стерждеса рекомендуемое число интервалов разбиения k » 1 + log 2 n , а длины частичных интервалов равны h = (x max - x min)/k. Предполагается, что весь интервал имеет вид .

Графически статистические ряды могут быть представлены в виде полигона, гистограммы или графика накопленных частот.

Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки (x 1 , n 1), (x 2 , n 2), …, (x k , n k). Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x 1 , w 1), (x 2 , w 2), …, (x k , w k). Полигоны обычно служат для изображения выборки в случае дискретных случайных величин (рис. 7.1.1).

Рис. 7.1

.1.

Гистограммой относительных частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основанием которых служат частичные интервалы длиною h , а высоты

равны w i /h.

Гистограмма обычно служит для изображения выборки в случае непрерывных случайных величин. Площадь гистограммы равна единице (рис. 7.1.2). Если на гистограмме относительных частот соединить середины верхних сторон прямоугольников, то полученная ломанная образует полигон относительных частот. Поэтому гистограмму можно рассматривать как график эмпирической (выборочной) плотности распределения f n (x). Если у теоретического распределения существует конечная плотность, то эмпирическая плотность является некоторым приближением теоретической.

Графиком накопленных частот называется фигура, строящаяся аналогично гистограмме с той разницей, что для расчета высот прямоугольников берутся не простые, а накопленные относительные частоты , т.е. величины . Эти величины не убывают, и график накопленных частот имеет вид ступенчатой "лестницы" (от 0 до 1).

График накопленных частот на практике используются для приближения теоретической функции распределения.

Задача. Анализируется выборка из 100 малых предприятий региона. Цель обследования - измерение коэффициента соотношения заемных и собственных средств (х i) на каждом i-ом предприятии. Результаты представлены в таблице 7.1.1.

Таблица Коэффициенты соотношений заемных и собственных средств предприятий.

5,56 5,45 5,48 5,45 5,39 5,37 5,46 5,59 5,61 5,31
5,46 5,61 5,11 5,41 5.31 5,57 5,33 5,11 5,54 5,43
5,34 5,53 5,46 5,41 5,48 5,39 5,11 5,42 5,48 5,49
5,36 5,40 5,45 5,49 5,68 5,51 5,50 5,68 5,21 5,38
5,58 5,47 5,46 5,19 5,60 5,63 5,48 5,27 5,22 5,37
5,33 5,49 5,50 5,54 5,40 5.58 5,42 5,29 5,05 5,79
5,79 5,65 5,70 5,71 5,85 5,44 5,47 5,48 5,47 5,55
5,67 5,71 5,73 5,05 5,35 5,72 5,49 5,61 5,57 5,69
5,54 5,39 5,32 5,21 5,73 5,59 5,38 5,25 5,26 5,81
5,27 5,64 5,20 5,23 5,33 5,37 5,24 5,55 5,60 5,51

Построить гистограмму и график накопленных частот.

Решение . Построим группированный ряд наблюдений:

1. Определим в выборке х min = 5,05 и x max = 5,85;

2. Разобьем весь диапазон на k равных интервалов: k » 1 + log 2 100 = 7,62; k = 8, отсюда длина интервала

Таблица 7.1.2. Сгруппированный ряд наблюдений

Номер Интервала Интервалы Середины интервалов х i w i f n (x)
5,05-5,15 5,1 0,05 0,05 0,5
5,15-5,25 5,2 0,08 0,13 0,8
5,25-5,35 5,3 0,12 0,25 1,2
5,35-5,45 5,4 0,20 0,45 2,0
5,45-5,55 5,5 0,26 0,71 2,6
5,55-5,65 5,6 0,15 0,86 1,5
5,65-5,75 5,7 0,10 0,96 1,0
5,75-5,85 5,8 0,04 1,00 0,4

На рис. 7.1.3 и 7.1.4, построенных по данным таблицы 7.1.2, представлены гистограмма и график накопленных частот. Кривые соответствуют плотности и функции нормального распределения, "подобранного" к данным.

Таким образом, распределение выборки является некоторым приближением распределения генеральной совокупности.