Обнаружение гетероскедастичности

В случае парной регрессии о проявлении гетероскедастичности можно судить по характеру расположения экспериментальных точек на корреляционном поле (рис. 5.1). На рис. 5.1 можно заметить, что дисперсии случайных отклонений неодинаковы и увеличиваются с возрастанием значений объясняющей переменной. Однако даже для парной регрессии выводы по определению гетероскедастичности могут являться неоднозначными при наличии локальных «выбросов» точек (пиков на диаграмме рассеивания). Естественно, что для множественной регрессии обнаружение гетероскедастичности является значительно более сложной задачей, чем для моделей с одним регрессором.

В настоящее время существует достаточно большое количество тестов для поверки на гетероскедастичность, базирующихся на дисперсионном анализе случайных отклонений. Рассмотрим наиболее распространенные из них.

Тест ранговой корреляции Спирмена . Идея данного теста заключается в том, что в случае гетероскедастичности дисперсия случайного отклонения будет либо увеличиваться, либо уменьшаться с увеличением значений регрессоров Х . Поэтому для регрессионной модели, построенной по МНК, абсолютные значения оценок отклонений e i и значения x i будут коррелированны.

Значения e i и x i ранжируются (упорядочиваются по величинам). Номеру i значения x i в упорядоченном ряду будет соответствовать ранг r xi . Аналогично упорядочим данные по абсолютным значениям остатков и каждому |e i | припишем ранг r ei . Тогда разность между рангами (d i ) запишем как d i = r xi - r ei . Например, если x 20 является 25-м по величие среди всех значений X , а e 20 является 30-м, то d i = 25 - 30 = -5.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена вычисляется по формуле

(5.2)

где n - число наблюдений.

Доказано, что при n > 10 статистика

(5.3)

имеет t -распределение Стьюдента с числом степеней свободы v = n - 2.

Следовательно, в соответствии со схемой проверки статистических гипотез, если наблюдаемое значение t -статистики, рассчитанное по формуле (5.3), превышает t кр = t a , n - 2 (табличное), то необходимо отклонить гипотезу Н 0 об отсутствии гетероскедастичности. В противном случае гипотеза Н 0 принимается, что соответствует гомоскедастичности.

Если анализируется модель множественной регрессии, то проверка гипотезы осуществляется с помощью t -статистики для каждой объясняющей переменной отдельно.

Следует заметить, что коэффициент ранговой корреляции Спирмена (r ) может иметь самостоятельное значение в эконометрических исследованиях. Он используется при установлении тесноты связи между порядковыми переменными. В этом случае анализируемые объекты упорядочивают по степени влияния (проявления) признака. Если объекты ранжированы по двум признакам Х иY , то имеется возможность оценить тесноту связи между этими переменными, основываясь на рангах. В том случае, если ранги всех объектов равны, то r = 1 (полная прямая связь). При полной обратной связи ранги объектов по двум переменным расположены в обратном порядке и r = -1. Во всех остальных случаях |r | < 1. Применение коэффициента ранговой корреляции не требует нормального распределения переменных и линейной связи между ними. Однако необходимо учитывать, что в случае количественных переменных переход от их первоначальных значений и размерностей к рангам сопровождается определенной потерей информации.

Тест Голдфелда-Квандта. Этот тест использует предположения о нормальности распределения случайных отклонений и о пропорциональности средних квадратических (стандартных) отклонений σ i = σ(e i ) значениям соответствующей объясняющей переменной X .

В рамках этих предположений Голдфелд и Квандт предложили следующую процедуру проверки на гетероскедастичность:

1. Все n наблюдений упорядочиваются в порядке возрастания значений регрессора X , и выборка после этого разбивается на три подвыборки размерностей k , n - 2k , k соответственно.

2. Оцениваются отдельные регрессии для первой и третьей подвыборок (рассматриваем k первых значений и k последних; средние n - 2k наблюдений отбрасываем).

3. Если, в соответствии с нашим предположением, дисперсия случайных отклонений увеличивается с ростом X , то дисперсия регрессии по первой подвыборке (сумма квадратов остатков ) будет существенно меньше дисперсии регрессии по третьей подвыборке (суммы квадратов остатков ).

4. Для сравнения соответствующих дисперсий определяется следующая F -статистика:

. (5.4)

Здесь (k - m - 1) – числа степеней свободы соответствующих выборочных дисперсий (m - одинаковое количество объясняющих переменных в уравнениях регрессии). При выполнении начальных предположений относительно остатков построенная F -статистика имеет распределение Фишера с числами степеней свободы v 1 = v 2 = k - m - 1.

5. Если наблюдаемое значение F -статистики (F набл ), рассчитанное по формуле (5.4), превосходит ее критическое значение , то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности (о равенстве дисперсий) отклоняется на выбранном уровне значимости a.

Мощность теста Голдфелда-Квандта, т. е. вероятность отвергнуть гипотезу об отсутствии гетероскедастичности в случае, когда ее действительно нет, оказывается максимальной, если выбирать k » n /3.

Для множественной регрессии данный тест может осуществляться для каждой из объясняющих переменных или для одного выбранного регрессора, который в наибольшей степени связан с σ i .

Аналогичный тест может быть использован при условии обратной пропорциональности между стандартными отклонениями остатков σ i и значениями объясняющей переменной. При этом статистика Фишера примет вид: F = S 1 /S 3 .

Тест Уайта. Сущность данного теста заключается в том, что если в модели присутствует гетероскедастичность, то дисперсии случайных отклонений некоторым образом зависят от регрессоров; т. е. гетероскедастичность должна как-то проявляться в поведении остатков исходной регрессионной модели. Исходя из этого при использовании теста Уайта предполагается, что дисперсии остатков представляют собой некоторую функцию от наблюдаемых значений объясняющих переменных

Для получения соответствующих выводов осуществляется оценка функции (5.5) с помощью уравнения регрессии для квадратов остатков:

где v i - случайный член.

На практике чаще всего функция f выбирается квадратичной, а регрессоры в уравнении (5.6) – это регрессоры исходной модели, их квадраты и, возможно, попарные произведения. Для данного теста гипотеза об отсутствии гетероскедастичности, что соответствует условию f = const , принимается в случае незначимости регрессии (5.6) в целом.

Следует заметить, что во всех рассматриваемых тестах (критериях) осуществляется проверка нулевой гипотезы Н 0 об отсутствии гетероскедастичности.

Гетероскедастичность

Случайной ошибкой называется отклонение в линейной модели множественной регрессии:

εi=yi–β0–β1x1i–…–βmxmi

В связи с тем, что величина случайной ошибки модели регрессии является неизвестной величиной, рассчитывается выборочная оценка случайной ошибки модели регрессии по формуле:

где ei – остатки модели регрессии.

Термин гетероскедастичность в широком смысле понимается как предположение о дисперсии случайных ошибок модели регрессии.

При построении нормальной линейной модели регрессии учитываются следующие условия, касающиеся случайной ошибки модели регрессии:

6) математическое ожидание случайной ошибки модели регрессии равно нулю во всех наблюдениях:

7) дисперсия случайной ошибки модели регрессии постоянна для всех наблюдений:

8) между значениями случайных ошибок модели регрессии в любых двух наблюдениях отсутствует систематическая взаимосвязь, т. е. случайные ошибки модели регрессии не коррелированны между собой (ковариация случайных ошибок любых двух разных наблюдений равна нулю):

Второе условие

означает гомоскедастичность (homoscedasticity – однородный разброс) дисперсий случайных ошибок модели регрессии.

Под гомоскедастичностью понимается предположение о том, что дисперсия случайной ошибки βi является известной постоянной величиной для всех наблюдений.

Но на практике предположение о гомоскедастичности случайной ошибки βi или остатков модели регрессии ei выполняется не всегда.

Под гетероскедастичностью (heteroscedasticity – неоднородный разброс) понимается предположение о том, что дисперсии случайных ошибок являются разными величинами для всех наблюдений, что означает нарушение второго условия нормальной линейной модели множественной регрессии:

Гетероскедастичность можно записать через ковариационную матрицу случайных ошибок модели регрессии:

Тогда можно утверждать, что случайная ошибка модели регрессии βi подчиняется нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией G2Ω:

где Ω – матрица ковариаций случайной ошибки.

Если дисперсии случайных ошибок

модели регрессии известны заранее, то проблема гетероскедастичности легко устраняется. Однако в большинстве случаев неизвестными являются не только дисперсии случайных ошибок, но и сама функция регрессионной зависимости y=f(x), которую предстоит построить и оценить.

Для обнаружения гетероскедастичности остатков модели регрессии необходимо провести их анализ. При этом проверяются следующие гипотезы.

Основная гипотеза H0 предполагает постоянство дисперсий случайных ошибок модели регрессии, т. е. присутствие в модели условия гомоскедастичности:

Альтернативная гипотеза H1 предполагает непостоянство дисперсиий случайных ошибок в различных наблюдениях, т. е. присутствие в модели условия гетероскедастичности:

Гетероскедастичность остатков модели регрессии может привести к негативным последствиям:

1) оценки неизвестных коэффициентов нормальной линейной модели регрессии являются несмещёнными и состоятельными, но при этом теряется свойство эффективности;

2) существует большая вероятность того, что оценки стандартных ошибок коэффициентов модели регрессии будут рассчитаны неверно, что конечном итоге может привести к утверждению неверной гипотезы о значимости коэффициентов регрессии и значимости модели регрессии в целом.

Гомоскедастичность

Гомоскедастичность остатков означает, что дисперсия каждого отклонения одинакова для всех значений x. Если это условие не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность. Наличие гетероскедастичности можно наглядно видеть из поля корреляции.

Т.к. дисперсия характеризует отклонение то из рисунков видно, что в первом случае дисперсия остатков растет по мере увеличения x, а во втором – дисперсия остатков достигает максимальной величины при средних значениях величины x и уменьшается при минимальных и максимальных значениях x. Наличие гетероскедастичности будет сказываться на уменьшении эффективности оценок параметров уравнения регрессии. Наличие гомоскедастичности или гетероскедастичности можно определять также по графику зависимости остатков от теоретических значений .

Гетероскедастичность (англ. Heterosсedasticity ) - понятие, используемое в эконометрике, означающее неоднородность наблюдений, выражающаяся в неодинаковой (непостоянной) дисперсии случайной ошибки регрессионной (эконометрической) модели. Гетероскедастичность противоположна понятию гомоскедастичность , которое означает однородность наблюдений, то есть постоянство дисперсии случайных ошибок модели.

Наличие гетероскедастичности случайных ошибок приводит к неэффективности оценок, полученных с помощью метода наименьших квадратов. Кроме того, в этом случае оказывается смещённой и несостоятельной классическая оценка ковариационной матрицы МНК-оценок параметров. Следовательно статистические выводы о качестве полученных оценок могут быть неадекватными. В связи с этим тестирование моделей на гетероскедастичность является одной из необходимых процедур при построении регрессионных моделей.

К тестам, позволяющим выявить наличие гетероскедас­тичности случайных остатков, относят тесты Гольдфельда - Квандта, Парка, Глейзера, Уайта, Бреуша - Патана, ранговой корреляции Спирмена и т.д.

Тест Гольдфельда -Квандта применяется, если случайные остатки предполагаются нормально распределенными вели­чинами и объем наблюдений достаточно большой. Процедура проверки следующая.

1. Все наблюдения упорядочивают по мере возрастания ка­кой-либо независимой переменной, которая, как пред­полагается, оказывает влияние на изменение дисперсии случайных остатков.

2. Упорядоченную совокупность делят на три группы, при­чем первая и последняя должны быть равного объема, с числом наблюдений, больших, чем число параметров модели регрессии. Пусть в первую и третью группы ото­брано по к наблюдений.

3. По первой и третьей группам находят параметры урав­нений регрессии той же структуры, что и исходное урав­нение регрессии, и остаточные суммы квадратов по ка­ждой модели.

4. Используя данные об остаточных суммах квадратов мо­делей первой и третьей групп, рассчитывают фактиче­ское значение F-критерия Фишера по формуле

где - большая остаточная сумма квадратов; - меньшая остаточная сумма квадратов.

5. Сравнивают фактическое значение F-критерия с таблич­ным, найденным для степеней сво­боды. Если F-фактическое больше табличного, то гипо­теза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется.

Тесты Парка, Глейзера, Уайта и Бреуша - Пагана основы­ваются на предположении, что дисперсия случайных остатков представляет собой определенную функцию от некоторой не­зависимой переменной (или переменных). Перед применени­ем этих тестов по уравнению регрессии необходимо рассчи­тать случайные остатки .

Для теста Парка строят зависимость вида

, (69)

где - -e значение - независимой переменной, оказывающей вли­яние на дисперсию остатков; - случайный остаток.

По тесту Глейзера находят параметры целой серии урав­нений, задаваемых функцией

, (70)

где - какое-либо число, например и т.п.

Тест Уайта заключается в построении квадратичной фун­кции, включающей все независимые переменные, входя­щие в исходную модель, а также их попарные произведения. Включение попарных произведений независимых перемен­ных является необязательным, их можно опустить. Для случая с двумя переменными эта функция будет иметь вид

где - неизвестные параметры.

Тест Бреуша - Пагана предполагает исследование вли­яния на дисперсию остатков нескольких независимых пере­менных, которые включают в регрессию вида

где - -e значениям -й, -й, -й незави­симых переменных, оказывающих влияние на дисперсию остатков; - оценка дисперсии случайных остатков, рассчитанная по формуле

Остатки считаются гетероскедастичными, если параметр в функциях по тесту Парка (69) или тесту Глейзера (70) значим (для теста Глейзера - хотя бы при одном значении ). При проверке по тесту Уайта говорят, что остатки гетероскедастичны, если вся функция (71) значима по F-критерию Фишера.

Проверка гетероскедастичности по тесту Бреуша - Пагана заключается в расчете по функции (72) факторной суммы квадратов

которое сравнивается с табличным (число степеней свобо­ды равно , т.е. числу независимых переменных в мо­дели (72); уровень значимости равен . Нулевая гипотеза о гомоскедастичности случайных остатков отвергается, если

Тест ранговой корреляции Спирмена, так же как и ранее рассмотренные тесты, основывается на предположении о за­висимости (прямой или обратной) величины дисперсии слу­чайных остатков от значений какой-либо независимой пере­менной. Для проведения проверки по этому тесту значения случайных остатков, взятые по модулю, и значения этой пере­менной ранжируют (например, по возрастанию), а затем на­ходят коэффициент корреляции рангов Спирмена

,

где - разность между рангами -гo случайного остатка и -гo зна­чения независимой переменной.

Полученное значение коэффициента корреляции проверяют на значимость, рассчитывая фактическое значение - критерия Стьюдента (73) и сравнивая его с табличным значением при числе степеней свободы .

Если фактическое значение критерия больше таблично­го, то гипотеза о гомоскедастичности остатков отклоняется.

Проверим на гетероскедастичность модель регрессии из на­шего примера:

Рассчитаем случайные остатки для этой модели (табл. 9).

Таблица 9. Расчет случайных остатков для модели регрессии поступления налогов от количества занятых, объема отгрузки в обрабатывающих производствах и производства энергии

1422,20	4804,33	-3382,13	16 868,50	14 895,12	1973,38
2529,70	5056,17	-2526,47	18 019,40	13 781,67	4237,73
2629,10	5144,80	-2515,70	18 950,30	27 753,87	-8803,57
2764,30	4755,64	-1991,34	19 995,50	27 517,44	-7521,94
3347,50	7553,53	-4206,03	20 445,60	13 948,95	6496,65
3914,20	5263,55	-1349,35	21 220,80	29 518,94	-8298,14
4400,80	7241,83	-2841,03	21 360,00	20 644,76	715,24
5904,00	8992,88	-3088,88	21 418,80	19 152,00	2266,80
6956,70	7161,55	-204,85	21 477,10	22 791,19	-1314,09
7595,10	10 469,73	-2874,63	21 816,30	21 263,08	553,22
9257,80	14 251,91	994,11	22 824,90	14 496,10	8328,80
9317,10	5569,87	3747,23	23 579,30	17 021,68	6557,62
9978,80	12 356,21	-2377,41	23 702,60	14 531,28	9171,32
10 144,80	10 929,40	-784,60	24 007,20	22 773,85	1233,35
10 215,40	9619,74	595,66	27 581,20	31 028,32	-3447,12
11 349,50	14 390,38	-3040,88	28 057,50	32 314,79	-4257,29
12 046,90	14 174,13	-2127,23	29 815,50	31 859,41	-2043,91
12 061,40	14 898,60	-2837,20	32 236,50	31 936,40	300,10
12 104,20	17 000,04	-4895,84	32 657,40	32 494,15	163,25
13 042,40	10 214,84	2827,56	32 672,70	26 620,17	6052,53
13 104,30	13 167,07	-62,77	34 351,10	22 852,20	11 498,90
13 396,40	17 660,39	-4263,99	36 050,40	35 892,53	157,87
14 170,30	22 136,25	-7965,95	36 544,30	22 893,37	13 650,93
14 227,00	15 269,09	-1042,09	37 136,90	22 606,54	14 530,36

График зависимости случайных остатков от выровненного значения зависимой переменной имеет вид, представленный на рис. 5. Можно отметить определенное увеличение раз­броса точек в центральной части графика и уменьшение раз­броса для последних нескольких точек. Такая картина может свидетельствовать о наличии гетероскедастичности остатков.

Рисунок 5. Изменение дисперсии случайных остатков с ростом выровненного значения зависимой переменной

Применим для анализа дисперсии остатков рассмотренные выше тесты. Так как большинство тестов основано на гипоте­зе, что известна переменная, вызывающая гетероскедастичность остатков, обратимся сначала к тесту Уайта, в котором рассматриваются все независимые переменные, входящие в модель регрессии.

Используем короткую форму теста Уайта, без включения попарных произведений независимых переменных. Получим следующий результат:

Табличное значение F-критерия равно 2,33 (). Таким образом, по тесту Уайта нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о гомоскедастичности остатков. Отметим также, что все параметры незначимы, но наиболь­шее значение -критерия (и достаточно близкое к таблично­му) имеют параметры при переменной (табличное значение -критерия составило 2,02 ()). Таким обра­зом, переменная может быть рассмотрена в других тестах как возможная причина гетероскедастичности.

Тест Бреуша - Пагана позволяет рассматривать различные комбинации переменных в качестве объясняющих гетероске­дастичность остатков. Уравнение теста, включающее в себя все три независимые переменные, будет иметь вид

.

Табличное значение критерия равно 7,82 (), таким образом, нет оснований отвергнуть нулевую гипо­тезу о гомоскедастичности случайных остатков. Руководствуясь предположениями, сделанными в ходе анализа теста Уайта, проведем тест Бреуша - Пагана применительно только к пе­ременной . Получим следующие результаты:

.

Табличное значение критерия в данном случае равно 3,84 (), таким образом, мы отвергаем нулевую гипо­тезу о гомоскедастичности случайных остатков. Остатки гетероскедастичны по переменной . Анализ по тесту Бреуша - Пагана при необходимости можно продолжить, исследуя влияние на дисперсию случайных остатков других независи­мых переменных. Опираясь на выявленное влияние на дис­персию остатков переменной , проверим эту связь с помо­щью других тестов.

Использование критерия Гольдфельда - Квандта предпо­лагает упорядочивание данных, в нашем случае по перемен­ной .

Общий объем наблюдений составляет 48 регионов, т.е. их можно разделить на три равные группы по 16 наблюдений в каждой или по 18 наблюдений в первой и третьей группах и 12 наблюдений во второй. Так как критерий Гольдфельда - Квандта предполагает построение уравнений регрессии той же структуры, что и исходное уравнение, остановимся на втором варианте деления совокупности как обеспечивающим боль­шую достоверность регрессионного анализа (18 наблюдений на три коэффициента регрессии, т.е. по шесть наблюдений на каждый коэффициент).

Для первой и третьей совокупностей наблюдений най­дем параметры уравнений множественной регрессии вида и рассчитаем случайные остатки по ка­ждому из них. Получим следующие результаты.

Первая группа (минимальные значения ):

Подводя итоги выявления гетероскедастичности в нашем примере, отметим, что по ряду тестов (Бреуша - Пагана, Гольдфельда - Квандта, Глейзера) гипотеза о гомоскеда­стичности остатков была отвергнута, т.е. можно утверждать, что на дисперсию случайных остатков оказывает влияние пе­ременная . То, что гетероскедастичность была выявлена не во всех тестах, связано с тем, что разные тесты опираются на разные предпосылки о форме связи величины случайных остатков и независимой переменной. Исследование по тесту Глейзера показывает, что эта форма может быть описана вы­ражением , где - линейная функция.

Причинами гетероскедастичности случайных остатков мо­гут быть неверная функциональная форма уравнения регрес­сии (неверная спецификация модели), неоднородность иссле­дуемой совокупности. Соответственно способами устранения гетероскедастичности являются построение модели иной фун­кциональной формы и (или) разбиение совокупности на одно­родные группы. Если по каким-то причинам это сделать не­возможно или нежелательно, то для нахождения параметров уравнения регрессии можно воспользоваться обобщенным методом наименьших квадратов.

Лекция 5. Гетероскедастичность и автокорреляция регрессионных остатков

Литература:

Эконометрика: учебник / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Т.В. Костеева и др.; под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2006.

Бородич С.А. Эконометрика: учебное пособие. – Минск: ООО «Новое знание», 2005 – 408с.

Еремеева Н.С., Лебедева Т.В. Эконометрика: учебн. Пособие для вузов. – Оренбург: ОАО «ИПК «Южный Урал», 2010. – 296 с.

Кремер Н.Ш. Эконометрика: учебник (Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко). – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006 – 311с.

1. Гетероскедастичность. Тесты на гетероскедастичность

2. Автокорреляция регрессионных остатков. Методы выявления

3. Обобщенный метод наименьших квадратов для смягчения гетероскедастичности и устранения автокорреляции

Для получения качественных оценок параметров уравнения регрессии необходимо следить за выполнимостью предпосылок МНК. Применяя МНК мы предполагаем, что остатки ε i подчиняются условиям Гаусса-Маркова, данное предположение необходимо проверить, после построения уравнения регрессии.

1. Гетероскедастичность. Тесты на гетероскедастичность

Допущение о постоянстве дисперсии остатков известно какдопущение о гомоскедастичности. Если это допущение нарушено и дисперсия остатков не является постоянной, то говорят, что оценки гетероскедастичны.

На практике, для каждого i-го наблюдения определяется единственное значение ε i , но мы говорим об определении дисперсии остатков, т.е. о множестве ε i для каждого i-го наблюдения. Это объясняется тем, что мы имеем дело с выборочной совокупностью, а априори ε i могли принимать любые значения на основе некоторых вероятностных распределений.

Гетероскедастичность приводит к тому, что коэффициенты регрессии не являются оценками с минимальной дисперсией, следовательно, они больше не являются наиболее эффективными коэффициентами. Вследствие, выводы, получаемые на основе t и F-статистик, а также интервальные оценки будут ненадежными. Дисперсии и, следовательно, стандартные ошибки этих коэффициентов будут смещенными. Если смещение отрицательно, то оценочные стандартные ошибки будут меньше, чем они должны быть, а критерий проверки - больше чем в реальности. Таким образом, можно сделать вывод, что коэффициент значим, когда он таковым не является. И наоборот если смещение положительно, то оценочные ошибки будут больше чем они должны быть, а критерии проверки - меньше. Значит, возможно ошибочное принятие нулевой гипотезы.

Обнаружение гетероскедастичности

Существует несколько формальных тестов, позволяющих обнаружить гетероскедастичность (графический анализ остатков, тест ранговой корреляции Спирмена, тест Парка, тест Голфелда-Квандта, тест Уайта).

Графический анализ остатков

Использование графического представления отклонений позволяет определиться с наличием гетероскедастичности. В этом случае по оси абсцисс откладываются значения x i объясняющей переменной X (либо линейной комбинации объясняющих переменных

а по оси ординат либо отклонения ε i либо их квадраты , i = 1, 2, ..., п . Если все отклонения находятся внутри полуполосы постоянной ширины, параллельной оси абсцисс, это говорит о независимости дисперсий от значений переменной X и их постоянстве, т.е. в этом случае выполняются условия гомоскедастичности. Графический анализ отклонений является удобным и достаточно надежным в случае парной регрессии.

Обычно не ограничиваются визуальной проверкой гетероскедастичности, а проводят ее эмпирическое подтверждение.

В соответствии с одной из предпосылок МНК нужно, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной. Это означает, что для каждого значения фактора X остатки е, имеют одну и ту же дисперсию. Если это условие не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность. Наличие гетероскедастичности можно наглядно продемонстрировать на поле корреляции (см. рис.).

Гомоскедастичность остатков означает, что дисперсия остатков одна и та же для каждого значения X. Используя трехмерное изображение, можно получить следующие графики, которые проиллюстрируют гомо- и гетероскедастичность

Рисунок с гомоскедастичностью показывает, что для каждого значения Х, распределения остатков одинаково в отличие от гетероскедастичности.

Для множественной регрессии вид графиков является наиболее наглядным способом изучения гомо- и гетероскедастичности.

Наличие гетероскедастичности может в ряде случаях привести к смещенности оценок коэффициентов регрессии, хотя несмещенность оценок коэффициентов регрессии, как правило, зависит от соблюдения второй предпосылки МНК, т. е. независимости остатков и величин факторов. Гетероскедастичность будет сказываться на уменьшении эффективности оценок b. В ча-стности, становится затруднительным использование формулы стандартной ошибки коэффициента регрессии Sb, которая предполагает единую дисперсию остатков для любых значений фактора.

Определение гетероскедастичности

При малом объеме выборки, что характерно для большинства , для оценки гетероскедастичости используют метод Гольдфельда - Квандта, который был разботан в 1965 г. Гольдфельдом и Квандтом, где они рассмотрели однофакторную линейную модель, для которой дисперсия остатков возрастает пропорционально квадрату фактора. Чтобы оценить нарушение гомоскедастичности, они предложили выполнить следующие операции.

1. Упорядочить наблюдения по мере возрастания фактора Х.
2. Исключить из рассмотрения С центральных наблюдений, причем (n - С): 2 > р, где р - число оцениваемых параметров.
3. Разделить совокупность из (n - С) наблюдений на две группы (с малыми и большими значениями фактора X).
4. Определить остаточную сумму квадратов для первой (S1) и второй (S2) групп и нахождение отношения: R = S1: S2.

При выполнении нулевой гипотезы о гомоскедастичности отношение R будет удовлетворять критерию Фишера с (n - С - 2p) : 2 степенями свободы для каждой остаточной суммы квадратов. Чем больше величина R превышает табличное значение F-критерия, тем в большей степени нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин.