• потом переросли бы в два круга, по мере нашего «снижения» через их вселенную,
  • круги росли бы, пока не соединились в овал,
  • затем рядом с ними бы появились другие кружочки (пальцы),
  • переросли бы в два больших круга (кисти, руки), вместе с овалом,
  • потом все слилось бы в одну большую часть наших плеч,
  • затем сузилось бы, выросло и растворилось в наших шеях и головах.

К счастью, в нашей Вселенной не проживают четырехмерные существа, поскольку они казались бы нам игнорирующими физические законы божественными существами. Но что, если мы окажемся не самыми многомерными созданиями во Вселенной, а у самой Вселенной будет больше измерений, чем сейчас? Стоит отметить, что это вполне возможно; доказано, что в прошлом у Вселенной могло быть больше измерений.

В контексте общей теории относительности весьма просто выстроить пространственно-временные рамки, в которых число «больших» (то есть макроскопических) измерений изменялось бы со временем. Вы не только могли располагать большим числом измерений в прошлом, но и в будущем вам вполне может выпасть такой шанс; вы вообще могли бы построить пространство-время, в котором это число будет колебаться, изменяясь в большую и меньшую сторону со временем, снова и снова.

Для начала все круто: у нас может быть Вселенная с четвертым - дополнительным - пространственным измерением.

Итак, это круто, но как это будет выглядеть? Обычно мы не думаем о таком, но четыре фундаментальных взаимодействия - гравитация, электромагнетизм и два ядерных взаимодействия - обладают такими свойствами и силами, поскольку существуют при тех измерениях, которыми располагает наша Вселенная. Если бы мы уменьшили или увеличили число измерений, мы бы изменили то, как, например, распространяются линии силового поля.

Если бы это затронуло электромагнетизм или ядерные силы, случилась бы катастрофа.

Представьте, что вы смотрите на атом или внутри атома смотрите на атомное ядро. Ядра и атомы являются строительными кирпичиками всей материи, из которой состоит наш мир, и измеряются мельчайшими расстояниями: ангстрем для атомов (10^-10 метра), фемтометры для ядер (10^-15 метра). Если бы вы позволили этим силам «утекать» в другое пространственное измерение, что они могли бы осуществить только если это измерение достигнет достаточно больших размеров, изменились бы законы взаимодействий, управляющие работой этих сил.

В целом эти силы будут иметь больше «пространства» для разбегания, а значит будут быстрее становиться слабее на дистанции, если будет больше измерений. Для ядер это изменение будет не таким уж плохим: размеры ядер будут больше, некоторые ядра изменят свою стабильность, станут радиоактивными или, напротив, от радиоактивности избавятся. Это ладно. Но с электромагнетизмом будет сложнее.

Представьте, что случилось бы, если бы вдруг силы, связывающие электроны с ядрами, стали слабее. Если бы произошло изменение силы этого взаимодействия. Вы не думаете об этом, но на молекулярном уровне единственное, что вас удерживает, это относительно слабые связи между электронами и ядрами. Если вы измените эту силу, вы измените конфигурации всего остального. Ферменты денатурируют, белки изменят форму, лиганды разойдутся; ДНК не будет кодироваться в молекулах, в которых должна.

Другими словами, если электромагнитная сила изменится, поскольку начнет распространяться в крупное четвертое пространственное измерение, которое достигнет размеров ангстрема, тела людей моментально развалятся, и мы умрем.

Но не все потеряно. Есть много моделей - в основном разработанных в рамках теории струн - где эти силы, электромагнитные и ядерные, ограничены тремя измерениями. Только гравитация может проходить через четвертое измерение. Для нас это означает, что если четвертое измерение будет расти в размере (и, следовательно, в последствиях), гравитация будет «кровоточить» в дополнительное измерение. Следовательно, объекты будут испытывать меньшее притяжение, чем то, к которому привыкли мы.

Все это приведет к проявлению «странного» поведения у разных вещей.

Астероиды, например, - которые сцепились вместе - разлетятся, поскольку их гравитации окажется недостаточно, чтобы удержать камни вместе. Кометы, приближаясь к Солнцу, будут испаряться быстрее и демонстрировать еще более красивые хвосты. Если четвертое измерение вырастет достаточно большим, на Земле сильно уменьшатся гравитационные силы, в результате чего наша планета вырастет больше, особенно вдоль экватора.

Люди, живущие вблизи полюсов, почувствуют себя словно в среде с уменьшенной гравитацией, а люди на экваторе окажутся в опасности улететь в космос. На макроуровне знаменитый закон тяготения Ньютона - закон обратных квадратов - внезапно станет законом обратного куба, сильно уменьшая силу тяжести с расстоянием.

Если измерение достигнет размеров дистанции от Земли до Солнца, все в Солнечной системе окажется развязанным. Даже если это будет длиться всего пару дней в году - и если гравитация будет в норме каждые три месяца - наша полностью развалится всего за сто лет.

На Земле настали бы времена, когда мы не только получили бы возможность передвигаться «дополнительным» путем через пространстве, когда обзавелись бы не только дополнительным «направлением», помимо вверх-вниз, влево-право и вперед-назад, но и когда свойства гравитации изменились бы в худшую сторону. Мы прыгали бы выше и дальше, но последствия для ныне стабильной Вселенной были бы апокалиптическими.

Поэтому мечтать о появлении четвертого измерения точно не стоит. Впрочем, есть и позитивная нотка. Нам не пришлось бы беспокоиться о глобальном потеплении, поскольку увеличение расстояния до Солнца сильно охладило бы наш мир, быстрее, чем нарастающий атмосферный углекислый газ его нагревает.

Если сравнить плоский лист бумаги и коробку, то мы увидим, что лист бумаги имеет длину и ширину, но не имеет глубины. Коробка же имеет длину, ширину и глубину.

Привычный для нас мир состоит из трёх измерений, однако давайте представим себе существование в двухмерном пространстве. В таком случае всё будет иметь вид рисунков на листе бумаги. Объекты смогут двигаться в любом направлении по поверхности этой бумаги, но подняться или опуститься на поверхность этой самой бумаги будет невозможно.

Представим себе квадрат, нарисованный в двухмерном пространстве - никакой объект не сможет выбраться за пределы квадрата, если только в нём нет отверстия, либо дырки. Перемещение под и над квадратом будет невозможным.

Что такое четвертое измерение

Другое дело в мире трёхмерном - нарисовав вокруг любого объекта квадрат, ничего не стоит затем этому самому объекту перешагнуть через него или подлезть. А теперь представим, что объект помещён внутрь куба или, к примеру, в комнату с потолком, полом и четырьмя плотными стенами. Никакой объект не сможет выбраться из комнаты, при условии, что в ней нет никаких отверстий.

Конечно же, всё это достаточно ясно и понятно. Также понятно и то, что практически все явления можно объяснить с позиции трёхмерного мира. Например, просто и понятно, почему жидкость может быть помещена в кувшин или почему собака может жить в будке.

Стоит теперь рассмотреть паранормальные явления - материализацию и дематериализацию. Известный экстрасенс, Чарльз Бейли мог материализовать сотни предметов в железной клетке в присутствии многочисленных, скептически настроенных свидетелей. Вполне возможно, предметы проходили между прутьями железной клетки, и это абсолютно необъяснимо с точки зрения трёхмерного мира.

Чтобы объяснить подобные явления, была выдвинута гипотеза, что существует четвёртое измерение пространства, недоступное при обычных обстоятельствах. Однако время от времени объекты получают возможность входить и выходить из четвёртого измерения.

Трансцендентная физика

Существует особая работа под названием “Трансцендентная физика”, посвящённая исследованию концепции четвёртого измерения и написанная Иоганном Карлом Фридрихом Зеллнером. В своём труде автор взял в качестве примера явления, создаваемые экстрасенсом Генри Слейдом. Тому удавалось заставлять некоторый объект совсем исчезнуть, а затем сделать так, чтобы этот самый объект появился где-нибудь в другом месте. Вдобавок, он мог материализовать два сплошных кольца вокруг ножки стола.

Через некоторое время Слейд был посажен в тюрьму за мошенничество, и это нанесло непоправимый урон репутации доктора Зеллнера. Тем не менее, сегодня это кажется несущественным, поскольку Зеллнер смог предложить миру тщательно оформленную теорию. К тому же под вопросом остаётся мошенничество Слейда.

Выдержка из “Трансцендентной физики”:

“Среди доказательств нет ничего более убедительного и существенного, чем перенос материальных тел из замкнутого пространства. Хотя наша трёхмерная интуиция не может допустить, чтобы в замкнутом пространстве открылся нематериальный выход, четырёхмерное пространство предоставляет такую возможность. Таким образом, перенос тела в этом направлении может быть осуществлён без воздействия на трёхмерные материальные стены. Так как у нас, трёхмерных существ, отсутствует так называемая интуиция четырёхмерного пространства, мы можем лишь сформировать его концепцию путём аналогии из низшей области пространства. Представьте на поверхности двухмерную фигуру: с каждой стороны начерчена линия, а внутри помещающийся объект. Движением только по поверхности объект не сможет выбраться за пределы этого двумерного замкнутого пространства, если только в линии не будет обрыва”.

Опишу математическим языком.

Рассмотрим обычное трёхмерное пространство, в котором мы живём. Мы прекрасно понимаем, что такое точка, прямая и плоскость в этом пространстве. Пересечение двух плоскостей дает нам прямую, пересечение двух прямых - точку. Каждую точку в этом пространстве можно описать тремя координатами: (x, y, z). Первая координата обычно обозначает длину , вторая - ширину , третья - высоту данной точки относительно точки начала координат. Все это легко можно проиллюстрировать и представить.

Однако четырёхмерное пространство не такое уж простое. Любую точку в этом пространстве теперь можно описать четырьмя координатами: (x, y, z, t), где добавляется новая координата t, которую в физике часто называют временем . Под этим подразумевается, что помимо длины, ширины и высоты точки указывается и её положение по времени, т. е. где она находится: в прошлом, в настоящем или в будущем.

Но отойдём от физики. Оказывается, что математически в этом пространстве добавляется новый аксиоматический объект, именуемый гиперплоскостью . Её условно можно представить как одно целое "трехмерное пространство". По аналогии в трехмерном пространстве, пересечение двух гиперплоскостей дает нам плоскость . Различные комбинации этой штуки с четырёхмерными фигурами дают нам неожиданные результаты. Например, в трехмерном пространстве пересечение плоскости с шаром дает нам круг. По этой аналогии в четырехмерном пространстве пересечение четырехмерного шара с гиперплоскостью дает нам трёхмерный шар. Становится очевидно, что практически невозможно мысленно представить и нарисовать четырёхмерное пространство: биологически наши органы чувств приспособлены лишь к трёхмерному случаю и ниже. Поэтому четырёхмерное пространство чётко можно описать только математическим языком, в основном с помощью действий с координатами точек.

Однако менее точно его кое-как можно описать и другим языком. Рассмотрим концепцию параллельных миров: помимо нашего мира "существуют" и другие миры, в котором некоторые события шли иначе. Обозначим наш мир через букву А, а некий другой мир - через букву Б. С точки зрения четырёхмерного пространства можно сказать, что мир А и мир Б - разные "трёхмерные пространства", которые оказываются не пересекающимися. Это и есть параллельные гиперплоскости . И их бесконечно много. Если случается так, что если в определены момент времени в мире А "дедушка умер", а в мире Б "дедушка все ещё жив", то миры А и Б пересекаются по некоторой четырехмерной фигуре, в которой все события шли одинаково до некоторого момента времени, а потом фигура как бы "разделилась" на непересекающиеся трехмерные части, в каждой из которой описывается состояние дедушки, жив он или нет. Это можно было бы описать в двумерном формате: была одна прямая, которая потом разделилась на две непересекающиеся линии.

Запускает проект «Вопрос учёному», в рамках которого специалисты будут отвечать на интересные, наивные или практичные вопросы. В этом выпуске кандидат физико-математических наук Илья Щуров рассказывает о 4D и о том, можно ли выйти в четвёртое измерение.

Что такое четырёхмерное пространство («4D»)?

Илья Щуров

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики НИУ ВШЭ

Начнём с самого простого геометрического объекта - точки. Точка - нульмерна. У неё нет ни длины, ни ширины, ни высоты.

Сдвинем теперь точку по прямой на некоторое расстояние. Допустим, что наша точка - остриё карандаша; когда мы её сдвинули, она прочертила отрезок. У отрезка есть длина, и больше никаких измерений - он одномерен. Отрезок «живёт» на прямой; прямая является одномерным пространством.

Возьмём теперь отрезок и попробуем его сдвинуть, как раньше точку. (Можно представить себе, что наш отрезок - это основание широкой и очень тонкой кисти.) Если мы выйдем за пределы прямой и будем двигаться в перпендикулярном направлении, получится прямоугольник. У прямоугольника есть два измерения - ширина и высота. Прямоугольник лежит в некоторой плоскости. Плоскость - это двумерное пространство (2D), на ней можно ввести двумерную систему координат - каждой точке будет соответствовать пара чисел. (Например, декартова система координат на школьной доске или широта и долгота на географической карте.)

Если сдвинуть прямоугольник в направлении, перпендикулярном плоскости, в которой он лежит, получится «кирпичик» (прямоугольный параллелепипед) - трёхмерный объект, у которого есть длина, ширина и высота; он расположен в трёхмерном пространстве - в таком, в каком живём мы с вами. Поэтому мы хорошо представляем себе, как выглядят трёхмерные объекты. Но если бы мы жили в двумерном пространстве - на плоскости - нам пришлось бы изрядно напрячь воображение, чтобы представить себе, как можно сдвинуть прямоугольник, чтобы он вышел из той плоскости, в которой мы живём.

Представить себе четырёхмерное пространство для нас также довольно непросто, хотя очень легко описать математически. Трёхмерное пространство - это пространство, в котором положение точки задаётся тремя числами (например, положение самолёта задаётся долготой, широтой и высотой над уровнем моря). В четырёхмерном же пространстве точке соответствует четвёрка чисел-координат. «Четырёхмерный кирпич» получается сдвигом обычного кирпичика вдоль какого-то направления, не лежащего в нашем трёхмерном пространстве; он имеет четыре измерения.

На самом деле мы сталкиваемся с четырёхмерным пространством ежедневно: например, назначая свидание, мы указываем не только место встречи (его можно задать тройкой чисел), но и время (его можно задавать одним числом - например, количеством секунд, прошедших с определённой даты). Если посмотреть на настоящий кирпич, у него есть не только длина, ширина и высота, но ещё и протяженность во времени - от момента создания до момента разрушения.

Физик скажет, что мы живём не просто в пространстве, а в пространстве-времени; математик добавит, что оно четырёхмерно. Так что четвёртое измерение ближе, чем кажется.

Задачи:

Привести какой-нибудь другой пример реализации четырёхмерного пространства в реальной жизни.

Определить, что такое пятимерное пространство (5D). Как должен выглядеть 5D-фильм?

Ответы просьба присылать на e-mail: [email protected]

  • Перевод

Наверняка вам известно, что планеты движутся вокруг солнца по эллиптическим орбитам. Но почему? На самом деле, они двигаются по окружностям в четырёхмерном пространстве. А если спроецировать эти окружности на трёхмерное пространство, они превращаются в эллипсы.

На рисунке плоскость обозначает 2 из 3 измерений нашего пространства. Вертикальное направление – это четвёртое измерение. Планета движется по кругу в четырёхмерном пространстве, а её «тень» в трёхмерном движется по эллипсу.

Что же это за 4-е измерение? Оно похоже на время, но это не совсем время. Это такое особенное время, которое течёт со скоростью, обратно пропорциональной расстоянию между планетой и солнцем. И относительно этого времени планета двигается с постоянной скоростью по кругу в 4 измерениях. А в обычном времени его тень в трёх измерениях двигается быстрее, когда она находится ближе к солнцу.

Звучит странно – но это просто необычный способ представления обычной ньютоновской физики. Этот способ известен по крайней мере с 1980 года благодаря работе математического физика Юргена Мозера. А я узнал об этом, получив на email работу за авторством Джеспера Горансона под названием «Симметрии в задаче Кеплера» (8 марта 2015).

Самое интересное в этой работе – такой подход объясняет один интересный факт. Если взять любую эллиптическую орбиту, и повернуть её в 4-мерном пространстве, то мы получим другую допустимую орбиту.

Конечно, можно вращать эллиптическую орбиту вокруг солнца и в обычном пространстве, получая допустимую орбиту. Интересно то, что это можно делать в 4-мерном пространстве, например, заужая или расширяя эллипс.

В общем случае любую эллиптическую орбиту можно превратить в любую другую. Все орбиты с одинаковой энергией – это круговые орбиты на одной и той же сфере в 4-мерном пространстве.

Задача Кеплера

Допустим, у нас есть частица, которая двигается по закону обратных квадратов. Уравнением её движения будет

Где r - позиция как функция времени, r - расстояние от центра, m – масса, а k определяет силу. Отсюда можно вывести закон сохранения энергии

Для некоей константы E, зависящей от орбиты, но не меняющейся со временем. Если эта сила будет притяжением, то k > 0, а на эллиптической орбите E < 0. Будем звать частицу планетой. Планета двигается вокруг солнца, которое настолько тяжело, что его колебаниями можно пренебречь.

Будем исследовать орбиты с одной энергией E. Поэтому единицы массы, длины и времени можно принять любыми. Положим

M = 1, k = 1, E = -1/2

Это избавит нас от лишних букв. Теперь уравнение движения выглядит как

А закон сохранения говорит

Теперь, следуя идее Мозера, перейдём от обычного времени к новому. Назовём его s и потребуем, чтобы

Такое время идёт медленнее по мере удаления от солнца. Поэтому скорость планеты по удалению от солнца увеличивается. Это компенсирует тенденцию планет двигаться по мере удаления от солнца более медленно в обычном времени.

Теперь перепишем закон сохранения при помощи нового времени. Поскольку для производных по обычному времени я использовал точку, давайте будем использовать штрих для производных по времени s. Тогда к примеру:

Используя такую производную, Горансон показывает, что сохранение энергии можно записать в виде

А это ни что иное, как уравнение четырёхмерной сферы. Доказательство будет позже. Сейчас поговорим о том, что это для нас значит. Для этого нам надо совместить меж собой координату обычного времени t и пространственные координаты (x,y,z). Точка

Двигается в четырёхмерном пространстве по мере изменения параметра s. То есть, скорость этой точки, а именно

Двигается по четырёхмерной сфере. Это сфера радиуса 1 с центром в точке

Дополнительные расчёты показывают другие интересные факты:

T""" = -(t" - 1)

Это обычные уравнения гармонического осциллятора, но с дополнительной производной. Доказательство будет позже, а пока подумаем, что это значит. Словами это можно описать так: 4-мерная скорость v совершает простые гармонические колебания вокруг точки (1,0,0,0).

Но так как v в то же время остаётся на сфере с центром в этой точки, то можно заключить, что v двигается с постоянной скоростью по кругу на этой сфере. А это подразумевает, что среднее значение пространственных компонент 4-мерной скорости равно 0, а среднее t равно 1.

Первая часть понятна: наша планета в среднем не улетает от Солнца, поэтому её средняя скорость равна нулю. Вторая часть посложнее: обычное время t движется вперёд со средней скоростью 1 относительно нового времени s, но скорость его изменения колеблется синусоидально.

Проинтегрировав обе части

Мы получим

a . Уравнение говорит, что позиция r гармонически осциллирует вокруг точки a . Поскольку a не меняется со временем, это сохраняющаяся величина. Это называется вектором Лапласа-Рунге-Ленца.

Часто люди начинают с закона обратных квадратов, показывают, что угловой момент и вектор Лапласа-Рунге-Ленца сохраняются, и используют эти сохраняющиеся величины и теорему Нётер, чтобы показать наличие 6-мерной группы симметрий. Для решений с отрицательной энергией это превращается в группу поворотов в 4 измерениях, SO(4). Поработав ещё немного, можно увидеть, как задача Кеплера сопряжена с гармоническим осциллятором в 4 измерениях. Это делается через репараметризацию времени.

Мне больше понравился подход Гораснона, потому что он начинается с репараметризации времени. Это позволяет эффективно показать, что эллиптическая орбита планеты – это проекция круговой орбиты в четырёхмерном пространстве на трёхмерное. Таким образом становится очевидна 4-мерная вращательная симметрия.

Горансон переносит этот подход на закон обратных квадратов в n-мерном пространстве. Получается, что эллиптические орбиты в n измерениях – это проекции круговых орбит из n+1 измерений.

Он также применяет этот подход для орбит с положительной энергией, которые представляют собой гиперболы, и для орбит с нулевой энергией (параболы). У гипербол получается симметрия групп Лоренца, а у парабол – симметрия групп Евклида. Это известный факт, однако примечательно, как просто он выводится с помощью нового подхода.

Математические детали

Из-за обилия уравнений я поставлю вокруг важных уравнений рамки. Основные уравнения – сохранение энергии, сила и изменение переменных, которые дают:

Начинаем с сохранения энергии:

Затем используем

Чтобы получить

Немного алгебры – и получаем

Это показывает, что 4-мерная скорость

Остаётся на сфере единичного радиуса с центром в (1,0,0,0).

Следующий шаг – взять уравнение движения

И переписать его, используя штрихи (производные по s), а не точки (производные по t). Начинаем с

И дифференцируем, чтобы получить

Теперь используем другое уравнение для

И получаем

Теперь хорошо бы получить формулу и для r"". Сначала посчитаем

А затем продифференцируем

Подключим формулу для r", кое-что сократится, и мы получим

Вспомним, что закон сохранения говорит

А мы знаем, что t" = r. Поэтому,

Получаем

Поскольку t" = r, то получается

Как нам и нужно.

Теперь получим сходную формулу для r""" . Начнём с

И продиффиренцируем

Подключим формулы для r"" и r"" ". Кое-что сокращается, и остаётся

Проинтегрируем обе части и получаем

Для некоего постоянного вектора a . Это значит, что r гармонически осциллирует относительно a . Занятно, что и вектор r и его норма r осциллируют гармонически.

Квантовая версия планетарной орбиты – атом водорода. Всё, что мы посчитали, можно использовать и в квантовой версии. Подробности см. у Greg Egan,